1921_正比例函数[1-5]
正比例函数ppt课件
当k>0时，图像位于第一象限和 第三象限；当k<0时，图像位于
第二象限和第四象限。
正比例函数的情势
正比例函数的一般情 势为y=kx，其中k是 比例常数。
当x=0时，y=0，这 是正比例函数图像上 的一个重要点。
当k>0时，y随x的增 大而增大；当k<0时 ，y随x的增大而减小 。
正比例函数的图像
05 练习与问题解答
CHAPTER
基础练习题
总结词：理解正比例函数 的定义和性质
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是正比例函数？
正比例函数的图像是怎样 的？
详细描写
正比例函数的一般情势是 什么？
正比例函数有哪些性质？
进阶练习题
总结词：掌握正比例函数的解析式和图像变换
01
02
详细描写
如何确定正比例函数的解析式？
03
04
如何通过平移得到正比例函数的图像？
在经济中的应用
收入与工作量的关系
价格与需求量的关系
在一定范围内，工资与工作量成正比 ，即收入 = 基本工资 + 计时工资 × 工作量。
在供需平衡下，价格与需求量成正比 ，即需求量 = 价格 / 边际效用。
成本与产量的关系
在规模经济下，单位产品的成本与产 量成反比，即成本 = 固定成本 + 可 变成本 / 产量。
在日常生活中的应用
身高与体重的关系
一般来说，身高越高的人体重也越重，但这并不是严格的正比关 系。
光照强度与植物生长的关系
在适宜的光照条件下，植物的生长速度与光照强度成正比。
药物剂量与疗效的关系
在一定范围内，药物剂量越大，疗效越好，但这也不是绝对的，需 要斟酌到副作用和个体差异等因素。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
正比例函数概念
正比例函数概念正比例函数是指，当自变量x的值增大或减小时，因变量y的值也相应地增大或减小，并且这个变化的比率保持不变的函数关系。
也就是说，x和y之间的关系是线性的，比例系数是固定的。
一般来说，正比例函数可以用以下公式来表示：y = kx其中，k是一个常数，称为比例系数。
它代表着在x变化一个单位时y所发生的变化量。
当x为0时，y也为0，因此k可以看作是y和x的一个比率，也就是斜率。
斜率在图象上对应着我们常说的坡度，是图象上的一条直线的倾斜程度。
正比例函数在图象上呈现为直线，通过原点，斜率为正数（因为k是正数），没有y截距，比例系数越大，斜率越大，函数变化越快，图象越陡峭。
正比例函数广泛应用于各类实际问题中。
例如，当一项物品的价格与售出数量相乘的结果是固定的时候，我们就可以设置一个正比例函数来描述它们之间的关系。
同样，当时间和路程之间的关系是正比例的时候，我们也可以采用正比例函数来描述出这种变化。
正比例函数在实际问题中的应用非常广泛，比如：1. 温度和热量之间的关系：当一定量的热量传递到一个物体时，它的温度上升的程度与这个物体的质量成正比例。
2. 旅行时间和距离之间的关系：当旅行速度恒定时，旅行时间与距离成正比例。
3. 平均速度和路程之间的关系：当速度恒定时，平均速度与路程成正比例。
4. 面积和边长之间的关系：当一个物体的长和宽比例不变时，面积与边长平方成正比例。
5. 人数和所需物品数量之间的关系：当需要多少物品来满足一定数量的人时，这两者成正比例关系。
正比例函数的概念可以帮助我们更清晰地理解许多实际问题中变量之间的关系。
通过数学上的研究和分析，我们可以更好地找到解决这些问题的方法。
1921正比例函数11113101635.doc
19.2.1正比例函数（1）教学目标：1、理解正比例函数的概念。
2、经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力。
重难点：正比例函数的概念复习1、什么是单项式？系数？次数？2、什么是函数？有哪几种表示方法3、如果速度一定，路程与时间成什么关系？如果用v 表示速度， s，t分别表路程和时间，你能写出这个关系式吗？你还能举出生活中成正比例关系的例子吗？正比例关系两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系思考： 1、如果用 x 和 y 来表示这两个相关联的量，用k 来表示它们的比值，那么 Y 与 X 成正比例就可以表示为？这个比值k 可以取哪些值？2、两个成正比例关系的量:y/x=k（一定），请问： y 是 x 的函数吗？如果是，用解析式怎样表示？那它又是什么函数呢？活动一：引入概念：2011 年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题 :(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时 (结果保留小数点后一位)?1318 ÷ 300≈ 4.4(h).(2)京沪高铁列车的行程y(单位 :km)与运行时间 t(单位 :h)之间有何数量关系 ?从函数的观点看，京沪高铁列车的行程y（单位： km）是运行时间 t（单位： h）的函数吗？能写出解析式和自变量的取值范围吗？y=300t. (t≥0)(3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后,是否已经过了距始发站 1100km 的南京南站 ?y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100km 的南京南站思考：1.y=300t 中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的?活动二：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l 随半径 r 的大小变化而变化l= 2πr.3(2)铁的密度为 7.8 g/cm ,铁块的质量 m(单位 :g)随它的体积 V(单位 :3cm )的大小变化而变化 ;m = 7.8V.(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n 的变化而变化 ;h=0.5 n.(4)冷冻一个 0 ℃物体 ,使它每分下降 2 ℃ ,物体的温度 T(单位 : ℃)随冷冻时间 t(单位 :分)的变化而变化 .T=- 2t.认真观察以上出现的五个式子（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？（3）这 5 个函数表达式有何共同特征？请你用语言加以描述．形成概念：1.如果我们把这个常数记为 k，你能用数学式子表达吗？ y=kx?2.对这个常数 k 有何要求呢？为什么？ k≠0?3. 请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如y=kx(k ≠0) 的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数。
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数
正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
正比例函数课件
解析式的变换
解析式的形式：y=kx
x的取值：自变量的取值
添加标题
添加标题
k的取值：正比例函数的斜率
添加标题
添加标题
y的取值：因变量的取值
07
正比例函数的综合应用
在实际问题中的应用
速度、时间、距离问题 利润、成本、收入问题 面积、体积、容积问题 增长率、百分比问题
在数学问题中的应用
比例问题：利用正比例函数解决 比例问题，如浓度、密度、速度 等
函数可以用解析式、图像、表 格等方式表示
函数的定义域和值域是函数的 两个基本要素
函数的不同表示方式之间可以 互相转化
函数的表示方法
解析式表示法： 用数学符号表
示函数关系
图像表示法： 用图形表示函
数关系
列表表示法： 用表格表示函
数关系
单位圆中的三 角函数线表示 法：用单位圆 中的三角函数 线表示正弦、 余弦、正切函
细胞分裂：当一个细胞分裂时，它的数量增长可以描述为正比例函数，即 每个细胞分裂成两个细胞，数量翻倍。
匀速直线运动：在物理学中，匀速直线运动的速度与时间的关系可以用正 比例函数表示。
在数学中的实例
速度与时间的关系
距离与速度的关系
面积与边长的关系
体积与边长的关系
在物理中的实例
自由落体运动的位移与时间 击添加副标题
汇报人：PPT
目录
01 03 05 07
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02
正比例函数的概念
04
正比例函数的应用
06
正比例函数的综合应用
函数的概念 正比例函数的图像 正比例函数的解析式
01
添加章节标题
02
函数的概念
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y
第一课时
0
x
七星中学 八年级132班 授课教师：陈自先
P86•
问题1: 2011年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考 虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到 终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保 留小数点后一位）？
（1）正方形的边长为xcm,周长为ycm y=4x
（2）某人一年的月平均收入是xcm,他 这年（12个月）的总收入为y元
y=12x
(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm，高 为xcm,体积为ycm3 y=3x
19.2.1 正比例函数
y
第二课时
0
x
七星中学 八年级132班 授课教师：陈自先
P87•例1 画正比例函数 y =2x 的图象
解：1. 列表 2. 描点 3. 连线y y=2x
x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 …
5
4
3 2
y=1/133x
x … -3 -1 0 1 3 …
1
x
y -1 -1/3 0 1/3 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1
-2
-3
-4
例2:画函数y=-4x和 y=-1.5●x 的图象P88
是什么关系？
解：京沪高铁列车的行程y与运行时间t的函 数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4)
P86•问题1: 2011年开始运营的京沪高速铁路全
长1 318 km. 设列车的平均速度为300 km/h．
考虑以下问题：
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的
行程 y（单位：km）是运行时间 t（单位：h）
解：1. 列表 2. 描点 3. 连y线
x . . . -1 0 1 . . .
4
y . . . 4 0 -4 . . .
3
2
x . . . -1 0 1 2 -2 . . .
1
x
y . . . 1.5 0 -1.5 -3 3 . . . -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
随堂练习 画出正比例函数 y 2x ,
这里为什么强调k是常数， k≠0呢？
正比例函数y=kx的结构特征： 勤学
好问
①k≠0 ②自变量x的指数为1
③一般情况下，自变量的取值范围是任意 实数，函数值的取值范围也是实数
做一做 P87• 1.下列函数是否是 正比例函数？比例系数是多少？
(1) y=-0.1x 是，比例系数k=-0.1.
(2) y=0.5x 是，比例系数k=-0.5.
的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写 出自变量的取值范围吗？
P86•
问题1: 2011年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考 虑以下问题： （4）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后， 是否已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
解：京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时的行程 就是t=2.5时函数y=300t的值为： y=300×2.5=750(km)
01
x
01
x
k
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是经过
原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。
课堂小结：
名称 解析 图像特征 图像 图像 函数 情况
式
分布 分布 变化
k>0 k<0 k>0 k<0
正比 y=kx 是经过原 一、 二、 y随x y随x增
例函 (k≠0) 点（0,0） 三象 四象 增大 大而
①这个问题中得到的函数解析式有什么特点？
②函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
P86•写出下列问题中的函数关系式
(1)圆的周长 l 随半径r的大小变化而变
化；
(1)l 2r
(2)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质
量m（单位：g）随它的体积v（单位：
cm3)大小变化而变化；
(2)m=7.8v
的图象？
y
y=2x
y 2x
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2Leabharlann -3-4-5
y 2x
随堂练习 画出正比例函数 y 1 x , y 1 x
的图象？
y
2
2
5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
12 3 4 5
y1x 2
函数解析式 常数 自变量 函数
（1）l = 2πr
2π
r
l
（2）m = 7.8 V 7.8
V
m
（3）h = 0.5 n 0.5
n
h
（4）T = －2 t
－2 t
T
这些函数有什 么共同点？
这些函数都是 常数与自变量 的乘积的形式, 且自己变量的 指数是1。
一般地，形如y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数， 其中k叫做比例系数．
解：京沪高铁列车全程运行时间约需： 1318÷300≈4.4 (h)
P86•
问题1: 2011年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考 虑以下问题：
（2）如果从小学学习过的比例观点看，列车
在运行过程中，行程 y（单位：km）和运行 时间 t（单位：h）
x
y1x 2
y
y 3x
y x
y 1 x 3
1
01
y 2x yx
y1x 3
x
正比例函数y= kx (k≠0)的图象有 什么特征和性质？
P89•经过原点 (0,0)和点(1,k) 的直线是哪个函数的
图象？通画正比例函数的图象有无简便的办法？
y y= kx (k＞0) y= kx y
(k＜0) k
数
和（1，k） 限 限 而增 增小
的一条直
大(上 (下坡，
线
坡， 是减
是增 函数）
函数）
经典：
P87•
写出下列问题中的函数关系式
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些 练习本摞在一起的总厚度 h随这些练
习本的本数n的变化而变化；
(3)h=0.5n
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻 时间t（单位：分）的变化而变化.
(4)T=-2t
认真观察以上出现的四个函数解析式， 分别说出哪些是常数、自变量和函数．
(3) y=2x2 不是.
(4) y2=4x 不是.
P87•变式 1.下列函数中哪些是正比例函数？
（1）y =2x
是
（2）y = x+2
不是
（3）y x 是 3
（5）y=x2+1
不是
（4）y
3 x
不是
（6） y 1 1
2x
不是
P87•
2.列式表示下列问题中的y与x的函数关 系式，并指出哪些是正比例函数