安徽皖南八校2021届高三10月份第一次联考 数学(文)试题(含答案)
2021年高三数学10月联考试题 文(含解析)新人教A版
2021年高三数学10月联考试题文（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x xU R A x B x y x-==<==-，则图中阴影部分表示的集合为A． B．C． D．【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】D 解析：因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知，所以，故选【思路点拨】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是要求B集合的补集与A集合的交集，整理两个集合，求出B的补集，再求出交集.【题文】2、已知，命题，则A．是真命题，B．是真命题，C．是假命题，D ．是假命题，【知识点】复合命题的真假；命题的否定．A2【答案解析】B 解析：依题意得，当时，，函数是减函数，此时，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“”.综上所述，应选【思路点拨】由三角函数线的性质可知，当x ∈（0，）时，sinx ＜x 可判断p 的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知￢p ．【题文】3、定义在R 上的函数满足，且时，，则A ．1B ．C ．D ．【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】C 解析：由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以 ()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f （x+2）且x ∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f （log220）的值．【题文】4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】C 解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选【思路点拨】计算平均数，利用b=﹣4，可求a 的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为15元时的销量.【题文】5、已知，且，则A ．B ．C ．D ．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7【答案解析】A 解析：，，，，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4ααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选【思路点拨】通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．【题文】6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是【知识点】函数的图象.B8【答案解析】B 解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．【题文】7、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称【知识点】正弦函数的对称性.C3【答案解析】A 解析：依题意得，故，所以，，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选【思路点拨】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【题文】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A． B． C． D．【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】过点D作DF⊥AB于点F，求出梯形的面积，扇形ADE的面积，利用几何概型求出结果．【题文】9、已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】D 解析：由知，所以在上是增函数，所以，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以正确.故选【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【题文】10、已知函数均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是A． B． C． D．【知识点】利用导数研究函数的极值．B12【答案解析】D 解析：因为，依题意，得则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离，观察图形可知，，又，所以，故选【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a ，b 的约束条件，据线性规划求出最值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上【题文】11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若，则整数的最小值是【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】11 解析：由，解得，故.由，解得，故.由，可得，因为，所以整数的最小值为11.【思路点拨】先解集合A ，B 中有关x 的不等式，再由A ⊆B 的关系，可得出关于m 的不等式，即可求得m 的最小值．【题文】12、若不等式恒成立，则实数的取值范围是【知识点】绝对值不等式的解法．N4【答案解析】 解析：由于，则有，即，解得，故实数的取值范围是.【思路点拨】根据绝对值的意义|x+1|+|x ﹣3|表示数轴上的x 对应点到3和﹣1对应点的距离之和，它的最小值等于4，可得答案．【题文】13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为： ，则（1）图中的（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿．【知识点】频率分布直方图．I2【答案解析】（1）0.0125；（2）72 解析：（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有名学生可以申请住宿.【思路点拨】（1）利用面积之和为1解出x 即可；（2）先求出上学时间不少于1小时的学生的频率，再由频率估计概率，从而求人数． 【题文】14、定义行列式的运算:，若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】解析：，平移后得到函数，则由题意得，因为，所以的最小值为.【思路点拨】化简函数f（x）的解析式为2cos（x+），图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+t+），要使此函数为偶函数，t+最小为π，由此求得t的最小值．【题文】15、设曲线在点处切线与直线垂直，则【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】1 解析：由题意得()()()22 2cos sin2cos sin12cossin sinx x x x xyx x''----'==，在点处的切线的斜率又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得【思路点拨】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．【题文】16、已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】解析：若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.①当真假时，可得；②当时，可得.综合①②可得的取值范围是.【思路点拨】根据对数函数的定义域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数的最值即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，即可得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围，再求并集即可．【题文】17、已知函数有零点，则的取值范围是【知识点】函数零点的判定定理．B9【答案解析】解析：由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.【思路点拨】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤【题文】18、（本小题满分12分）已知函数())cos()2,()66f x x x x Rππ=++++∈．（1）求的值；（2）求子啊区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．【知识点】三角函数的最值．C3【答案解析】（1）1；（2）1.解析：（1）+2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分（2）………………… 7分…………………8分从而当时，即时…………………………………… 10分而当时，即时…………………12分【思路点拨】（1）由三角函数公式化简f（x），代值计算可得；（2）由﹣≤x≤逐步可得≤sin （x+）≤1，结合f（x）的解析式可得答案．【题文】19、（本小题满分12分）xx年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在概率．参考数据：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2【答案解析】（1）97；（2）解析：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，，，，，，，.……………………9分抽出的人中体能测试成绩在的情况有共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率.…………………………………12分【思路点拨】（1）根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样；根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数；（2）利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80，85）的人数和[85，90）人数，用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中体能测试成绩在[85，90）的基本事件，利用个数比求概率．．【题文】20、（本小题满分13分）已知函数（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在不单调，求实数的取值范围；（3）判断过点可作曲线多少条切线，并说明理由．【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】（1）；（2）或；（3）可作曲线三条切线解析：（1）∵，，∴，∴ ……………………………………1分∵ ∴ ∴ ……………………2分∴，显然在附近符号不同，∴是函数的一个极值点 ………………………………………3分∴ 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵，，∴，若函数在不单调，则应有二不等根 …………………………5分∴ ∴ ……………………………7分∴ 或 ………………………………… ……………8分（3）∵，∴，∴，设切点，则纵坐标，又，∴ 切线的斜率为，得 ……10分设，∴由0，得或，∴在上为增函数，在上为减函数，∴ 函数的极大值点为，极小值点为，∵ ∴ 函数有三个零点 ……………12分∴ 方程有三个实根∴ 过点可作曲线三条切线 ……………………………13分【思路点拨】（1）求出函数f （x ）的导数，由条件得，f′（1）=0求得a ，注意检验x=1处导数的符号；DB A （2）若函数f （x ）在R 上不单调，则f′（x ）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，则△=12（a+1）2﹣36a ＞0，解出a 即可；（3）求出导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，构造函数g （x0）=2x03﹣3x02+，运用导数求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，即可判断函数有三个零点，即方程有三个实根，即切线有三条．【题文】21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得（1）求（2）求的长度．【知识点】解三角形的实际应用．C8【答案解析】（1）；（2）。
皖南八校2021届高三10月份第一次联考
皖南八校”2021届高三第一次联考化学考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
满分100分，考试时间100分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：必修1，必修2。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 C16 P31 Fe56 Cu64 Sr88第I卷(选择题共42分)一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.75%乙醇消毒液、乙醚(C2H5OC2H5)、84消毒液、过氧乙酸(CH3COOOH)等均可用于被新型冠状病毒污染的环境消毒。
对于上述化学药品，下列说法错误的是A.75%乙醇消毒液是指每100 g乙醇水溶液中含有75 g乙醇B.乙醚是丁醇的同分异构体C.84消毒液中的有效成分是次氯酸钠D.过氧乙酸分子中，三分之二的氧原子的化合价为－1价2.下列有关有机物的结构和性质的说法错误的是A.紫花前胡醇()的分子式为C 14H14O4B.石油是混合物，经分馏后可得到汽油、煤油、柴油等纯净物C.2－苯基丙烯()分子中所有原子不可能共平面D.乙烯、植物油都能发生加成反应，都能使酸性高锰酸钾溶液褪色3.下列化学方程式中，不能正确表达反应颜色变化的是A.铜久置空气中表面出现绿色固体：2Cu＋O2＋CO2＋H2O＝Cu2(OH)2CO3B.某种火箭发射阶段有少量N 2O、逸出，产生红棕色气体：N2O42NO2C.向沸水中滴入几滴FeCl3饱和溶液，继续煮沸至液体呈红褐色，停止加热：2FeCl3＋3H2O＝Fe2O3＋6HClD.SO2通入KMnO4溶液中，溶液紫色逐渐褪去：5SO2＋2KMO4＋2H2O＝K2SO4＋2MnSO4＋2H2SO44.下列实验对应的现象及结论均正确且两者具有因果关系的是5.25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.pH＝3的溶液中：Na＋、Fe2＋、Cl－、CO32－B.使石蕊呈红色的溶液中：K＋、Mg2＋、NO3－、Cl－C.HCl溶液中：K＋、Al3＋、SO42－、ClO－D.由水电离出的c(OH－)＝1.0×10－10 mol·L－1溶液中：Mg2＋、Na＋、SO42－、HCO3－6.N2O是医学上的一种麻醉剂。
2021年高三上学期10月第一次统测数学文试题含答案
2021年高三上学期10月第一次统测数学文试题含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）：1．已知命题：“，”，请写出命题的否定: ▲ .2. 复数的虚部是▲.3．已知等差数列满足：，则= ▲4．已知集合，集合，若，则实数▲5．函数y＝ln(x-1)的定义域为▲6．已知角的终边经过点，且，则的值为▲．7．已知实数满足约束条件则的最大值为▲．8．已知平面向量，，则与夹角的余弦值为▲.9．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为▲．10．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于▲。
11．已知角A、B、C是三角形ABC的内角，分别是其对边长，向量，，，且则▲。
12.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是▲．13．若是定义在上周期为2的周期函数，且是偶函数，当时，，则函数的零点个数为▲．14．若函数的定义域和值域都是（），则常数的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量m＝(2sin x，cos x)，n＝(3cos x,2cos x)，定义函数f(x)＝m·n－1．PM(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)确定函数f (x )的单调区间、对称轴与对称中心．16．(本小题满分14分)设函数的最大值为，最小值为，其中． （1）求、的值（用表示）；（2）已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．求的值． 17．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米 ．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e ]上的最大值和最小值．19．已知函数同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为（1）求数列的通项公式； （2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数．．称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数20、（本小题满分16分）已知函数，，且在点（1，）处的切线方程为。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文试题含答案
“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（ ）A.(],1-∞-B.[]0,1C.(][),01,-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（ ） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303xx ≤D.00x ∃≤，0303xx ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.2x =-C.y =D.2y =-8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.)122π+B.)122π+C.32π+2 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e -=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，内的任意一点，则3a b -的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >-恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =-∞-+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303xx ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x+=， 所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =， 因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意2221322a b ⎛=== ⎝⎭，∴b = 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a e f x -+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14-，∴()11431a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =-取得最小值-2.42122iz i i+==-，故12z i =-=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S -==-.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA CB====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3Aπ=时，262A ππ-=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF -为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF -的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD -的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE --==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，.…………………………………………1分 令()20xf x e '=-≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=-≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >-恒成立，即2212x ee x mx --+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e->恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x--+<恒成立.……………………………………………………6分 令()2212x e e x g x x--+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x ⎛⎫----+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x -++-'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =-++-，注意到()10h =，()()12xh x x e '=-+，再令()()12xx x e ϕ=-+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分 又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g --+===-，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x --+<在[)0,+∞恒成立， 所以12em <-.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==.1 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y++=，所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===.综上可得，PAC△面积S .………………………………………………12分。
2021届安徽省皖南八校高三10月份第一次联考数学(文)试题及答案
2021届安徽省皖南八校高三10月份第一次联考数学（文）试题一、单选题1．集合{}260A xx x =--<∣，{}39x B x =≤∣，则A B =（ ） A ．R B ．(2,3)- C ．(2,2]- D ．(,3)-∞答案：D分别求出集合,A B 的范围，直接求并集即可.解：∵{23}A x x =-<<∣， {2}B x x =≤∣， ∴(,3)A B ⋃=-∞. 故选：D.2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i答案：B由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.解：由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.3．下列四个条件中，使x y >成立的充分而不必要条件是（ ） A ．1x y >+ B ．1x y >-C ．22x y >D ．33x y >答案：A根据充分必要条件的概念可判断得选项. 解：∵11x y x y >+⇒->0x y x y ⇒->⇒>， ∴1x y >+是x y >的充分条件， 又当11,2x y ==时，x y >成立但1x y >+不成立， ∴1x y >+不是x y >的必要条件，∴1x y >+是x y >成立的充分而不必要条件，故A 正确.因为>1x y y >-，所以1x y >-是x y >成立的必要而不充分条件，故B 不正确；由x y >不能得出22x y >，且由22x y >也不能得出x y >， 所以22x y >是x y >成立的既不充分也不必要条件，故C 不正确； 由x y >可得33x y >，由33x y >可得出x y >， 所以33x y >是x y >成立的充要条件，故D 不正确. 故选：A. 4．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥答案：D分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 解：因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误；因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又42cos ,242a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.5．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ=（ ）A ．45B ．35C ．725D ．725-答案：C设出直角三角形的边长，根据勾股定理，求得边长，即可得cos θ；利用二倍角公式即可求得结果. 解：设直角三角形的直角边长为a ，1a +，则()22125a a ++=，0a >，解得3a =. ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=.∴27cos 22cos 125θθ=-=.故选：C.6．已知函数2()log f x x =()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞ B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]答案：C根据函数的解析式有意义，列出满足条件的不等式组，即可求解.解：由题意，函数2()log f x x =01640xx >⎧⎨-≥⎩，解得02x x >⎧⎨≤⎩， 即02x <≤，所以函数的定义域为(]0,2. 故选：C.7．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 答案：A利用诱导公式将()f x 变形，再根据三角函数的变换规则判断即可；解：解：()cos 2sin 2332f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2sin 2636x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以将函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度即可得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 故选：A.8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx b y +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时答案：A根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k =从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 解：由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k b k b y +==⋅=⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用.9．已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=+，23OC a b =+若,,A B C 三点共线，则实数,λμ满足（ ） A ．1λμ=- B ．5λμ=+ C ．5λμ=- D ．1λμ=+答案：C利用三点共线再利用向量相等可得答案.解：由,,A B C 点共线，得(1)(2)(3)OA tOB t OC t a t b =+-=++-， 而OA a b λμ=+，于是有(2)(3)a b t a t b λμ+=++-，即23t t λμ=+⎧⎨=-⎩，5λμ=-.故选：C.10．已知函数()21x f x x =+-，2()log 1g x x x =+-，()sin 1h x x x =+-的零点依次为1x ，2x ，3x ，则以下大小关系正确的是（ ） A ．123x x x << B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．231x x x <<答案：B分别作出函数2x y =，2log y x =，sin y x =，1y x =-+图像，结合图象，即可求解. 解：由题意，令()210x f x x =+-=，2()log 10g x x x =+-=，()sin 10h x x x =+-=， 可得21x x =-+，2log 1x x =-+，sin 1x x =-+，作出函数2x y =，2log y x =，sin y x =，1y x =-+图像， 结合图象，可得132x x x <<. 故选：B.11．已知函数()2332xf x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的极大值点为2x =B ．函数()f x 在(,2-∞-上单调递减C ．函数()f x 在R 上有3个零点D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-答案：D求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案.解：令()0f x '=得2x 2x =-当((),22,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,2-∞-，()2,+∞；当(2,2x ∈-时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(2,2-，故B 错误. 所以当2x =()y f x =有极大值，故A 错误.当2x <()23302xx x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,2-∞没有零点；当22x <()y f x =在(2,2-上单调递减，且()00f =，存在唯一零点； 当2x >()y f x =在()2,+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误.函数()2332xf x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-；又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题.12．如图，地面四个5G 中继站A ．B ．C ．D ，已知A ．B 两个中继站的距离为10km ，ADB CDB ∠=∠=30，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则C ，D 两个中继站的距离是（ ）A ．23kmB ．22kmC ．62kmD ．(62km答案：C由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 解：解：在ADC 中，sin 75sin 60DC AC=︒︒，在BCD △中，sin 45sin 30DC BC=︒︒，设DC x =，则326AC -=，2BC x =， 在ABC 中，由余弦定理，2222cos60AB AC BC AC BC =+-⨯⋅︒， 解得62x =， 故选：C【点睛】思路点睛：把待求量放到三角形中，然后利用正余弦定理解三角形是解决这类问题的一般思路，基础题. 二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________. 答案：2e先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值解：令ln t x =，()t f t te =，所以()x f x xe =，()()1xf x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ，【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若3AB AF ⋅=，则AE BF ⋅=_________.答案：72建立如图所示的坐标系，得到点,,,A B E F 坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.解：建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，()2,0B ，32,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),3F x ，∴(2,0)AB =，(,3)AF x =， ∴23AB AF x ⋅==，解得32x =，即3,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴32,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,32BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴97122AE BF ⋅=-+=.故答案为：72.15．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________.答案：20,3⎛⎫⎪⎝⎭根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 解：由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140xf x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数， 要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：20,3⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题.16．在ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别是a ､b ､c ，若满足4b =，60A =︒的三角形仅有一个，则ABC 面积的取值范围是_________.答案：){23}+∞由题意若三角形只有一个解，则sin a b A =或a b ≥，即a =4a ≥，由余弦定理得，2c =，{}[)24,c ∈+∞，再根据三角形面积公式即可得解.解：由正弦定理知，满足4b =，60A =︒三角形仅有一个，则sin a b A =或a b ≥，即a =4a ≥，由余弦定理得，2c =，所以{}[)24,c ∈+∞，∴{)1sin 243,2ABC S bc A ⎡=⋅=∈+∞⎣△.故答案为：){23}+∞【点睛】本题考查了解三角形的解得个数问题，考查了三角形面积公式，属于中档题. 三角形的解的个数有以下几种情况： （1）A 为锐角时，若a ＜bsin A ，无解； 若a ＝bsin A ，有一解； 若bsin A ＜a ＜b ，有两解； 若a≥b，有一解. （2）A 为钝角或直角时， 若a ＞b ，有一解； 若a≤b，无解.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.答案：（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （1）利用函数()y f x =的最大值可求得A ，由图象计算出函数()y f x =的最小正周期，可求得ω的值，再代入点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，结合22ππϕ-<<可求得ϕ的值，由此可解得函数()y f x =的解析式；（2）利用三角恒等变换思想化简函数()y g x =的解析式为()3sin 232g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y g x =的单调递增区间.解：（1）由函数()y f x =的图象可知，()max 2A f x ==，函数()y f x =的最小正周期为24236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则21T πω==， 又2sin 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πsinφ16， 22ππϕ-<<，2363πππϕ∴-<+<，62ππϕ∴+=，解得3πϕ=，因此，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()()13cos 2sin cos 2sin cos 32g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21333sin cos 3sin 22sin 223x x x x x x π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭.令()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y g x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】已知图象求三角函数解析式()sin y A x b ωϕ=++（或()cos y A x b ωϕ=++）的步骤如下： （1）先求振幅A 与平衡位置b ：()()max min2f x f x A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求频率ω：2Tπω=； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值. 18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且(1)5f =. （1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()1(22)g x ax x =--≤≤，若对任意1[1,4]x ∈，总存在0[2,2]x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）4m =，()f x 值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-.（1）由已知函数值即可求参数m 的值，由已知定义域区间，结合基本不等式即可求函数值域； （2）由题设条件知()f x 的值域是()g x 值域的子集，由0[2,2]x ∈-可得()g x 值域，根据包含关系列不等式组求a 的取值范围.解：（1）由()15f =，得4m =，即()244x f x x x x+==+. ∴()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==. ∴()f x 值域为[]4,5.（2）对于任意1[1,4]x ∈，总存在0[2,2]x ∈-，使得()()01g x f x =成立，则()f x 的值域是()g x 值域的子集；依题意知，0a ≠，当0a >时，()0[21,21]g x a a ∈---，即[4,5][21,21]a a ⊆---.∴0214215a a a >⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，解得3a ≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，即[4,5][21,21]a a ⊆---.∴0214215a a a <⎧⎪-≤⎨⎪--≥⎩，解得3a ≤-. 故3a ≥或3a ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查特殊函数的应用以及由命题成立确定集合包含关系：（1）特殊函数,(,0)b y ax a b x =+>：图像在一、四象限，在第一象限以x = （2）若0,x x ∀∃使0()()f x g x =，则()f x 值域包含于0()g x 的值域 .19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知22(sin sin )sin 3sin sin A B C A B +-=.（1）求角C ；（2）若4b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.答案：（1）3π；（2）. （1）由正弦定理角花边可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，即可得解； （2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3C π=，A B C π++=得到23A B π+=， 62B ππ<<，216sin 2tan ABC S bc A Bπ⎛⎫===+△. 解：（1）由正弦定理得()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，2221cos 22a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. （2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3C π=，A B C π++=得到23A B π+=， ∴022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62B ππ<<. 正弦定理得，sin sin b c B C=，4b =. 三角形面积公式有：216sin 2tan ABCS bc A B π⎛⎫===+△又因62B ππ<<，故tan B ，∴ABC S <<△.故ABC S的取值范围是.【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，属于中档题.解三角形的范围问题有以下两种方法：（1）利用基本不等式，根据基本不等式转化，构造不等式求范围；（2）利用三角函数，一般方法是根据正弦定理边化角，构造三角函数，通过角的范围求解.20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值；（2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围. 答案：（1）1a b ==；（2）(,1]-∞.（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211b y x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩， 又由0,0a b >>，所以1a b ==.（2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭，当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增，所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010n y m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚.（1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）答案：（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈. (1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；(2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大.解：解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010n n m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当50,303x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭； 当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题22．已知函数()2()13xe f x ax a -=++，其中a R ∈. （1）若()f x 在[1,2]内为减函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在[1,2]上的最大值.答案：（1）1a ≥-；（2）2max11(51)352()11(21)352e a a e e f x e a a e e ⎧-⎛⎫+≤ ⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+> ⎪⎪-⎝⎭⎩. （1）求出导函数，只需()0f x '≤在[]1,2内恒成立，讨论1x =或(]1,2x ∈，分离参数即可求解.（2）讨论a 的取值范围，利用导数判断出函数的的单调性，根据单调性即可求出最值. 解：()()22()1221333x x xe e ef x ax a ax ax ax a ---'=-+++⋅=--++. （1）若()f x 在[]1,2内为减函数，则()0f x '≤在[]1,2内恒成立.而0x e ->，∴2210ax ax a -++≥在[]1,2上恒成立.(i)若1x =，则10≥恒成立.(ii)若(]1,2x ∈，则∴()211a x -≥-， ∴21((1,2])(1)a x x ≥-∈-， ∴2max11(1)a x ⎡⎤≥-=-⎢⎥-⎣⎦，综上1a ≥-. （2）当1a ≥-时，()f x 在[]1,2内单调递减， ∴max 21()(1)3a f x f e+==.当1a <-时，()2()213xe f x ax ax a -'=--++，()0f x '=，则 1.21x =当1a <-时，1112x <=<，211x =<，当1,1x ⎡∈⎢⎣⎦时，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增. ∴()f x 的最大值只能在1x =或2x =处.21(2)(1)[(52)(1)]3f f e a e e-=-+-. (i)当152e a e-<-时，(2)(1)f f >， ∴max 21()(2)(51)3f x f a e ==+. (ii)当152e a e-=-时，(1)(2)f f =， ∴max 21()(1)(2)(51)3f x f f a e ===+. (iii)当1152e a e-<<--时，()1)(2f f >， ∴max 21()(1)3a f x f e +==. 综上，2max 11(51),352()11(21),352e a a e e f x e a a ee ⎧-⎛⎫+≤ ⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+> ⎪⎪-⎝⎭⎩. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出导函数，讨论a 的取值范围，确定函数的单调区间，根据单调性求出最值，考查了考生的运算求解能力，属于难题.。
高三数学上学期第一次联考试题文含解析试题2_1
卜人入州八九几市潮王学校皖南八校2021届高三数学上学期第一次联考试题文〔含解析〕考生注意：1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
总分值是150分，考试时间是是120分钟。
2.考生答题时，请将答案答在答题卡上。
第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；第二卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答．．．题区域书写之答案无效，在试题卷．．．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】用列举法写出B 集合，再求交集。
【详解】，应选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合一共同的元素。
，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】复数的除法法那么化简复数z，再根据复数的模长公式求解。
【详解】。
应选B【点睛】对于分数型的复数，首先采取复数的除法运算法那么进展化简，化简成的形式，再求模长。
3.，那么〔〕A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和，进展变形，再代入求值。
【详解】，。
应选A。
【点睛】诱导公式口诀，“奇变偶不变，符号看象限〞。
，，且，那么〔〕A. B.4 C.5 D.【答案】C【分析】由，确定未知量取值，再求模长。
【详解】解得应选C。
【点睛】平面向量数量积的根本应用，垂直数量积为零，模长公式。
，，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc取值范围，进而比较大小。
【详解】，，，且，那么应选C【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或者-1等比较，确定范围，再比较大小。
的局部图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】B【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考试卷数学文科 含答案
安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（ ）A.(],1−∞−B.[]0,1C.(][),01,−∞+∞D.(][),11,−∞−+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（ ） A.0x ∀>，33x x ≤B.0x ∀≤，33x x ≤C.00x ∃>，0303x x ≤D.00x ∃≤，0303x x ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.x =C.y =D.y = 8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.)122π+B.)122π+C.32π+D.22+ 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++−=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e −=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩，内的任意一点，则3a b −的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=−，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x −+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3−内，函数()()21g x f x kx k =−−+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +−=. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求三角形ABC 面积的最大值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF −和一个四棱锥P ABCD −组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==，平面//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF −的体积为1V ，四棱锥P ABCD −的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =−−（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >−恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y −+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.安徽省“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =−∞−+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303x x ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x+=， 所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =， 因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xx f x x x f x −−=−−=−=−，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意222132a b ===⎝⎭，∴b =. 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫− ⎪⎝⎭==−，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =−+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫−+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a ef x −+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14−，∴()11431a ⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，即为()()2f x f x +−=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y −−也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y −−也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++−+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y −+++−+−++++−+−=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +−≤⎧⎪≥⎨⎪≥−⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =−取得最小值-2.42122iz i i+==−，故12z i =−=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S −==−.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x −+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈−时，()()xf x f x x e −=−=−⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+−经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有2个交点，此时31e k =−，解得13e k +=.直线()21y k x =+−经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有4个交点，此时51e k =−，解得15e k +=.直线()21y k x =+−经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3−内两个函数有3个交点，此时12k =.所以要使得函数()()2g x f x kx k =−−有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +−=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+−=， 所以222a c ac b +−=，即222a c b ac +−=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3Bπ=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sina c bA C B====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin cos 22232S ac B A C A A A A π⎛⎛⎫==⨯⋅=−=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 2222444264A A A A π⎫⎛⎫=+−=−+⎪ ⎪⎭⎝⎭，.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分当且仅当3A π=时，262A ππ−=，此时ABC △.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+−⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+−⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++− ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++−=+−<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF −为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF −的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD −的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE −−==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =−，()2xf x e '=−，.…………………………………………1分 令()20xf x e '=−≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=−≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2−∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >−恒成立，即2212x ee x mx −−+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e−>恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x−−+<恒成立.……………………………………………………6分 令()2212x e e x g x x −−+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x⎛⎫−−−−+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x −++−'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =−++−，注意到()10h =，()()12xh x x e '=−+，再令()()12xx x e ϕ=−+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分 又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g −−+===−，.……………………………………………………11分 因为2212x ee x m x−−+<在[)0,+∞恒成立，11所以12e m <−.……………………………………………………………………12分 22.解析：（1）∵直线30x y −+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分 （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++−= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=−+，()21222212m x x k−⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =−+=+，()0122212m y y y k =−+=−+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =−⋅ 1232x x m =−⋅m =m=2==. 综上可得，PAC△面积S 为定值2.………………………………………………12分。
高三数学第一次联考试题文含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校皖南八校2021届高三数学第一次联考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题題5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】观察法直接写出A与B的交集．【详解】∵A={2，4，5，6}，∴A∩B={2}，应选：B．【点睛】此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.。
(是虚数单位)，那么复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】复数的代数表示法及其几何意义．【详解】由，得在第二象限【点睛】此题考察了复数的运算法那么、几何意义，考察了计算才能，属于根底题．且是增函数的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】与是函数且为增函数的既不充分又不必要条件；是函数且为增函数的充要条件；可得，不等得到，所以是函数且是增函数的一个充分不必要条件，应选C.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接根据定义、定理、性质尝试.比较.，上，那么m＋2n的最小值为A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】利用根本不等式的性质求出最小值【详解】∵，，，∴，当且仅当，即时，取“〞．【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．满足，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦、余弦函数公式即可求出值.【详解】，又，所以．【点睛】考察学生灵敏运用诱导公式和二倍角公式求值问题．，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由里及外逐步求解函数值即可．【详解】，．【点睛】此题考察分段函数的函数值的求法，考察计算才能．7.如图在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，那么A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据平面向量加法与减法的运算法那么化简求解即可.【详解】根据平面向量的运算法那么；因为所以,应选B.【点睛】此题主要考察向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法那么是：〔１〕平行四边形法那么〔平行四边形的对角线分别是两向量的和与差〕；〔２〕三角形法那么〔两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和〕；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答〔求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单〕．在区间〔－a，a〕上是单调函数，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数在上递增，由可得结果.【详解】函数函数可化为，由可得函数的单调增区间为由可得，实数的取值范围是，应选D.【点睛】函数的单调区间的求法：(1)代换法：①假设,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②假设,那么利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或者根据复合函数的单调性规律进展求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.，所表示的平面区城为M，假设直线的图象经过区域M，那么实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将问题转化为可行域内的点与连线的斜率的范围求解即可.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图，恒过，即为可行域内的点与连线的斜率，由图可知，，即实数的取值范围是，应选A.【点睛】此题主要考察线性规划中，利用可行域求目的函数的最值，属于简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移或者旋转变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.上的函数满足，当时，，A.6B.4C.2D.0【答案】C【解析】【分析】由f〔x+2〕=﹣f〔x〕求出函数的周期4，求出一个周期f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+f〔4〕的值．然后求解表达式的值．【详解】∵，∴的周期为4，，，，．．【点睛】此题考察函数的周期性，抽象函数的应用，根据周期性求代数式的值，属于一道根底题．的局部图象如下列图，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象那么〕图象的一条对称轴为直线A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由最值求，由周期求，利用特殊点求，从而可得结果.【详解】由图象可知，所以，，可得，应选D.【点睛】此题主要通过三角函数的图象求解析式考察三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法〞的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法〞中的第一个点为打破口，“第一点〞(即图象上升时与轴的交点)时12.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设，那么以下结论正确的个数是①△ABC是锐角三角形②对于，都有＞0③＝0在区间〔1，2〕上有解A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据a，b，c是三角形的三边长，得出f〔x〕=c x[+﹣1]＞c x〔+﹣1〕＞0，判断②正确；△ABC为钝角三角形时a2+b2﹣c2＜0，f〔1〕＞0，f〔2〕＜0，函数f〔x〕在区间〔1，2〕内存在零点，判断③正确．【详解】①因为，所以，角为钝角，故①错；②因为，，是的三条边长，所以，又，，所以，，当时，，故②正确；③因为角为钝角，所以，因为，，根据零点的存在性定理可知在区间上存在零点，所以存在，使，故③正确．第二卷〔非选择题一共90分〕二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分是等差数列，且，那么＝_______。
安徽省皖南八校2021届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）
s 安徽省皖南八校2021届高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试卷注重对基础知识和大体方式全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的把握情形为原那么,重视基础,紧扣教材,回归讲义,整套试卷中有很多题目能够在教材上找到原型.对中学数学教学和温习回归讲义,重视对基础知识的把握起到好的导向作用.一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 【题文】1．设全集{2,1,1,2,3}U =--,集合A={-1，1，2},B={-1,1},那么()U A C B =A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，1} 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为全集{2,1,1,2,3}U =-- ，B={-1,1}，因此{2,2,3}U C B =- 因此()U AC B ={2}，应选B.【思路点拨】依照补集、交集的概念求解.【题文】2)10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【知识点】函数的概念域. B1【答案解析】D )10,3⎛⎤⎥⎝⎦，应选D.【思路点拨】依照函数解析式写出函数成心义的条件，进而求得函数的概念域.【题文】3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数的大体概念与运算. L4【答案解析】C 象限，应选C.【思路点拨】依照复数除法及共轭复数的概念求得结论.【题文】4．假设0.332,sin1,log 0,2a b c ===，那么 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 【知识点】数值大小的比较. E1 【答案解析】D 解析：0.3321,sin1(0,1),log 0.20,>∈< a b c ∴>>，应选D.【思路点拨】分析各值所在的范围，这些范围两两的交集是空集，从而得a,b,c 的大小关系. 【题文】5．已知()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩那么((1))f f 的值是A.0B.-2C.1D.-1 【知识点】函数值的意义. B1【答案解析】C 解析：因为()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，因此()12f =，因此((1))f f =()2f =1，应选C. 【思路点拨】依照函数值的意义求解.【题文】A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2 【知识点】三角函数的求值化简. C7【答案解析】D因为2 D.【思路点拨】依照诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系化简已知的式子得2的终边位置去掉绝对值.【题文】7.已知ABC 中，A 等于（ ）A ．45︒ B. 60︒ C. 60120︒︒或 D. 45135︒︒或 【知识点】解三角形.C8【答案解析】A 2a b <∴∠【思路点拨】依照正弦定理即可求出角的大小 .【题文】8.已知向量,a b ，知足0a b =≠，且关于x 22014a x a bx +⋅+在R 上有极值，那么a 与b 的夹角θ的取值范围为（ ）【知识点】导数；向量的运算 B11 F2 (a x a b +⋅，因为函数在实数上有极值，220,0cos a a b a b -⋅>=≠∴【思路点拨】求出导数，再利用函数性质列出条件求解.【题文】9.把曲线sin 230y x y -+=先沿x y 轴向下平移1个单位长度，取得曲线方程是（ ） A()1cos 230y x y -+-= B.()1sin 210y x y +-+= C.()1cos 210y x y +-+= D.()1cos 210y x y -+++=【知识点】函数的平移变换 B8【答案解析】C 解析：把曲线ysinx-2y+3=0先沿x 轴向左平移个单位长度，可得曲线y 轴向下平移1个单位长度，即曲线（1+y ）cosx-2y+1=0， 故选：C ．【思路点拨】依照题意对函数进行平移变换即可.【题文】10.已知函数()3231f x ax x =-+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，那么a 的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞-C. ()1,+∞D. (),1-∞-【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．B9,B11【答案解析】B 解析：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a ＞0时，令f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下： x（﹣∞，0） 0（0，） （，+∞） f′（x ） +﹣+f （x ） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∵x→﹣∞，f （x ）→﹣∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．当a ＜0时，f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下： x（﹣∞，）（，0） 0 （0，+∞） f′（x ） ﹣ 0+﹣f （x ） 单调递减极小值 单调递增 极大值 单调递减而f （0）=1＞0，x→+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0， ∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a （）3﹣3（）2+1＞0， 化为a 2＞4， ∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）．【思路点拨】分类讨论：当a≥0时，容易判定出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f （）＞0，解出即可．二、填空题：本大题共5小题,每题5分,共25分,请将答案填在题后横线上. 11.已知1sin cos 5αα-=，那么sin cos αα= 【知识点】诱导公式 C2 【答案解析】1225解析：由题可知()21112sin cos 12sin cos sin cos 252525αααααα-=∴-=∴=【思路点拨】依照同角三角函数的大体关系式可直接求解. 【题文】12.已知向量()()1,2,3,2OA OB =-=-，那么12AB = 【知识点】向量的加减及坐标运算.F1【答案解析】()2,2- 解析：由题可知()(14,42,2AB OB OA AB =-=-∴=-【思路点拨】依照向量的加减法那么，再进行坐标运算即可. 【题文】13.是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，那么实数b= 【知识点】导数的几何意义及其运算.B11【答案解析】ln 21- 解析：设切点坐标为()00,x y ，，解得：02x =，代入曲线方程()ln 0y x x =>可得：0ln 2y =，又因为()00,x y 在直线上，故ln 21b =-，故答案为：ln 21-。
安徽皖南八校2021届高三10月份第一次联考试题 数学(文) Word版含答案
“皖南八校”2021届高三第一次联考数学(文科)考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用，三角函数、解三角形，平面向量与复数。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ＝{x|x 2－x －6<0}，B ＝{x|3x ≤9}，则A ∪B ＝B.(－2，3)C.(－2，2]D.(－∞，3)2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，2)，则复数z(1－i)的虚部为A.－3 C.－3i3.下列四个条件中，使x>y 成立的充分而不必要条件是＋1 －1 2>y 2 3>y 34.设向量a ＝(0，2)，b ＝(2，2)，则A.|a|＝|b|B.(a －b)//b 3π D.(a －b)⊥a 5.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的。
如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ＝ A.45 B.35 C.725 D.725-6.已知函数f(x)＝log 2x f(x)的定义域为A.(－∞，4]B.(－∞，2]C.(0，2]7.要得到函数f(x)＝cos(2x ＋3π)的图象，只需将函数g(x)＝sin(2x ＋6π)的图象 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移23π个单位长度 D.向右平移23π个单位长度 8.某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：小时)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx ＋b (k ，b 为常数)，若设置储存温度0℃的保鲜时间是288小时，设置储存温度5℃的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15℃的保鲜时间近似是 9.已知a ，b 是不共线的向量，OA a b OB 3a 2b OC 2a 3b λμ=+=-=-，，，若A 、B 、C 三点共线，则实数λ，µ满足A.λ＝μ－5B.λ＝μ＋5C.λ＝μ－1D.λ＝μ＋110.已知函数f(x)＝2x ＋x －1，g(x)＝log 2x ＋x －1，h(x)＝sinx ＋x －1的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下大小关系正确的是1<x 2<x 3 1<x 3<x 2 3<x 2<x 1 2<x 3<x 111.已知函数f(x)＝(32x 2－3x)·e x ，则A.函数f(x)的极大值点为xB.函数f(x)在(上单调递减C.函数f(x)在R 上有3个零点D.函数f(x)在原点处的切线方程为y ＝－3x12.如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知A 、B ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠DCA ＝45°，∠ACB ＝60°，则C ，D 两个中继站的距离是km km km第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。