离散数学集合论部分形成性考核书面作业

离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、单项选择题1．若集合A ＝{2，a ，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A ．{a ，{a }}∈AB ．{ a }⊆AC ．{2}∈AD ．∅∈A答 B2．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2, {2}}⊂B 答 B3．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ ）．A ．B ⊂ A B ．A ⊂ BC ．B ∉ AD ．B ∈ A答 D4．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}答 C5．设集合A = {1，2，3}，R 是A 上的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈ A 且1=-b a }则R 具有的性质为（ ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反对称的 答 B6．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b >⎢a , b ∈A ，且a =b }，则R 具有的性质为（ ）．A ．不是自反的B ．不是对称的C ．反自反的D ．传递的 答 D7．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 答 C8．设集合A ={a , b }，则A 上的二元关系R={<a , a >，<b , b >}是A 上的( )关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系D ．不是等价关系也不是偏序关系 答 C9．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对答 C10．设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1 , 2>，<2 , 1>，<3 , 3>}，g = {<1 , 3>，<2 , 2>，<3 , 2>}，h = {<1 , 3>，<2 , 1>，<3 , 1>}，则 h =（ ）．A ．f ◦gB ．g ◦fC ．f ◦fD ．g ◦g答 A二、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则A ⋃B = ，A ⋂B = ．答 {1,2,3}，{1,2}2．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则P (A )-P (B )= ，A ⨯ B = ．解 (){,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}P A =∅(){,{1},{2},{1,2}}P B =∅ 答 {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}3．设集合A 有10个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ． 答 2104．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，5R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b ≤4}则R 的集合表示式为 ．答 {1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1}R =<><><><><><>5．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><那么1R -=解 {3,6,4,8}R =<><>答 {6,3,8,4}<><>6．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 具有的性质是 ．答 反自反7．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，若在R 中再增加两个元素 ，则新得到的关系就具有对称性．答 <c , b >，<d , c >8．设A ={1, 2}上的二元关系为R ={<x , y >|x ∈A ，y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 ．答 {<1,1>,<2,2>}9．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含 等元素．答 <1,1>，<2,2>，<3,3>10．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 ．答 {1,,2,}f a b =<><>，{1,,2,}g b a =<><>三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系．解 （1）错误．因为<3,3>∉R ．（2）错误．因为<1,2>∈R ，但<2,1>∉R ．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“11R -、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的”是否成立？并说明理由．解 成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，所以任意a A ∈，有12,, ,a a R a a R <>∈<>∈，从而有11,a a R -<>∈，12,a a R R <>∈，12,a a R R <>∈．故11R -、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的．3．设R，S是集合A上的对称关系，判断R∩S是否具有对称性，并说明理由．解成立．因为任意a,b∈A，如果<a, b>∈R∩S，则<a, b>∈R且<a, b>∈S．因为R和S是对称的，所以<b, a>∈R且<b, a>∈S，从而<b, a>∈R∩S．故R∩S具有对称性．4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f是否构成函数f：A→，并说明理由．B(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；(2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解（1）关系f不构成函数．因为Dom(f)={1, 2, 4}≠A，不满足函数定义的条件．（2）关系f不构成函数．因为Dom(f)={1, 2, 3}≠A，不满足函数定义的条件．（3）关系f构成函数．因为⑴任意a∈Dom(f)，都存在唯一的b∈Ran(f)，使<a, b>∈f；⑵Dom(f)=A．即关系f满足函数定义的两个条件，所以关系f构成函数．四、计算题1．设}4,2{==C=E，求：BA5,2,1{},5,4,3,2,1{=},4,1{},(1) (A⋂B)⋃~C；(2) (A⋃B)-(B⋂A) (3) P(A)－P(C)；(4) A⊕B．解（1）(){1}{1,3,5}{1,3,5}A B C==；（2）()(){1,2,4,5}{1}{2,4,5}-=-=；A B B A（3）()(){,{1},{4},{1,4}}{,{2},{4},{2,4}}{{1},{1,4}}-=∅-∅=；P A P C（4）()()()(){2,4,5}⊕=-=-=．A B A B A B A B B A2．设集合A＝{{a, b}, c, d }，B={a, b, {c, d }}，求(1) B⋂A；(2) A⋃B；(3) A－B；(4)B⨯A．解（1）B A=∅；（2）{,,,,{,},{,}}=；A B a b c d a b c d（3）{{,},,}-==；A B a b c d A（4）{,{,},,,,,⨯=<><><>B A a a b a c a d<><><>,{,},,,,,b a b bc b d<><><>．{,},{,},{,},,{,},c d a b c d c c d d3．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R •S ，S •R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )． 解 {1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1}R =<><><><><><>，S =∅．R S •=∅，S R •=∅，1{1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1}R R -=<><><><><><>=，1S -=∅，(){1,1,2,2,3,3,4,4,5,5}A A r S S I I ===<><><><><>，1(){1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1}s R R R R -===<><><><><><>．4．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2 )画出关系R 的哈斯图；(3) 求出集合B 的最大元、最小元．解 （1）{1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,R =<><><><><><><><> 2,2,2,4,2,6,2,8,<><><><>3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,<><><><><>6,6,7,7,8,8}<><><>（2）关系R 的哈斯图如下：（3）集合B ={2, 4, 6}无最大元，其最小元是2．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证明 任意()x A B C ∈，则x A ∈，或x B C ∈．若x A ∈，则, x AB x AC ∈∈，从而()()x A B A C ∈； 若x B C ∈，则, x B x C ∈∈，, x A B x A C ∈∈，从而()()x AB AC ∈． 所以()()()A B C A B A C ⊆． 任意()()x A B A C ∈，则, x AB x AC ∈∈． 由x A B ∈知，x A ∈或x B ∈．若x A ∈，则()x A BC ∈； 若x A ∉，则必有x B ∈，由x A C ∈知，也有x C ∈，从而x B C ∈，进而()x A B C ∈．所以()()()AB AC A B C ⊆． 故()()()A B C A B A C =．2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B =C ．证明 若B ＝∅，则A ×C ＝A ×B ＝∅，由于A ≠∅，所以C ＝∅，从而B ＝C ． 若B ≠∅，则A B ⨯≠∅，任意b B ∈，存在a A ∈，使,a b A B <>∈⨯，由于A ⨯B = A ⨯C ，所以,a b A C <>∈⨯，从而b C ∈，故B C ⊆．同理可证C B ⊆．所以B C =．3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明 即只需证明R 是集合A 上的自反关系．对任意a A ∈，由题设，存在b A ∈，使得,a b R <>∈．由于R 是集合A 上的对称关系，所以,b a R <>∈．又由于R 是集合A 上的传递关系，所以,a a R <>∈．因此R 是集合A 上的自反关系．故R 是集合A 上的自反关系、对称关系和传递关系，从而是等价关系．。