最全面的解三角形讲义
解三角形
【高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
基础梳理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变
形为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos_A ，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos_B ，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos_C ．余弦定
理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接
圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A
b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b
解的 个数
无解 一解 两解 一解 一解 无解
5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
考向探究
题型一 正弦余弦定理运用
【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.
【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
C B cos cos =-c
a b
2.
（1）求角B 的大小；
（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.
【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2
+bc=0. （1）求角A 的大小；
（2）若a=3，求bc的最大值；
（3）求
c
b C
a
-
-?)
30
sin(的值.
【变式】
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .
2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;
(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.
3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .
4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.
5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则
cosA= .
6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值
为 .
7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=
3
π.
（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；
（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
题型二判断三角形形状
【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
题型三测量距离问题
【例题】如图所示，
为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
题型四测量高度问题
【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
巩固训练
1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.
2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则C
B sin sin 的值为 .
3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =4
1（b 2+c 2-a 2），则
A= .
4.在△ABC 中，BC=2，B=3
，若△ABC 的面积为
2
3
，则tanC 为 .
5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .
6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .
7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .
8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解
10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；
（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.
11. 在△ABC 中，cosB=-13
5，cosC=5
4.
（1）求sinA 的值；
（2）△ABC 的面积S △ABC =2
33，求BC 的长.
12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ； （2）求a ，b 的值.
13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22
B A +-cos2C=2
7.
(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.
14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m D.252
2 m
15．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )．
A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里
18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？
参考答案
例题答案
题型一 正弦、余弦定理 【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.
由正弦定理得sinA=
b B a sin =2
45sin 3?
=23, 则A 为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=
B C b sin sin =?
?
45sin 75sin 2=??+?45sin )
3045sin(2=226+.
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=
B C b sin sin =?
?
45sin 15sin 2=?
?-?45sin )
3045sin(2=226-.
故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=2
2
6+或 A=120°,C=15°,c=
2
2
6-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 22
22-+，
cosC=
ab c b a 22
22-+.
将上式代入C B cos cos =-c
a b
+2得:
ac b c a 22
22-+·2222c
b a ab -+=-
c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac
∴cosB=
ac
b c a 2222-+=ac ac
2- =-21 ∵B 为三角形的内角，∴B=32
π.
（2）将b=13,a+c=4,B=3
2
π代入
b 2=a 2+
c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ??
? ??
-211,∴ac=3.
∴S △ABC =
21acsinB=4
33. 【例题3】解（1）∵cosA=
bc
a c
b 2222-+=b
c bc
2-=-21, 又∵A ∈（0°，180°），
∴A=120°.
（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,
又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c=b 时取等号），
∴3-bc ≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）. 即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.
（3）由正弦定理得：
===C
c
B b A a sin sin sin 2R, ∴C
R B R C A R c b C a sin 2sin 2)
30sin(sin 2)30sin(--?=--?
=C
B C A sin sin )30sin(sin --? =C C C C sin )60sin()
sin 23
cos 21(23--?-
C C C C sin 23
cos 23)sin 43
cos 43--==2
1
【变式】
1.
2
2. 解（1）由正弦定理得B
b
A a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
∴b=
?
?
?=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=4
30sin 8sin ?
=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.
∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 103
4. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab, 由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,
所以2sin
2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2
C
=2.
从而tanC=
2
tan 12tan
22
C C -=-3
4. 5.
3
3
6. 3π或32π
7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于3， 所以
2
1
absinC=3，所以ab=4. 联立方程组?????==-+,
4,
422ab ab b a 解得???==22b a .
（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=
2π，B=6π，a=334，b=3
32. 当cosA ≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
联立方程组?????==-+,2,422a b ab b a 解得???
????==.3343
32b ，a
所以△ABC 的面积S=
21absinC=3
3
2. 题型二 判断三角形形状
【例题】 解方法一 已知等式可化为
a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=
b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］ ∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=
2
π
-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a 2b
bc a c b 2222-+= b 2a ac
b c a 22
22-+
∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)
即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0 ∴a=b 或a 2+b 2=c 2
∴△ABC 为等腰或直角三角形.
【变式】 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=
21或cosB=23（舍去）.∴cosB=2
1. ∵0＜B ＜π,∴B=3
π
.
∵a ，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴cosB=
ac
b
c a 22
2
2
-+=
ac
c a c a 2)
2(
2
22+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=
3
π
，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0， ∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=
21或cosB=23
（舍去）. ∴cosB=2
1,∵0＜B ＜π,∴B=3π
,
∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3
π
=3. ∴sinA+sin ???
??-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 3
2π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ??? ?
?+6πA =1. ∴A+
6π=2π,∴A=3π, ∴C=3
π
,∴△ABC 为等边三角形.
题型三 测量距离问题
【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝
a sin 105°
sin 45°
＝
3＋1
2
a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC ·cos 30°＝
22
a . 【变式】
解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°
在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC
sin ∠ABC ，
所以AB ＝
AC sin 60°sin 15°
＝
32＋6
20
(km)，
同理，BD ＝32＋6
20(km)．
故B 、D 的距离为32＋6
20 km.
题型四 测量高度问题
【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，
tan 60°＝CD BD
， ∴BD ＝
CD
tan 60°＝x 3＝3
3
x (m)．
在△AEC 中，x －20＝
3
3
x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD
sin ∠CBD ，
所以BC ＝
CD sin ∠BDC
sin ∠CBD ＝
s ·sin β
sin α＋β
在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin β
sin α＋β
.
题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC
sin ∠ABC ，
sin ∠ABC ＝
AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝9
10
.
∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝
9
10
. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝9
10，
∠ADB ＝45°，由正弦定理：
AB sin ∠BDA ＝BD
sin ∠BAD
，
解得BD ＝922.故BD 的长为92
2
.
【变式】
解 在△ADC 中，AD ＝10，
AC ＝14，DC ＝6，
由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2
2AD ·DC
＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.
在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD
sin B
，
∴AB ＝
AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°
sin 45°
＝
10×32
2
2
＝5 6
巩固训练
1. 等腰；
2.
53；3. 45°；4. 3
3
；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④
10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=
ac b c a 2222-+=ac
bc c 22+=a c
b 2+
=ab a 22
=b a 2=B
A sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以b
a
=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=
ac b c a 2222-+=2
2223443b b b b -+=23
,
所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形.
11. 解 (1)由cosB=-
135,得sinB=1312, 由cosC=54
,得sinC=5
3.
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=65
33. (2)由S △ABC =
233,得21×AB×AC×sinA=233
. 由(1)知sinA=65
33
,故AB×AC=65.
又AC=
C
B AB sin sin ?=1320
AB, 故1320
AB 2=65,AB=2
13. 所以BC=C A AB sin sin ?=2
11
.
12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，
则x 1+x 2=a b c 222-，x 1·x 2=-a
b
.
∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2
22)
(4a b c -+
a
b
4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.
又cosC=ab
c b a 22
22-+=ab ab 2=21,
又∵C ∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=
2
1
absinC=103，∴ab =40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC, 即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×??
?
??
+211.
∴a+b=13.
又∵a ＞b ……②
∴由①②，得a=8,b=5.
13. 解 （1）∵A+B+C=180°,
由4sin 2
2B A +-cos2C=2
7
, 得4cos 22C
-cos2C=27,
∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=2
7,
整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=2
1
, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.
(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2
-2abcosC, 即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =
21absinC=21×6×23=2
33. 14.解析 由正弦定理得
AB sin ∠ACB ＝AC
sin B
，又∵B ＝30°
∴AB ＝AC ·sin ∠ACB
sin B ＝50×
221
2＝502(m)．答案 A
15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.
答案 B 16.解析 如图．
答案 B
17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而
CD ＝CA ＝10(海里)，
在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是5
0.5
＝10(海里/时)． 答案 C
18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝
AB
sin 180°－60°－75
.解得BC ＝56(海里)．
答案 5 6
19.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，
A 1A 2＝302×2060
＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.
又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，
∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)
在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 2
2－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°
＝202＋(102)2
－2×20×102×2
2
＝200， ∴B 1B 2＝10 2.
因此，乙船的速度为102
20×60＝302(海里/时)．(12分)
健康文档 放心下载 放心阅读
解三角形讲义
一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径） 。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②； ，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。 推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ） 。 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。 【答：23】 例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。 【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】
最全面的解三角形讲义
解三角形 【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定 理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第八节解三角形的应用 文
第八节 解三角形的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 知识梳理 一、实际问题中的相关术语、名称 1．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角[]如下图(1). 2．方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等． 3．仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫做仰角．视线在水平线下方的角叫做俯角[]如下图(2). (3) 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数[如图(3)，角θ为坡角]． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比如图(3)，i ＝h l 为坡比． 二、正、余弦定理可以解决的实际问题 距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等．
基础自测 1．已知A ，B 两地的距离为a ，B ，C 两地的距离为3a ，现测得∠ABC 为锐角，且sin ∠ABC ＝223 ，则A ，C 两地的距离是( ) A.2a B.3a C ．22a D ．23a 解析：由∠ABC 为锐角，sin ∠ABC ＝223得cos ∠ABC ＝13 .余弦定理知AC 2＝a 2＋9a 2－2a ·3a ·cos ∠ABC ＝10a 2－6a 2×13 ＝8a 2，所以AC ＝22a . 答案：C 2．如图所示， 为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60m ，则树的高度h 为 ( ) A ．(15＋33)m B ．(30＋153)m C ．(30＋303)m D ．(15＋303)m 解析：由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PB sin 30° ， 即PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15° ， h ＝PB sin 45°＝30sin 45°sin 15° ＝(30＋303) m ．故选C. 答案：C 3．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100 m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________． 解析：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100 m ，∠DAC ＝15°， 因为AC ＝DC ·sin 45°sin 15°，所以AB ＝AC ·sin 60°，
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =， 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题
解三角形讲义(提高版)
解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： ??????-+=?-+=?-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222????? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=?=-+ 基础巩固: 1. 在ABC ?中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________. 2. 在ABC ?中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________. 3. 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B=___________. 5. 在ABC ?中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________. 6. 在ABC ?中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________. 7. 在ABC ?中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________. 8. 在ABC ?中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________. 9.在ABC ?中，060=A ，AB=2，且ABC ?的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ?中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ?的面积为__________. 能力提升: 例1 在ABC ?中，若bcosA=acosB,试判断ABC ?的形状.
解三角形知识点汇总和典型例题
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导教案讲义 授课对象 杨文、黄银 授课教师 程锐 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形 教学重点和难点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ；
解三角形(讲义)
解三角形（讲义） ?知识点睛 1.解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①2边1角 ②2角1边 ③3边 ④1边1角表达 AB=mACAB+BC=n ?精讲精练
1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=1 2 ，则AC=________， sin C=________． 2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sin A=________． 3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则 AC=_______． 4.如图，在△ABC中，tan B=1 2 ，∠C=45°，BC=12，则AB=_________． 5.如图，在△ABC中，tan A=1 2 ，∠ABC=135°，BC=AB=___________．
6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________． 7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE 折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=1 2 ，则CE=_______．
9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到 △BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（） A ． 2 B ．7 C D 10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________． 第10题图第11题图 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE = 12 ∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一 点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________． 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．
解三角形练习题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 解三角形习题及答案 一、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A．90°B．120°C．135°D．150° 2、在△ABC中，下列等式正确的是( )． A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin B C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A．1∶2∶3 B．1∶3∶2 C．1∶4∶9 D．1∶2∶3 4、在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( )． A．25B．5C．25或5D．10或5 5、已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小( )． A．有一种情形B．有两种情形 C．不可求出D．有三种以上情形 6、在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是( )． A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．形状不能确定 7、) ? sin的值为 ? 7 -? ? 83 37 ( sin sin 37 cos
A.2 3- B.2 1- C.21 D.2 3 8、化简 1tan151tan15+-等于 （ ） A B C ．3 D ．1 二、填空题（每题5分，共20分） 9、已知cos α－cos β=2 1，sin α－sin β=3 1，则cos （α－β）=_______． 10、在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ． 班别： 姓名： 序号： 得分： 、 、 、 、 三、解答题 13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角 形．
解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosA
2018届三角函数及解三角形二轮复习讲义
三角函数及解三角形二轮复习讲义 分值：15-17分 题型：题型不固定，一般2-3个小题或一个小题1个解答题； 难度：低、中、高都有，以中低档为主； 第一讲 三角函数的图像与性质、三角恒等变换 高考体验 1.（2017年全国Ⅰ卷）已知0, 2πα?? ∈ ?? ?，tan 2α=，则cos 4πα? ?-= ?? ?________． 2、（2016年全国卷Ⅱ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12 π 个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ） A.()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212 k x k Z ππ=+∈ 3、（2014年全国Ⅰ）在函数①cos y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π =+ ，④tan(2)4 y x π =-中，最 小正周期为π的所有函数为（ ） A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 4、（2016年全国卷Ⅱ）函数()cos 26cos( )2 f x x x π =+-的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 5、（2015年全国Ⅰ卷）函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A.13 (,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ C. 13 (,),44k k k Z -+∈ D ．13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 6、（2016年全国Ⅰ卷）已知θ为第四象限角，且3sin()45π θ+=，则tan()4 π θ-= 7、（2015年四川卷）已知sin 2cos 0αα+=，则2 2sin cos sin ααα-的值为 高考感悟： 考查角度：（1）三角函数的定义及应用；（2）三角函数的性质：奇偶性、对称性、周期性、单调性、最值 等；（3）三角函数的图像变换（或由图像变换求参数），由图求解析式；（4）三角恒等变换：给值求值或与解三角形相结合。
解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点： 1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin
必修5 解三角形复习讲义
解三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
解三角形完整讲义
解三角形完整讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
正余弦定理知识要点： 1、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由 A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin sinB 且cosB>sinA B ．cosA
三角函数与解三角形知识整合-高考理科数学二轮复习微专题讲义
专题2三角函数与解三角形 一、三角函数的图象与性质 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么? 函数y=sin x y=cos x y=tan x 图象 2.求函数y=A sin(ωx+φ)的单调区间时应注意什么? (1)注意ω的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反; (2)不要忘记写“+2kπ”或“+kπ”等,特别注意不要忘掉写“k∈Z”; (3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.
3.三角函数的常用结论有哪些? (1)对于y=A sin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时,其为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得. (2)对于y=A cos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时,其为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. (3)对于y=A tan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时,其为奇函数. 4.三角函数图象的两种常见变换是什么? (1)y=sin x y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ).(A>0,ω>0) (2)y=sin x y=sin ωx y=sin(ωx+φ) y=A sin(ωx+φ).(A>0,ω>0) 二、三角恒等变换与解三角形 1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式? (1)同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α. (2)诱导公式,对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“角α的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限. 2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗? (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; . tan(α±β)= ? (2)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,
相似三角形完整讲义(教师版)
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
解三角形复习资料(上课)
解三角形专题复习 解三角形基本知识 一.正弦定理： 1.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：① C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ③边化角 R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin === 如：△ABC 中，①B b A a cos cos = ②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理： 如图△ABC 中，AD 是A ∠ 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，a 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，a 有一个解； ③b a A b < 1 人教版数学必修五 第一章解三角形重难点解析 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin = C c sin =2R （R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC=A bc B ac C ab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin a b c O B C A D 解三角形 一、基本量求解 （1）正弦定理 （2）余弦定理 2016全国1文总计12 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（） A．B．C．2D．3 2013全国1文总计12 10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（） A．10B．9C．8D．5 （3）综合 2017全国3文总计5 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=． 2016全国2文总计12 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=． 2015全国1理总计12 16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是． 二、关系式化简 （1）三角恒等变形 2017全国1文总计12 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． （2）因式分解 （3）边化角 2017全国2文总计12 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=． （4）角化边 三、判断形状 四、面积 2013全国2文总计5 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（） A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1 2014全国2理总计5 4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1 2016全国3理总计5 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 2016全国3文总计5 9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（） 解 三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 利用正、余弦定理解三角形 【例１】B. （１）证明：A＝２B； （２）若△ABC的面积S＝错误!，求角A的大小． [解] （１）证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝２sin A cos B，故２sin A cos B＝sin B＋sin（A＋B）＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B＝sin（A—B）． 又A，B∈（0，π），故0 综上，A＝错误!或A＝错误!. 解三角形的一般方法 １已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. ２已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. ３已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况. ４已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. １．（２0１9·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin错误!＝b sin A. （１）求B； （２）若△ABC为锐角三角形，且c＝１，求△ABC面积的取值范围． [解] （１）由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sin错误!＝sin B. 由A＋B＋C＝１80°，可得sin错误!＝cos错误!，故cos错误!＝２sin 错误!cos错误!. 因为cos错误!≠0，故sin错误!＝错误!，因此B＝60°. （２）由题设及（１）知△ABC的面积S△ABC＝错误!a. 由正弦定理得a＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!. 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 由（１）知A＋C＝１２0°，所以３0°＜C＜90°，故错误!＜a＜２，从而错误!＜S△ABC＜错误!. 因此，△ABC面积的取值范围是错误!. 判断三角形的形状 【例２】在△ 思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间必修五 解三角形 讲义
高考真题讲义-解三角形-全国卷
必修解三角形复习讲义
苏教版学高中数学必修五解三角形章末复习课讲义