高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数(沐风教育)
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一 ) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ ab 同号）当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。
之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。
1(二 ) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当 x>0 时，。
当 x<0 时，。
即对勾函数的定点坐标：(三 ) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四 ) 对勾函数的单调性y(五 ) 对勾函数的渐进线O Xy=ax由图像我们不难得到：(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在 a0或b0时为简单的单调函数，不予讨论。
一次函数、正比例函数、反比例函数
1、正比例函数 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.正比例函数的图像经过（ 0,0 ）和（1,k）的一条直线2、一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次（x的指数是1）函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函数是特殊的一次函数.一次函数的图象）和经过（0，b两点的一条直线35、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.6、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b）7、反比例函数（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成8、反比例函数的图像是双曲线轴对称图形（对称轴是或）9、反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
10、反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大练习（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（ ）A．0 B．1 C．±1 D．－1（3）当m=_______时，函数是一次函数.（4）.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）（5）一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。
（6）直线y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是_________。
（7）如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是 。
（8）直线y=kx＋b过点A（－2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求直线y=kx＋b的解析式．分析： 由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求得点B(0，3)或(0，－3)，此题直线与y轴交于B点有两种不同情况，即B点在y轴正半轴或B点在y轴负半轴．注意分类讨论求解直线的解析式．题型一、待定系数法求解析式（1）如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
对勾函数介绍
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，当且尽当时取等号 ，此时。
当x<0时，当且尽当时取等号 ，此时。
(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨X函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
最新正比例函数、一次函数、反比例函数知识点总结教学文案
学习资料正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象、一次函数的性质和图象：概念：一般地，形如y=kx+b(k , b是常数，且k z0 的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>0,则图象过_________________________ 象限②k>0,b<0,则图象过_________________________ 象限当k>0时，y随x的增大而__________________________③k<0,b>0,则图象过______________________ 象限④k<0,b<0,则图象过______________________ 象限当k v 0时,y 随x的增大而___________________________________三、反比例函数性质和图象：1. ______________________ 定义：形如 (k为常数，k z0的函数称为反比例函数。
其他形式________________________________________________________2. 图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
，在每个象限内y，在每个象限内y一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如___________ (k是常数，且k z0的函数，叫做正比例函数。
当k>0时，图象过_________________象限；y随x的增大而_________________________________。
3. _________________________________________________ 性质:当k >0时双曲线的两支分别位于_______________________________________值随x值的增大而减小。
当k v0时双曲线的两支分别位于____________________4. |k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
对勾函数图象性质
4. 若 x>0. 求 y 3x 2 的最小值 x
5.已知函数 y x2 2x a (x [1,)) x
（1） 求 a 1 时，求f (x)的最小值 2
(2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
(3) a 0,b 0
(4) a 0,b 0
设 y1 ax ， y2
b x
，则
y
y1
y2
ax
b x
，其定义域为
x | x R,且x 0
(1) a
0, b
0
时，
y1
ax
，
y2
b x
在 (,0),(0,)
上分别单调递增。
故
y
y1
y2
ax
b x
在 (,0),(0,)
为单调递增函数。
(2) a
f(x)=ax+b/x）。 当 a≠0，b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x
“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y＝ax 与双曲线 y= b/x 构成，形
对勾函数图象性质
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
一、对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总 喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+ （接下来写作
对勾函数
对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
正、反比例函数的图像和性质
图像形状
反比例函数的图像是两条 关于原点对称的双曲线， 分别位于第一、三象限和 第二、四象限。
图像趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负 无穷时，$y$ 趋近于 0； 当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 趋近于无穷大。
图像与坐标轴关系
反比例函数的图像与坐标 轴没有交点，即不经过任 何象限的角平分线。
反比例函数性质分析
正比例函数性质分析
01
02
03
比例性
正比例函数中，$y$ 与 $x$ 成正比，即当 $x$ 增 大时，$y$ 也随之增大； 当 $x$ 减小时，$y$ 也随 之减小。
直线性
正比例函数的图像是一条 直线，因此具有直线性， 即函数值的变化是均匀的 。
过原点性
正比例函数的图像经过原 点，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
函数的对称性
如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有对称性。例如，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像关于直 线$x=-frac{b}{2a}$对称。
02
正比例函数图像与性质
正比例函数定义及表达式
定义
正比例函数是形如 $y = kx$ （ $k$ 为常数，且 $k neq 0$）的 函数。
反比例函数图像
反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像是两条分别位于第一象限 和第三象限的双曲线。这两条曲线关 于原点对称，且随着 $x$ 的增大， $y$ 逐渐减小并趋近于 0。
性质异同点分析
相同点
正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的，即它们都是奇函数。
不同点
正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是双曲线；正比例函数的值随着 $x$ 的增大而增大， 而反比例函数的值随着 $x$ 的增大而减小。
对勾函数(目前最全面的版本了吧)
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。
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常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数
1．正比例函数
如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线
一次函数的性质
当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果)0,(≠=k k x
k
y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质
当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()b
f x ax x
=+的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：
当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）
a>0 b>0 a<0b<0
对勾函数的图像（ab 同号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
（2）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：
（3）对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
（4）对勾函数的单调性
（5）对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到：
对勾函数的图像（ab异号）
y
X
O
y=ax
（6）对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数，。