第三章线性规划的应用及计算机求解
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
《管理运筹学》第四版课后习题答案
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC。
（2）等值线为图中虚线部分。
? （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =12， x ??15 727图2-1 ；最优目标函数值 69。
72．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解?x 1 ??0.2，函数值为3.6。
?x 2图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
? （5）无穷多解。
?x ? （6）有唯一解 ??1? 203，函数值为 92 。
8 3x ? ??2 33．解： （1）标准形式max f ??3x 1 ??2x 2 ??0s 1 ??0s 2 ??0s 39x 1 ??2x 2 ??s 1 ??30 3x 1 ??2x 2 ??s 2 ??13 2x 1 ??2x 2 ??s 3 ??9 x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0（2）标准形式min f ??4x 1 ??6x 2 ??0s 1 ??0s 23x 1 ??x 2 ??s 1 ??6x 1 ??2x 2 ??s 2 ??10 7x 1 ??6x 2 ??4x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0（3）标准形式min f ??x 1????2x 2????2x 2??????0s 1 ??0s 2?3x 1 ??5x 2????5x 2??????s 1 ??70 2x 1????5x 2????5x 2??????50 3x 1????2x 2????2x 2??????s 2 ??30 x 1?, x 2??, x 2????, s 1, s 2 ≥ 0 4．解： 标准形式max z ??10x 1 ??5x 2 ??0s 1 ??0s 23x 1 ??4x 2 ??s 1 ??95x 1 ??2x 2 ??s 2 ??8x1, x2 , s1, s2 ≥0≤松弛变量（0，0）最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。
管理运筹学第四版 第三章习题6答案(P35)
《数据、模型和决策》作业一学号：2461604112 姓名：王康兵班级：2016秋MBA2周末班一、第三章线性规划问题的计算机求解习题6 （P35）答：根据图3-10回答问题如下：（1）最优解即最优产品组合是产品Ⅰ每天的产量是150个，产品Ⅱ每天的产量是70个。
此时最大的目标函数即最大利润为103000元。
（2）车间1和车间3的加工工时数已使用完，车间2和车间4的加工工时数还没用完。
车间2的松弛变量即没用完的加工工时数为330工时，车间4的松弛变量即没用完的加工工时数为15工时。
（3）车间1的加工工时的对偶价格为50元，即增加一个工时就可能使总利润增加50元；车间2的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加；车间3的加工工时的对偶价格为200元，即增加一个工时就可能使总利润增加200元；车间4的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加。
（4）如果要在这四个车间选择一个车间进行加班生产，我会选择车间3。
因为在车间3的加工工时的对偶价格为200元，即每增加一个工时就可能使总利润增加200元，能为公司创造价值。
（5）目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，当c1在400与+∞之间变化时，最优产品组合不变。
（6）目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，当c2从400元提高到490元时，最优产品组合没有变化。
因为当c2=490元时，0《490《500，仍在c2的系数变化范围内，所以其最优产品组合没有变化。
（7）约束条件中的常数项的现在值由图3-10可知，b1=300，b2=540，b3=440，b4=300。
所谓常数项的上限和下限是指当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
具体地说，当车间1的加工工时数在200到440的范围内时，其对偶价格都为50元；当车间2的加工工时数在210到+∞范围内时，其对偶价格为零；当车间3的加工工时数在300到460范围内时，其对偶价格都为200元；当车间4的加工工时数在285到+∞范围内时，其对偶价格为零。
计算机应用数学(线性规划三)
Appiled Mathematics
线 性 规 划
Linear Programming
计算机应用数学
Appiled Mathematics
知识目标
1、理解线性规划的思想； 2、掌握用图解法解线性规划（Linear Programming）
问题的方法;
能力目标
会用图解法解决实际问题（线性规划方面）
XB
c1 cmcm1 cn i b x1 xm xm1 xn
b1 bm
ci b i
x1 xm
Z
0 a1,m1 a1n 1 am,m1 amn 0 0 j c j ci aij
1 0
max z= s.t.
3x1
+2x2 +x3 +2x3 x3
+5x3 ≤430 ≤460 ≤420 ≥0
宁波职业技术学院数学教研室
2x1 3x1 x1 x 1,
+2x2 +4x2 x 2,
计算机应用数学
cj cB 0 0 xB x4 x5 b 430 460
Appiled Mathematics 3 x1 2 3 2 x2 2 0 5 x3 1 2 0 x4 1 0 0 x5 0 1 0 x6 0 0
x3 x6
230 420
-1150 -9/2
宁波职业技术学院数学教研室
计算机应用数学
cj cB
100
Appiled Mathematics
3 b
100
2 x2 1 0 0 0
5 x3 0 1 0 0
0 x4 0 -2 -1
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历史订单数据还表明,微型豪华轿车的订单数量不会超过其他四款轿车订单总量的一半，即：
微型豪华轿车与其他轿车定单数量关系
最后,所有轿车的产量必须是大于等于零,所以:
ﻩﻩ
我们给出汽车生产计划完整的线性规划模型:
ﻩ
3.１.2标准格式
为了利用计算机求解汽车生产问题,有必要将线性规划的约束条件整理成标准格式。其基本要求如下:
每辆轿车的车身都必须使用用同一种混合材料制造,其库存总量是 。装配任何一款轿车都用到两种基础配件:配件 和配件 ,而工厂现有库存量分别是 件和 件。装配线上的工人必须接受过专业训练,工厂技术工人的总工时为 小时。我们假设其他在轿车生产过程中的其他辅助材料，零配件,像轮胎，皮革，塑料成品等可以随叫随到,不受限制,还假设其他工种工人的工时数不受限制。
而约束: 可被表示为:
ﻩﻩﻩ
那么,线性规划问题 的标准格式如下:
ﻩ
3．1．3松弛和剩余变量
若对标准最大化线性规划问题 的约束条件引入辅助变量,则可将不等式约束条件转化成等式约束条件。为了便于区分，通常称线性规划问题的决策变量 为主变量。对于小于等于 形式的约束条件,可以通过引进松弛变量将其转换为等式约束，比如对下述约束：
3.1线性规划在制造业中的应用:制定生产计划
在制造行业中,利用线性规划制订企业的生产计划是非常普遍现象。详细的生产计划包括决定生产那些规格的产品以及对应于每种产品的数量,同时生产计划一方面应当考虑市场需求和有效地满足企业现有的原材料,人力,材料供应,和设备加工能力等约束条件,另一方面应当考虑产品之间的关系。线性规划能够根据管理者的目标在各种可行的生产方案中挑选出一个最优的方案,比如说，寻求利润最大的生产方案。
ﻩ每款轿车的单车利润是单车销售收入减单车生产成本,假设各款轿车的单车利润分别为人民币 , , ， ，和 万元,所以下述目标函数反应了生产计划的总利润：
ﻩ在资源使用方面,每辆豪华型轿车的车身需用去 混合材料,高档轿车，中档轿车,经济型轿车,和微型豪华轿车的单车用料分别为 , , ,和 。所以,混合材料构成的约束条件为:
混合材料库存上限
在每款轿车组装过程中,都必须用到配件 和配件 ,其具体使用数量参见表 :
表 :配件 和 的消耗量
汽车型号
配件
配件
豪华型轿车
高档轿车
中档轿车
经济型轿车
微型豪华轿车
所以,配件 和 的总量约束构成了以下两个约束条件:
配件 库存上限
配件 库存上限
用于豪华型轿车,高档轿车，中档轿车,经济型轿车,和微型豪华轿车上的装配工时分别为 ， , , ，和 小时,下述约束条件成立:
引进松弛变量, ,其经济含义为混合材料现存的库存数量。将 增加到上式左端后,则获得等式约束条件：
它的经济含意是已消耗混合材料数量, ,加尚未使用数量 ，等于总库存量 。
而对于大于等于 类型的约束条件,则可引进剩余变量将其转换为等式约束条件,考虑问题 中约束:
引进剩余变量 ,其经济含义为中档轿车现存的产量。将 增加到上式左端后,则获得等式约束条件:
３.1．1汽车生产计划
首都汽车制造厂生产五种不同档次轿车,而生产轿车的关键原材料或部件,以及熟练技术工人的工时都是有限的，工厂经营者需要决定每款轿车的产量,使得总利润最大。为了建立线性规划模型,我们首先定义决策变量如下:
ﻩ 豪华型轿车的产量
高档轿车的产量
中档轿车的产量
经济型轿车的产量
微型豪华轿车的产量
第三章线性规划的应用及计算机求解
———————————————————————————————— 作者：
—————————பைடு நூலகம்—————————————————————— 日期：
ﻩ
3.线性规划的应用及计算机求解
迄今为止,线性规划可以说是最成功的定量分析工具之一。特别是随着信息技术的发展,线性规划在国民经济的各行各业中，特别是在金融,企业管理,市场销售，人力资源,和生产管理等领域获得广泛应用。实践证明,利用线性规划分配资源可为企业和社会节约大量财富。在本章中,我们将要研究常见的资源配置问题并说明如何利用线性规划工具求解最优配置问题。对于那些愿意将工作完成更好的个人或机构，为满足某一特定目标而对有限资源进行分配是一件非常重要的工作。
ﻩﻩ
它的经济含意是中档轿车的产量 减去剩余产量 等于订单量 辆。
因为松弛变量和剩余变量都具有经济含意，它们必须大于等于零,即 和 。
3.2利用计算机求解线性规划问题
当一个线性规划问题只有二个决策变量时,我们可以通过几何方法求解,当线性规划问题的变量多于二个以上时,我们一般是利用单纯形法进行迭代求解。在第二章中，我们介绍了如何设计单纯表格，利用手工进行求解的过程(从初始基可行解开始,确定主元素，以及利用高斯消元法完成迭代),但是随着决策变量和约束条件的增多,手工计算就难以完成大型线性规划问题的求解工作。如果将单纯形法编制成计算机软件，通过计算机求解就可以解决大型线性规划问题。随着信息技术的不断进步,求解线性规划问题的计算机软件也日趋丰富和多样化。为了方便大家对于求解线性规划问题工具的使用,在本书中我们主要介绍如何将 电子表格作为求解工具。
利用 电子表格求解线性规划问题,如汽车生产问题 ，我们可以按照以下三个步骤进行：
约束条件中的所有决策变量都必须出现在不等式的左端。所以约束条件: 应表示为：
ﻩﻩ
约束条件中的决策变量顺序应与其定义顺序相一致。比如说,在所有约束条件中,变量 都必须先于变量 ,就是根据它们的定义顺序。
每个决策变量都有属于自己的系数。比如,ﻩ约束条件:
应当改写为:
如果决策变量在约束条件中不出现,则给它们补系数 。例如，约束: 可被表示为：
装配工时上限
ﻩ从上面四个约束,即线性规划的约束条件仅适用于导致生产瓶颈的那些有限资源,也就是说,并不是所有生产要素都必须反应在线性规划的约束条件中。
ﻩ再考虑工厂的销售情况,由于工厂已经获得 辆中档轿车和 辆经济型轿车的订单，所以这两款车的产量必须满足：
中档轿车需求量
经济轿车需求量
历史订单数据表明，高档轿车与豪华轿车通常一起接到订单,平均来说,在收到 辆高档轿车定单的同时至少会收到 辆豪华型轿车的订单，所以,这两款车的产量存在下述关系: