数的整除特征
关于数的整除特征的汇总
关于数的整除特征的汇总一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
数的整除特征
数的整除特征一、整除特征------尾数分析法1、尾数分析法判断整除性（1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。
（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。
2、被25或125整除的数的特点（1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数（2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。
二、整除特征-----数位和分析法1、数位和分析法判断整除性（1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。
（2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除.2、数位和分析法原理数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的，举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1=1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1=1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4）其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。
3、弃9法“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。
三、整除特征---数位差分析法1、 11的整除特征：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、 7、11、13的整除特征如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。
+、、、、。
数的整除特征
1.末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除
2.各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除
3.末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除
4.末位数字为0或5的整数必能被5整除
5.一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除
6.末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除
7.末位数字为零的整数必能被10整除
8.另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。
（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。
）
9.至于6和12的整除特性,通过以上的原则判断即可:
各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;
各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除
2：末尾1位数能被2整除，即所有偶数
3：被三整除的数必须各个位数上的数加起来为三的倍数
4：末尾两位数能被4整除
5：所有末位为0或5的数
7：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除
8：后三位能被8整除的数
9：各个位数的数字和能被9整除
11：奇数位的和与偶数位的和的差为11的倍数
13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除
25：末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除
125：后三位能被125整除的数。
整除的特征
整除的特征数的乘除特征：1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除；3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。
6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除；7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除；8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整例题1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、15、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？练习：1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？3、012005 (200520052005)个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。
现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。
请你判断每只油桶里装的各是什么油？5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？。
数的整除的特征
数的整除的特征我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k （k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
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（3）在解方程的时候，要注意格式。要写（）字，而且（）要对齐；解的过程中要移项，移项时要注意把未知项放在一边，把常数项放在另一边。移项时要注意改变符号。如把等号左边的“+”变到另一边就变成了（）。
（4）在解方程组的时候，我们会遇到很多去小括号的情况。去小括号的规则是：当小括号的括号左边使用“+”连接，去掉小括号后，括号里面的式子符号（），举例：（）；当小括号的括号左边使用“—”连接，去掉小括号后，括号里面的式子符号（），举例：（ ）。
2(★★)(迎春杯试题)
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少
⑶(★★★)
1213…9899除以99的余数是多少
【例6】(★★★)
请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，
使它是99的倍数。这个五位数最大是多少
二Hale Waihona Puke 综合考察【例7】（1）(★★★)
4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几
5. 如果一个六位数a2000b能被 26整除，所有这样的六位数是
6.某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位数字依次是多少
易错题
一．填空
（1）当字母乘以字母的时候，乘号要用一个（）表示，举例：（）；当字母除以字母的时候，除号要用（）表示，举例：（）；当数与字母相乘的时候，（）写在前面，举例：（N×2=）。
有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除。求出后两位数。
自我检测
1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少
2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少
3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少
两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.
【例3】(★★★)
设六位数N=x1527y，又N是4的倍数，且被11除余5，那么x+y等于多少
【例4】(★★★)
在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少
【例5】
1(★★)(希望杯试题)
六位数20□□08能被99整除，□□是________。
（2）除以3,9的余数和这个数数字之和除以3,9的余数相同；
（3）能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段和能否被99整除。
3.差系：7,11,13
（1）判断一个多于4位的整数能否被7,11,13整除：规律是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做差，看这个差是否为7,11,13的倍数；
（2）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数，这个差除以11余几就代表这个数除以11余几。
4.拆分系：
72=8×912=3×41001=7×11×13
一、特征应用
【例1】(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能被9，25和8整除。
【例2】(★★)
二.一个长方形的三条边的长度和为64m，这个长方形的面积最大为多少（提示：最值问题中，长度和一定，差小积大。）
已知2ab2ab2ab能被91整除，那么ab是多少
（2）(★★★★)
将三位数3ab连续重复地写下去，共写2005个3ab，所得的数3ab3ab……3ab（2005个3ab）正好是91的倍数，那么ab=。
【例8】(★★★)
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少
【拓展】(★★★)
第十一讲数的整除特征
【教学重难点】
了解数的整除特征并学会根据数的整除特征来解决相应的问题。
数的整除特征
1.末位系：2,5；4,25；8,125
（1）能否被2和5整除是看末一位；
（2）能否被4和25整除是看末两位；
（3）能否被8和125整除是看末三位。
2.和系：3,9，99
（1）能否被3,9整除是看数字之和是不是3,9的倍数；