九年级线段成比例知识点
第四章《成比例线段》 课件(共张ppt)22-23学年北师大版数学九年级上册 数学
思考1：如果a、b、c、d 四个数成比例，即 a c ，
bd
那么ad＝bc 吗？你是怎样思考的？
思考2：如果ad＝bc ，那么 a c 吗？你是怎样思考的？
bd
这时有什么样的条件限制吗？
ac bd
ad bc
跟进训练：
如果4x
10
y, 那么
x
5
__2___
y
注意：结果应是 最简比
例 如图，一块矩形草坪的长AB=a m,宽AD=4m，按照图中
第四章 图形的相似
4.1 成比例线段
加减乘除 谋算千秋伟业 点线面体 绘制宏伟蓝图
下面两张图片形状相同吗？ 大小相同吗？
图片欣赏
你发现这几组图 片形状相同吗？ 大小相同吗？
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
学习目标
1.了解线段的比和成比例线段.
2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则 AB
CD
3
2。
2
5。
虽然两条线段的比要在单位统一 的前提下进行，但比值却是一个不带 单位的正数。
3.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比 为 4∶1 ，AB∶A'B'的比值为 4 ，AB＝ 4 A'B'.
4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，
AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝ 5∶3 .
A
A'
B
九年级数学 第23章 图形的相似23.1 成比例线段 1成比例线段上课 数学
bd
ab cd
证明 (1) a = c ， bd
等式(děngshì)两边同加上1，
得 ab = cd .
bd
a 1 = c 1，
b
d
第十二页，共二十一页。
(2) a = c (ab). ab cd
(2) a = c ， bd
∴ ad = bc， 在等式(děngshì)两边同减去 ac，得
ad – ac = bc – ac， ∴ ac – ad = ac – bc， ∴ a ( c – d ) = c ( a – b ).
（ 2 ） a = 2 ， b = 2 1 5 ， c = 5 ， d = 5 3 .
解 （ 1）a=4=1， c=5=1， b 8 2d 10 2
a = c，
bd
∴线段(xiànduàn) a、b、c、d 是成比例线
段．
第九页，共二十一页。
（ 2）a=2=25， b=215=25， c 5 5 d 53 5
A. 1cm，2cm，3cm，4cm
B. 2cm，4cm，8cm，10cm
C. 0.5m，20cm，10cm，2.5dm D. 2cm，5dm，0.2m，10cm
单位(dānwèi) 统一
第十六页，共二十一页。
3.已 知a=c=3， 求ab和cd.ab=
bd
b db
cd成 立 吗 ？ d 解：a b a 1 3 1 2， bb
义.。3.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.。2.完成练习册本课时的习题.
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12/6/2021
第二十一页，共二十一页。
a = b，
cd
∴这四条线段是成比例(bǐlì)线段．
第十页，共二十一页。
初中九年级数学 平行线分线段成比例
AB = A1B1 . BC B1C1
我们还可以得到
BC AB
B1C1 , AB A1B1 AC
A1B1 , BC A1C1 AC
B1C1 . A1C 1
由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线
所截，所得的对应线段成比 例.
我们把以上基本事实简 称为平行线分线段成比例.
例题探究
如图，在△ABC 中，已知 DE∥ADBCA，E
C1 c
l1
l2
过点 B 作直线 l3//l2，分别与直线 a,c 相
交于点 A2，C2，由于
a//b//c，l3//l2，因此由 A2 A A1 a
“夹在两平行线间的
B
B1 b
平行线段相等”可知 A2B=A1B1，
C C2
l1 l3
C1 c
l2
BC2=B1C1.
在△BAA2 和△BCC2 中： ∠ABA2=∠CBC2，BA=BC， ∠BAA2=∠BCC2，
解：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB， AD∥BC，∵DC∥AB，∴CGGE＝DGGB，∵AD∥BC.∴CFGG ＝DBGG，∴CFGG＝CGGE，故 CG2＝GF·GE.
2．已知：如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB， 试判断 ADDB＝FBCF成立吗？并说明理由．
解：ADDB＝FBCF成立．理由如下：∵DE∥BC，
因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2, 所以 A1B1=B1C1.
由此可以两得条到直：线被一组平行 线所截，如果在其中一条 直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得 的线段也相等.
如图，任意两条直线 l1，l2 ，再画三
条与 l1，l2 相
沪科版数学九年级上册2第4课时平行线分线段成比例及其推论课件
解：(1)∵AB=AC，ADC,AM=MD.
∵DN ∥CP,
AP AM , BN BD . PN AD PN DC
AP PN BN.
又∵AB=6cm， ∴AP=2cm.
（2）若PM=1cm,求PC的长.
DB EC .
A
AD AE
AD DB AE EC .
AD
AE
E
F
AB AC . AD AE
B
C
AD AE . AB AC
随堂练习
如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则 AC= 7.5 ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
F
G
A
D
E
B
C
例2：如图：在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、
A1
A2 A3
B1 a
B2 b B3 c
想一想： 1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达情势？
练一练
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 (D)
A. AC BD B. AC BD
CE DF
AE BF
C. CE DF D. AE BD
AE BF
BF AC
a b
B3 c n
(2(3))将根b据向前下两平问移，到你如认图为②在的平位面置上，任直意线作m三，条n平与行直线线，
b用的它交们点截分两别条为直A线2，，B截2.得你的在对问应题线(1段) 中成发比现例的吗结？ 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
A1
B1
a
A2
A3 m
图②
九年级数学上册23.1成比例线段如何判断四条线段成比例素材新版华东师大版20220909178
如何判断四条线段成比例我们知道，如果线段a 和b 的比等于线段a 和d 的比，那么，线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段．那么，该如何判断四条线段成比例呢？下面，就给大家简单说明一下．四条线段m 、n 、x 、y 不管各线段排在什么位置，只要满足它们构成的比例式，例如，m ∶n=x ∶y ，那么这四条线段叫做成比例线段．比例式还可以写成另外七种形式：m n =xy ；x m = y n ；n y =m x ；y x = n m ；xy = m n ；y n =x m ；m x =n y ，所以，四条线段只要写成这八个比例式之一，就可以判定它们成比例．由上面八个比例式都可以得到等积式my=nx ，所以四条线段若能写成像前面这样的等积式，也可以判定它们成比例． 另外，还要注意四条线段之间若写出了一个不成比例的关系，例如，n m ≠xy ，我们不能匆忙判定这四条线段不成比例．因为成比例的四条线段有八种排列顺序，而不成比例的排列顺序却有16种，要判定四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列好，分别计算前两线段和后两线段的比，若比值相等，就可以判定这四条线段成比例，否则就不成比例；或者分别计算第一、四和第二、三线段的积，等积，则这四条线段成比例，否则就不成比例．例如，线段a 、b 、c 、d 的长度分别为：（1）2cm ，121cm ，541cm ，7cm; (2) 5cm ，32cm ，23cm ，51cm 验证它们可以组成比例线段，并写出它们组成的一个比例．解：（1）先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： b=121cm ，a=2cm ，c=541cm ，d=7cm ，再求第一、二和第三、四两条线段的比： a b =2211=43；d c =7415=43， 所以，a b =d c ，b 、a 、c 、d 是成比例的线段，121∶2=541∶7是所组成的一个比例． （2）先先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： d=51cm ，d =32cm ，c=23cm ，a=5 cm ，再求第一、四和第二、三两条对线段的积： d ·a=51×5=1；b ·c=32×23=1所以，d ·a= b ·c ，可以写成：b d =ac ， 因此，d 、d 、c 、a 为成比例线段，51∶32=23∶5，四所组成的一个比例．。
苏教版九年级数学知识点归纳总结
苏教版九年级数学知识点归纳总结九年级下册数学知识点归纳一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。
3.判定定理：(1)两角对应相等，两三角形相似;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似;(3)三边对应成比例，两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
初三数学复习资料因式分解的方法1.十字相乘法(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。
2.提公因式法(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式;①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
3.待定系数法(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式;(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程;(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
九年级数学黄金分割知识点
九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。
它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。
黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。
在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。
一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。
即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。
这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。
二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。
在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。
黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。
黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。
这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。
黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。
斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。
斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。
当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。
例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。
这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。
三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。
在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。
例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。
黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。
四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。
在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。
随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2平行线分线段成比例定理课件
他两边的延长线所得的对应线段成比例）
又∵EF=3，BF=2，ED=EF+FD=3+9=12
∴ 3 2
∴BC=8
12 BC
2.已知：如图，G是五边形ABCDE对角线AC上一点，过
点 G作GE∥BC，HG∥DC，分别交AD、AB于F、H
求证： AF EH AB ED
E
A
F
证明：∵FG∥BC ∴ AF AG
∵l1∥l2∥l3
A
B
∴ AB DE
C
BC EF
（平行线分线段成比例定理）
l5
D
l1
E
l2
F l3
㈠内化练习,掌握新知：
1．已知如图l1∥l2∥l3试根据图形分别写出成比例线段.
l4
l5
AD
l1
B
E
l2
C
F l3
l5
l4
D
A
l1
EB
l2
l3 CF
2．已知如图 l1∥l2∥l3
（1）下列比例式中正确的是
定理名称
文字语言
图形
符号语言
平行线分 三条平行线截两条直 线段成比 线，所得的对应线段 例定理 成比例.
l4 A B C
l5
D
l1
E
l2
F l3
平行线分 线段成比 例定理的 推论
平行于三角形一边
A
E
D
的直线截其他两边
D
E
A
（或两边的延长
线），所得得对应 B
C
B
C
线段成比例.
作业布置：练习册
同学们再见
平行线分线段成比例定理
l4 A B C
人教版九年级数学课件《平行线分线段成比例》
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，
l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得
AB
DE
的两条线段DE，EF的长度，BC 与 EF 相等吗？
AB
任意平移l5(3或4)，BC
DE
与 EF
还相等吗？
人教版数学九年级下册
知识精讲
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有 AB DE
长线)，所得的对应线段成比例.
人教版数学九年级下册
针对练习
1.如图，DE∥BC， AE 2 ，则
则
AF
AB =____.
AC
5
AD
AB
AG
=____；FG∥BC，
2 ，
CG
2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= 7.5 ；
FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
关证明. (重点、难点)
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并
进行证明和计算. (重点、难中的四条线段成比例的是( A )
A.1cm，3cm，20cm，60cm
B.2cm，4cm，3cm，9cm
C.5cm，10cm，6cm，15cm
知识精讲
人教版数学九年级下册
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB
BC
CA
k
A B
BC
C A
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说
冀教版九年级上册数学比例线段知识点
冀教版九年级上册数学比例线段知识点
比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b 的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
3.比例的项：已知四条线段a，b，c，d，如果，那么a，b，c，d，叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d还叫做a，b，c的第四比例项.
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段b叫做线段a和c的比例中项.
精品小编为大家提供的九年级上册数学比例线段知识
点大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
人教版九年级上学期数学第22章重点知识（汇总）
人教版九年级数学实际问题与二次函数重点知识（上学
期）。
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九年级线段成比例知识点
一、什么是线段成比例？
线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法
1. 基于长度的判定方法：
设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：
我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质
1. 线段成比例的交叉乘积性质：
设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：
AB × GH = CD × EF
这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：
如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：
AO/OD = BO/OC
这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用
线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代
数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
要在数学学习中多加练习和应用，相信你能够在线段成比例及其他数学知识上取得更好的成绩。