第3章线性规划问题的计算机求解
2.线性规划问题的计算机求解(QSB)
§2 WinQSB软件求解线性规划
注意 2. 当约束条件中的常数项增加一个单位时， 最优目标函数值增加的数量称之为影子价 格。在求目标函数最大时，当约束条件中 的常数项增加一个单位时，目标函数值增 加的数量就为改进的数量，所以影子价格 等于对偶价格；在求目标函数值最小时， 改进的数量就是减少的数量，所以影子价 格即为负的对偶价格。
§2 WinQSB软件求解线性规划
§2 WinQSB软件求解线性规划
• 输入数据. 若选择“Spreadsheet Matrix Form”，则以电子表格形式 输入变量系数矩阵和右端常向量，如表2.30所示； 若选择Normal Model Form则以自由格式输入标准模型， 见图2.10.
表2.30 电子表格数据输入形式
§2 WinQSB软件求解线性规划
图2.10 自由格式输入标准模型
• （4）修改变量类型. 图2.9给出了非负连续、非负整数、0-1型和无符号限制（ 无约束）4种变量类型选项，当选择了某一种类型后系统 默认所有变量都属于这种类型. 在本例中，可直接将列中的下界（Lower Bound）改为5 ，上界（Lower Bound）改为10. 见图2.11所示.
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§2 WinQSB软件求解线性规划
•
注意：
3. WinQSB软件可以解决非大型的线性规 划问题。如果想要解决更大的线性规划问 题，可以使用由芝加哥大学L.E.Schrage 开发的Lindo计算机软件包的微型计算机 版本Lindo/PC。
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§2 WinQSB软件求解线性规划
• 练习 用WinQSB软件求解第二章中例1和例2. 例1. Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x 2 ≥ 0
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
韩伯棠教授《管理运筹学》第三版习题答案 高等教育出版社
6 、解： b 1 ≤ c1 ≤ 3
c 2 ≤ c2 ≤ 6
d x1 = 6 x2 = 4
e x1 ∈ [4,8] x2 = 16 − 2x1
f 变化。原斜率从 − 2 变为 −1 3
7、解： 模型：
max z = 500x1 + 400x2
2x1 ≤ 300 3x2 ≤ 540 2x1 + 2x2 ≤ 440 1.2x1 +1.5x2 ≤ 300 x1, x2 ≥ 0
h 100×50=5000 对偶价格不变 i能 j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
a 4000 10000 62000 b 约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057
约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0，约束条件 2 的剩余变量是 0
f 600000 + 300000 = 100% 故对偶价格不变 900000 900000
4、解：
a x1 = 8.5 x2 = 1.5 x3 = 0 x4 = 1 最优目标函数 18.5
b 约束条件 2 和 3
对偶价格为 2 和 3.5
c 选择约束条件 3，最优目标函数值 22
d 在负无穷到 5.5 的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化
课后吧 ｋｅｈｏｕ８．ｃｏｍ
第 2 章 线性规划的图解法
1、解：
x2
6
a.可行域为 OABC。 b.等值线为图中虚线所示。
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解：
A
B
12 x1 = 7
x2
《管理运筹学》课后习题答案
《管理运筹学》课后习题答案第2章线性规划的图解法1.解决方案：X25`a1bo1c6x1可行的区域是oabc等值线为图中虚线部分从图中可以看出，最优解是B点，最优解是x1=121569，x2?。
最优目标函数值：7772．解：x21零点六0.100.10.61x1有唯一解、无可行解、无界解、无可行解和无限解x1?0.2x2?0.6，函数值为3.6。
三百六十九20923有唯一解，函数值为。
83x2？3x1？3.解决方案：(1).标准形式：麦克斯夫？3x1？2x2？0s1？0s2？0s39x1?2x2?s1?303x1？2x2？s2？132x1？2x2？s3？9x1，x2，s1，s2，s3？0(2).标准形式：明夫？4x1？6x2？0s1？0s23x1?x2?s1?6x1?2x2?s2?107x1?6x2?4x1,x2,s1,s2?0(3).标准形式：明夫？x1？2x2？2x2？0s1？0s2“”？3x1？5x2？5x2？s1？七十 '''2x1'?5x2?5x2?503x?2x?2x?s2?30'''x1',x2,x2,s1,s2?0'1'2''2标准形式：麦克斯？10x1？5x2？0s1？0s23x1?4x2?s1?95x1?2x2?s2?8x1，x2，s1，s2？0松弛变量（0，0）的最优解为X1=1，X2=3/23705.解决方案：标准形式：明夫？11x1？8x2？0s1？0s2？0s310x1?2x2?s1?203x1？3x2？s2？184x1？9x2？s3？36x1，x2，s1，s2，s3？0剩余变量（0.0.13）最优解为x1=1，x2=5.6.解决方案：(10)最优解为x1=3，x2=7.(11)1?c1?3(12)2?c2?6(13)x1？6x2？四(14)最优解为x1=8，x2=0.(15)不变化。
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
OR第三章线性规划问题的计算机求解.ppt
1/10
¼
20
Production problem of Golf Bag
Production Time(hours)
Product
Cutting and Dyeing
Sewing
Finishing
Inspection and Packing
Standard bag 7/10
½
1
Deluxe bag
or第三章线性规划问题的计算机求解lingo求解线性规划matlab求解线性规划excel求解线性规划非线性规划求解线性规划求解线性方程组求解求解非线性方程组齐次线性方程组求解非线性方程求解
第三章
线性规划问题的计算机求解
单纯形法
最初是在4 0年代由George Dantzig 研究出来的。 这个求解程序以可行域的一个顶点为出发点，检 验相邻顶点以判断相邻顶点的目标函数值是否比 当前的顶点更优。若相邻顶点的函数值优于当前 顶点，则取相邻顶点值，这一移动方向也就是朝 最优目标函数值递进的最快方向。反复进行这一 比较，当没有相邻顶点的目标函数值优于当前顶 点时，停止比较，当前顶点即为最优。
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Production problem of Golf Bag
1. Cutting and dyeing the material 2. Sewing 3. Finishing(inserting umbrella holder, club
separators, etc.) 4. Inspection and packaging
If a decision variable is already positive in the optimal solution, its reduced cost is zero.
MBA数据模型与决策_03线性规划的计算机求解
把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头 方案 1 1 0 3 7.4 0 方案 2 2 0 1 7.3 0.1 方案 3 0 2 2 7.2 0.2 方案 4 1 2 0 7.1 0.3 方案 5 0 1 3 6.6 0.8 方案 6 1 1 1 6.5 0.9 方案 7 0 3 0 6.3 1.1 方案 8 0 0 4 6.0 1.4
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥ 0，整数
模型3
假设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上面前 8种方案下料的原 材料根数。我们建立如下的数学模型。
目标函数：
Min z = x1+x2+x3+x5+x6+x7+x8 约束条件： s.t. 2x1+x2+x3+x4 2 x 2+ x 3 +3x5+2x6+ x7 ≥ 100 ≥ 100
模型2
假设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上面前 8种方案下料的原 材料根数。我们建立如下的数学模型。 目标函数：
Min z = 0.1x1+0.3x2+0.9x3+1.1x5+0.2x6+0.8x7+1.4x8
约束条件： s.t. 2x1+x2+x3+x4 2 x 2+ x 3 x1 +3x5+2x6+ x7 +x3+3x4 ≥ 100 ≥ 100 +2x6+3x7+4x8 ≥ 100
例4.多阶段生产安排问题
容易得到下列约束：
线性规划问题计算机解法
线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：１设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于12值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．２设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示点击对话框中“添加”，弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：3 应用规划求解工具：点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表：如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法 §2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
管理运筹学
1
第三章 线性规划问题的计算机求解
随书软件为“管理运筹学”2.0版 （Window版），是1.0版（DOS版）的升级版。 它包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1 整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目 标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最 大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、 排队论、决策分析、预测问题和层次分析法， 共15个子模块。
翦彭越溗
管理运筹学
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管理运筹学
3
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第二步：选择所需子模块，点击主窗口中的相应按钮。本题中选用“线性规划” 方
法。点击按钮弹出如下界面：
管理运筹学
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§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第三步：点击“新建”按钮，输入数据。本题中共有2个变量，4个约束条件，目 标函
数取MAX。点击“确定”后，在表中输入Cj,bi和aij等值，并确定变量的正负约束。 输入数值后的界面如下。
– 常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束 条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价 格不变。当前值是指现在的取值。
以上计算机输出的目标函数系数和约束条件右边值的 灵敏度分析都是在其他系数值不变，只有一个系数变化的 基础上得出的！
管理运筹学
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分
管理运筹学
5
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
第四步：点击“解决”按钮，得出计算结果。本题的运行结果界面如下。
管理运筹学
6
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分
析
第五步：分析运行结果。
– 本题中目标函数的最优值是27500，x1=50, x2=250。 – 相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策
c2 的允许减少量为 100 - 50 = 50 b3 的允许减少量为 250 - 200 = 50 * 允许增加的百分比 = 增加量 / 允许增加量
* 允许减少的百分比 = 减少量 / 允许减少量
管理运筹学
8
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分 析
例： c1 变为 74 , c2 变为 78, 则 (74 - 50) / 50 + (100 - 78 ) / 50 = 92%，故最优解不 变。
2. “管理运筹学”软件可以解决含有100个变量50个约束方 程的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。 如果想要解决更大的线性规划问题，可以使用由芝加哥 大学的L.E.Schrage开发的Lindo计算机软件包的微型计算 机版本Lindo/PC。
管理运筹学
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融这里
• 在常数项范围一栏中，知道当约束条件1的常数项在300— 475范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对 偶价格不变；当约束条件2的常数项在负无穷到250范围内 变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶 价格不变，仍为0；当约束条件3的常数项在475—700内变 化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件3的对偶价 格不变，仍为1。
管理运筹学
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分 析
• 注意：
1. 当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数 值增加的数量称之为影子价格。在求目标函数最大时， 当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增 加的数量就为改进的数量，所以影子价格等于对偶价格； 在求目标函数值最小时，改进的数量就是减少的数量， 所以影子价格即为负的对偶价格。
变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
– 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则 表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的 最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量 系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。
2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过100%并不一定变化；
3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边常数值同时变化 的情况。这种情况下，只有重新求解。
管理运筹学
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分
析
• 下面用“管理运筹学”软件来分析第二章的例2，其数学模 型如下：
管理运筹学
2
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用演示：（演示例1） 第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学 2.0”，弹出主窗口。
例1. 目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
析
• 在松弛/剩余变量栏中，约束条件2的值为125，它表示对原 料A的最低需求，即对A的剩余变量值为125；同理可知约 束条件1的剩余变量值为0；约束条件3的松弛变量值为0。
• 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A的下限从125t增 加到126t，那么总成本将加大，由800万增加到804万。当 然如果减少对原料A的下限，那么总成本将得到改进。
b1 变为 315 , b3 变为 240, 则 (315 - 50) / 25 + (250 - 240 ) / 50 = 80%，故对偶价 格不变（最优解仍是原来几个线性方程的解）。 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意：
1）当允许增加量（允许减少量）为无穷大时，则对任意增加量（减少量），其允许 增加（减少）百分比均看作0；
析
2.当有多个系数变化时，需要进一步讨论。
百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数（约束条
件右边常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比
Байду номын сангаас
之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变，最优解仍是原
来几个线性方程的解）。
* 允许增加量 = 上限 - 现在值
c1 的允许增加量为 100 - 50 = 50 b1 的允许增加量为 325 - 300 = 25 * 允许减少量 = 现在值 - 下限
目标函数：
Min f = 约束条件：
2x1
+
3
x2
s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
从上图可知，当购进原材料A 250t，原料B 100t时，购进成本最低， 为800万元。
管理运筹学
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§2 “管理运筹学”软件的输出信息分