自动控制原理：第七章 离散系统理论
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自动控制原理第7章线性离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
自动控制原理第7章 离散控制系统
2013-7-16 12
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
2013-7-16 20
7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
2013-7-16 3
因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
2013-7-16
11
由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
2013-7-16 20
7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
2013-7-16 3
因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
2013-7-16
11
由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
11
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
第7章 离散系统控制理论 ppt课件
77..89
线性离散系统设计方法 MATLAB在离散系统分析中的应
用 21
7.3.1 Z变换的定义
离散序列{f(k)}，k=0,1,2, …的Z变换
Z{f(k)}F(z) f(k)zk k0
f*(t)f(kT)(tkT)
F(z)F*(s)|S1lnz
T
n0
F*(s) f(kT)ekTs k0
22
24
7.3.2 Z变换的基本定理
(1) 线性定理
Z[a(ft)]a(F z)
Z [f 1 ( t) f2 ( t) ] Z [f 1 ( t) ] Z [f2 ( t) ]
(2) 滞后定理
1
Z[f(tm)T ]zm[F(z) f(k)T zk] km
Z[f(tm T)]zm F(z) f(t)0,t0
y (4 ) 2 y (3 ) 2 4 1 17
…...
19
7.2.4 差分方程的经典解法 1.奇次解 2.特解 3.全解
20
第7章 离散系统控制理论
7.1 信号的采样与保持
7.2 差分方程
7.3 Z 变换
7.4 Z传递函数
7.5 线性离散系统的稳定性分析
7.6 线性离散系统的暂态分析
7.7 线性离散系统稳态性能分析
Lf(t)ejkst
Tk
F*(s)T1kF(sjks)
8
3、采样定理
采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系
F * (j) T 1 F (j Fj*2 (js ) )T 1 T1F ( k j Fj (js ) T 1 jkF ( sj ) )T1F(jjs)
9
从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
石群自动控制原理(第7章)
➢ 离散(时间)系统 ①系统中至少一处信号是脉冲或数码。 ②那些信号只定义在离散时间上。
➢ 采样/脉冲控制系统： 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
➢ 数字/计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。
1. 采样控制系统 采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的
时间瞬时上取值，而无法获取瞬时之间的信息。
⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数 字信号，则数字信号可以看成脉冲信号， A/D转换器 可用每隔T秒瞬时闭合一次的理想采样开关S来表示。
⑵D/A转换器 ①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。 ②D/A转换包括解码和复现两个过程。
离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟
连续信号
采样器 保持器
脉冲序列
采样系统：采样器和保持器是特殊环节。 ⑴信号采样和复现
①采样：连续信号转变为脉冲信号。 ②采样器，例如采样开关。 ③T是采样周期，fs=1/T是采样频率。 ④采样角频率：ωs=2π/T=2πfs，单位是rad/s ⑤采样持续时间τ<<T，τ<<max{连续部分的时间
常数}，通常认为τ趋近于0。 ⑥矩形面积
⑤对于传输延迟，甚至大延迟控制系统，可以引入采样 的方式稳定。
4. 离散系统的研究方法 数学基础：Z变换。
7-2 信号的采样与保持
1. 采样过程 ①采样器，又称采样开关：把连续信号变换为脉冲序列。 ②采样过程：用一个周期性闭合的采样开关S表示。
通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是ms、
μs级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间 常数。
请分析：采样信号与数字信号的区别和联系？
✓区别 采样：在离散时刻，采集连续的幅值。 编码：即A/D过程，将采样值进行0、1编码。
➢ 采样/脉冲控制系统： 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
➢ 数字/计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。
1. 采样控制系统 采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的
时间瞬时上取值，而无法获取瞬时之间的信息。
⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数 字信号，则数字信号可以看成脉冲信号， A/D转换器 可用每隔T秒瞬时闭合一次的理想采样开关S来表示。
⑵D/A转换器 ①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。 ②D/A转换包括解码和复现两个过程。
离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟
连续信号
采样器 保持器
脉冲序列
采样系统：采样器和保持器是特殊环节。 ⑴信号采样和复现
①采样：连续信号转变为脉冲信号。 ②采样器，例如采样开关。 ③T是采样周期，fs=1/T是采样频率。 ④采样角频率：ωs=2π/T=2πfs，单位是rad/s ⑤采样持续时间τ<<T，τ<<max{连续部分的时间
常数}，通常认为τ趋近于0。 ⑥矩形面积
⑤对于传输延迟，甚至大延迟控制系统，可以引入采样 的方式稳定。
4. 离散系统的研究方法 数学基础：Z变换。
7-2 信号的采样与保持
1. 采样过程 ①采样器，又称采样开关：把连续信号变换为脉冲序列。 ②采样过程：用一个周期性闭合的采样开关S表示。
通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是ms、
μs级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间 常数。
请分析：采样信号与数字信号的区别和联系？
✓区别 采样：在离散时刻，采集连续的幅值。 编码：即A/D过程，将采样值进行0、1编码。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统分析
7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
香农（Shannon）采样定理 ： 可以从采样信号 e* (中t) 完全复现连续信号 的e(条t) 件是采样频率 必须大于或s 等于输入采样开关的连续信号 频谱中的最e高(t)频 率 的2倍，即 max
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
由于G(Z)与采样周期T有关，因而，线性定常离散系统的
稳态误差不仅与系统的结构和参数及输入信号的形式及幅
值有关，而且还与采样周期T有关。
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中， R(z) z /(z 1) 。系统输出的变换式为
平面上以原点为圆心的单位圆内。
z，i 即1所有 均位z于i [z]
否则，系统不稳定。
对于线性定常离散系统不能直接应用劳斯判据，需采用一种
变换方法，使[z]平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这
种坐标变换称为双线性变换，亦称为W 变换。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
单位反馈误差采样系统如图所示
如果系统稳定，即系统的闭环极点全部位于[Z]平面上的单
位圆内，则用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
为
e()
lim
t
e*
(t)
lim(1
z 1
z
1
)E(z)
lim
z 1
(1 z)R(z)
z1 G(z)
自动控制原理第7章 离散控制系统分析
y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号 数字信号
数字信号
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
T (t ) (t nT )
其中
1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
连续信号用 f (t ) 表示，采样信号用 f * (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
Tmax 采样定理给出了采样周期的上限值： T 2 2、实际过程中T的选择因素
f 2 f max
理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的 精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设 备输入/输出及计算机执行程序消耗的时间 Tmin， 即 Tmin T Tmax T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间 隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行 机构不能及时响应。 T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调 节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样 周期可能导致系统不稳定。 因此， 实际操作中，选择采样周期时，要综合 考虑系统的下列因素。
自动控制原理：第七章 离散系统理论
z1
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
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0100 1001 0011
0
T
2T 3T (a)
4
5T
t
0
T 2T 3T
4 T
5T
(b)
t0
T
2T
3T
4 T
5T
(c)
t
计算机控制系统典型结构图
三． 离散系统的特点
由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装 置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。
采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声， 从而提高了系统的抗扰能力。
连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连续型的
时间函数的系统。
离散控制系统：控制系统中有一处或几处信号是一串
脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定义，这样的系 统称为离散控制系统。
离散系统分类
采样控制系统或脉冲控制系统 -信号是脉冲序列 数字控制系统或计算机控制系统–信号是数字序列
7-1 离散控制系统的基本概念
允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。 可用一台计算机分时控制若干系统，提高了设备的利用率， 经济性好。
对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入 采样的方式稳定。
四． 离散系统的研究方法(Z变换法)
通过Z变换处理后的离散系统，可把连续系统中的许多方法， 如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应等，经过适当改变 后直接用于离散系统的分析和设计。
传递函数用Gh(s)表示。
f (t)
f h (t)
f (t) 零阶 f h (t) 保持器
0 T 2T 3T 4T t
0 T 2T 3T 4T t
二． 数字控制系统
A/D和D/A：在计算机控制系统中需要应用A/D和D/A转换 器来实现模拟和数字两种信号的转换。
A/D转换器：把连续模拟信号转换成离散数字信号，A/D过程 可以用周期为T的理想采样开关S表示。
若对于一个具有有限频谱（ ）的ma连x 续信号 进f行t采 样，当
采样角频率满足
时s，则2采m样ax函数 能无失真地f 恢t 复原来
的连续信号 。
f t
『注』
1. 周期函数 f 满t 足傅氏积分条件时,可展开以下形式
即
f
f
(tt由)各a2项0 n谐1 波an分co量s组t成 b。n sin
t
a0 2
一． 采样控制系统
工作原理
当检流计的指针与
电位器接触时，电
动机才旋转带动炉
炉
温调节，而在检流 计与电位器脱开时， 电动机就停止不动，
温 采 样 控
保持一定的阀门开
制
度，等待炉温缓慢
系
变化。
统
电位器的输出电压
采样器：把连续信号转变为脉冲信号。
保持器：把脉冲序列转变为连续信号。
采样器和保持器是采样控制系统中两个特殊环节。如电位器充
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
E* (s) eanT enTs en(sa)T
趋于0
f(t)
f (t)
f (t)
f(t) T f (t)
0
t
0 T 2T 3T
t
理想的采样过程
保持器：把脉冲序列转变为连续信号的装置
解决各采样点之间的插值问题，即给信号补上各采样时刻
之间 t n,n的1值。
零阶保持器（ZOH）
把前一时刻nT的采样值，恒定保持到下一时刻(n+1)T；
使采样信号f*(t)变成阶梯信号fh(t),当采样频率足够高时， fh(t)就接近于连续信号；
)eTs e2T
)
E * (s)
三. shannon采样定理
采样周期T越小，离散系统越接近连续系统。
采样周期T太长，采样点很少，在采样点之间可能丢失信息。
采样周期T的选择由shannon定理给出。
f(t)
f * (t )
T
0
0
t
T1
t
(a)
f(t)
f * (t)
T
0
0
t
T2
t
(b)
香农采样定理
n0
n0
1
eTs
1 en(sa)T eTs eaT ,
| en( a)T | 1
『例3』设e(t) et e试2t求,t 采 0样, 拉氏变换 。
『解』 E*(s) (enT e2nT )enTs n0
1
1 eT
(
s
1)
1
1 eT
(
s
2)
(eT e2T (eTs eT )(eTs
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
当采样器，电动机充当保持器。
采样信号 (离散信号)
➢ 采样过程用周期性闭合的采样开关形象表示，周期为T，每次 闭合时间为τ。
➢ 连续信号f(t)，经采样开关后就变成采样周期为T，宽度为τ的
脉冲序列
的意思）
，f 称(t)为采样信号（离散信号）。（注：*代表离散化
理想的采样开关
➢ 闭合时间极短 ➢ τ<<T，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，τ可认为
➢ 连续系统的分析工具——微分方程及L变换
➢ 离散系统的分析工具——差分方程及Z变换
7-2 信号的采样和保持
一．采样过程
把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器(或采样开关)。
二．采样过程的数学描述
采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关起着单位脉冲发
生器的作用，通过它将连续函数f(t)调制成理想的脉冲序列
f(t)
f (t)
f (t)
采样
整量
0111 1010
0 (a)
t0
T
2T
3T
4 T
5T
(b)
0100 1001 1011
t0
T
2T
3T
4 T
5T
t
(c)
D/A转换器：把离散数字信号转换成连续模拟信号。 D/A转
换过程可以用零阶保持器取代。
f (t)
f (t)
fh(t)
解码
信号复现
0111 1000 0010