对勾函数(图像及概念)
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不显现，但考试总喜爱考的函数，因此也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一样函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x组成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”。
如以下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的转变。
可是，咱们仍然能够看做是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一样地，咱们以为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只只是它的核心和渐进线的位置有所改变算了。
接下来，为了研究方便，咱们规定a>0，b>0。
以后当a<0，b<0时，依照对称就很容易患出结论了。
(二)对勾函数的极点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式能够取得：当x>0时，。
对勾函数的图像（ab异号）当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(一) 对勾函数的概念域、值域由（二）取得了对勾函数的极点坐标，从而咱们也就确信了对勾函数的概念域、值域等性质。
(二) 对勾函数的单调性(三) 对勾函数的渐进线由图像咱们不宝贵到：(四) 对勾函数的奇偶性对勾函数在概念域内是奇函数， 利用对勾函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 一、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
解：令322++=x x t ，那么22)1(2≥++=x t t t t t y 112+=+= 依照对勾函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数的图象及性质
对勾函数一、定义对勾函数是由两个幂函数相加得到的，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其标准形式为f(x)=ax+（其中ab>0）。
由于函数图像形似两个中心对称的对勾，因此得名“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。
在许多情况下，为了简化分析，常取a=b=1，即函数形式为f(x)=x+。
研究初等函数的一般路径，背景—概念—图象—性质—应用二、图象及性质图像特征：1、对勾函数的图像是分别以y 轴和直线y=ax 为渐近线的两支曲线。
2、图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。
3、函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且关于原点呈中心对称。
定义域：，即除了x=0外，所有实数都是其定义域内的元素。
值域：。
单调性：函数在(−∞,−1)∪(1,+∞)上单调递增，在(1,0)∪(0,1)上单调递减。
奇偶性：对勾函数是奇函数，即满足f(−x)=−f(x)。
x 122严禁复制三、题型1、基础计算题给定对勾函数表达式，求函数在特定点的值或特定区间的最值。
2.、图像结合题根据对勾函数的图像，判断函数在哪些区间内满足特定条件（如大于某值、小于某值）。
利用图像分析函数与直线、其他曲线的交点情况。
3.、综合应用题求最值问题：利用对勾函数的性质，可以快速求解形如ax+（ab>0）的函数的最值问题。
不等式证明：在不等式证明中，对勾函数的性质也常被用来进行放缩或构造反例。
实际问题建模：在某些经济学问题中，如成本分析、收益最大化等，也可能涉及到对勾函数的应用。
4、参数变化分析：探讨参数a 和b 变化时，对勾函数图像和性质的变化规律。
5、复杂函数组合将对勾函数与其他函数（如二次函数、指数函数等）组合，分析新函数的性质和应用。
四、解题步骤1、对勾函数求最值问题的解题步骤（1）理解函数形式确认函数f(x)=ax+的形式，注意a 和b 都是正数且不相等。
换元法之对勾函数(双飘函数)模型
再次换元 （注意范围）
t
x
4
1
,
S
3 2
( x2
2x x
1)
3 2
(x
1 x
2)
Hale Waihona Puke 8y= x 1 在（3，+∞)为增函数，
x
头重脚轻分式，
S 8
对勾模型
三、高考真题
3 1
三、高考真题
43
四、课堂小结与作业布置
（一）课堂小结
1.对勾函数和飘带函数模型是高考的热门考点，一般这种题型用换元法来处理，再进一步转化用对勾函数图像性 质或基本不等式处理.
复合型
y
ax
1 ax
(
y
ax
ax
)
为偶函数）
③单调区间：当a>0,b>0时单调递增区间： ,
b a
，
b a
,
，单调递减区间：
ba，0
，
0，
b a
；
当a<0,b<0时单调递增区间： ba，0
④值域：, 2 ab 2 ab,
，当且仅当
ax
b x
，即
，0，ba
x b a
，单调递减区间： ,
微专题：
双飘函数
一、对勾函数的性质与图像
对 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“对勾函数”、“耐克函数”；
对勾函数是形如
f (x) ax b x
（ ab 0 ）的函数，常见
y
x
4 x
，
y 2x 3 x
；
对勾函数考点：①定义域： ，0，0， ； ②奇偶性：奇函数；（
对勾函数,
对勾函数，不学但又必考！2016-02-22mxb08来源阅984 转51小数老师说对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，一般会单独考察或与圆锥曲线结合考察，也就是在圆锥曲线求取值范围时会应用对勾函数的性质求解。
一、对勾函数的概念与图像形如的函数，因为其图像类似于平时的对勾，因此称这种函数为对勾函数，图像见下图。
当a>0,b>0时，当a<><>时，当a,b异号时，函数不是对勾函数，关于此时函数的图像与性质，有机会小数老师再向大家介绍。
二、对勾函数的性质（下面我们只研究a>0,b>0时的情况，其他情况可以根据函数的对称性进行研究。
）1，定义域与值域：很明显，定义域是；下面研究值域，对于值域的研究，有多种方法，下面小数老师介绍最常用的——均值定理当x>0时，，当且仅当时，等号成立，此时；当x<>时，，因为x<>，所以-a>0，所以，即，当且仅当时，等号成立，此时；所以此函数的值域是：2，顶点：由（1）可得，两顶点坐标为：3，单调性：对于函数单调性的判断，可以利用导数法或者定义法，下面小数老师采用导数法。
令f’(x)=0，所以xf’(x) + - - +f(x) 单调递增单调递减单调递减单调递增4，奇偶性：很明显，函数f(x)是奇函数。
5，渐近线：通过图像，我们可以看到，对于函数f(x)，有两条渐近线，y=ax,y=0函数与这两条直线无限接近，但永不相交。
三、例题对勾函数具有以下性质：当x≥1时，y随x增大而增大，如：2≤x≤4，那么当x=2，y有最小值2+ （1/2）=5/2；当x=4时，y有最大值为4+（1/4）=17/4.请根据上述材料，完成以下问题：（1）当3≤x≤5时，求函数的最大值和最小值；（2）0≤x≤2时，求函数的最大值和最小值。
对勾函数知识点总结
对勾函数知识点总结对勾函数是一种常见的数学函数，也被称为Kronecker delta函数。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对对勾函数的定义、性质和应用进行总结。
一、对勾函数的定义对勾函数是一个二元函数，通常用符号δ(i,j)表示。
它的定义如下：当i=j时，δ(i,j)=1；当i≠j时，δ(i,j)=0。
简单来说，对勾函数在i=j时取值为1，在i≠j时取值为0。
这个函数的定义看起来很简单，但它在实际应用中有着重要的作用。
二、对勾函数的性质1. 对勾函数是对称的，即δ(i,j)=δ(j,i)。
2. 对勾函数满足线性性质，即对于任意的实数a和b，有δ(i,j)=aδ(i,j)+bδ(i,j)。
3. 对勾函数在矩阵运算中有着重要的作用。
例如，对于一个n阶方阵A，可以定义一个n阶单位矩阵I，其中I(i,j)=δ(i,j)。
这样，矩阵A和I的乘积就等于A本身。
三、对勾函数的应用1. 矩阵运算对勾函数在矩阵运算中有着广泛的应用。
例如，在线性代数中，可以使用对勾函数来定义矩阵的转置、逆矩阵等运算。
2. 离散信号处理对勾函数在离散信号处理中也有着重要的应用。
例如，在数字信号处理中，可以使用对勾函数来表示离散时间信号的采样。
3. 物理学对勾函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，可以使用对勾函数来表示量子态之间的内积。
对勾函数是一种非常重要的数学函数，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
对勾函数的定义、性质和应用都需要我们深入学习和掌握。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性对勾函数的图像（ab异号）(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明： 1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+=根据对号函数t t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数
对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
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对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=a
b
的时候。
同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。
令k=a
b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。
由单调区间可见，它的变化趋势是：在y 轴左边，增减，在y 轴右边，减增，是两个勾。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，(a-b)2≥0，展开就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到(a+b)2≥4ab ，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2ab 。
现在把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x≥2x ab ＝2ab ，这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=a
b ，对应的f(x)=2ab 。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥ab ，前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。
举几个例子：
x 1=x-1，4/x2=4x-2。
明白了吧，x 为分母的时候可以转化成负指数幂。
那么就有f(x)=ax+x
b =ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=
a b ，如果需要的话算出f(x)就行了。
平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。
不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x ，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。
如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。
当x>0时，f(x)=ax+b/x 有最小值。