44初中数学九年级全册 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解(提高)

初中数学九年级全册
弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则
圆锥的侧面积2
360
l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积
.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1. 如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，BC 的长为20πcm ， 那么AB 的长是多少?
【答案与解析】
∵ 180
n R
l π=
， ∴ 12020180
R
ππ⨯⨯=．
解得 R ＝30 cm ． 答：AB 的长为30cm ． 【总结升华】由弧长公式180
n R
l π=知，已知l 、n ，可求R ． 举一反三：
【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是 ．
【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得5
8.r π
π
=或
2.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3BC 的中点E 为圆心的MPN 与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积是多少?
【答案与解析】
∵ BC ＝AD ＝3，∴ 32
BE =
． 连接PE ，∵ AD 切⊙E 于P 点，∴ PE ⊥AD ． ∵ ∠A ＝∠B ＝90°． ∴ 四边形ABEP 为矩形， ∴ PE ＝AB ＝1．
在Rt △BEM 中，3
3
212
BE ME ==，∠BEM ＝30°． 同理∠CEN ＝30°，∴ ∠MEN ＝180°-30°×2＝120°． ∴ 2212013603603
n R S πππ⨯⨯===扇形
． 【总结升华】由MPN 与AD 相切，易求得扇形MEN 的半径，只要求出圆心角∠MEN 就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN 的面积． 举一反三：
【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）．
A ．3:2
B ．3:1
C ．5:3
D ．2:1 【答案】D ；
【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，∴S 底=πr 2
，S 侧=•2r•2πr=2πr 2
，∴S 侧：S 底=2πr 2
：πr 2
=2：1．
类型二、圆锥面积的计算
3. 如图（1），从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
A B
C
O ① ②
【答案与解析】
（1）连接BC ，如图（2），由勾股定理求得：
AB AC ==21
3602
n R S π=
=π （2）连接AO 并延长，与弧BC 和
O 交于E F ，，
2EF AF AE =-=-弧BC
的长：1802
n R l π=
=π ， 图（2） 22r π=
∴圆锥的底面直径为：2r =
22-<
，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． （3）（
2）中的结论仍然成立.
由勾股定理求得：AB AC ==
弧
BC 的长：1802
n R l R π=
=π 2
22
r R π=
π ∴圆锥的底面直径为：2
2
r R =
2(2EF AF AE R R =-==
222-<
且0R >
(2R R ∴<
即无论半径R 为何值，2EF r <
∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
【总结升华】（1）连接BC 、OA ，由于∠BAC=90°，根据圆周角定理知BC 为⊙O 的直径，根据等腰三角
形的性质即可求出AB 、AC 的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90°，根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积．
B
（2）过A作⊙O的直径AF，求出以FE为直径的圆的周长，若此圆的周长＜弧BC的长，则
不能围成圆锥，反之则能．
举一反三：
【变式】（2015•黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．
【答案】24π.
【解析】底面周长是：2×3π=6π，
则侧面积是：×6π×5=15π，
底面积是：π×32=9π，
则全面积是：15π+9π=24π．
故答案为：24π．
类型三、组合图形面积的计算
4. （2015•山西模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D 是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
【答案与解析】
解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长===π；
（2）∵OF=OP，
∴OF=1，
∴PF==，
∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．
【总结升华】本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．。