解三角形完整讲义
解直角三角形讲义
解直角三角形初三下册第一章： 知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。
（1） 三边关系：222c b a （2） 锐角关系：∠A+∠B=90°； ( 3 ) 边角关系：正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记sinA ,即sinA =c a余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记cosA ,即cosA=c b；正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记tanA ，即tanA=ba；特殊锐角的三角函数值① 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22 A A ; 商数关系：tanA=AAcos sin ②互余两角的三角函数关系：sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A )2.实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。
俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。
坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。
典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A、B、C、D、2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6B、7C、8D、93、已知a为锐角，且sin（a-10°）=，则a等于（）A、50°B、60°C、70°D、80°4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A、B、C、D、5、如图，如果∠A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、B、C、D、16、△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定7、计算：sin213°+cos213°+sin60°-tan30°．8、求下列各式的值：（1）a、b、c是△ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值．题型二：解直角三角形1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、C、2D、42、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cmB、cmC、2cmD、cm3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、cmB、cmC、cmD、8cm4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、B、C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、6、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、B、C、D、7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A、5B、5C、5D、108、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2 C、D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A、1B、C、D、10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A、16B、18C、6D、711、如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC 于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50mB、4.40mC、4.00mD、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）m．A、5B、10C、15D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A 处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米B、45米C、30米D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A、B、C、D、2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A、68米B、70米C、121米D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60°；B、由楼顶望塔基俯角为60°；C、由楼顶望塔顶仰角为30°；D、由楼顶望塔基俯角为30°6、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45°向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30°向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米B、26.0米C、27.9米D、32.8米7、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．8、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里B、14海里C、7海里D、14海里2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A、北偏东20°方向上B、北偏西20°方向上C、北偏西30°方向上D、北偏西40°方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A、100米B、米C、米D、米4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）．6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）．7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C 处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）8、（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．练习作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°2、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．那么c等于（）A、acos A+bsin BB、asin A+bsin BC、D、3、如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、B、C、D、4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）A、15°B、20°C、30°D、45°5、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（）A、B、C、D、6、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、500cot55°米7、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A、3 B、C、D、8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．9、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．（结果保留根号）10、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）．11、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．。
解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点:1、正弦定理：或变形:2、余弦定理：或3、解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）A. cosA>sinB 且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：，特别地,正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，，，，那么角等于（）A. B. C. D.2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）A. 30 °B. 60 °C. 60 或120 ° D 30 或1503、的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. 2 C. D.4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）A. B. C. D.5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）A. B. C. D.6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）A . B. C . D .& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）A .B .C .D .9、在△ AB（中，证明：。
解三角形ppt课件
解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性 质，解决三角形中的最值 问题。
在解三角形问题中，常常 会遇到需要求最值的问题 。这类问题通常涉及到三 角形的边长、角度等性质 ，需要利用三角形的基本 性质和函数的基本性质进 行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因 为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只 有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握 解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及 到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用 来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的 质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测 量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能 够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保 证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的 位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二 维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系 ，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
最全面的解三角形讲义全
解三角形【高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程.2•考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3•考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.4. 考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.基础梳理a b c1. 正弦定理： = = 、=2R,其中R 是三角形外接圆的半径•由正弦定理可以变sin A sin B sin C形为:(1) a : b : c = sin A ： sin B: sin C;(2) a = 2R sin_ A ， b = 2R sin_ 旦 c = 2R sin_ C ；a b c(3) sin A = 2R sin B= 2R sin C = 2R 等形式，以解决不同的三角形问题.圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R, r .5•用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2•余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 — 2bc cos_ A, b 2 = a 2+ c 2— 2ac cos_ B, c 2 = a 2+ b 2— 2ab cos_C. 余弦定理可以变形为: cos A = 2,22b +c — a 2bc ， cos B = 2,22a + c —b 2accos C = 222a +b — c3•面积公式:1 1& ABC = q ab sin C = ^bc sinA 1r abc 1 ,A = g ac sin B=；4R = 2(a + b + c )r (R 是三角形外接6•实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 (如图⑴)•(2)方位角(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在厶ABC 中，已知a= ,3 ,b= ,2 ,B=45 ° ,求A 、C 和c.【例题2】在厶ABC 中，a 、b 、c 分别是角A , B, C 的对边，且空B =- L cosC 2a c (1) 求角B 的大小；(2) 若b= J3 , a+c=4,求厶ABC 的面积.【例题3】 (14分)△ ABC 中,角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,且b 2+c 2-a 2+bc=0. (1)求角A 的大小；(2) 若a= .. 3，求be 的最大值;指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为a (如图(2)). ⑶ 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°,西偏东60°等.(3) 求asin(3° C)的值.b e【变式】1. △ ABC的内角A、B C 的对边分别为a、b、e,若e= •、2 , b=、. 6 , B=120° ,则a= .2. ( ABC中, a=8,B=60 ° ,C=75 ° ,求b;(2) △ ABC中，B=30° ,b=4,e=8,求C A、a.3. 在厶ABC中，A=60°，AB=5 BC=7,则厶ABC的面积为.4. 已知△ ABC中，三个内角A，B, C的对边分别为a,b,e,若厶ABC的面积为S,且2S=( a+b)2-e2，求tanC 的值.5. 在厶ABC中，角A、B C所对的边分别为a、b、e.若(3 b-e) cosA=acosC，贝U eosA=6. 在厶ABC中,角A B、C的对边分别为a、b、。
解三角形课件
（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③
c
C
b=22
A
B
DA
a=11 B
c
b=20 A
解法二：(1)2 2 2 3 2 6 ABC有两解 2
(2)11 22 1 AB解C三有角形一课件解! (3)A 150 ABC无解 2
例5. ABC中，已知A 60,b 4 3,为使此三角形只有
2sin B sinC 1 - cos（B C） ①
又cos(B C ) cos B cosC sin B sinC ②
由 ① 、 ② 得cos B cosC sin B sinC 1
即cos(B C ) 1 B C ABC是 等 腰 三角 形 解三角形课件!
已知边与角之间的关系
2
则当为多少时OAB的面积最 大值？
解 ：SOBC SOCMD ( SOAC SOBD SABM )
SOCED
1
SOAC
1 cos 2
SOBD
1 2
sin
Y
D(0,1)
O
B(sin ,1) M
A(1,cos ) X
C(1,0)
SABM
1 2
(1
cos
)(1
sin
)
SABM
1（1- sin 2
cos
sin
cos）
SOAC
SOBD SABM
1 1 sin cos 22
SOBC
1 2
(1 sin
cos )
1 2
(1
1 sin2 2
)
当 时 2
S
OBC
达
到
解三角形讲义
[探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a sin A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==, 则a b c c sin A sinB sinC === ，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C== 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =, 则sin sin abA B =， 同理可得sin sin cbC B =， 从而sin sin a bA B =sin cC =思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．（证法二）：过点A 作j AC ⊥， 由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ ()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C 同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而 a b c sin A sinB sinC== 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sin A sinB sinC== [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）a b c sin A sinB sinC ==等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．（1）定理的表示形式： sin sin a b A B =sin c C==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > c b a C B A (图1．1-2) c b a C B A (图1．1-3) c ba C BAj（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c ．由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 ()()c c c a b a b a a b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅22222从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc ，222cos 2+-=a c b B ac ，222cos 2+-=b a c C ba [理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)++-⋅⋅+cos 045=212(62)43(31)++-+=8∴2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-===⨯⨯+b c a A bc ∴060.=Ac ba C B A (图1．1-5)解法二：∵sin 023sin sin45,22==⋅a A B b 又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+= 23＜21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围．例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得： cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解． 2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解．[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况．（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个． （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型．分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） 解：222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆．[随堂练习2]（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型．（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型．（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为32，求sin sin sin a b c A B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理 sin sin abA B =sin cC ==sin sin sin a b c A B C++++ 解：由13sin 22S bc A ==得2c =， 则2222cos a b c bc A =+-=3，即3a =，从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == Ⅲ.课堂练习（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，求角C（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=，求角C（答案：（1）060或0120；（2）045）Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用．Ⅴ.课后作业（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况．（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围．（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状．（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根， 求这个三角形的面积．●板书设计●授后记课题: §1.2.1解三角形应用举例(1)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●难点:根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．Ⅱ.讲授新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75．求A 、B 两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答．分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边．解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABCAC ∠sin AB =ABC ACB AC ∠∠sin sin =ABCACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型．解略：2a km例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法． 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC中，应用正弦定理得AC =)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a =)sin()sin(δγβδγ+++aBC =)](180sin[sin γβαγ++-︒a =)sin(sin γβαγ++a计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒(略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206)评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子．Ⅲ.课堂练习 课本第14页练习第1、2题Ⅳ.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅴ.课后作业 课本第22页第1、2、3题●板书设计●授后记课题: §1.2.2解三角形应用举例(2)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力●教学重点:结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点:能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得AC =)sin(sin βαβ-aAB = AE + h = AC αsin + h =)sin(sin sin βαβα-a + h例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD 边．师：那如何求BD 边呢？生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得．解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC=α- β,∠BAD=α.根据正弦定理, )sin(βα-BC = )90sin(β+︒AB ,所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC 解Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒ ≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？生：若在∆ACD 中求CD ，可先求出AC ．师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？生：同理，在∆ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在∆BCD 中师：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC 边解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C= 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,A BC sin = CAB sin , BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5 ≈ 7.4524(km) CD=BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)答:山的高度约为1047米Ⅲ.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结:利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．Ⅴ.课后作业1、 课本第23页练习第6、7、8题2、 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320(m) ●板书设计●授后记课题: §1.2.3解三角形应用举例(3)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．●教学重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题．Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1.如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路,教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB ．解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理， AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15根据正弦定理, sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2.在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．师：请大家根据题意画出方位图．生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评．解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180︒-4θ，∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒ ． 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ ∴ c os2θ=23,得 2θ=30︒∴ θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2两式相减，得x=53,h=15∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=x h+310=33∴2θ=30︒,θ=15︒ 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得∠BAC=θ， ∠CAD=2θ， AC = BC =30m , AD = CD =103m在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x --------- ① 在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104, --------- ②②÷① 得 cos2θ=23,2θ=30︒,θ=15︒，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m例3.某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量．解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习 课本第18页练习Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． Ⅴ.课后作业1、课本第23页练习第9、10、11题2、我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）●板书设计●授后记课题: §1.2.3解三角形应用举例(4)●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型．另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在 ∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h a =bsinC=csinB,h b =csinA=asinC,h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解] 例1.在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．解：（1）应用S=21acsinB ，得 S=21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，B b sin =C c sin c = B C b sin sin S = 21bcsinA = 21b 2BA C sin sin sinA = 180︒-(B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒ S = 21⨯3.162⨯︒︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得cosB =ca b a c 2222-+=4.417.3823.274.417.38222⨯⨯-+ ≈0.7697 sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384应用S=21acsinB ，得S ≈21⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2) 例 2.如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结．解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB=ca b a c 2222-+ =6812728868127222⨯⨯-+≈0.7532 sinB=≈-27532.010.6578应用S=21acsinB S ≈21⨯68⨯127⨯0.6578≈2840.38(m 2) 答：这个区域的面积是2840.38m 2．例3.在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CB A c b a +=+（2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin = Cc sin = k 显然 k ≠0，所以左边=C k B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CB A 222sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 2222-++ab abc b a 2222-+) =(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边变式练习1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．答案：a=6,S=93;a=12,S=183变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，(1)acosA = bcosB, (2)sinC =BA B A cos cos sin sin ++ 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”师：大家尝试分别用两个定理进行证明． 生1：（余弦定理）得a ⨯bc a c b 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+ ∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+,∴22222b a c b a +==或∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B, ∴A=B∴根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与2B 两个角互补，即2A+2B=180︒，A+B=90︒(2)（解略）直角三角形Ⅲ.课堂练习 课本第21页练习第1、2题Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．Ⅴ.课后作业 课本第23页练习第12、14、15题●板书设计●授后记。
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
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正余弦定理知识要点：1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…【例题】在锐角三角形ABC 中，有 （ B ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直正弦定理专题：公式的直接应用1、已知ABC △中，a =b =60B =o ，那么角A 等于（ ） A ．135o B ．90o C ．45o D ．30o2、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150°3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===o ，则等于（ ）AB．2 CD4、已知△ABC 中，30A =o ，105C =o ，8b =，则a 等于（ B ）A ．4 B. C. D.a5、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3106、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31sin =A ，B b sin 3=，则a 等于 ． （33）7、△ABC 中，45B =o ，60C =o ，1c =，则最短边的边长等于（ A ）A .3 B.2 C . 12D . 28、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ C）A .13 B .12 C .34 D .09、在△ABC 中，证明：2222112cos2cos b a b B a A -=-。
证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A由正弦定理得：2222sin sin b Ba A =2222112cos 2cos b a b Ba A -=-∴专题：两边之和1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ . （61236-,24612-）2、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．专题：三角形个数1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC( C ) A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ B ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ A ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 无解8、在△ABC 中，已知b =，150c =，30B =o ，则边长a = 。
或 专题：等比叠加1、△ABC 中，若60A =o ，a =sin sin sin a b c A B C+-+-等于（ A ）A .2B . 12 D.2、在△ABC 中，A=60°, b=1, 面积为3，则sin sin sin a b c A B C ++++= .3专题：变式应用1、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 2:3:12、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1：3：2D ．3：1：23、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、在△ABC 中，已知边10c =, cos 4cos 3A bB a ==，求边a 、b 的长。
解：由，sinB sinA ,可得 ， 变形为sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B,又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC 为直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。
5、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
6、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．专题：求取值范围1、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( C)A ．2>xB ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ B ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<xcos cos A b B a =b a =cos sin cos sin A B B A =2π43b a =3、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 2 答案 ：设由正弦定理得 由锐角得，又，故，所以 余弦定理专题：公式应用1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（C ） A ． 30° B ．45° C ．60°D ．120°2、在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为（ ）A ．23πB ．56πC ．34πD ．3π 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B )A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°4、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝ 75、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）A. 090B. 060C. 0120D. 0150ABC ∆1,2,BC B A ==cos AC A AC )3,2(,2.A B θθ∠=⇒=,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒=ABC ∆0290045θθ<<⇒<<o o o o 01803903060θθ<-<⇒<<o o o oo 3045cos θθ<<⇒<<o o6、在△ABC 中，三边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ D ）A ．38B ．37C ．36D ．357、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（C） A ． 3π B ．6π C ．32π D ．3π或32π 8、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
3c <<9、设a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，对任意实数x ，222222()()f x b x b c a x c =++-+有（ B ）A.()0f x =B.()0f x >C.()0f x ≥D.()0f x <9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ B ）A ．52B ．C ．16D ．410、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 9 11、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ D ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A -2sinAsinC+sin²C -4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB)=(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC -2sinB)²25760x x --=专题：判断三角形1、若tan tan 1A B >，则△ABC （ A ）A. 一定是锐角三角形B. 可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形D. 可能是直角三角形2、 在△ABC 中，角均为锐角，且则△ABC 的形状是（ C ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3、△ABC 中，60B =o ，2b ac =，则△ABC 一定是 （ D ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定5、△ABC 中，cos cos cos a b c A B C==，则△ABC 一定是 （ D ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形6、在△ABC 中，若cC b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ B ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形,A B ,sin cos B A >7、 若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ） A ．ABC △为等腰三角形 B ．ABC △为直角三角形C ．ABC △为等腰直角三角形D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形 8、ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，根据下列条件判断三角形形状：2222(1).()()3sin 2sin cos _______(2).()sin()()sin()_______.a b c b c a bc A B C ABC a b A B a b A B ABC +++-==+-=-+，且，则△是；，则△是9、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形11、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（D ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（ C ）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形13、在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ B ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ B ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,1015、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 钝角 16、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。