培养数学思维的批判性和敏捷性
小学数学思维能力培养的“四个品质”
小学数学思维能力培养的“四个品质”作者：许亚玉来源：《教育·教学科研》2021年第02期思维是人类所具有的高级认识活动。
数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。
作为一名数学教师，在课堂中要引导学生用数学的思维来通过现实情境学习数学知识，提升学生的学习、解决问题和创造等能力。
下面，我们就数学思维能力四个方面的品质进行探讨。
一、品质一：数学思维的深刻性数学思维的深刻性包括思维活动的广度、深度和难度，主要是指思维活动的抽象程度和逻辑水平即指学生能否透过现象看本质，是否能接受实践的检验，达到举一反三、触类旁通的效果，同时是对学生数学语言表达的训练，对学生逻辑思维能力的提高。
二、品质二：数学思维的创造性小学阶段数学思维的创造性，是指在原有的知识经验的基础上敢于提出自己独特的想法，用自己与众不同的思路来解决数学问题，对教师与其他学生产生启发作用。
例如：在六年级上册的《比的基本性质》这一课，是在学生已经学过“商的变化规律”和“分数的基本性质”两个知识点的前提下进行学习的。
因此，在课堂一开始，我们先回顾比、分数、除法三者之间的联系与区别，再适当引出除法中有“商的变化规律”，分数中也有“分数的基本性质”，那么比呢？是否会有？在此基础上，学生大胆进行猜想，而后我们再通过实例来进行验证，从而得出“比的基本性质”，从已知知识出发进行知识迁移类比推理，从而得出新知识，这属于具有引导性的数学思维的培养。
因此，要培养学生数学思维的创造性，教师要树立正确的教育观，采用灵活有效的教学方式，并能在各个阶段中因材施教，给学生创设提供创新的空间与时间，有意识、有策略、有方法地培养学生的创造性，提高学生数学思维的创新意识。
三、品质三：数学思维的批判性思维的批判性是指善于独立思考，善于发现问题、勇于提出质疑、辩证分析并解决问题所依据的前提条件，从而反复检查自己所拟定的方案或解决办法，能明辨是非，而不是盲目跟风、不辨是非。
数学教学中学生思维品质的培养
浅谈数学教学中学生思维品质的培养思维品质是指智力活动特别是思维活动中智力特征在个体身上表现出来的敏捷性、灵活性、创造性、深刻性和批判性。
数学教学是培养儿童良好思维品质的主要载体。
教师应充分发掘教材的内在智力因素，科学地进行教学设计，在传授知识的同时重视学生良好思维品质的培养。
一、在数学教学中有意识地培养思维的敏捷性思维的敏捷性是指思维过程的速度，它是对一个问题进行周密分析，正确地判断推理，直截了当地触及问题的本质。
迅速解决问题。
简单地说就是速度要快又准确。
在教学中，教师要针对具体问题设计由易到难、由浅入深的练习来训练学生思维的敏捷性，还要设计一些善于“压缩”或“简化”思维过程的题目，促进学生思维敏捷性的发展。
如教学这样一道题：“小红家到学校的路的1／4是200米，小明家到学校的路的1，5是200米。
小红家到学校的路是小明家到学校路的几分之几?”按照一般的解题思路会列出：(200÷1，41÷(200÷1／5)=4／5。
通过教师启发诱导：小红家到学校路的1／4和小明家到学校路的1／5相等，都是200米。
学生立即顿悟，化繁为简，得出：1.5÷1／4=4／5。
这样缩短了思维过程，也缩短了思维时间，从而达到培养学生思维敏捷性的目的。
二、在数学教学中有意识地培养思维的灵活性思维的灵活性是指思维的灵活程度，善于打破常规，对一个问题从多角度、多方位去进行思维，使所学知识灵活运用，形成技能技巧，达到举一反三、触类旁通的效果。
在教学中，教师要创造情境，突出一个“活”字，设计一些一题多解、有难度和富有思考性能刺激学生灵活思维的素材，逐步养成学生灵活运用知识分析问题和解决问题的习惯。
如学习比和比例后，可设计这样的练习：“有一项工程，甲乙工效的比是4：3，已知甲单独做15小时完成，问乙单独做要多少小时完成?”启发学生开动脑筋用不同的方法解答，可得到以下解法：1.这项工程为“1”，已知甲单独做15小时完成的工效为1115，又知甲、乙的工效比是4：3，即乙的工效是甲的3／4，那么乙的工效是1／15×3／4。
论数学思维能力的培养
论数学思维能力的培养摘要：传统数学教育偏重知识的教育和技能的训练，而在学生能力的培养上没有重视。
但是在知识日益膨胀的今天，对于知识的传播来说，更加重要的是对能力的培养。
为此，探究数学思维能力的培养。
关键词：数学思维能力；培养；方法；途径数学思维能力是人们用数学知识顺利完成某种活动的本领；数学知识是后天才获得的，而数学思维能力既与人的先天因素有关，又与人的后天环境、教育因素、个人的勤奋程度等因素有关；数学思维能力的发展是有限的，数学思维能力是在掌握数学知识的过程中形成和发展的，通过完成对数学知识运用的一些活动展现出来。
一、如何通过数学教学培养学生的数学思维能力数学思维的广阔性、灵活性、敏捷性、深刻性、目的性、批判性的培养。
1.数学思维广阔性的培养从学生对知识掌握时做起，既要掌握其内在的东西，又要把握其可以延伸的东西。
认识问题要从多方面、多角度、多层次地去总结，运用多种解法去解题。
教师可以通过知识的传授、问题的解决来培养学生的数学思维能力的广阔性。
2.数学思维灵活性的培养学生在解决问题过程中思考的方向、角度、技巧根据条件的变化而变化的能力。
引导学生运用多维的思考方式，在自己可能的范围内去寻找合适的解决思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、逆向、纵向、横向的灵活而敏捷的思考，从而打破思维定式。
3.数学思维敏捷性的培养一方面训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握数学知识的抽象程度。
4.数学思维深刻性的培养在数学教学中应当教育学生养成寻根问底的习惯，对一些容易混淆的问题要通过对比认清这些问题的异同所在。
在习题课上引导学生认真审题，发现隐蔽关系，不要仅仅满足于把题目解答出来就完事大吉，而应向更深层次探求它们的内在规律，可以引导学生改变题目的条件、结论等，从而寻找更好的解题方法。
5.数学思维批判性的培养当讲完某一数学知识后，故意设陷阱给学生，让他们去走弯路，然后引导学生去找更好的解决方法，让学生明白自己走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。
小学数学课堂有效操作“四策略”
摘
要： 结合教 学实践 ， 简析小学数学课堂有效操作 的策略。
Ｉ ～
￣ ｆ ｌ ｌ ｉ ｌ ： 数 学 课堂 ； 有 效 操 作； 策 略
随着新课程实践的不断深人 ， 组织学生开展动手操作成 Hale Waihona Puke １ ． 选取材料 ， 方便易行
为新课改下数学课 堂的热点 。 但 纵观当前 课堂 中的操作 活 ，
（ 作 者单 位
河 南省 淅Ｊ ｌ ｌ 县 第二 小 学 ）
寺 ・ 夺 ・ ÷ ・ － ４ Ｖ ・ 寺 ・ 寺 ・ ｛， ・ ÷ ・ ・ 争・ ｛ ・ 々 ・ ÷ ・ ｛－ ・ － ４ ＞ ・ 寺 ・ 孛 ・ 辛 ・ ・ ・ 夺・ 奄 ・ 寺 ・ 寺 ・ ÷ ・ 々 ・ ・ 争・ 午・ ・ 夺 ・ 寺・ ・ 夺 ・ 夺 ・ 夺 ・ ・ ＜ ４ ｂ － ・ 寺 ・ 寺 ・ 夺 ・ 夺 ・ 夺 ・ ÷ ・ 寺 ・ ÷ ・ 寺 ・ ÷ ・ 夺 ・ 々 ・ ÷ ・ 寺 ・ 寺 ・ ・
方便 、 直观 、 实用的学具是进行操作 活动 的必 备条件 ，
动， 不难发现 ， 很 多操作活动有 “ 形” 无“ 质” ， 在热热 闹闹中 ： 在 日常课 堂教 学中 ， 教具 、 学具 越是方便易行 ， 越能 受到师 失去它 的真 实内涵。 如何实施 真正有效的动手实践操作 活 ： 生 的青 睐。如 ， 教学一 年级上册“ 认识 １ ０以内数” 和“ 分与 动， 笔者结合教学实践 ， 简析小学数学课堂有效操作的策略。・ 合” 等 内容 时， 我就让学生 准备 １ ～ １ ０的扑克牌来代 替数字
析、 推理 ， 对相应 的数学材料进行正反 两面的分析 ， 并区分相似概
念， 区分不 同运算法则和定律适用条件之间的区别 等。 要培养 学生 之问的联 系与转换 。 教师在教学时应尽可 能地抓住原则性 、 基 础性
数学思维品质的概述
3.思维深刻性的培养
能迅速看到并学会表达出问题的本质的同学并不多，因 此数学思维的深刻性品质的培养是一项艰巨的工作。培养中 学生思维的深刻性，注意以下几点：
重视揭示知识或问题的发生过程； 重视概括能力的培养； 重视变式教学和反例的作用； 注意对问题情境中隐含条件的挖掘。
（二）思维的广阔性
（三）思维的敏捷性
1.定义：
思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度， 在数学活动中主要表现是，能缩短运算环节和推理过程， “直接计算”得出结果，走非常规的路。有了思维敏捷性， 在处理问题和解决问题的过程中，能够适应变化的情况来 积极地思维，周密地考虑，正确地判断和迅速地作出结论。
2.思维敏捷性的特征与表现
概括性和间接性主要体现在数学思维品质的各个方面。 所以 , 学生在学习数学的过程之中无时无刻不在使用各个 数学思维品质。学习数学知识需要很多数学能力 , 它们分 别是观察与实验,比较、分类与系统化,演绛、归纳与数学 归纳法,分析与综合,抽象与概括,一般化与特殊化,模型化 与具体化,类比与映射,联想与猜想等。这些方法是数学思 维操作的基本手段 , 它们和思想内容、思维形式以及思维 品质相互联结,是数学思维结构的主要成分。
例如，化解“ sin （x y） cos y cos(x y ) sin y”时，学 生倾向于将sin （x y）与cos(x y )展开之后进行计算，而 不善于将（x y）与y两个单角进行计算。
3.思维灵活性的培养： 启迪学生多角度思考、多途径解题 , 做到思维起点 灵活。 其次要培养学生善于进行分析、类比、联想，同时 根据具体问题进行自我调节，具有思维的应变能力。 教学中强化正向思维的同时，经常注意逆向思维的 培养，通过变式教学，加强逆向思维的训练，使学生适应 思维变化的节奏是必要的。
小学数学批判性和敏捷性思维构建的策略
小学数学批判性和敏捷性思维构建的策略作者：曹恩伟来源：《基础教育研究》2013年第15期《义务教育数学课程标准》多次提到，要在小学教学中发展学生的数学思维，培养学生数学思考的能力。
数学思维包括哪些品质呢？笔者认为，在小学数学教学中，要积极培养和发展学生的数学思维，发展深刻性，有两个面向：批判性和敏捷性。
那么如何培养学生思维的批判性和敏捷性品质呢？根据多年的教学实践，笔者谈谈自己的体会。
一、思维的品质：批判性和敏捷性何谓数学思维的批判性？其具体表现是什么呢？通过教学实践，会发现有的学生善于进行思维判断，自控思维过程，不盲从，不轻信。
这种批判性的思维，其品质来源，与学生对思维活动各环节的自我调整和校正有密切关联，而这种校正又来自学生对问题本质的深刻认识和周密思考，最终作出全面正确的判断。
由此可知，思维品质的批判性是在深刻性的基础上发展起来的。
小学数学批判性思维的具体表现，从数学过程来看，就是一个学生能够精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正反两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。
在数学推理的整个环节中，又能够做到从不同角度理解概念，从正反两方面区分相近概念；在运算法则、定律、性质等数学基础中很快找到适用的条件。
更加难能可贵的是，批判性思维的基本表现就是善于发现可能出现的错误倾向，并独立排除错误干扰。
比如在运算时能够排除无关因素的干扰，直奔着解决问题而来，进行辩证思索与分析，对解答结果能自觉作出估计和检验。
例如解这道题：“一个平行四边形相邻两条边的长度分别是12cm和8cm，量得它的高是10cm，它的面积是（）平方厘米。
”题目看似主要是考查平行四边形面积计算知识，只要找到对应的底面和高就可以得出结论。
但在试题检测中，却少有学生能够找到答案。
大多得到的结果是120平方厘米或80平方厘米，其推理过程为：既然平行四边形的面积是底乘以高，那么用哪个乘都可以，所以结果就是两个中的任何一个都可以。
学生为何会犯这样的错误？原因在于思维模式被固定化了，只顾着考量平行四边形的面积问题，而忘记了三角形的相关知识。
浅谈如何培养小学生的数学思维能力
浅谈如何培养小学生的数学思维能力导读：本文浅谈如何培养小学生的数学思维能力，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
浅谈如何培养小学生的数学思维能力河北省无极县角头学校孟彦红学习数学的过程就是思维的过程，数学能力的核心就是思维。
加强学生思维能力的培养，是小学数学教学中全面贯彻、落实素质教育的重要内容之一。
那么，在数学教学中该如何培养学生的数学思维能力呢？一、注重激发兴趣，培养学生思维能力学习是一个主动的过程，对学生而言，学习内因的最好激发是对所学材料的兴趣。
可见兴趣对于学习数学的重要性。
因此，我们在教学中应特别注意创设情境，激发学生的学习动机和内在动力，调动学生思维的积极性和自学性，使学生乐学、想学。
例如教学《能化成有限小数的分数的特征》时，我先让学生报出一个分数，我马上判断它能不能化成有限小数，学生一试，果真如此。
学生都惊叹不已，惊叹之余他们更主要的是急于悟出其中快速判断的奥秘，对此产生了强烈的兴趣，从而激发了学生主动探索的欲望。
在学生主动探索新知识的过程中，他们的思维能力也逐渐得到发展。
二、培养学生思维能力要贯穿在小学阶段各个年级的数学教学中要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。
从一年级一开始就要注意有意识地加以培养。
例如，开始认识大小、长短、多少，就有初步培养学生比较能力的问题。
开始教学10以内的数和加、减计算，就有初步培养学生抽象、概括能力的问题。
开始教学数的组成就有初步培养学生分析、综合能力的问题。
这就需要教师引导学生通过实际操作、观察，逐步进行比较、分析、综合、抽象、概括，形成10以内数的概念，理解加、减法的含义，学会10以内加、减法的计算方法。
如果不注意引导学生去思考，从一开始就有可能不自觉地把学生引向死记数的组成，机械地背诵加、减法得数的道路上去。
而在一年级养成了死记硬背的习惯，以后就很难纠正。
三、培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中不论是开始的复习，教学新知识，组织学生练习，都要注意结合具体的内容有意识地进行培养。
如何培养小学生的数学思维品质
如何培养小学生的数学思维品质作者：施亚利来源：《考试周刊》2013年第45期摘要：数学是思维的产物，任何数学知识都是思维的结晶。
数学思维具有一般思维的特征，即数学思维的品质。
数学思维品质是衡量学生数学思维质量的重要指标，它决定了学生的数学思维能力。
作者结合教学实际，阐述了从不同的角度，运用引导概括、一题多解、手脑并用、开放空间、克服盲从等方法，培养小学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性、批判性。
关键词：数学教学思维品质培养方法小学生的思维品质是他们在思维活动中表现出来的个性差异，其发展是指他们在思维活动中思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独特性和批判性等品质的发展。
这五个方面是构成小学生思维品质的主要因素，是相互联系、密不可分的。
思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映。
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。
数学思维能力主要包括四个方面的内容：①会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；②会用归纳、演绎和类比进行推理；③会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；④能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。
一、思维敏捷性的培养主要是培养正确迅速地分析问题和解决问题的能力。
对于低年级学生，教师狠抓计算正确率，要求百分之百正确。
落实到学生身上，一是认真审题，画出重点词；二是题题有验算；三是错题当日改正。
落实到教师身上，是及时强化，做到每天当堂批改作业，对的打对号，错的打问号，让学生在运算中获得及时肯定与否定，从记忆到思维，建立一个及时刺激、加强正确的条件联系。
在正确的基础上抓速度练习。
到中高年级，强调在运算练习中把正确、迅速与合理、灵活结合起来。
同时，还要注意教给学生一定的思考方法，且不可机械训练。
二、思维灵活性的培养主要训练小学生思维活动的应变能力。
重视发散思维的培养。
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培养数学思维的批判性和敏捷性
（文张天孝）
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。
思维的批判性来自学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。
这种自我意识的“调整”“校正”又来自学生对问题本质的认识。
只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地作出判断。
因此，思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的思维品质。
小学数学思维的批判性，在概括过程中表现为善于精细地估计数学材料，准确选择推理条件；善于从正反两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。
在推理过程中表现为善于从不同角度、正反两方面去理解概念，区分相近概念；善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。
在运算过程中表现为解决数学问题时善于排除无关因素的影响；善于进行辩证地思索与分析，自觉检查思维过程，自我控制和调整思维方向，对解答结果能自觉作出估计和检验。
在维理效果上表现为推断、估计、自学以及对结论与推理过程进行评价的能力较强。
怎样培养和训练学生科学思维的批判性？
在掌握知识的过程中，教师要鼓励学生独立思考，发表自己的见解，形成“自由争辩”的学风。
小学生往往受思维定势的影响，盲目随从，这不利于增强思维的批判性。
为克服学生的盲从心理，教师有时可故意制造一些错误，让学生去发现、评价。
如教学三角形面积，出示左图，要求学生根据图中数据用两种方法求图形面积（单位：厘米）。
学生计算后发现，两组相对应的底和高求出的面积不相等。
这是为什么？教师便引导学生讨论，找原因，从而发现，两条直角边长度之和等于另一条边，就不可能组成一个三角形。
这样设计，在审题时即对题目条件的可靠性进行论证，无疑培养了学生思维的批判性。
同时还向学生渗透了“三角形两边之和必大于第三边”的知识。
（附图 {图}）
在运用知识解决数学问题的过程中，教师应着力培养学生“自我反省”的习惯。
由于学生自我意识的发展还不成熟，往往忽视自己的内部心理活动，对自己思维的破绽、错误不易注意。
因此，在组织练习的过程中，要经常引导学生反省自己的思维，自觉地表述思维过程，自觉地加以检验。
另外，进行多项选择题的训练，也有利于思维批判性的发展。
多项选择题和其它类型相比，问题提法改变了，题目虽然不大，涉及内容却很广，有很多的陷井，要想选出正确的答案，必须用批判的态度去思考。
数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。
具有这一思维品质的人处理问题和解决问题时能适应紧急的情况，迅速
作出正确判断。
在数学学习中，具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接” 得到结果。
克鲁捷茨基的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概括的学生，也能
‘立即’进行推理的缩短。
”
小学生数学思维的敏捷性，在概括过程中表现为善于快速地概括出数、式、形和数量关系中的数学特征、规律以及相应的解题技巧。
在理解过程中表现为善于迅速地抓住数学问题的实质，熟练地进行等价变换。
在运用过程中表现为用压缩了的结构进行数学思维，思路清晰，弯路少。
在推理效果上表现为从冗长的分析推理中解脱出来，减少中间环节，简缩数学推理过程和相关的运算系统。
培养和训练学生思维的敏捷性，在掌握知识的过程中，要注意抓基础促迁移，于简明的结构中包含较大的知识容量，把小学数学中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作为教材的基本结构，并充分发挥这种知识结构所具有的知识之间的联结和转换功能。
例如，以“两商之差”数量关系为基本结构的应用题，抓住a/ b-a/c=f这一结构形式，就可把以下具有可逆关系的12种题型统一在这个关系之中。
(1)原计划30天生产360台机器，实际20天完成。
实际每天比原计划多生产多少台？(360/20-360/30=f)
(2)生产360台机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台。
实际可提前几天？(360/12-360/18=f)
(3)原计划30天生产360台机器，实际每天多生产6台，实际多少天完成？(360/b-360/30=6)
(4)生产360台机器，实际每天生产18台，结果提前10天完成。
原计划每天生产几台？(360/b-360/18=10)
(5)生产360台机器，实际20天完成，每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？(360/20-360/c=6)
(6)生产360台机器，原计划每天生产12台，实际提前10天完成，实际每天生产几台？(360/12-360/c=10)
(7)生产一批机器，原计划30天完成，实际20天完成。
实际每天比原计划多生产6台，这批机器有多少台？ (a/20-a/30=6)
(8)生产一批机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台，结果提前10天完成，这批机器有多少台？( a/12-a/18=10)
(9)生产360台机器，原计划完成的时间是实际的1.5倍，实际每天比原计划多生产6台，实际多少天完成？ (360/b-
360/1.5b=6)
(10)生产360台机器，实际每天生产的是原计划的1.5倍，实际提前6天完成。
原计划每天生产多少台？(36 0/b-
360/1.5b=6)
(11)生产360台机器，实际完成的天数是原计划的2/3，实际每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？ [360/(2c/3)-360/c=6]
(12)要生产360台机器，原计划每天生产的是实际的2/3，实际提前10天完成，实际每天生产多少台？[360 /(2c/3)-
360/c=10]
这是一种结构的方法。
这种方法高于用单纯分析和说明数量关系的解释方法。
其本质是从相互联系相互作用的内在规律上揭示数量关系。
而且研究数量关系的结构形式，可以运用迁移的规律解决同构异素问题。
某些应用题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相似的结构形式，这就是同构异素问题。
教学时可以使形式超脱内容，把不同题材中国共产党同的结构形式分离出来，进一步抽象化、符号化，只研究结构形式之间的关系。
一般来说，概括程度越高，迁移量也就越大。
小学数学中按照抓基础、促迁移、简结构、大容量的原则来组织教学内容，有利于培养学生数学思维的敏捷性。
在运用知识解决问题的过程中，教师可引导学生自觉地、合理地联想来训练他们思维的敏捷性。
联想，即把解决简单问题所采用的手段和所获得的结论，类推到较复杂的情境中，迅速找到解决问题的办法。
解决数学问题的联想，大都可以看作关系联想。
数学概念之间、数学现象之间的联系是多种多样的。
关系联想是这多种多样联想的反映。
联想丰富了，想象也就丰富了，思维的活力增强，思维的敏捷性自然就提高了。