弧长与扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
弧长和扇形面积的计算
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕
AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为
重点知识★
由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有 办法将其转化为平面图形呢？
沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇 形。
要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可 以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了。 但是求 这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？
由勾股定理，每条母线l= h2 r 2 ，h表示圆锥的高，r表示底面 半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固 定的。
我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常 重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足l：2 h2 r 2 。
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
（2）圆锥的再认识
上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？ 它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆， 它的侧面是一个曲面。
我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的 母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？
有无数条，它们是相等的。 为什么是相等的呢？
解：∵母线l＝4，底面半径r＝3 ∴由圆锥侧面积计算公式得： S侧 r l 3 4 12 由圆锥全面积计算公式得： S全 r(l r) 3 (3 4) 21
人教版九年级数学上册《二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积(通用)》公开课课件_11
A.5cm B.10cm C.20cm D.5πcm
数学来源生活
• 要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面 半径r与母线l 的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形 铁皮时，圆心角应取（ D ）。
A.90° B.120° C.180° D.270°
生活中的圆锥侧面积计算
h a 我们把圆锥底面圆周上的任意一点
与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
r
思考：圆锥的母线有几条？
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的
高线长,l表示圆锥的母线长,那么r,h,l 之间
有怎样的数量关系呢？
l h l
r
由勾股定理得：
r2+h2=l 2
动一动：
1．把准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图．
圆柱的地面圆的半径 r 12 1.954(m)
侧面积为 2 1.9541.8 22.10(m2).
圆锥的母线长 l 1.9542 1.42 2.404(m)
侧面展开扇形的弧长为 2 1.954 12.28(m),
圆锥的侧面积为 1 2.404 12.28 14.76(m2 ). 2
力提升部分
• 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个 如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略 不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面 半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是 （A ）
A.240πcm²
B.480 πcm²
C 1200πcm²
.D.2400 πcm²
灵活应用、拓展创新
如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝ 3cm，BC＝4cm，将△ABC绕直角边旋转一周，
例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组 成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2, 高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包,至少需 要多少m2的毛毡? (π取3.142，结果取整 数).
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积与全面积
解：侧面积为12 ×12×12π＝72π(cm2).设底面半径为 r cm，则有 2πr ＝12π，∴r＝6.由于高、母线、底面圆的半径恰好构成直角三角形， 根据勾股定理可得，高 h＝ 122－62 ＝6 3 (cm)
知识点 2：圆锥的全面积 8．圆锥的底面半径为 4 cm，高为 5 cm，则它的表面积为( D ) A．12π cm2 B．26π cm2 C． 41 π cm2 D．(4 41 ＋16)π cm2
9．已知直角三角形 ABC 的一条直角边 AB＝12 cm，另一条直角边 BC ＝5 cm，则以 AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是( A ) A．209π cm2 B．155π cm2 C．90π cm2 D．65π cm2
解：l＝2π×3＝nπ18×0 6 ，∴n＝180，∴圆锥侧面展开图是一个半圆，如 图所示，∠BAP＝90°，AB＝6 m，AP＝3 m，∴BP＝3 5 m，∴小猫 所经过的最短路程是 3 5 m
人教版
第二十四章 圆
24．4 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积与全面积
1．圆锥是由一个底面和一个__侧__面围成的几何体，连接圆锥_顶__点__和底面 圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
练习1：一圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥底面圆的周长为_6_π__．
2．圆锥的侧面展开图是一个__扇__形，扇形的半径为圆锥的_母__线__长，扇形 的弧长即为圆锥底面圆的_周__长__．圆锥的全面积等于底面积＋_侧__面__积__.
则圆锥的侧面积为12 π·AC2＝18π(cm2)
17．(2020·广东中考改编)如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个 圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥 的底面圆的半径r.
11、弧长和扇形面积
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
弧长和扇形面积
教学目标
在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长 、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将 计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一 部分来解决，体会转化、类比的数学思想．
了解圆锥及其母线、侧面积、全面积等概念，会计算圆 锥的侧面积和全面积．
教学重点 弧长和扇形面积公式的推导及运用． 圆锥的侧面积和全面积的计算．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r． 那么侧面展开扇形的半径是___l ___． 侧面展开扇形的弧长与_底__面__周___长__相等 ，等于__2_π_r______． 圆锥的侧面积等于___________________.
圆锥的全面积等于________________.
圆锥 圆锥底面周长和侧面弧长有什么关系？ 怎么算圆锥的侧面积和全面积？
圆锥的弧长公式
圆锥的弧长公式
---------------------------------------------------------------------- 圆锥弧长公式是：
弧长=底面圆周长=2πr=πd；
具备公式如下：
1、圆锥的底面积=圆的面积（π×r×r）或（π(d÷2）×(d÷2)（圆锥只有一个底面）。
2、圆锥的体积：V=sh÷3（S是底面积，h是圆锥高）。
3、圆锥全面积=πr²+πrl。
4、侧面展开图面积=1/2×2πr×l=πrl（r是底面半径，l是母线）。
5、侧面展开图弧长=底面圆周长=2πr=πd。
圆锥的侧面积：
将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长，圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
人教版九年级上册数学《弧长和扇形面积》圆培优说课教学复习课件巩固
【自主解答】(1)∵CD为⊙O 的直径, CD⊥AB,
1
∴ AD BD ,∴∠C=2 ∠AOD.∵∠AOD=∠COE,
r
创设情境
探究新知
应用新知
教科书第114页
巩固新知
课堂小结
布置作业
练习第1、2题
再见
24
圆
弧长和扇形面积
课件
课时目标
1.了解弧形、扇形的概念。
2.理解弧长公式中n的意义，并会运用弧长公式进行有关计算。
3.理解并掌握扇形面积的两个公式，会计算一些组合图形的面积。
探究新知
在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？
【思路点拨】(1)由垂径定理得，
AD BD，再由圆周角和圆心
1
角的关系，求出∠C= 2 ∠AOD，由直角三角形的两锐角互余，求出∠C.
(2)不难得出∠AOB=120°，由直角三角形中30°的性质和勾股定理求出
OF ,AF，扇形OAB的面积减去△AOB的面积为阴影部分的面积.
探究新知
扇形的面积公式及应用
创设情境
思考
观察圆锥，你能说出它是由哪些面围成的几何体吗？
探究新知
应用新知
侧面
底面是一个圆，
底面
侧面是一个曲面.
巩固新知
课堂小结
布置作业
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.
创设情境
思考
圆锥中常见的元素有哪些？
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
母线
高
圆锥的母线
有无数条.
o
半径
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
知道其中两个量，就可以求第三个量
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
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复习指南
本课时复习主要解决下列问题. 1.弧长和扇形面积计算公式，并进行正确计算 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1（包括预测 变形1，2，3），例2；［限时集训］中的第1，3，6，7，8，9， 12，13，14，15题. 2.运用公式进行圆锥（柱）的侧面积和全面积的计算 此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例3； ［限时集训］中的第2，4，5，10，11题.
径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的
中心角；
依据：（1）正n边形的n条半径把正多边形分成n个全等的等腰三角形；
3.圆的周长与弧长公式
注意：在应用公式时，“n”和“180”不再写单位. 4.扇形 定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
（1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若AO=3 cm，OC=1 cm，求阴影部分的面积.
【解析】（1）利用条件“SAS”证明；（2）运用割补法将阴影部分 转化为两个扇形的面积差.
解：（1）证明：∵∠COD=∠AOB=90°， ∴∠AOC=∠BOD.
又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD.
（结果保留准
确值）．
［预测变形３］［2010·台湾］ 如图37-8，扇形AOB中，O形 A′O′B， 其中A点在O′B上，如图所示，则O点旋转至O′点所经过的 轨迹长度为（D ）
A.Π B.2π C.3π D.4π
类型之二 扇形的面积计算 例2 ［2010·新疆］圆心角都是90°的扇形AOB与扇形COD如图 37-9所示那样叠放在一起，连接AC、BD.
类型之三圆锥（柱）侧面展开图和全面积的计算
例2 ［2010·衢州］小刚用一张半径为24 cm的扇形纸 板做一个如图37-10所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如 果做 成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积 是（B）
展开图：圆柱的侧面展开图是一个 矩形 ，这个矩形的一边长等于圆 柱的高（即圆柱的母线长），另一边长是底面圆的周长.
公式：如图37-3，圆柱的母线长为l， 底面圆的半径为R.
7.圆锥的侧面展开图 展开图：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这 个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，而扇形的半径等于圆锥的母 线长. 公式：如图37-4，圆锥的母线长为l，底面圆的半径为R.
［预测变形1］如图37-6，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋
转而得，且点A,B,C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，
BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为
．
［预测变形２］如图37-7所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平
线滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为
注意：（1）全面积是由侧面积和底面积组成的； （2）在公式计算中，不能把圆锥的母线长误当作圆锥的高.
归类探究
类型之一 弧长计算
［2011·预测题］矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放 在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置 A1B1C1D1时（如图37-5所示），则顶点A所经过的路线长是 12π .
（其中，R为半径，l为弧长，n为扇形圆心角的度数）
注意：当已知半径R和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式 （1）；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式（2）.
5.弓形的面积计算 方法：如图37-2所示.
图37-2
规律：不规则图形的面积应当转化为规则图形（有公式可利用）的面 积的和或差，转化的方法有分割和补全两种. 6.圆柱的侧面展开图
【解析】顶点A所经过的路线是以AB，AC，BC为半径的圆上90°的 圆心角所对的三条弧的弧长之和， ∵AB=8，AD=6，∴AC=10， ∴三条弧的长度和为14×2π×（8+10+6）= 12π， ∴顶点A所经过的路线长为12π.
预测理由 此内容是新教材与中考必须掌握的，它培养图形的变化和 空间想象的能力.
（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的 一边 的距离叫做正多边 形的边心距，也就是正多边形内切圆的半径.
2.正多边形的有关计算公式
考点管理
1.正多边形与圆的关系
关系：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个 圆的内接正n边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
有关概念： （1）正多边形的中心：正多形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：正多边形的 外接圆的半径 叫做这个正多边形的半