初中数学弧长和扇形面积圆锥的侧面展开图

弧长和扇形的面积圆锥侧面展开图 教案 夯实基础 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.查漏补缺 圆的性质。

中考考点 1、圆的有关概念；2、圆周角与圆心角；3、直线与圆的位置关系。

思维拓展圆的综合问题。

弧长和扇形面积圆锥的侧面展开图 需掌握的知识点要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.小结反思 熟练掌握常见的辅助线添加方法，有助于提高解题速度。

情况反馈 ○ 非常满意○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：主管签字： 日期一、典型例题类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）．A ．33πB ．32π C ．π D ．32π图（1）举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）CB O举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．449-πB ．849-π C ．489-π D ．889-π图（1）类型二、圆锥面积的计算3．如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比；（2）圆锥的全面积．类型三、组合图形面积的计算4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．二、巩固练习1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.5πB. 4πC.3πD.2πA EBC F P2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )．A．A处 B．B处 C．C处 D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为( )．A．250πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A．120° B．180° C．240° D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是( )．A．7.5π cm2 B．12π cm2 C．15πcm2 D．24π cm26．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.第8题图第9题图第11题图9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．''的位11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C 置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝63cm，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．16.已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：（1）∠AOC的度数；（2）线段AD的长（结果保留根号）；（3）求图中阴影部分的面积．答案解析一、选择题1.【答案】C .【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π.故选C.2.【答案】B【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B 处时活动区域的面积最大．3.【答案】B ；4.【答案】B ；【解析】由22rl r ππ=得2l r =， ∴ 22180n r r ππ=．∴ n ＝180°． 5.【答案】C ；【解析】可求圆锥母线长是5cm ．6.【答案】B ；【解析】因为正五边形ABCDE 的内角和是（5﹣2）×180=540°，则正五边形ABCDE 的一个内角==108°； 连接OA 、OB 、OC ，∵圆O 与正五边形ABCDE 相切于点A 、C ，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC 的长度为=π．故选B ．二、填空题7.【答案】240πcm 2 ；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积．8．【答案】20π（cm ）；【解析】904020180180n r l πππ⨯===(cm)． 9．【答案】3π； 【解析】由扇形面积公式得2212033360360n R S πππ⨯===扇形(cm 2)． 10．【答案】2 ；【解析】扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．．11．【答案】20()cm π；【解析】顶点A 经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,1203020()180l cm ππ⨯==. 12．【答案】 3π； 【解析】 连接AC ，知AC ＝AB ＝BC ，∴ ∠BAC ＝60°，∴ 弧6011803BC ππ=⨯=．三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ， 过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC=12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=π•OB 2-π•OC 2=π（OB 2-OC 2）=πAC 2=72π．故答案为72π．14.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA ＝OB ，OC ＝OD ．再由∠AOB ＝∠COD ＝90°，得∠1＝∠2，所以△AOC ≌△BOD ．(2)解：22211()(91)2(cm )44S S S OA OC πππ=-=-=-=阴影扇形AOB 扇形COD ．15.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC ，则OC ⊥AB ，∴ OA ＝OB ，∴ AC ＝BC ＝1163cm 33cm 22AB =⨯=．在Rt △AOC 中，22226(33)cm 3cm OC OA AC =-=-=． ∴ ⊙O 的半径为3 cm ．(2)∵ OC ＝3cm 12=OB ，∠B ＝30°，∠COD ＝60°．∴ 扇形OCD 的面积为226033(cm )3602ππ=． ∴ 阴影部分的面积为 213933(cm )22BOC OCD S S OC CB ππ∆--=-=扇形． 16. 【答案与解析】解：（1）∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°；（2）∵∠AOC=60°，AO=CO ， ∴△AOC 是等边三角形； ∵OH=，∴AO=4；∵AD 与⊙O 相切，∴AD=；（3）∵S 扇形OAC ==π，S △AOD =×4×4=8； ∴．。