高中数学竞赛专题一函数与方程思想
高三数学专题一 函数与方程的思想方法课件
［答案］ 3 返回目录
模拟训练
2.设向量a=(1, 2)，b=(2, 3)，若向量λa+b与向量c=(－4, －7)共线，则λ= ［解析］ . 由向量坐标运算法则得λa＋b＝(λ＋2, 2λ＋
3)，由向量共线条件得－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)，解得λ＝2.
［点评］ 本题主要考查向量的基本运算和向量共线
函数是方程与不等式的“中介”，他们既有区别，又联系
紧密.高考试题中既通过客观试题考查函数与方程的思想的基本 应用，又利用解答题从深层次上对函数与方程思想进行综合考
查.
返回目录
模拟训练
1.已知在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3, AC=4, P是AB上 的点, 则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 ［分析］ 如右图，设P点到 AC 、 BC 的距离分别为 x 、 y ，由 y 都是正实数，问题转化为在此 条件下，求xy的最大值问题.
模拟训练
4. 如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的 边长都是 1 ，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 . 点 M 在 AC 上移动 , 点 N 在 BF 上移动,若CM=BN=a (0＜a＜ 2 ). (Ⅰ)求MN的长; (Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小. ［分析］ 取a作为变量，建立MN的长的表达式，利用 函数思想求MN的最小值. ［解析］ (Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P, NQ∥AB交BE于 点Q, 连结PQ, 依题意可得MP∥NQ, 且MP=NQ, 即MNQP是 平行四边形, 所以MN=PQ, 返回目录
返回目录
模拟训练
解法2：(看成不等式的解集) ∵a，b都是正数，∴a＋b 2 ab . 又ab＝a＋b＋3,∴ab 2 ab ＋3,
即( ab ) 2 2 ab 3 0. 解得 ab 3或 ab 1(舍), ab 9.
高中数学函数与方程的思想方法
高中数学函数与方程的思想方法高中数学函数与方程的思想方法在高中数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念和内容。
掌握了函数与方程的思想方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
本文将从函数与方程的定义、解题思路和实际应用等方面探讨高中数学函数与方程的思想方法。
一、函数与方程的定义函数是数学中的基本概念，我们可以将函数理解为两个集合之间的一种特殊关系。
简单来说，函数就是将自变量映射到因变量的规则。
函数通常用符号表示，如f(x)、g(x)等。
在方程中，通常出现的是一元函数，如y=f(x)。
方程是关于未知数的等式，它通常由等号连接的表达式组成，其中包含未知数和已知数。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
在数学中，函数与方程是密切相关的概念，通过函数可以建立方程，通过求解方程可以得到函数的零点或特殊点。
二、解题思路1. 函数图象与函数性质分析：对于给定的函数，我们可以通过观察其图象来推测函数的性质。
例如，对于一个二次函数，当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
通过观察函数图象，我们可以推测函数的最值、零点等重要信息。
2. 函数与方程的转化：有时候题目给出的是函数，要求解的是方程；有时候题目给出的是方程，要求分析函数的性质。
在这种情况下，我们需要运用函数与方程之间的转化关系进行思考。
例如，已知函数的表达式，要求函数的零点，就需要解方程f(x)=0。
反之亦然，已知方程，可以通过构造函数直观地分析方程的性质。
3. 实际问题的建模与解析：高中数学中的函数与方程往往是为了解决实际问题而引入的。
因此，在解题过程中，我们需要将问题进行数学建模，将实际问题转化为数学问题，然后通过函数与方程的知识进行分析和求解。
例如，求解优化问题时，我们可以通过函数的极值来确定最优解。
三、实际应用函数与方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面以几个例子来说明：1. 经济学中的需求函数：在经济学中，需求函数描述了商品需求与价格之间的关系。
一道数学竞赛题的思想透析
（
起来 ，使抽 象思 维和形象思 维结 合起来 ，通过对 图形 的处理 ，
发挥直 观对 抽象 的支 柱作用 ，实现 抽象概念与具体 形象 、表象 的联系 和转化 ，化难 为易 ，化抽象 为直观 ．根据解决 问题 的需 要 ，可 以把数 量关系 的问题转化为 图形 的性质 问题去讨论 ，或 把图形的性质 问题 转化为数 量关系 的问题来 研究 ，换言之 ，数
最 重 要 的方 法 ．在 等 式 或 不 等 式 中如 果 含 有 两个 字母 ， 而且 已知
其 中一个 字母 的范 围，求另一个 字母 的范 围时，分离 变量的转
当２ 一 ＞ 且 ２ 一 ≥０ ≥＿ 时， ｋ １ ０ ｋ ３ ，即 Ｖ 不等式恒
化方法经常会收获成功．
中国数学教育［ １年 期 ４ ２ ０ 第５ ］ ７ ０
所 ｋ 一 ， １ 以 Ｉ ＋ ．
【 评析】本题通过 换元转化为二次 不等式恒成立 问题 ，进 而
到学习和应 用 中去 ，那么学 生 的学 习能力 、数学 素养将 大大 提 转化成 函数 的最值 问题 ，这是 求变量 范围问题 常见的基本方 法． 二 、“ 价 转 化 ” 思 想 等 高． 文以 ２０ 本 ０ ９年全 国高 中数学联赛江苏赛 区初赛试题 第 １ 题 ３ 的几种解法为例 ，谈谈数学思想的重要性． 题 目：若不等式 、 ＋、 ≤ ｋ ／ ／ 、
即 ｋ≥ 一 不 等 式 恒成 立 （ ： 时 时 当
当 ２ ｋ 一１≤ ０时 ，不等式不能恒成立 ，故 ２ 一１ ． ＞０ 此 时当 ｆ
ｋ — １＝
时 ， （） 厂 ＿ 取得最小值
一
等号成立 ） ．
【 析】本题采用 分离变量的方法 转化 ，这 是求字母 范围的 评
人教版高中数学奥赛辅导 简单的函数方程(一)
江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导：简单的函数方程（一） 函数方程的概念：1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f(x ＋1)=x 、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x ＋2)=f(x)等。
其中f(x)是未知函数2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f(x)=x －1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x ＋y)=f(x)＋f(y) (x,y ∈R)、则f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得f(x 1＋x 2＋…＋x n )=f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )取x 1=x 2=…=x n =x ，得f(nx)=nf(x) (n ∈N +)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）x=1，则f(n)=nf(1)x=n m ，则f(m)=nf(n m ) ，解得f(n m )=n 1f(m)= nm f(1) --------- (2) x=－n m ，且令y=－x ＞0，则f(x)＋f(y)=f(x ＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n ∈N+,且(m,n)= 1) ---------(3)由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x 均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x ，因f(x)连续，取以x 为极限的有理数序列{x n }，则有 ：f(x)=∞→n lim f(x n )=∞→n lim x n f(1)=xf(1) 综上所述，对于任意实数x ，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 （1）已知f(2x －1)=x 2＋x ，那麽f(x)=______________。
高中数学联赛中的函数思想
2( 1998 , 全国高中数联赛)解 :由题设 , x ∈R , k ∈Z 时 , ∵f ( 2 k + x ) = f ( x ) = f ( - x ) ,
98 16 16 = f 6=f 19 19 19 16 =f , 19 101 1 1 f = f 6=f 17 17 17 1 =f , 17 104 14 14 f = f 6+ =f . 15 15 15
( 第六届全国部分省市初中数学通讯赛) (B) 4. 平面上两点 A 、 B 的距离为 a + b , 其中 a 、 b
( A) 2 (B) 3 ( C) 4 ( D) 5 ( 1999 ,全国初中数学竞赛) 9. 平面上有四个点 , 如果其中所有两点间的距
均为大于 0 的常数 . 现平面上共有 x 条直线 , 使点
1
x
2
在同一点取相
∴f
同的最小值 , 那么 , f ( x ) 在该区间上的最大
). 值是 (
3 3 11 3 53 2 + 4 (B) 4 2+ 4 2 2 3 13 ( C) 1 2 + 4 ( D) 以上答案都不对 2 ( 1996 , 全国高中数学联赛)
( A) 4 +
解: ∵ 1 ≤x ≤ 2,
C , 使得由 P 、 B、 C 三点构成的三角形和 △A B C 相
数为 n1 ; 如果这 6 个点中有四点共线 , 所作不重叠的
). 三角形的个数为 n2 . 那么 , (
似 , 则这样的点 P 最多有
个.
( A) n0 = n1 = n2 (B) n0 > n1 > n2 ( C) n0 > n1 ≥n2 ( D) n0 ≥n1 > n2
高中数学思想方法之“函数与方程思想”
高中数学思想方法之“函数与方程思想”（2012.8.6）一、知识整合：一、知识整合：函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想．函数的思想函数的思想，函数的思想，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．分析和解决问题．分析和解决问题．经常经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题．④构造方程或不等式求解问题．此外，运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，最典型的例子上三个“二次”之前的关系。
高中数学 函数与方程思想
g(1)＝1，又
g(1e)＝e13＋3，g(e)＝e3－3，
且 g(1)<g(e)， e
故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 x∈[1，e]上的最大值为 g(e)＝e3－3，故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 e
区间[1，e]上的值域为[1，e3－3]． e
则有 1≤a＋1≤e3－3，则有 0≤a≤e3－4，
2
66
4
∵f(π)＝π－cosπ＝π， 2 4 24
∴在区间(－π，7π)上有且只有一个实数 x＝π满足 f(x)＝π.
66
2
4
当 x≤－π时，有 1x≤－ π ，－cosx≤1，
6
2 12
∴x≤－π时，f(x)＝1x－cosx≤－ π ＋1<π，
6
2
12 4
由此可得当 x≤π时，f(x)＝π没有实数根．
所以有 x≤－y，故选 B.
规律总结
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
1．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题．
2．要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
1．已知函数 f(x)＝1x－cosx，则方程 f(x)＝π所有根的和为( C )
2
4
A．0
B．π 4
C．π 2
D．3π 2
[解析] ∵f(x)＝1x－cosx，∴f ′(x)＝1＋sinx.
2
2
当 x∈(－π，7π)时， 66
∵sinx>－1，∴f ′(x)＝1＋sinx>0，
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学竞赛专题一函数与方程思想
函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、
图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，
是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
函数思想贯穿
于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并
为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热
点、重点内容。
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建
立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本
质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．
和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程
和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、
列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。
一、考点回顾
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关
求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建
立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，
化繁为简的目的。
比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，
试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二
次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．
如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一
次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，
要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围
是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归
为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的
目的
在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，
如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。
要总结、归纳运用
第1页共14页。