高中数学：对勾函数“的图象和性质
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及运用一、对勾函数by ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当bx a =取等号）,即)(x f 在x=ab时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab）,（ab -∞-,）,减区间是（0,ab ）,（ab -,0）二、对勾函数的变形情势类型一：函数by ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=ab 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,ab ）,（ab -,0）减区间是（∞+,a b）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）. ②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）. 类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为bx c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x ax x f此类函数可变形为kk x ak x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与xx x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值ba2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值ba 2-,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a 25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214xa x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a mx c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ,则)(x f 可由对勾函数x tax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位. 2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax mx x f演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(.此类函数可变形为尺度情势：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值;2．求函数15)(++=x x x f 的值域;3.求函数32)(++=x x x f 的值域 类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f .此类函数可变形为尺度情势：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一 ) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ ab 同号）当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。
之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。
1(二 ) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当 x>0 时，。
当 x<0 时，。
即对勾函数的定点坐标：(三 ) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四 ) 对勾函数的单调性y(五 ) 对勾函数的渐进线O Xy=ax由图像我们不难得到：(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在 a0或b0时为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数的图像及其性质课件
在证明某些不等式时，可以利用对勾函数的单调性、奇偶性等性质进行推导。例如，在证明与根号相关的不等 式时，通过构造函数并利用对勾函数的性质，可以更加简洁地证明不等式。
数列求和与极限计算
数列求和
对勾函数在数列求和中也有广泛应用。例如，在某些含有根 号的数列求和问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转化 为等比数列或等差数列求和，从而简化计算过程。
极限计算
在求解某些极限问题时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以利用对勾函数的连续性、可导 性等性质进行推导。通过构造函数并利用洛必达法则等工具 ，可以更加便捷地求解极限问题。
积分变换与微分方程求解
积分变换
对勾函数在积分变换中也有重要作用。例如，在某些含有根号的积分问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转 化为更易于求解的形式。此外，对勾函数还可以用于构建某些特殊的积分公式，为积分计算提供便利。
对勾函数拟合
利用对勾函数对需求数据 进行拟合，得到需求曲线 方程。
预测未来需求
基于拟合得到的需求曲线 方程，预测未来不同价格 水平下的需求量。
供给曲线建模与预测
供给分析
收集历史数据，分析生产 者在不同价格水平下愿意 提供的商品或服务的数量 。
对勾函数拟合
利用对勾函数对供给数据 进行拟合，得到供给曲线 方程。
单调性与增减性
单调性
对勾函数在其定义域内不是单调函数。它在某些区间内是增函数，而在另一些区 间内是减函数。
增减性
具体来说，当x从负无穷大增加到0时，对勾函数从0增加到正无穷大；当x从0增 加到正无穷大时，对勾函数从正无穷大减少到0。因此，对勾函数在x=0处达到 极大值。
凸凹性与拐点
凸凹性
对勾函数在其定义域内既不是凸函数也不是凹函数。它在某些区间内是凸函数 ，而在另一些区间内是凹函数。
对勾函数详细分析教学指导
对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。
此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。
对勾函数图象性质
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
高中数学-对勾函数的图象与性质
对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。
的图象与性质(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误!未找到引用源。
当x<0时，错误!未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。