小学奥数正六边形面积计算练习题
5年级奥数多边形面积计算公式例题解析
【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．【例题】1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?[分析与解]方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①＝3÷2＝1.5，②＝2÷2＝1，③＝2÷2＝1，④＝2÷2＝1，⑤＝2÷2＝1，⑥＝2÷2＝1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+1+1+1+1+1+3＝9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16－9.5＝6.5(平方厘米)．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是l平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?[分析与解]正三角形方形格点阵中多边形面积公式：×单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9，L＝4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4－2)×1＝20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为3，所以①部分的面积为1.5，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3。
所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3＝20(平方厘米)．3．如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?[分析与解]如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板的组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为＝．有S3＝S4，S2＝S5＝S7＝2S3，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为，所以S 4＝，S7＝．所以第2块板的面积等于整幅图面积的，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?[分析与解]如下图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，注意到图6-5由40块小正三角形组成，而原来的正三角形由27块小正三角形组成．120块小正三角形的面积为1，所以每块为，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为．方法二：如下图，我们把图5-6中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为t，则B、C两种正三角形的面积依次为t、t．在图5-6中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图5-6中图形的面积为t+3×t+12×t＝t．所以有t＝，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为．5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24＝，所以三角形MNP的面积为9×＝2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?[分析与解]在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12＝24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25＝612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16＝200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是l平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?[分析与解]我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形．为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25－3×0.5＝23.5(平方厘米)．8．在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FG＝FC＝3(厘米)，所以DG＝DF－FG＝9－3＝6(厘米)，于是S△HIG ＝×S正方形AIGD＝×62＝9．而四边形IGFB为长方形，有BF＝AD＝DG＝6(厘米)，GF＝3(厘米)，所以S长方形IGFB＝6×3＝18．阴影部分面积为△HIG与长方形IGFB的面积和，即为9+18＝27(平方厘米)．解法二：如下图，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母．易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面积，在用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S△ABC ＝S△DEF＝×DF×DF＝，S△CGF＝×CF×CF＝．因为CF＝FG＝3，所以DG＝DF－FG＝6．如下图，可以将4个三角形DGH拼成一个边长为DG的正方形．所以，S△DGH ＝×DG×DG＝9，而S△AIH＝S△DGH＝9，所以S阴影BFGHI＝S△ABC－S△CGF－S△AIH＝－－9＝27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-1l，在长方形ABCD中，O是长方形的中心，BC长20厘米，AB长12厘米，DE＝4AE，CF＝3DF，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?[分析与解]我们只用先求出四边形ADFO的面积，在将其减去两个三角形AEO、EFO的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO的面积等于两个三角形AOD、ODF的面积和．由题意知AE＝4，ED＝16，DF＝3，FC＝9．即阴影部分的面积为39平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为l0厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?[分析与解]如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形．其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形4个，B形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的，即为×10×10＝50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形．AOE的面积比三角形BOD的面积小16平方厘米，则梯形AEBD的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD中，有△EBD、△ABD同底等高，所以有S△EBD ＝S△ABD，即③+②＝①+②．显然有①＝③．由题意知S△BOD －S△AOE＝16，即②－④＝16，于是有(①+②)－(③+④)＝16．已知①+②＝S△ABD＝×8×8＝32，所以③+④＝(①+②)－16＝16．所以有S梯形AEBD＝(①+②)+(③+④)＝32+16＝48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD中，两条对角线将其分成四块，记它们的面积为①、②、③、④，有：Ⅰ．①＝③，Ⅱ．②：④＝BC2：AD2，Ⅲ．①×③＝②×④．12．如图6-14，ABCD是长方形，长AD等于7.2厘米，宽AB等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?[分析与解]S 平行四边形CDEF ＝DC ×BC ＝5×7.2＝36，HC ＝BC －BH ＝7.2－3＝4.2，所以S △CDH ＝×CD ×HC ＝×5×4.2＝10.5．S 阴影＝S 平行四边形CDEF －S △CDH ＝36－10.5＝25.5(平方厘米)．13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?[分析与解] 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC ＝45°，∠ECD ＝90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC ＝DC ．而∠EDC ＝45°，∠EAB ＝90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA ＝AB ．有S △ABE ＝×AB ×EA ＝，S △EDC ＝×EC ×DC ＝．有S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝－＝20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?[分析与解]为了方便叙述，将下图中一些点标上字母．延长AB交正方形边EF 于H点，过D作AH的垂线，交AH于G点．我们先求出梯形JICK与正方形IFEC的面积和，再求出三角形AFH、AGD与矩形GHED的面积和，将前者与后者作差所得到的值即为所求阴影部分的面积．15．从一块正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?[分析与解]我们画出示意图a，则剩下的木块为图b，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图c．我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为，所以图c中心的小正方形边长为，于是大正方形AEHK的面积为×4+×＝＝×，所以AK长为．即，长+宽＝，综合长－宽＝，得长＝，于是锯去部分的木条的面积为×＝＝(平方米)．。
六年级奥数第12讲图形面积(二)
图形面积（二）姓名：③旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便于求的图形。
例5：如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。
求阴影部分的面积是多少？【习题精练】3、求下列图形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）C40 20 图3－1 图3－24 2图3－3121213 13图3－4④等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。
例6：将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC 的面积是6平方厘米，求大六边形的面积？例7：如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形的面积各是多少？4、下列每个正六边形的面积都是36平方厘米，求阴影部分的面积各是多少？图4－1 图4－2图4－35、四个相同的正六边形，每个面积为6，求三角形的面积？6、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积是5平方厘米，求长方形的面积？7、E 是长方形的中点，求阴影部分的面积与长方形面积的比是多少？8、长方形ABCD 的长是15厘米，宽是8厘米，E 、F 是中点，求阴影部分的面积。
9、正方形ABCD 的面积是12平方厘米，E 、F 、G 、H 分别是中点，求阴影部分的面积.A BC EB15 8B F10、下面是由两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之几？⑤抓不变量：若甲比乙的面积大a ，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或减去相同的面积，则剩下的面积仍然相等。
例8：如图，已知半圆的直径AB=20厘米， 阴影①比阴影②的面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC 的长？11、正方形ABCD 的边长为5厘米，△CEF 的面积比△ABE 的面积大5平方厘米，求CE 的长。
小学奥数几何六大模型及例题
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
一半模型 阴影图形占整个图形面积的一半。 一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个 顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。当 然在梯形中也常见一半模型。
最下面三个图，边上的点都为中点。
鸟头模型（共角模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做 共角三角形。 共角三角形常见图形，如下图
如上图中有 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两 夹边的乘积之比。
SADE AD AE SABC AB AC
蝴蝶模型
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径， 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积与四边形内的三 角形面积之间建立了相关的联系，得到与面积对应的对角线的比例 关系。 任意四边形中的蝴蝶模型： S1 : S2 S4 : S3或者S1 S3 S2 S4
金字塔、沙漏模型 所谓的金字塔、沙漏模型，就是指形状相同，大小不同 的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图 所示：
勾股定理 我国最早发现在直角三角形中两条直角边的平方和等于 斜边的平方，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，外 国称为毕达哥拉斯定理。如右图 在直角三角形 ABC中有c2 a2 b2
Байду номын сангаас
例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷14《等积变形》(解析版)
【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷14《等积变形》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240 B．270 C．300 D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），故选：B．2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25 B．40 C．49 D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49故选：C．3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（）A．42 B．40 C．38 D．36【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2＝100+36﹣48﹣50＝38答：阴影部分的面积是38．故选：C。
2021年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-13
方法二：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积 三角形BDF的面积 三角形BCD的面积 (平方厘米)．
9．13.5
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图：
可得： 、 、 ，而
即 ；
而 ， ．
所以阴影部分的面积是：
3．28
【解析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接 、 ．
∵ ，
∴ ．
同理， ， ，
∴ (平方厘米)．
4．48
【解析】
把另外三个三等分点标出之后，正方形的 个边就都被分成了相等的三段．把 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 个形状各不相同的三角形．这 个三角形的底边分别是在正方形的 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了 个三角形，右边三角形的面积和第 第 个三角形相等：中间三角形的面积和第 第 个三角形相等；左边三角形的面积和第 个第 个三角形相等．
17．如右图，过平行四边形 内的一点 作边的平行线 、 ，若 的面积为8平方分米，求平行四边形 的面积比平行四边形 的面积大多少平方分米？
18．如右图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积．
19．如右图，正方形 的面积是 ，正三角形 的面积是 ，求阴影 的面积．
参考答案
1．13/6
如右图所示，连接 、 、 ，则 ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得 ， ，所以阴影部分的面积就等于正方形 的面积，即为 平方厘米．
6．8
【解析】
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接 (见右上图)，可以看出，三角形 与三角形 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形 是三角形 与三角形 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形 与三角形 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形 的面积等于求三角形 的面积，等于 ．
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案30格点型面积(二)
年 级四年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 格点型面积（二）上一节中，我们主要学习了正方形格点面积，这一节，我们主要学习三角形格点面积。
三角形格点面积公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有：S ＝2×N ＋L －2。
也就是说，格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与图形周界上格点数的和减去2。
例1 如下图（a ），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是正三角形。
每个小正三角形的面积均为1（面积单位），计算△ABC 的面积。
分析与解：解法一：如图（b ）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC 的面积为10.解法二：如图（c ）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而△ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即ABC S ∆＝3，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而△ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即ADC S ∆＝2。
平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而△FBC 的面积是平行四边形FBGC 面积的一半，即FBC S ∆＝4。
所以三角形ABC 的面积是1＋2＋3＋4＝10（面积单位）。
解法三：因为N ＝4，L ＝4，所以S ＝2×N ＋L －2＝2×4＋4－2＝10（面积单位）。
例2 如下图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC 的面积。
分析与解：因为N＝5，L＝3，所以S＝2×N＋L－2＝2×5＋3－2＝11（面积单位）。
例3如图，如果每一个小正三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：解法一：正三角形格点阵中多边形面积＝（2N＋L－2）个单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数。
五年级奥数题：图形与面积含详细标准答案
五年级奥数题：图形与面积一、填空题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．（ 3 分）如图是由 16 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400 平方厘米，那么它的周长是_________厘米．2．（ 3 分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么 7， 2， 1 三个数字所占的面积之和是_________．3．（ 3 分）如图中每一小方格的面积都是1 平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是_________平方厘米．4．（ 3 分）（ 2014?长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8 厘米和 4 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．5．（ 3 分）在△ABC 中，BD=2DC ，AE=BE ，已知△ ABC 的面积是 18 平方厘米，则四边形 AEDC 的面积等于_________平方厘米．6．（ 3 分）如图是边长为 4 厘米的正方形，AE=5 厘米、 OB 是_________厘米．7．（ 3 分）如图正方形ABCD 的边长是 4 厘米， CG 是 3 厘米，长方形DEFG 的长 DG 是 5 厘米，那么它的宽DE 是_________ 厘米．8．（ 3 分）如图，一个矩形被分成10 个小矩形，其中有6 个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是_________．9．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为12， P 是边 AB 上的任意一点，M、 N、I、 H 分别是边 BC 、AD 上的三等分点， E、 F、 G 是边 CD 上的四等分点，图中阴影部分的面积是_________．10．（ 3 分）图中的长方形的长和宽分别是6 厘米和 4 厘米，阴影部分的总面积是10 平方厘米，四边形ABCD 的面积是_________平方厘米．二、解答题（共4 小题，满分0 分）11．图中正六边形ABCDEF 的面积是54． AP=2PF ， CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16 平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．13．一个周长是56 厘米的大长方形，按图中（1）与（ 2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是： A ：B=1 ：2， B： C=1： 2．而在（ 2）中相应的比例是A' ： B'=1 ： 3， B'： C'=1： 3．又知，长方形 D'的宽减去 D 的宽所得到的差，与D'的长减去在 D 的长所得到的差之比为1： 3．求大长方形的面积．14．（ 2012?武汉模拟）如图，已知 CD=5 ，DE=7 ，EF=15，FG=6 ，直线 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 _________ ．2010 年五年级奥数题：图形与面积（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10 小题，每小题 3 分，满分30 分）1．（ 3 分）如图是由 16 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400 平方厘米，那么它的周长是170厘米．考点：巧算周长．分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2 即可得出结论．解答：解：400÷16=25（平方厘米），因为 5×5=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5 厘米，周长为：（ 5×4+5 ×4+5×3+5 ×2+5 ×3+5 ）×2，=85 ×2，=170 （厘米）；答：它的周长是170 厘米．点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2 即可得出结论．2．（ 3 分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么 7， 2， 1 三个数字所占的面积之和是25．考点：组合图形的面积．分析：此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果．解答：解：“7”所占的面积和 =+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10 ，“1”所占的面积和=+7=，那么 7， 2， 1 三个数字所占的面积之和= ++10=25 ．故答案为： 25．点评：此题关键是进行图形分解和转换．3．（ 3 分）如图中每一小方格的面积都是1 平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是6.5平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积．解答：解：大正方形的面积为4×4=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有 3 个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3++5× =9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为16﹣ 9.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5 平方厘米．故此题答案为：6.5．点评：此题关键是对图形进行合理地割补．4．（ 3 分）（2014?长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8 厘米和 4 厘米，那么阴影部分的面积是24 平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．解答：解： 4×4+8×8﹣×4×（ 4+8）﹣×8×8，=16+64 ﹣ 24﹣ 32，=24 （ cm 2）；2答：阴影的面积是24cm ．点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解．5．（3 分）在△ABC 中， BD=2DC ，AE=BE ，已知△ ABC 的面积是 18 平方厘米，则四边形 AEDC 的面积等于 12 平方厘米．考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积．分析：根据题意，连接AD ，即可知道△ ABD 和△ ADC 的关系，△ADE 和△BDE 的关系，由此即可求出四边形AEDC 的面积．解答：解：连接AD ，因为 BD=2DC ，所以， S△ABD=2S △ ADC ，即， S△ABD=18 × =12 （平方厘米），又因为， AE=BE ，所以， S△ADE=S △ BDE ，即， S△ BDE=12 × =6（平方厘米），所以 AEDC 的面积是： 18﹣ 6=12 （平方厘米）；故答案为： 12．点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答．6．（ 3 分）如图是边长为 4 厘米的正方形，AE=5 厘米、 OB 是 3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE 的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB 的长度．解答：解：如图连接 BE、 AF ，则 BE 与 AF 相交于 D 点 S△ADE=S △ BDF则S△ ABE= S 正方形 =×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8 ×2÷5=3.2（厘米）；答： OB 是 3.2 厘米．故答案为： 3.2．点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．（ 3 分）如图正方形ABCD 的边长是 4 厘米， CG 是 3 厘米，长方形DEFG 的长 DG 是 5 厘米，那么它的宽DE 是 3.2 厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD 的面积，因为DG 已知，进而可以求三角形AGD 的高，也就是长方形的宽，问题得解．解答：解：如图连接AGS △AGD =S 正方形ABCD ﹣ S △CDG ﹣ S △ABG ， =4 ×4﹣ 3×4÷2﹣ 1×4÷2 =16﹣6﹣2=8 （平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；答：长方形的宽是3.2 厘米． 故答案为： 3.2．点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．8．（3 分）如图，一个矩形被分成10 个小矩形，其中有 6 个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是243．考点：组合图形的面积．分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那么根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20 和 16 的矩形，可 以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积．解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20： 16=5： 4， 所以宽之比是5： 4，那么， A ： 36=5： 4 得 A=45 ； 25： B=5： 4 得 B=20 ； 30： C=5： 4 得 C=24 ； D ： 12=5： 4 得 D=15 ；所以大矩形的面积 =45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243 ；故答案为： 243．点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识．9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12， P 是边 AB 上的任意一点， M 、 N 、I 、 H 分别是边 BC 、AD 上的三等分点， E 、 F 、 G 是边 CD 上的四等分点，图中阴影部分的面积是60 ．考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形等分点， E 、F 、G 案．ABCD 的边长为 12，P 是边 AB是边 CD 上的四等分点，可连接上的任意一点， M 、 N 、 I 、 H 分别是边 BC 、 AD 上的三DP ，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可得到答解答：解：阴影部分的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2 ×（AP+BP ）=36+2 ×12=36+24=60 ．答：这个图形阴影部分的面积是60．点评：此题主要考查的是三角形的面积公式．10．（ 3 分）图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米，阴影部分的总面积是 10 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是 4 平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△ EFC+S△ GHC=四边形EFGH面积÷2=12，S△ AEF+S△ AGH=四边形EFGH面积÷2=12，所以 S△ ABE+S △ ADH=S △ BFC+S △ DGC= 四边形 EFGH 面积÷2﹣阴影部分的总面积是 10 平方厘米 =2 平方厘米．所以：四边形ABCD 面积 =S△ ECH﹣（ S△ ABE+S △ ADH ） =四边形 ABCD 面积÷4﹣ 2=6﹣ 2=4 平方厘米．解答：解：由题意推出： S△ABE+S △ ADH=S △ BFC+S △DGC= 四边形 EFGH 面积÷2﹣阴影面积 10 平方厘米 =2 平方厘米．所以：四边形ABCD 面积 =S△ ECH﹣（ S△ ABE+S △ ADH ） =四边形 ABCD 面积÷4﹣ 2=6﹣ 2=4 平方厘米．故答案为： 4．点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩．二、解答题（共4 小题，满分0 分）11．图中正六边形ABCDEF 的面积是54． AP=2PF ， CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．考点：等积变形（位移、割补）．分析：如图，将正六边形ABCDEF 等分为 54 个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积．解答：解：如图，S△ PEF=3 ， S△ CDE=9 ， S 四边形 ABQP=11 ．上述三块面积之和为3+9+11=23 ．因此，阴影四边形CEPQ 面积为 54﹣ 23=31 ．点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16 平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．考点：等积变形（位移、割补）．分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12 个小三角形，且都与外围的6 个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16 平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6 个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12 个小三角形，且都与外围的6 个空白小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF 的面积： 16÷12×（ 12+6）=24 （平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF 又可等分成6 个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，所以大正六角星形面积：24×2=48（平方厘米）；答：大正六角星形面积是48 平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18 个小正三角形，又可看作是6 个大点的正三角形组成．13．一个周长是56 厘米的大长方形，按图中（1）与（ 2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是： A ：B=1 ：2， B： C=1： 2．而在（ 2）中相应的比例是A' ： B'=1 ： 3， B'： C'=1： 3．又知，长方形 D'的宽减去 D 的宽所得到的差，与D'的长减去在 D 的长所得到的差之比为1： 3．求大长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求大长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（ 1）中小长方形面积的比是： A ：B=1 ：2，B：C=1 ：2．而在（ 2）中相应的比例是A' ： B'=1 ： 3， B'： C'=1： 3．又知，长方形 D'的宽减去 D 的宽所得到的差，与 D'的长减去在 D 的长所得到的差之比为1：3”可知： D 的宽是大长方形宽的′，，D 的宽是大长方形宽的′×（ 28﹣大长方形的宽），由此便可以列式计算．D 的长是×（ 28﹣大长方形的宽）， D 的长是解答：解：设大长方形的宽为x，则长为 28﹣x′′因为 D 的宽 = x， D的宽 =x，所以， D的宽﹣ D 的宽= ．′×（ 28﹣x），D 长 = ×（28﹣ x），D 长 =′D长﹣D长=×（ 28﹣ x），由题设可知：=即= ，于是= ， x=8 ．于是，大长方形的长=28 ﹣ 8=20，从而大长方形的面积为8×20=160 平方厘米．答：大长方形的面积是160 平方米．点评：此题比较复杂，主要考查比的关系，应利用比的意义，找清数量见的比，再利用题目条件，就可以进行计算求得结果．14．（ 2012?武汉模拟）如图，已知 CD=5 ，DE=7 ，EF=15，FG=6 ，直线 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 40 ．考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S△ADE看成是一个整体，根据各线段的关系和左右两部分面积的关系，可以列出一个方程，求出S△ADE的面积，然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出答案．解答：解：由题意知， S△AEG=3S△ADE， S△BFE=S△BEC，设 S△ADE =X ，则 S△AEG =3X ， S△BFE=（38﹣X），可列出方程：（ 38﹣ X） +3X=65 ，解方程，得：x=10 ，所以 S△ADG=10×（ 1+3 ）=40 ．故答案为： 40．点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．。
奥数专题—多边形的面积(分类编辑,题型全,资料详细)
随堂精练：
1、如图，六边形 ABCDEF 的面积是 16 平方厘米，M，N，P，Q 分别是 AB，CD，DE，AF 的中点，求图中阴影部分的面积。
2、如图，平行四边形的面积为 50 平方厘米，P 是其中任意一点，求阴影部分面积。
3、如图，正方形的边长是 6 厘米，E、H 是所在边的二等分点，F、G、L、M 是所在边 的三等分点，求阴影部分的面积和。
2
米
2米
8米
16米
3、有 10 张长 3 厘米，宽 2 厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么 这 10 张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？
课堂精讲④
下图是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 (单位：厘米)
5 8
20
随堂精练：
1、两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积。
2、平行四边形 ABCD 的边长 BC=10 厘米，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘米，已知 阴影部分的面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米。求 CF 的长。
3、正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求： （1）三角形 DEF 的面积。 （2）CF 的长。
A D
O
B
3
2
E
2、右图中甲的面积比乙的面积大多少平方厘米？C F4厘米源自乙甲 6厘米8厘米
3、如图所示，CA=AB=4 厘米，△ABE 比△CDE 的面积小 2 平方厘米，求 CD 的长为多少 厘米？
D
C
E
A
B
课堂精讲⑤
下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
随堂精练：