高考数学一轮复习课时作业(十九) 理 新人教版
新高考一轮复习人教版 二项分布与正态分布 作业
11.3 二项分布与正态分布基础篇 固本夯基考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为23,34,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进人第三关的概率为( ) A.12B.56C.89D.1516答案 B2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B 满足P(A)=P(B)=23,则( ) A.事件A,B 一定互斥 B.事件A,B 一定不互斥 C.事件A,B 一定互相独立 D.事件A,B 一定不互相独立 答案 B3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案 B4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( ) A.112 B.13 C.12 D.34答案 D7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( ) A.P(M)=12B.P(M|A 1)=611 C.事件M 与事件A 1不相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 答案 BCD8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B (6,13),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数字作答) 答案20243;439.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .答案5910.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案16;2311.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y 的分布列及数学期望和方差. 解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,∴甲通过自主招生初试的概率P 1=C 63C 21C 84+C 64C 84=1114,又∵乙能答对每个试题的概率为34, ∴乙通过自主招生初试的概率P 2=C 43(34)314+C 44(34)4=189256,∵P 1>P 2,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.(2)由题意可知,乙答对题的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4,X~B (4,34), P(X=k)=C 4k (34)k (14)4−k(k=0,1,2,3,4)且Y=5X, 故Y 的分布列为∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4×34=15, D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×34×(1−34)=754. 13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个, 由此估计所求概率为1220=35. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35. 所以P(X=0)=C 30(35)0(1−35)3=8125, P(X=1)=C 31(35)1(1−35)2=36125, P(X=2)=C 32(35)2(1−35)1=54125, P(X=3)=C 33(35)3(1−35)0=27125, 所以X 的分布列为故X 的数学期望E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95. 14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考点二 正态分布1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c 的值为( )A.32 B.2 C.1 D.12答案 A2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题: 甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2). 乙:P(ξ>a)=0.5. 丙:P(ξ≤a)=0.5.丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X ≤4)= . 答案 0.45.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值;②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a 的值;(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)①由题意得30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4100=60.5,∴μ=60.5.②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=12,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100, P(X=20)=12×34=38,P(X=40)=12×34×34=932,P(X=50)=12×14=18,P(X=70)=12×34×14+12×14×34=316,P(X=100)=12×14×14=132,∴X 的分布列为∴E(X)=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132=1654. 综合篇 知能转换考法一 条件概率的求法1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为23,连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”,事件B 表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( ) A.13B.12C.23D.34答案 D2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( ) A.16B.310 C.12 D.35答案 D3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A ,B 分别为随机事件A,B 的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是( ) A.P(B|A)+P(B |A)=P(A) B.P(B|A)+P(B |A)=1C.若A,B 独立,则P(A|B)=P(A)D.若A,B 互斥,则P(A|B)=P(B|A) 答案 BCD考法二 n 重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为12,他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9,那么n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 答案 B3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23,其必答题环节的总得分为X,则( ) A.该选手恰好答对2道题的概率为49B.E(X)=50C.D(X)=1003D.P(X>60)=112243答案 BD4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.965.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动时间量不少于0.74h 时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k 人为“活动爱好者”的可能性最大,试求k 的值.(每组数据以区间的中点值为代表)解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率为25.①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A, 则P(A)=C 53·(25)3·(1−25)2+C 54·(25)4·(1−25)+C 55(25)5=9923 125.②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=C 33C 53=110,P(ξ=1)=C 32C 21C 53=35,P(ξ=2)=C 31C 22C 3=310,则ξ的分布列如下:故E(ξ)=0×110+1×35+2×310=65. (2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中“活动爱好者”的活动时间为[9,11](单位:h),参加活动的老年人中为“活动爱好者”的概率为p=0.19,若从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到X 人为“活动爱好者”,则X~B(10,0.19), 若k 人的可能性最大,则P(X=k)=C 10k p k(1-p)10-k,k=0,1,2,3, (10)由题意有{P(X =k)≥P(X =k −1),P(X =k)≥P(X =k +1),即{C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k−1(0.19)k−1(0.81)11−k ,C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k+1(0.19)k+1(0.81)9−k , 解得1.09≤k ≤2.09,由k ∈N *,得k=2.6.(2022届广东汕头金山中学期中,19)如图,李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1、L 2两条路线,L 1路线上有A 1、A 2、A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1、B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条较好的上班路线,并说明理由.解析 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(1−12)2=12, 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1−34)×(1−35)=110,P(X=1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920,P(X=2)=34×35=920. 随机变量X 的分布列为所以E(X)=0×110+1×920+2×920=2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布Y~B (3,12),所以E(Y)=3×12=32. 因为E(X)<E(Y),所以选择L 2路线上班较好.7.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k ·(23)k (13)3−k ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 8.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f'(p)=C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2C 202p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时,f'(p)>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.考法三 正态分布问题的求解方法1.(2022届江苏苏州调研,3)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)=( )A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07 答案 A2.(2022届江苏徐州期中,5)某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节,现有1000人应聘,他们的简历评分X 服从正态分布N(60,102),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为( )(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)A.12B.23C.46D.159 答案 B3.(多选)(2022届湖南湘潭9月模拟,10)已知随机变量X 服从正态分布N(0,22),则( ) A.X 的数学期望为E(X)=0 B.X 的方差为D(X)=2 C.P(X>0)=12D.P(X>2)=12 答案 AC4.(2022届河北9月开学摸底联考,7)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐,是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘,10%~20%为有机碘,海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐,则至少有2袋的质量超过400克的概率为( ) A.1116 B.34 C.58 D.516答案 A5.(2022届(新高考)第一次月考,19)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973.解析 (1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的可能值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=C 64C 104=114,P(ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P(ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P(ξ=3)=C 43C 61C 104=435,P(ξ=4)=C 44C 104=1210.故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.由X 服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X ≤64+18)=P(46<X ≤82)≈0.6827,则P(X>82)=12(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)=0.6827+0.15865=0.84135,60×0.84135≈50,所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.6.(2022届辽宁渤海大学附中考试,20)随着我国国民消费水平的不断提升,进口水果受到了人们的喜爱,世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国:泰国的榴莲、山竹、椰青,厄瓜多尔的香蕉,智利的车厘子等水果走进了千家万户.某种水果按照果径大小可分为五个等级:特等、一等、二等、三等和等外.某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将样本频率视为概率,从这批水果中随机抽取6个,求恰好有3个水果是二等级别的概率; (2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果,则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y 表示抽取的优级水果的数量,求Y 的分布列及数学期望E(Y).解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个,抽到二等级别水果的事件为A,则P(A)=250500=12, 随机抽取6个,设抽到二等级别水果的个数为X,则X~B (6,12), 所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P(X=3)=C 63(12)3(12)3=516.(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个, 其中优级水果有3个,非优级水果有7个. 则Y 所有可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C 73C 103=724,P(Y=1)=C 72C 31C 103=2140,P(Y=2)=C 71C 32C 103=740,P(Y=3)=C 33C 103=1120.所以Y 的分布列为所以E(Y)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.7.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9 5经计算得x=116∑i=116x i=9.97,s=√116∑i=116(x i−x)2=√116(∑i=116x i2−16x2)≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,√0.008≈0.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 §1.1 集 合
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第一章§1.1 集 合1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.(3)集合的表示法： 、 、 .确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号___ N *(或N ＋)___ ______ NZQ R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中 都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作 (或B ⊇A ).(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且 ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作 (或B A ).(3)相等：若A ⊆B ，且 ，则A ＝B .(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是 的子集，是 的真子集.任意一个元素A ⊆B x ∉A A B B ⊆A 任何集合任何非空集合3.集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集________________ ______ 交集______________________ 补集____________________{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B {x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B {x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A常用结论1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}.( )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( )(3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.( )(4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B ).( )√×××2.(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B等于A.{x|2<x≤3}B.{x|7<x<10}√C.{x|2<x<3或7≤x<10}D.{x|2<x≤3或7<x<10}因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}.3.(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若2A∪B＝A，则实数a＝________.因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意.综上，实数a＝2.4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，[2，＋∞)则实数a的取值范围为___________.因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.返回第二部分探究核心题型例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，则A ∩B 的子集个数为A.1B.2C.3D.4√题型一 集合的含义与表示集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A∩B的元素个数为2，则A∩B的子集个数为4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为√A.2B.3C.0D.－2因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}.当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.思维升华解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素.(2)确定元素的限制条件.(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y |x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为√A.3B.4C.5D.6因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.(2)若含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成{a2，a＋b,0}，1则a2 024＋b2 024＝________.此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足互异性，故舍去；当a＝－1时，满足题意.所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A ＝{x |x >5}，B ＝{x |1－log 2x <0}，则A.A ⊆BB.B ⊆AC.A ∩B ＝∅D.A ∪B ＝R因为集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |1－log 2x <0}＝{x |x >2}，所以A ⊆B .√题型二 集合间的基本关系(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是√∵B⊆A，∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意.②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x|y ＝ ，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是√A.M NB.N MC.M⊆∁R ND.N⊆∁R M因为M＝{x|y＝ ，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N M.(2)设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，当x ∈Z 时，集合A 的非空真子集的个数为________；当B ⊆A 时，实数m 的取值范围是________________________.254{m |m ≤－2或－1≤m ≤2}易得A＝{x|－2≤x≤5}.若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠∅，综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}.题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x | <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N 等于√所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，(2)(多选)已知M ，N 均为实数集R 的子集，且N ∩(∁R M )＝∅，则下列结论中正确的是A.M ∩(∁R N )＝∅B.M ∪(∁R N )＝RC.(∁R M )∪(∁R N )＝∁R MD.(∁R M )∩(∁R N )＝∁R M√√∵N∩(∁R M)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁R N)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁R N)＝R，故B正确；由N⊆M可得∁R N⊇∁R M，故C错误，D正确.命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为√√√由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁R B)＝A，则实数a的取值范围为√A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)因为B＝{x|x>a}，所以∁R B＝{x|x≤a}，又A∩(∁R B)＝A，所以A⊆∁R B，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1].思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |1<x <3}，则A.(∁R A )∪B ＝{x |0≤x <3}B.(∁R A )∩B ＝{x |1<x <2}C.A ∩B ＝{x |2<x <3}D.A ∩B 是{x |2<x <5}的真子集√√√由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁R A＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为√A.(－∞，1]B.(－∞，2]C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2.题型四 集合的新定义问题例5 (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有A.G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群√√对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A 错误；对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，思维升华集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.跟踪训练4 (多选)设A 为非空实数集，若对任意x ，y ∈A ，都有x ＋y ∈A ，x －y ∈A ，且xy ∈A ，则称A 为封闭集.下列叙述中，正确的为A.集合A ＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B.集合A ＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }为封闭集C.封闭集一定是无限集D.若A 为封闭集，则一定有0∈A √√对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确.知识过关一、单项选择题1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M＝{1,3}，则√A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M由题意知M＝{2,4,5}.2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于A.{－2，－1,0,1}B.{0,1,2}√C.{－2}D.{2}方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}.方法二 因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.。
2019版高考数学(理)一轮总复习作业：39专题研究3 数列的综合应用
专题层级快练(三十九)(第一次作业)1．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C. D ．－1212答案 D解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)．∴4a 12－4a 1＋1＝4a 12－6a 1⇒a 1＝－.122．(2017·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3，2a 2成等差数列，12则＝( )a 9＋a 10a7＋a 8A ．1＋ B ．1－22C ．3＋2 D ．3－222答案 C解析 因为a 1，a 3，2a 2成等差数列，所以a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以1212q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋或q ＝1－(舍)，所以＝＝q 2＝(1＋)22a9＋a10a7＋a8a1q8（1＋q ）a1q6（1＋q ）22＝3＋2.23．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14答案 C解析 S 5＝5a 1＋d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝＝2d ＝－4.5×42a4－a24－34．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )A ．2018年 B ．2019年C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>，又lg2－lg1.3lg1.12≈＝3.8，则n>4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金lg2－lg1.3lg1.120.30－0.110.05开始超过200万元，故选B.5．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2 B ．4C ．8 D ．16答案 D解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 72＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 72＝a 72＝16.6．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )A ．3n ＋4 B ．6n ＋2C ．6n ＋4 D ．2n ＋2答案 C解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则d 1＝＝＝2，d 2＝＝＝3.a6－a26－284b6－b26－2124∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{b n }为1，4，7，10，13，16，19，22，….∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列．∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.7．(2017·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A ．200 B ．300C. D ．4005003答案 B解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.8．(2017·河南洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则＝( )a 1＋a 5＋a 9a2＋a 3A ．2 B ．3C ．5 D ．6答案 B解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 42＝a 2a 8，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋7d)，∴a 1＝d ，∴＝＝3.故选B.a1＋a5＋a9a2＋a33a1＋12d2a1＋3d 9．(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.301 0)( )A ．1 631 B ．6 542C ．15 340 D ．17 424答案 B解析 由2n <104，得n<≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和4lg2S 1＝＝16382；同理，数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和2×（1－213）1－2S 2＝＝9 840，∴|S 1－S 2|＝6 542.3×（1－38）1－310．(2018·温州十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论正确的是( )A ．a 2>b 2 B ．a 3<b 3C ．a 5>b 5D ．a 6>b 6答案 A解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题意得解得{4＋3d ＝1，4q3＝1，)则a 2－b 2＝3－>3－＝0；故选A.{d ＝－1，q ＝314，)31632711．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________．答案 或112解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 32＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，整理得(a 1＋4d)d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d.当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4分别为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为.1212．(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案 4解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1＝，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ，则12a n ＋1＝a n ·，∴a n ＝a 1q n －1＝()n ，∴()n <，解得n ≥4.12121211013．(2015·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．12131n (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .答案 (1)a n ＝2n ，b n ＝n (2)T n ＝(n －1)2n ＋1＋2解析 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.n ≥2时，b 1＋b 2＋…＋b n －1＝b n －1和原递推式作差得b n ＝b n ＋1－b n ，整理得121n －11n ＝，所以b n ＝n(n ∈N *)．bn ＋1n ＋1bnn(2)由①知a n b n ＝n·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．14．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q>0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 12＋e 22＋…＋e n 2.y 2an2答案 (1)a n ＝2n －1(n ∈N *) (2)n ＋(3n －1)12解析 (1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－＝1的离心率e n ＝＝.y2an21＋an21＋q2（n －1）由e 2＝＝2解得q ＝.1＋q23所以e 12＋e 22＋…＋e n 2＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋＝n ＋(3n －1)．q2n －1q2－11215．(2018·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)．答案 (1) (2)不需要{0.5n ＋45，1≤n ≤1050×0.99n －10，11≤n ≤20)解析 (1)由题意知，当n ≤10时，数列{a n }是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以a n ＝45.5＋(n －1)×0.5＝0.5n ＋45.当11≤n ≤20时，数列{a n }是公比为0.99的等比数列，而a 11＝50×0.99，所以a n ＝50×0.99n －10.所以新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝{0.5n ＋45，1≤n ≤10，50×0.99n －10，11≤n ≤20.)(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5(万)，所以新政策实施到2035年人口均值为≈48.63<49.S2020所以到2035年后不需要调整政策．16．(2018·云、贵、川三省联考)设数列{a n }是公差大于0的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝9，且2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足＝2n －1(n ∈N *)，设T n 是数列{b n }的前n 项和，证明：T n <6.a nbn 答案 (1)2n －1 (2)略解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d>0.因为S 3＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝9，即a 2＝3.因为2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，所以d ＝2.所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)证明：因为＝2n －1(n ∈N *)，anbn 所以b n ＝＝(2n －1)()n －1，2n －12n －112所以T n ＝1×()0＋3×()1＋…＋(2n －1)×()n －1，①121212所以T n ＝1×()1＋3×()2＋…＋(2n －3)×()n －1＋(2n －1)×()n ，②1212121212由①②两式相减得T n ＝1＋2×()1＋2×()2＋…＋2×()n －1－(2n －1)×()n ＝1＋－＝3－12121212121－（12）n －11－122n －12n－，整理化简得12n －22n －12n T n ＝6－.2n ＋32n －1又因为n ∈N *，所以T n ＝6－<6.2n ＋32n －1(第二次作业)1．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 的值为( ) A. B.1412C ．2 D ．4答案 A解析 设等比数列的公比为q ，由根与系数的关系，得1＋q ＋q 2＋q 3＝15，即(q －2)(q 2＋3q ＋7)＝0，因此q ＝2，此时m ＝q 2，n ＝q 4，故m ∶n ＝1∶4，故选A.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A. B.S 32S 34C. D.S 36S 38答案 C解析 [(1＋)S －x](1＋)－x ＝(1＋)S ，x ＝.141412S363．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )12121abcA.1 B ．2C ．3 D ．4答案 A解析 由题意知，a ＝，b ＝，c ＝.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.125163164．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，……，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47 B ．212－57C ．213－68 D ．214－80答案 B解析 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n ＝n ，故上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋－4（1－210）1－2＝212－57.10×（1＋10）25．(2017·河北唐山一中调研)定义：F(x ，y)＝y x (x>0，y>0)，已知数列{a n }满足：a n ＝(n ∈N *)，若对任意正整数n ，都有a n ≥a k (k ∈N *)成立，则a k 的值为( )F （n ，2）F （2，n ）A. B ．212C. D.8998答案 C解析 由题意得a n ＝＝且a k ＝(a n )min ，由指数函数y ＝2x 与二次函数y ＝x 2图像的F （n ，2）F （2，n ）2nn2对比可得当x>0时，先减后增，故有最小值．因此a 1＝2，a 2＝1，a 3＝，a 4＝1，所以2xx22xx289a 2>a 3且a 3<a 4，所以(a n )min ＝a 3＝，则a k ＝，故选C.89896．(2017·保定模拟)如图所示，矩形A n B n C n D n 的一个边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f(x)＝x ＋(x>0)的图像上．若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形1x A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10等于( )A ．208B ．216C ．212D ．220答案 B解析 由B n (n ，0)，得C n (n ，n ＋)，令x ＋＝n ＋，即x 2－(n ＋)x ＋1＝0，得x ＝n 或1n 1x 1n 1n x ＝，所以D n (，n ＋)，所以矩形A n B n C n D n 的周长a n ＝2(n －)＋2(n ＋)＝4n.所以1n 1n 1n 1n 1n a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.故选B.7．(2018·江西九江一中月考)在等比数列{a n }中，a 7是a 8，a 9的等差中项，公比q 满足如下条件：△OAB(O 为原点)中，＝(1，1)，＝(2，q)，∠A 为锐角，则公比OA → OB→ q ＝________．答案 －2解析 由a 7是a 8，a 9的等差中项，知2a 7＝a 8＋a 9＝a 7q ＋a 7q 2，得q ＝1或q ＝－2.又因为∠A 为锐角，所以·＝·(－)＝(－1，－1)·(1，q －1)＝－q>0，可知q<0，AO → AB → AO → OB→ OA → 故q ＝－2.8．(2017·河北教学质量监测)已知函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1(k ∈N *)，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．答案 21解析 由题意，得函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线方程是y －a k 2＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝a k ，即a k ＋1＝a k ，因此数列{a k }是以16为首项，为121212公比的等比数列，所以a k ＝16·()k －1＝25－k ，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.129．(2017·合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．答案 45解析 依题意可知a 0＝2，a 1＝22，a 2＝23，…，a n ＝2n ＋1.64MB ＝64×210＝216KB ，令2n ＋1＝216得n ＝15.∴开机后45分钟该病毒占据64MB 内存．10．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________．答案 2n －1，10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝＝2n －1.1－2n 1－2当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1，4，第3次生成的数为1，2；－4，7，第4次生成的数为－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T 4＝10.11．(2018·湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝a ，{b n }是比公为的等23比数列，记b n ＝(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范a n －2a n －1围是________．答案 (2，＋∞)解析 因为b n ＝(n ∈N *)，所以a n ＝，所以an －2an －1bn －2bn －1a n ＋1－a n ＝－＝－＝＝<bn ＋1－2bn ＋1－1bn －2bn －11bn －11bn ＋1－1bn ＋1－bn（1－bn ＋1）（1－bn ）－13bn （1－23bn ）（1－bn ）0，即>0，解得b n >或0<b n <1.若b n >，则b 1()n －1>对一切正整数n 成立，bn（23bn －1）（bn －1）32322332显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1()n －1<1对一切正整数n 成立，只要0<b 1<1即可，即0<23<1，解得a 1＝a>2.a1－2a1－112．(2018·上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n }，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{b n }，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1＝10a 2＝9.5a 3＝____a 4＝____…b 1＝2b 2＝3b 3＝____b 4＝____…(2)从2017年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．答案 (1)a 3＝9，a 4＝8.5，b 3＝4.5，b 4＝6.75a n ＝b n ＝{－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *){2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *)(2)229.25万张解析 (1)a 1＝10a 2＝9.5a 3＝9a 4＝8.5…b 1＝2b 2＝3b 3＝4.5b 4＝6.75…当1≤n ≤20且n ∈N *，a n ＝10＋(n －1)×(－0.5)＝－＋；当n ≥21且n ∈N *，a n ＝0，n 2212∴a n ＝{－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *.)∵a 4＋b 4＝15.25>15，∴b n ＝{2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *.)(2)a 1＋a 2＋…＋a 20＝10×20＋×(－)＝105，20×19212b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋…＋b 20＝＋6.75×16＝124.25.2×[1－（32）4]1－32∴从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．13．(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝＋sinx 的所有正的极小值点从小x2到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝，设数列{}的前n 项和为S n ，求证S n <.x n2π1b n·bn ＋132答案 (1)x n ＝2n π－(n ∈N *) (2)略2π3解析 (1)f(x)＝＋sinx ，令f ′(x)＝＋cosx ＝0，得x ＝2k π±(k ∈Z )．x2122π3由f ′(x)>0⇒2k π－<x<2k π＋(k ∈Z )，2π32π3由f ′(x)<0⇒2k π＋<x<2k π＋(k ∈Z )，2π34π3当x ＝2k π－(k ∈Z )时，f(x)取得极小值，2π3所以x n ＝2n π－(n ∈N *)．2π3(2)因为b n ＝＝n －＝，xn 2π133n －13所以＝·＝3(－)，1bn·bn ＋133n －133n ＋213n －113n ＋2所以S n ＝3(－＋－＋…＋－)＝3(－)＝－，所以S n <.1215151813n －113n ＋21213n ＋23233n ＋23214．(2017·山东，理)是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .答案 (1)2n －1 (2)（2n －1）×2n ＋12解析 (1)设数列{x n }的公比为q ，则q>0.由题意得所以3q 2－5q －2＝0.因为q>0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }{x1＋x1q ＝3，x1q2－x1q ＝2，)的通项公比为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，（n ＋n ＋1）2所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝＋－(2n ＋1)322（1－2n －1）1－2×2n －1.所以T n ＝.（2n －1）×2n ＋1215．(2018·浙江镇海中学模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，其中a 1＝1，且a 2，a 4，a 6＋2成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＋b n ＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)如果c n ＝a n b n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，是否存在正整数n ，使得T n >S n 成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，说明理由．答案 (1)a n ＝1 b n ＝ (2)存在 213n 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依条件有a 42＝a 2(a 6＋2)，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d ＋2)，解得d ＝－(因数列各项均为正数，故舍去)或d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)12d ＝1＋(n －1)＝n.由2S n ＋b n ＝1，得S n ＝(1－b n )．12当n ＝1时，2S 1＋b 1＝1，解得b 1＝；13当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(1－b n )－(1－b n －1)＝－b n ＋b n －1，12121212所以b n ＝b n －1，所以数列{b n }是首项为，公比为的等比数列，故b n ＝.13131313n (2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝，n3n 所以T n ＝1×＋2×＋3×＋…＋n ×①1313213313n 在①式两边同乘，得T n ＝1×＋2×＋3×＋…＋n ×②131********3413n ＋1由①②两式相减得T n ＝＋＋＋…＋－n ×，整理化简得T n ＝－×－×231313213313n 13n ＋1343413n n2＝－×.又因为S n ＝＝－，13n 342n ＋3413n 13（1－13n ）1－131212×3n 所以T n －S n ＝－×.142n ＋1413n 当n ＝1时，T 1＝S 1，当n ≥2时，－×＝[3n －(2n ＋1)]>0，142n ＋1413n 14×3n 所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2.1．设某商品一次性付款的金额为a 元，若以分期付款的形式等额地分成n 次付清，且每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A.(1＋r)n 元 B.元an ar （1＋r ）n （1＋r ）n －1C.(1＋r)n －1元 D.元an ar （1＋r ）n －1（1＋r ）n －1答案 B解析 设每期期末所付款是x 元，则各次付款的本利和为x(1＋r)n －1＋x(1＋r)n －2＋x(1＋r)n －3＋…＋x(1＋r)＋x ＝a(1＋r)n ，即x·＝a(1＋r)n ，整理得x ＝.故选B.（1＋r ）n －1rar （1＋r ）n（1＋r ）n －12．在平面直角坐标系上，有一点列：P 1，P 2，…P n ，…(n ∈N *)，设点P n 的坐标为(n ，a n )，其中a n ＝(n ∈N *)，过点P n ，P n ＋1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为b n ，设S n 表2n 示数列{b n }的前n 项和，则S 5＝________．答案 1256解析 由题意得，过点P n ，P n ＋1的直线为＝，即2x ＋n(n ＋1)y －2(2n ＋1)y －2nx －n 2n ＋1－2n（n ＋1）－n ＝0.令y ＝0，得x ＝2n ＋1，令x ＝0，得y ＝，所以b n ＝×(2n ＋1)2（2n ＋1）n （n ＋1）12×＝4＋＝4＋－，所以S 5＝4×5＋1－＋－＋…＋－＝.2（2n ＋1）n （n ＋1）1n （n ＋1）1n 1n ＋1121213151612563．设函数f(x)＝＋sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }，{x n }的前n 项和x2为S n ，则sinS n 不可能取的值是( )A ．0B.12C ．－ D.3232答案 B解析 由f(x)＝＋sinx ，得f ′(x)＝＋cosx ，令f ′(x)＝0，得x ＝2k π±(k ∈Z )，当x2122π3f ′(x)>0时，2k π－<x<2k π＋(k ∈Z )，当f ′(x)<0时，2π32π32k π－<x<2k π－(k ∈Z )．f(x)取极小值，即x n ＝2n π－，所以4π32π32π3S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2π(1＋2＋3＋…＋n)－＝n(n ＋1)π－，当n ＝3k(k ∈N *)时，2n π32n π3sinS n ＝sin(－2k π)＝0；当n ＝3k －1(k ∈N *)时，sinS n ＝sin ＝；当n ＝3k －2(k ∈N *)时，2π332sinS n ＝sin ＝－.4π3324．一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b 件．当对产品做电视广告后，记每日播n 次时的日销售量为a n (n ∈N *)件，调查发现：每日播1次则日销售量a 1件在b 件的基础上增加件，每日播2次则日销售量a 2件在每日播1次时日销售量a 1件b2的基础上增加件，…，每日播n 次，该产品的日销售量a n 件在每日播n －1次时的日销售b4量a n －1件的基础上增加件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b 元．b2n (1)试求出a n 与n 的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？答案 (1)a n ＝b(2－) (2)每日电视广告需播5次，日利润最大12n 解析 (1)由题意，电视广告每日播k 次时，该产品的日销售量a k 满足a k ＝a k －1＋(k ∈N *，a 0＝b)，b2k ∴a n ＝b ＋＋＋…＋＝＝b(2－)(n ∈N *)．b2b22b2n b[1－（12）n ＋1]1－1212n即该产品每日销售量a n (件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为a n ＝b(2－)(n ∈N *)．12n (2)该企业每日播放电视广告n 次时的获利为c n ＝100b(2－)－2bn ＝100b(2－0.02n －)(n ∈N *)．12n 12n ∵c n －c n －1＝100b(－0.02)≥0，12n 即2n ≤50，n ∈N *，∴n ≤5(n ∈N *)．∵c n ＋1－c n ＝100b(－0.02)≤0，12n ＋1∴2n ≥25，∴n ≥5.∴n ＝5.∴要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次．5．已知函数f(x)＝log k x(k 为常数，k>0且k ≠1)，且数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n ·f(a n )，当k ＝时，求数列{b n }的前n 项和S n ；2(3)若c n ＝a n lga n ，问是否存在实数k ，使得{c n }中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．答案 (1)略 (2)S n ＝n·2n ＋3 (3)(0，)∪(1，＋∞)63解析 (1)由题意知f(a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2，∴a n ＝k 2n ＋2，∴＝＝k 2.an ＋1an k2（n ＋1）＋2k2n ＋2∵常数k>0且k ≠1，∴k 2为非零常数．∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝a n f(a n )＝k 2n ＋2·(2n ＋2)，当k ＝时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2.2∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.②②－①，得S n ＝－2·23－24－25－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3＝－23－(23＋24＋25＋…＋2n ＋2)＋(n ＋1)·2n ＋3，∴S n ＝－23－＋(n ＋1)·2n ＋3＝n·2n ＋3.23（1－2n ）1－2(3)存在．由(1)知，c n ＝a n lga n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lgk ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)lgk<(n ＋2)k 2lgk 对一切n ∈N *成立．①当k>1时，lgk>0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；②当0<k<1时，lgk<0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<()min ，n ＋1n ＋2∵＝1－单调递增，n ＋1n ＋21n ＋2∴当n ＝1时，()min ＝.n ＋1n ＋223∴k 2<，且0<k<1，因此0<k<.2363综上所述，存在实数k ∈(0，)∪(1，＋∞)满足条件．636．(2017·衡水中学调研卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有＋＋…＋<.1a 1（a 1＋1）1a 2（a 2＋1）1a n （a n ＋1）13答案 (1)a 1＝2 (2)a n ＝2n (3)略解析 (1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明：k ∈N *，4k 2＋2k －(3k 2 ＋3k)＝k 2－k ＝k(k －1)≥0，∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k.∴＝＝≤1ak （ak ＋1）12k （2k ＋1）14k2＋2k 13k2＋3k ＝(－)．131k 1k ＋1∴＋＋…＋1a1（a1＋1）1a2（a2＋1）1an （an ＋1）≤(－＋－＋…＋－)13111212131n 1n ＋1＝(1－)<.131n ＋113∴不等式成立．。
高考数学一轮复习 课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数 理(含解析)新人教版-新人教版高三
课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B．－53πC ．－76π D．－74π解析：－300×π180＝－53π.2．tan 8π3的值为( D )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1 解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1，故选C.4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(C)A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π6.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( D )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.6．(2019·某某一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.7．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，即点P (cos α，tan α)在第二象限，故选项C 正确．8．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值X 围是( C )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为518.解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝13.解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13. 解法3：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( D )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.14．(2019·某某模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin2α＝32. 解析：由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1， 故m 2＝14.由任意角三角函数定义知cos α＝m ，sin α＝3m ，由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝32. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( B )A.15B.55C.255D ．1 解析：解法1：由正切定义tan α＝y x，则tan α＝a 1＝b2，即a ＝tan α，b ＝2tan α.又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23，得tan 2α＝15，tan α＝±55. ∴|b －a |＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝55. 解法2：由两点斜率公式，得：tan α＝b －a2－1＝b －a .又cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 解得tan 2α＝15，∴|b －a |＝|tan α|＝55.。
【高考数学】最新新人教版2019届高考数学一轮复习：第二篇函数导数及其应用第10节导数的概念及计算训练理
第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5, 7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为( D )(A) (B)(C)- (D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是( B )(A) (B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于( A )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( A )(A)2 (B)1(C) (D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=e x ln x在x=1处的切线方程是( C )(A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1(C)y=e(x-1) (D)y=x-e解析:函数f(x)=e x ln x的导数为f′(x)=e x ln x+e x·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=e x ln x中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为( A )(A) (B) (C)1 (D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+ln x在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( D )(A)12 (B)8 (C)0 (D)4解析:y=x+1+ln x的导数为y′=1+,曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b= .解析:f(x)=axln x+b的导数为f′(x)=a(1+ln x),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.。
2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练20
答案:B
解析:由(1- tanα)(1- tanβ)=4,得1- tanβ- tanα+3tanαtanβ=4,所以- (tanβ+tanα)=3(1-tanαtanβ),所以 =- =- ,所以tan(α+β)=- ,因为α,β∈ 0, ,所以(α+β)∈(0,π),所以α+β= ,故选B.
2.若角α的终边过点P(-3,4),则sin 2α+ =()
A.- B.- C. D.
答案:B
解析:sin 2α+ =cos2α=2cos2α-1,由题意得cosα= =- ,所以sin 2α+ =2× - 2-1=- ,故选B.
3.(2023·安徽合肥高三月考)已知sin -θ =cos +θ ,则tan 2θ+ =()
10.(2023·重庆巴蜀中学高三模拟)已知tan θ- = ,则 =.
答案:-1
解析:令t=θ- ,则tant= ,θ=t+ ,所以θ+ =t+ ,2θ=2t+ ,所以 =-1.
综合提升组
11.(2023·湖南长沙高三期中)已知α,β∈(0,π),tan α+ = ,cos β+ = ,则cos(2α-β)=()
5.(2023·四川南充高三月考)若2cos2 α- =1+cos 2α,则tan 2α的值为()
A.- B. C.- D.
答案:D
解析:2cos2 α- =2 cosα+ sinα 2= +sin2α+ sin2α=1- cos2α+ sin2α,由1- cos2α+ sin2α=1+cos2α,可得 sin2α= cos2α,又cos2α≠0,则tan2α= ,故选D.
2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练30
课时规范练30《素养分级练》P367基础巩固组1.(2023·吉林长春高三月考)下列结论正确的是( )A.若向量m ,n 共线,则向量m ,n 的方向相同B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上C.在△ABC 中,若D 是BC 中点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.若a ∥b ,则∃λ∈R 使a =λb 答案:C解析:若m ,n 共线,则m ,n 的方向不一定相同,故A 错误;在平行四边形ABCD 中,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,但A ,B ,C ,D 不在同一条直线上,故B 错误;易知C 正确;若a 为非零向量,b 为零向量,则a ∥b ,此时不存在λ∈R ,使得a =λb ,可知D 错误.故选C .2.如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式错误的是( )A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.故选D . 3.已知向量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,c =-6e 1+2e 2,其中e 1,e 2不共线,则a +b 与c 的关系为( ) A.不共线 B .共线 C.相等 D .无法确定答案:B解析:∵a +b =3e 1-e 2,∴c =-2(a +b ),∴a +b 与c 共线.故选B .4.(2023·山西临汾高三月考)P 是△ABC 所在平面内一点,若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则S △ABP ∶S △ABC =()A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.2∶1答案:A解析:由已知得3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C ,P ,A 共线且CP=3PA (如图所示).所以S △ABP ∶S △ABC =1∶4.故选A .5.已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+m e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n e 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是( ) A.mn=1 B .mn=-1 C.m+n=1 D .m+n=-1答案:A解析:因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有e 1+m e 2=n λe 1+λe 2,由此可得{1=nλ,m =λ,所以mn=1.故选A .6.(多选)四边形ABCD 为边长为1的正方形,M 为边CD 的中点,则( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =1 答案:BD解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 错误;AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 错误;AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )· BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由BC ⊥DM ,得DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1,故D 正确.故选BD .7.在△ABC 中,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案:2解析:由BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=2. 8.矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为实数),则λ2+μ2= . 答案:58解析:因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=116+916=58.9.在等腰梯形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为BC 的中点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (用a 和b 表示);当x= 时,|b -x a |最小. 答案:32a +12b -12解析:∵M 为BC 的中点,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a +12b +12×2a =32a +12b .如图,设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ,则b -x a =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴当ED ⊥AB 时,|b -x a |最小,此时由几何知识易得x=-12.综合提升组10.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图,某人仿照赵爽弦图,用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形,其中E ,F ,G ,H 分别是DF ,AG ,BH ,CE 的中点,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy=( )A.625 B.-625C.825D.-825答案:C解析:由题意,可得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CH ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CE⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形EFGH 是平行四边形,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=45,y=25,则xy=45×25=825.故选C .11.(2023·浙江金华高三开学考试)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n 的取值范围是 . 答案:(-1,0)解析:由于点D 在圆外,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且k<-1.又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =km OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +kn OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .又D ,A ,B 三点共线,所以km+kn=1,m+n=1k ,而k<-1,所以m+n ∈(-1,0).创新应用组12.(2023·安徽蚌埠高三月考)如图,在△ABC 中,点O 在边BC 上,且OC=2OB.过点O 的直线分别交射线AB ,射线AC 于不同的两点M ,N ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2m+n 的值等于 ;若tm+tn ≥2+√2恒成立,则实数t 的最小整数值为 .答案:3 2解析:连接AO ,因为OC=2OB ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又M ,O ,N 共线,所以23m+13n=1,则2m+n=3.显然t>0,所以tm+t n≥2+√2等价于1m+1n≥2+√2t .因为1m+1n=131m+1n (2m+n )=133+2m n+nm ≥1+23√2,当且仅当n=√2m 且2m+n=3,即m=3-3√22,n=3√2-3时,1m+1n 取最小值1+23√2=(√2+1)23.于是(√2+1)23≥(√2+1)√2t,所以t ≥6-3√2,故实数t 的最小整数值是2.。
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业 理
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业理A级训练(完成时间：10分钟)1.(xx·四川)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2.(xx·全国)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅3.(xx·广西)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．74.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅5.已知集合A＝{0,1}，满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有()A．2个B．2个C．3个D．4个6.设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}7.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()A. B.C. D.8.集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．9.(xx·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B ＝________.10.若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时1分钟，达标是( )否( )]设全集U ＝R ，M ＝{x |x (x ＋3)＜0}，N ＝{x |x ＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |－3＜x ＜0}C ．{x |x ≤－3|D ．{x |－1≤x ＜0}2.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·江西)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或43.[限时1分钟，达标是( )否( )]已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．94.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·上海)已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{}a ，b ＝{}a 2，b 2，则a ＋b ＝________.5.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{x |6x ＋1≥1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．6.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[限时4分钟，达标是( )否( )]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1302.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·揭阳一模)定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为P (A )，用n (A )表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有A ∈P (A )；②存在集合A ，使得n [P (A )]＝3；③用∅表示空集，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝∅；④若A ⊆B ，则P (A )⊆P (B )；⑤若n (A )－n (B )＝1，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]．其中正确的命题个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1第一章 集合与简易逻辑第1讲 集合与集合的运算【A 级训练】1．D 解析：A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B 为整数集，故A ∩B ＝{－1,0,1,2}，故选D.2．B3．B 解析：因为M ＝{1,2,4,6,8}，N ＝{1,2,3,5,6,7}，所以M ∩N ＝{1,2,6}，即M ∩N中元素的个数为3.故选B.4．B 解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，则B A .5．D 解析：因为A ＝{0,1}，且A ∪B ＝{2,0,1,3}，所以B 可能为{2,3}或{2,3,0}或{2,3,1}或{2,0,1,3}，则满足条件的集合B 共有4个．6．A 解析：U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，所以∁U M ＝{1,4}．7．A 解析：N 为x 2＋2x ＝0的解集，解x 2＋2x ＝0可得，x ＝0或－2，则N ＝{－2,0}，M ∩N ＝{0}≠∅.8．－3 解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3.9．{7,9} 解析：因为全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，所以∁U A ＝{4,6,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}，故答案为{7,9}．10．解析：因为A ＝B ，所以B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1＋3＝2b ＝－1×3＝－3，解得a ＝－2，b ＝－3. 【B 级训练】1．D 解析：M ＝{x |x (x ＋3)＜0}＝{x |－3＜x ＜0}，由图象知，图中阴影部分所表示的集合是M ∩(∁U N )，又N ＝{x |x ＜－1}，所以∁U N ＝{x |x ≥－1}．所以M ∩(∁U N )＝[－1,0)．2．A解析：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件，当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，解得a ＝4.3．B 解析：由集合M 中的不等式，解得0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，则a ＋b ＝2＋5＝7.4．－1 解析：第一种情况：a ＝a 2，b ＝b 2，因为ab ≠0，所以a ＝b ＝1，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：a ＝b 2，b ＝a 2，所以a ＝a 4⇒a 3＝1，所以a 2＋a ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．8 解析：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． 因为A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.6．解析：(1)因为9∈(A ∩B )，所以9∈A 且9∈B .所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．所以a ＝5或a ＝－3.(2)因为{9}＝A ∩B ，所以9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.7．解析：由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.所以A ＝{3,5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B A . (2)因为A ＝{3,5}且B ⊆A ，所以，若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.所以C ＝{0，13，15}． 【C 级训练】1．D 解析：由题目中“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设A ＝{0}，B ＝{－1,1}，分为①有2个取值为0，另外3个从B 中取，共有方法数：C 25×23；②有3个取值为0，另外2个从B 中取，共有方法数：C 35×22；③有4个取值为0，另外1个从B 中取，共有方法数：C 45×2.所以总共方法数是C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130，即元素个数为130.故选D.2．B 解析：由P (A )的定义可知①正确，④正确，设n (A )＝n ，则n [P (A )]＝2n ，所以②错误，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝{∅}，③不正确；n (A )－n (B )＝1，即A 中元素比B 中元素多1个，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]，⑤正确，故选B..。
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1．(2010·福建)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C ．－1665D ．－5665答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－513. 又因为β是第四象限角，cos β＝45，所以sin β＝－1－1625＝－35. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案 B解析 因为α∈(0，π2)，sin α＝35，所以cos α＝1－925＝45.所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝15.4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( )A ．sin(2α＋β)B ．cos(α－2β)C ．cos αD ．cos β答案 C解析 等式即cos(α－β＋β)＝cos α.5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 B解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c ＝62＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( )A.14B.34 C.12 D ．－14答案 B解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A cos B ＝34.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322C.322D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.8．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 9．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.答案 －17解析 由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－255， 则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.10．(2011·沧州七校联考)化简：sin3α－πsin α＋cos 3α－πcos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4.12．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．答案 －12解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， ∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3，∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. 13．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 答案 (1)45 (2)β＝3π4解 (1)解法一：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45. 解法二：tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)cos α ＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.14．(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答案 (1) 2 (3)1665解析 (1)∵f (x )＝2sin(13x －π6)，∴f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.15．已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．答案 －429思路 由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需交换后再用公式求解．解析 ∵sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝sin(π4＋x )cos[π2－(π4－x )]＝sin(x ＋π4)cos(π4＋x )＝12sin(2x ＋π2)＝12cos2x ＝16，∴cos2x ＝13.∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－429.探究 (1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意2α，2α－π2，α－π4等之间关系的运用． (2)在求cos2x 的过程中，本题也可采用如下方法：sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝(22sin x ＋22cos x )(22cos x －22sin x )＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos2x ＝16，从而得cos2x ＝13.1．化简sin15°cos9°－cos 66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15°答案 B 解析 sin15°·cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2sin(2x －π4)，∴T ＝2π2＝π.3．若sin2θ＝1，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．－2－ 3D ．－2＋ 3答案 C解析 由已知，得θ＝k π＋π4，代入即可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＋π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝－2－ 3. 4．(2008·浙江)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2答案 B解析 考查三角函数的运算与转化能力，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tan α＝sin αcos α求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即5sin(α＋φ)＝－5，其中tan φ＝12，0<φ<π2，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴tan α＝cot φ＝2.也可观察得到答案．5．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cos α的值．答案210解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π4∴π2<α＋π4<π∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.1．已知在△ABC 中，cos B cos C ＝1－sin B ·sin C ，那么△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 由条件知cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，cos(B －C )＝1，B －C ＝0，∴B ＝C . 2．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， ∴cos A ＝－cos(B ＋C )， 又∵cos A ＝2sin B sin C ，即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝π2，∴B 为钝角． 3．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，求cos(α＋β)的值．解析 ∵53sin α＋5cos α＝8，∴sin(α＋π6)＝45.∵α∈(0，π3)，∴(α＋π6)∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝35.又∵2sin β＋6cos β＝2，∴sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴(β＋π3)∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－22，∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210， ∴cos(α＋β)＝－210. 4．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.。