矩阵分析习题
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、 已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
矩阵分析 习题
114试证1-1412kkm nn m××试证：tr tr ()(),,,1,2,AB BA A CB Ck =∈∈=证：mn⎛n mtr 11()ik ki i k AB a b ==⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑=tr 11()jl lj j l b a BA ==⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑()tr tr ()())kAB ABAB A B = ()=tr tr ()()kB ABAB A BA =证明22设，证明：阶矩阵0ε≠n ⎡2-21a ⎤⎢⎥ a ε⎡⎤⎢⎥ 1a A ⎢⎥=⎢⎥⎥ a B ε⎢⎥=⎢⎥⎥ 与a ⎢⎣⎦a ⎢⎣⎦相似。
121()()()1,n D D D λλλ−=== ()()nn D a λλ=−n 阶矩阵2-31a ⎡⎤1a ⎡⎤a A ⎢⎥⎢⎥=⎥ 与a B ⎢⎥⎢⎥=⎥1⎢⎢⎥ 1⎢⎢⎥a ⎣⎦a ε⎣⎦不相似。
=== n =−0ε≠121:()()()1,n A D D D λλλ−()()n D a λλ()()nn D a λλ≠−121:()()()1,n B D D D λλλ−===27(4)求方阵308⎡⎤⎢⎥2-7(4)316205A =−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦的Jordan 标准形及其相似变换矩阵。
P 解：首先用初等变换法求其Jordan 标准形：308100λλλ−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥2316010205001()I A λλλ−=+−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦A 故的初等因子为21,(1)λλ++从而的Jordan 标准形为A ()100−⎡⎤⎢⎥−011001J =⎢⎥−⎢⎥⎣⎦再求相似变换矩阵：则−设所求矩阵为，则，按列分块记为P 1P AP J =P =[]123,,P X X X于是有123123,,,,AP A X X X AX AX AX ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦100−⎡⎤123011001,,PJ X X X ⎢⎥==−⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥−1223,,X X X X ⎣⎦=−−−⎡⎤⎣⎦从而可得1122323,,AX X AX X AX X X =−=−=−整理以后可得三个线性方程组整以后可得个线性方程组1()0I A X +=2()0I A X +==32()I A X X +前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的个基础解系T T==−一个基础解系：[][]120,1,0,2,0,1αα可以取，但是不能简单地取这11X α=,X α=是因为如果选取不当，会使得第三个非齐次线性方程组无解。
矩阵分析课件8章习题
3 2 2 | 1 0 0 0 4 1 | 1 3 / 2 0 1 0 0 | 2 / 3 1/ 6 1/ 3 2 4 2 | 0 1 0 1 2 1 | 0 1 / 2 0 0 1 0 | 1 / 6 5 / 12 1 / 6 2 2 3 | 0 0 1 0 2 1 | 0 1 1 0 0 1 | 1/ 3 1/ 6 2 / 3
1/ 2 1/ 4 P 1/ 2 1/ 4 , 1 0 7 / 4 Q 0 1 1/ 4 0 0 1
由此求得
A
1 0 7 / 4 1 E2 1 Q P 0 1 1 / 4 0 Y 4 1 0 0 y1
补充题#8*4完成定理8.2.1的证明
定理8.2.1:设ACrmn,A=BC为满秩分解,则 A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B* 是A的一个加号逆
证:直接验证 AA+A=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=BC=A A+AA+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BCC*(CC*)-1(B*B)-1B* =C*(CC*)-1(B*B)-1B*=A+ AA+=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=B(B*B)-1B* 和 A+A=C*(CC*)-1(B*B)-1B*BC=C*(CC*)-1C 都是Hermite矩阵
0 2 7( y1 y2 ) / 2 1 7( y1 y2 ) / 4 2 1 1 1 2 ( y y ) / 2 1 ( y y ) / 4 1 2 1 2 2 1 4 2( y y ) y2 y1 y2 1 2
波士顿矩阵案例及习题
波士顿矩阵案例及习题1波士顿矩阵波士顿矩阵BCG Matrix, 又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、分析法、产品系列结构管理法等,是由着名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法.这种方法以发展率和相对市场份额为坐标,将企业业务分为：明星业务、奶牛业务、瘦狗业务和问题业务四种.这种方法的核心在于,要解决如何使企业的产品品种及其结构适合市场需求的变化,只有这样,企业的生产才有意义.同时,如何将企业有限的资源有效地分配到合理的产品结构中去,以保证企业收益,是企业在激烈竞争中能否取胜的关键.它用来帮助管理层实现他们对多种产品的组合进行分析,以提高企业整体的财务业绩. 两个指标的计算：市场增长率＝本期的销售额－上期的销售额÷上期的销售额高低分界点无绝对的标准市场份额是指一个企业的产品或者服务在特定市场中的销售收入占所有在这个市场中销售收入总额的百分比.相对市场份额能够通过比率来评估,同最大竞争者的市场份额进行比较.相对市场占有率＝本企业某产品的市场占有率÷该产品最大竞争对手的市场占有率以1为高低分界点产品1：20%÷40%=产品2：20%÷10%=2波士顿矩阵的纵坐标表示产品的市场增长率,横坐标表示本企业的相对市场份额.根据市场增长率和市场份额的不同组合,可以将企业的产品分成四种类型：明星产品、金牛产品、问号产品和瘦狗产品.一个企业的所有产品,都可以归入这四种类型,依据其所处的地位采取不同的战略.明星产品.双高产品明星产品代表在高增长的市场中占有高份额.市场占有率高使得产品可以获得较多利润和营业现金流入；市场增长率高使得产品具有投资价值,短期需要资本投入超过产生的现金,以便保持它们的市场地位,但是未来会带来高额的回报.市场份额有足够大的开发机会,但高增长率将吸引新来者或竞争者.因此,必须再次大量投入现金以维持企业现有的地位并加以巩固.此时,明星产品需要的现金流量和产生的现金流量都很大,两者相抵净现金流量很小.明星产品要发展成为金牛产品适合于采用成长战略建设.金牛产品.市场增长率较低而市场占有率较高的产品较高的市场占有率使得产品具有较多的利润和营业现金流入；市场增长率低使之继续投资的价值有限,投资的现金需求小.因此,金牛产品会创造大量的净现金流入.对于金牛产品,首选的战略是巩固市场份额,尽量延长获取大量现金流入的时间.金牛产品适合采用稳定战略持有或在虚弱的时候收获.,目的是保持业务战略单位的市场份额.问号产品.市场增长率较高而市场占有率较低的产品市场增长率高——具有投资价值,需要大量进行投资；市场占有率低——产品盈利性不好,营业现金流入较少.因此,问号产品的净现金流量是负数.对于问号产品,首选的战略扩大市场占有率,大力投资使其转变为明星产品.如果失去转变的希望,则应及时退出.很艰难的选择,进退维谷.所用的战略是建设或收获.瘦狗产品.双低产品市场占有率低——盈利水平低,只有很少的营业现金流入.市场的增长率低——不具追加投资的价值.为了扩大市场占有率继续投资,往往得不偿失,成为资金的陷阱.首选的战略是控制成本,获取最后利润.如果不能维持盈利状态,剩下的选择是退出或清算.对瘦狗产品来说所用策略是剥离或者持有.2案例分析宝洁公司简介宝洁公司Procter & Gamble,简称P&G,是一家美国消费生产商,也是目前全球最大的日用品公司之一.总部位于美国俄亥俄州辛辛那堤,全球员工近110,000人.2008年,宝洁公司是世界上市值第6大公司,世界上利润第14大公司.他同时是财富500强中第十大最受赞誉的公司.在全球80多个国家设有工厂及分公司,所经营的300多个品牌的产品畅销160多个国家和地区.其产品包括洗发、护发、护肤用品、化妆品、婴儿护理产品、医药、食品、饮料、织物、家居护理及个人清洁用品.1987年,自从宝洁公司登陆中国市场以来,在日用消费品市场可谓是所向披靡,一往无前,仅用了十余年时间,就成为中国日化市场的第一品牌在中国,宝洁旗下共有六大洗发水品牌,二十多个系列,包括飘柔、潘婷、海飞丝、沙宣洗发护发系列、润妍、伊卡璐等洗发护发用品品牌.宝洁公司的企业文化由企业愿景,企业精神,企业使命共同构成.企业愿景是亲近和美化人们生活；企业精神是创新,团队；企业使命是提供名优产品,真正改变客户的日常生活.宝洁洗发系列产品波士顿矩阵分析和占有率,强势品牌特征非常明显,占绝对优势.而且拥有了稳定的顾客群,这类产品可能成为企业的奶牛产品,因而需要加大投资以支持其迅速发展.第二、奶牛产品--飘柔、海飞丝.上述两个产品低销量增长率,相对市场占有率高,已进入成熟期.可以为企业提供资金,因而成为企业回收资金,支持其他产品尤其明星产品投资的后盾.第三、问题产品--伊卡璐.伊卡璐是宝洁为击败联合利华、德国汉高、日本花王,花费巨资从百时美施贵宝公司购买的品牌,主要定位于染发,此举为了构筑一条完整的美发护法染发的产品线.宝洁的市场细分很大程度不是靠功能和价格来区分,而是通过广告诉求给予消费者不同心理暗示.把它定位问题产品,主要是它“出生”的较其他洗发产品晚,市场占有率低,产生的现金流不多.但是公司对它的发展抱有很大希望.第四、瘦狗产品--润妍.该品牌销售增长率低,相对市场占有率也偏低,采用撤退战略,首先应减少批量,逐渐撤退,对那些销售增长率和市场占有率均极低的产品应立即淘汰.其次是将剩余资源向其它产品转移.第三是整顿产品系列,最好将瘦狗产品与其它事业部合并,统一管理.明星业务组合转移分析宝洁中国行销十年,占据中高端市场的60%市场份额 ,堪称中国奇迹,也是全球奇迹.但是宝洁的优势集中在一般零售通路,对于专业通路美容美发宝洁一直没有特定品牌经营.中国市场由于美容美发院洗发价格便宜,女性在美发沙龙洗发的频率高于全世界水平沿海发达城市市场存在巨大潜力.中高端专业通路当时威娜德国品牌独大,市场占有率超过50%.而全球知名专业品牌欧莱雅当时并未进入中国专业市场,但据悉将大举入攻,高端市场的争夺战一触即发.宝洁公司因此决定引进旗下专业品牌---沙宣进军高端专业市场.由于其定位明确,营销势头强劲,沙宣打入市场不多时日便快速抢占专业沙龙市场份额,成为专业的代名词.沙宣的营销策略主要有：聘请专业美发大师的电视广告；营销大赛；赞助模特大赛,建立专业美发学校等.这系列手段都与其企业经营风格相当契合,体现了集团专业、合作的企业精神.而这种与整体企业经营风格的同步,也保证了企业战略实施的稳定性,既方便企业高层合理调配资源,又在客户中树立了良好的企业形象.问题业务组合转移分析始创于1931年的伊卡璐品牌,代表着美丽发色和健康秀发.伊卡璐采用天然植物精华,蕴含天然花草芬芳,在染发和洗护发领域处于领先地位.伊卡璐草本精华系列,延续品牌自然独特的个性,主张畅享愉悦生活.伊卡璐于1996年进入中国市场,同样是中高端的路线,同类产品沙宣的成功在于：细分市场,将产品定位于专业沙龙以及营销策略的本土化.反观伊卡璐,它的广告一直采用金发美女作为主角,美则美矣,但是也给人国外译制片的感觉,产品形象不够亲民.而除了广告营销外,便没有更多有影响的营销手段,更没有与宝洁公司的经营风格相呼应,没有利用母公司的优质资源.尽管如此,伊卡璐依旧拥有较高的销售增长率,可见其产品的可塑性还是很高的,是有潜力成为明星业务甚至是奶牛业务的.可采取的措施例如,将客户群定位为追求生活品质的轻熟女,启用本土明星代言等等.瘦狗业务组合转移分析2001年5月,宝洁收购伊卡璐,由此宣告了润妍的消亡,2002年4月,润妍全面停产,一个经历3年酝酿、上市刚刚2年的产品就这样退出了市场.润妍是宝洁旗下唯一失败的产品.据业内的资料显示,润研产品在过去两年间的销售额大约在1个亿左右,品牌的投入大约占到其中的10%两年中,润妍虽获得不少消费者认知,但据有关资料,其最高市场占有率,不超过3%——这个数字,不过是飘柔市场份额的1／10一份对北京、上海、广州和成都女性居民的调查也显示,在女性最喜爱的品牌和女性常用的品牌中,同样是定位黑头发的夏士莲排在第6位,而润妍榜上无名,同样是宝洁麾下的飘柔等四大品牌分列1、2、4、5位.润妍成为瘦狗业务的原因有：1目标人群有误,失去需求基础润妍的主推产品功能是黑发,而目标人群定位为18-35岁的城市高知女性,于是我们可以看到润妍具有唯美的广告形象和唯美的视觉冲击,其包装也是素雅和高贵的但问题在于这部分人群是否是真正的购买者事实上,夏仕莲的黑芝麻洗发水也是与润妍差不多的时间推出的,其很好的借用了奥妮遗留的市场空间,针对大众人群,以低价格快速占领了市场,也许应该成为宝洁的反衬.2未突出新功能和配方,购买诱因不足润妍刚刚上市之初的策略还是较为有效的,突出中草药的概念而不是简单的黑头发,其所做的促销及赠品也都是在这一点上突破的.但其后的营销则过多的偏重于产品的形象,将润妍的品牌完全形象化,在推广时犯了炫耀性销售的毛病广告和赞助活动高潮迭起,但却不能给消费者真正的触摸.习题背景甲公司有三个事业部,分别从事A、B、C三类家电产品的生产和销售.这些产品的有关市场数据如表1-1和图1-1.在A、B、C三类产品市场上,甲公司的最大竞争对手分别是乙公司、丙公司和丁公司.1.问题用波士顿矩阵分析甲公司的A、B、C三类产品分别属于何种业务解答1三类产品的相对市场份额,如表1-3所示.2计算结果画出波士顿矩阵,如图1-2所示.图1-2波士顿矩阵所以A产品是问题业务,B产品是瘦狗业务,C产品是金牛业务.2.问题甲公司对A、C两类产品应分别采取什么策略为什么解答1产品A处于是问题业务,对产品A的策略是进一步深入分析企业是否具有发展潜力和竞争力优势,从而决定是否追加投资,扩大市场份额.因为该业务特点是市场增长率较高,需要企业投入大量资金予以支持,但企业该业务的市场占有率不高,不能给企业带来较高的资金回报.2产品C是金牛业务,对业务C采取的策略是维持稳定生产,不再追加投资,尽可能回收资金,获取利润.因为其特点是市场占有率较高,但行业成长率较低,行业可能处于生命周期中的成熟期,企业生产规模较大,能带来大量稳定的现金收益.。
2021中国海洋大学《矩阵分析》期末复习题
题型1：求V ∩M 的一个基 方法：课本习题一第9题1.求R 4的子空间V = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 - a2 + a3 - a4 = 0} , W = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 + a2 + a3 + a4 = 0} 的交V ∩ W 的一个基.（课本习题一第9题）2. 求3R 的子空间}02|),,{(}032,0|),,{(32132131321321=++==+=+-=a a a a a a W a a a a a a a a V的交W V⋂的一组基。
题型2：求V1+V2的维数及一个基 方法：课本习题一第10题1．)0,2,4(),0,1,2(),4,0,2(),2,0,1(2121====ββαα.若),(),,(212211ββααL V L V ==，求21V V +的维数及一组基。
初等行变换可参考/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0603.html方法：课本习题二第3题方法：课本习题二第6题1.设321,,e e e 是三维欧氏空间的一组标准正交基，证明：)22(31),22(31),22(31321332123211e e e e e e e e e -+=++=+-=ααα也是一组标准正交基。
题型5：求方程组的标准正交基 方法：课本习题二第7题1.求齐次线性方程组022043214321=---=+-+x x x x x x x x 的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。
正交化标准化可参考https:///article/5bbb5a1be10d4813eba179ce.html方法：课本习题二第11题1.证明:如果一个上三角矩阵是正交矩阵, 则A 必为对角形矩阵, 且主对角线上的元素a ii = ±1 ( i = 1 , 2 , ⋯, n ) . （习题二第11题）方法：如下例题1.如果矩阵是正交矩阵, 求a ij ( i = 1，2 ,3，4；i<=j) .题型8：求最小二乘解方法：课本P32例2-9方法：课本习题二13题1.设Q P ,各为m 阶及n 阶方阵，证明：若n m +阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q B P A 0是酉矩阵，则Q P ,也是酉矩阵，且B 是零矩阵。
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题共73页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
矩阵分析复习题 en
⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ 10. Given A = ⎜ 0 0 ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠
（1） Find the SVD of A. （2） Find the Pseudo-inverse of A.
⎡ 2 ⎢ 11. Find the polar decomposition of A = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣
3. Compute e A and sin A ，where
π A= ⎢ 0 1 0⎥ ⎢ ⎥. 2
⎢ ⎣0 0 2⎥ ⎦
⎡1 1 0 ⎤
4. Let A, B ∈ C n ，Show that det(e
A+ B
) = det(e A )det(e B ) .
5. For any A ∈ C n×n ，show that： e 2π iI = I , e 2π iI + A = e A . 6. (1) (2) (3) Let A be a normal matrix, then A is Hermitian if and only if each eigenvalue of A is real. A is shew-Hermitian if and only if each eigenvalue of A has real part equal to 0. A is unitary if and only if each eigenvalue of A has absolute value 1.
7. Let A be a positive semi-definite Hermitian matrix, and A ≠ 0, show that： (1) det( A + E ) > 1.
⎛ ∞ Ak ⎞ (2) det ⎜ ∑ ⎟ > 1. ⎝ k =0 k ! ⎠
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研究生矩阵分析习题
第一部份内容
第一章线性空间与线性换
1、概念与性质
（1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系
（2）子空间：和、交、直和、维数公式
（3）线性空间同构，同构性质
（4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量
（5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系
2、计算
（1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标
（2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标
（3）求线性变换的表示矩阵
（4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量
第二章内积空间
1、概念与性质
（1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz不等式、常见线性空间的内积
（2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit直交化、子空间直交、直交补空间及性质
（3）内积空间同构
（4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵
（5）点到子空间距离、最小二乘法
（6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵
（7）Hermite二次型、标准型及标准化、正定、负定
2、计算
（1）Gram-Schmidit直交化求正交向量组、标准正交向量组
（2）法方程解最小二乘问题
（3）化Hermite二次型为标准型
第三章矩阵的标准形
1、概念与性质
（1）多项式矩阵、Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系
（2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan标准形
（3）Hilmilton-Cayley定理、最小多项式
（4）Schur定理、QR分解、奇异值分解、满值分解
2、计算
（1）求多项式矩阵的Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子（2）求矩阵的Jordan标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan标准形
（3）利用Hilmilton-Cayley定理、最小多项式做多项式的简化计算
（4）求矩阵的QR分解、奇异值分解、满值分解
第四章矩阵函数及应用
1、概念与性质
（1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径
（2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散
（3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数
（4）矩阵函数
（5）函数矩阵的微分、积分
（6）常见矩阵函数性质
（7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系
2、计算
（1）求向量、矩阵的常见几种范数
（2）求矩阵的极限
（3）求矩阵函数
（4）求函数矩阵的微分与积分
（5）解微分方程
第二部份 习题
1、 设4[]R x 是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式
3()12p x x =+在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标。
2、 在3[]R x 中，设线性变换T 在基21,,x x 下的表示矩阵为
102213120A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1) 求T 在基2,1,x x 下的表示矩阵；
(2) 求2g x =+在该线性变换T 下的像。
3、 在3R 中，设123(,,)x ξξξ=，线性变换12233(,2,)Tx ξξξξξ=+-，求（1）T 在标
准基下的表示矩阵，（2）T 在一组基下的最简形式的矩阵为什么矩阵？试求一组基，使T 在其下的表示矩为最简形式的矩阵。
4、 证明n 维线性空间V 的一个有n 个不同特征值的线性变换T 共有2n 个不同
的不变子空间。
5、 设3252610123A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，(1)求矩阵A 的smith 标准形，行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式，(2)求8752A A A E -+-。
6、 试判断如下矩阵是否相似：(1) 100100a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与300300a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2) 100100a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与1001,00a a a εε⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦
7、 求矩阵的满秩分解：1415620046124419121116-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥----⎣⎦
8、 求矩阵的QR 分解：110111002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
9、 求矩阵的奇异值分解：201120A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
10、
设210023120A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求12||||,||||,||||,||||F A A A A ∞，
12||||,||||,||||Ax Ax Ax ∞
11、 设13553
155A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵幂级数21k k k A ∞=∑是否收敛？如收敛求21
k k k A ∞=∑。
12、 已知1001011001101001A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
，求sin At 13、 解微分方程:
114
2231234323114,(0)1,(0)0,(0)0,(0)1dx x x dt dx x x dt x x x x dx x x dt dx x x dt
⎧=-⎪⎪⎪=-⎪====-⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-+⎩ 14、设0110000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，证明A 为正规矩阵并求酉矩阵Q 使H Q AQ 为对角阵。