用初等变换化二次型为标准型

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初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型_概述及解释说明

初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型是矩阵理论中一个重要且常用的概念。

通过进行一系列的初等变换和利用正交矩阵，我们可以将给定的二次型转化为标准型，从而简化问题的求解过程。

本文将对初等变换法和正交矩阵进行介绍，并说明它们在得出二次型的标准型中起到的关键作用。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、初等变换法与正交矩阵、二次型的标准型、初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型以及结论。

首先，在引言部分将对整篇文章的内容进行概述，并说明文章结构。

接下来，将详细介绍初等变换法和正交矩阵的概念及其性质，并讨论它们之间的关联性。

然后，我们会深入探讨二次型及其标准型的定义、意义以及性质。

紧接着，在给定了必要背景知识后，我们将介绍如何使用初等变换法和正交矩阵来得到二次型的标准型，包括具体的步骤和计算方法。

最后，在结论部分对全文进行总结，并讨论初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型在实际问题中的应用价值。

1.3 目的本文旨在通过概述和解释说明初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型，帮助读者充分理解初等变换法与正交矩阵在矩阵理论中的重要性以及它们在处理二次型问题中的作用。

同时，本文还将提供详细的步骤和计算方法，使读者能够从实际问题出发，灵活运用这种方法来求解相关的数学和工程问题。

2. 初等变换法与正交矩阵2.1 初等变换法介绍初等变换是线性代数中一种重要的操作，它可以通过对矩阵进行一系列基本运算来改变矩阵的形态。

常见的初等变换包括行交换、行倍乘以一个非零数和第j行加上第i行的k倍。

2.2 正交矩阵概述正交矩阵是指满足其转置矩阵乘以自身结果为单位矩阵的方阵。

简而言之，正交矩阵的转置就是它的逆矩阵。

具体而言，设A为n×n的实矩阵，若满足A^T⋅A=I (其中I为n×n的单位矩阵)，则称A为正交矩阵。

在线性代数中，正交矩阵有很多重要性质和应用。

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax" + 2bxy+ cy' =f .(1)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin&• •y = X sin0+y cos0把方程（1）化成标准方程。

在二次曲而的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

向转轴）(2)设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，•…Xn 的二次齐次多项式f(XpXx ・・・,Xn)= a…xf +2apX]X 》+・•・+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +・・・ + 2a*nXjXn +・・・ + annXn2称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式X| =勺』|+匂汙2+・・・5人X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。

32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另那二ivj ・由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，・・・,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+・・・ + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, +n n =工工a/iXj i —1它的系数排成一个n*n 矩阵州2…％幻2…幻n它就称为二次型的矩阵。

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．惠汝、红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．五明，永金，栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,ik k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++．例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=．（3）将正交化：1α=1β=2β=2α-21111(,)(,)αββββ= 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--= 将正交向量组，单位化得单位正交向量组：，，，（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二）配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式．用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵，都可以找到一个可逆矩阵使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用分别表示变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭．例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义是数域P 上一个线性空间，是上一个二元函数，如果有下列性质：（1）；（2）；其中1212,,,,,αααβββ是中任意向量，12k ,k 是中任意数，则称为上的一个双线性函数．线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量α,β都有=，则称为对称双线性函数．设是数域上n 维线性空间上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2）由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算．（4）以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数关于基的矩阵为, 则 A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=32223102201⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆．（五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1：二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1）不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++，此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂，（2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++ 令经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．对于二次型（1）矩阵()A=ijn na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中都是实数．我们记，，其中利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：(2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行．第一步，利用正交变换将方程（2）左边的二次型的部分化成标准形：其中为正交矩阵，,相应地有于是方程(2)可化为第二步, 作平移变换，将方程(3)化为标准方程, 其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对是否为零进行讨论:1)当时，用配方法将方程(3)化为标准方程：(6-1)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当中有一个为0，设方程（3）可化为(6-2)(6-3)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当中有两个为０，不妨设，方程(3) 可化为下列情况之一：此时，再作新的坐标变换：(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；若与异号，表示两个平行平面；若与同号，图形无实点，若，表示坐标面．例二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE A的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：配方得：令则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]：高等教育，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]：高等教育，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].：高等教育，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].：科技，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].：大学，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]五明，永金，栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育.2004:427.[12]惠汝,红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].师学院报,2004,23(2):13-15.[13]秀花.二次型的应用[J].学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J]. TheCollegeMathematicsJournal.2001.。

§5.2 化二次型为标准形

8
2 2 2 ∴ f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
= y +y .
2 1 2 2
所用变换矩阵为
1 −1 1 C = 0 1 − 2 , 0 0 1
(C
= 1 ≠ 0 ).
9
例2 化二次型 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
− 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1
1 0 0 → 0 1 0
0 −1 1 1 1 0
0 1 0 0 − 1 1
→

1 0 0 0 1 0
0 − 1 0 1 1 0
分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.
14
解：

0 − 1 0 1 0 0
− 1 1 1 0 1 0
0 1 1
1 − 1 1 → 0 0 1 0 0 1
化为标准型，并指出 f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 表示何种二次化为标准型，曲面. 曲面
19
5 −1 3 解二次型的矩阵为 A = − 1 5 − 3 , 3 −3 3
可求得 det(λE − A) = λ (λ − 4)(λ − 9),
说明
1 . 二次型经可逆变换 x = Cy 后 , 其秩不变 , 但 f 的矩阵由 A 变为 B = C T AC ; 2 . 要使二次型 f经可逆变换 x = Cy 变成标准形 ,

化二次型为标准形的方法

编号2009011146毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1)０引言 (1)1矩阵及二次型的相关概念 (1)1．1矩阵的相关概念 (1)1．2二次型的相关概念 (2)2化二次型为标准形的方法 (3)2．1配方法 (3)2．2初等变换法（合同变换法） (5)2．3正交变换法 (6)2．4雅可比法 (8)2．5MATLAB法 (12)3 小结 (14)参考文献 (15)英文摘要 (15)致谢 (16)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O一年月日化二次型为标准形的方法王瑜完巧玲（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000 ）摘要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的．关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.０引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换py x =将其化为21i ni i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．1 矩阵及二次型的相关概念1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基．i ) n ααα,,,21 线性无关；ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量βj，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111，作一个n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211则矩阵T 叫做由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵．定义]3[3.1.1 如果n 阶实方阵A 满足E A A T =即(1-=A A T 或E AA T =)，则称A 为正交矩阵．定义]5[4.1.1二次型的矩阵n n ij a A ⨯=)(，若记111a =∆，222112112a a a a =∆，，nnn nn a a a a1111=∆ ，则称1∆，2∆，，n ∆为其顺序主子式．1．2 二次型的相关概念定义]2[1.2.1 设P 是一个数域，以P 中的数作系数的1x ，2x ，，n x 的二次齐次多项式221211112121313112222323(,,...,)22...22...n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++++222...n n a x x +2nn n a x +称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.注：(1)这里非平方项的系数采用ij a 2主要为了后面矩阵表示方便． (2)实数域上的n 元二次型为实二次型;复数域上的n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即12(,,...,)n f x x x =221122d x d x +2...n n d x ++称为标准形的二次型．简称标准形.定义]5[2.2.1 设V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf ．如果),(βαf 有下列性质： 1) ),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+2) ),(),(),(22112211βαβαβααk f k k k f +=+其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数．例如：欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数．定义]5[3.2.1 设),(βα=f 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量βα,都有 ),(),(αββαf f =，则称),(βαf 为对称双线性函数．定义]5[4.2.1 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数．12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1111n n n n f f f f A εεεεεεεε叫做),(βαf 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．2 化二次型为标准形的方法2．1 配方法用配方法化二次型为标准形关键是消去交叉项，分如下三种情形处理：情形]4[1 如果二次型),...,,(21n x x x f 含某文字例如1x 的平方项，即011≠a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性变换)(12212121111P c x y x y x c x c x c y j nn nn ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=得),...,(2211n y y g y d f +=，其中),...,(2n y y g 是2y ，…n y 的二次型．对),...,(2n y y g 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止．情形]4[2 如果二次型),...,,(21n x x x f 不含平方项，即0=ii a (n i ,...,2,1=)，但含某一个)(0j i a ij ≠≠，则可先作非退化线性替换 ),;,...,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk j i j j i i ≠=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形．情形]3[3 若011211====n a a a ,由对称性013121====n a a a ．此时j i ni nj ij x x a f ∑∑===22是1-n 元二次型，由归纳假设,它能用可逆线性变换化为标准形．例]2[1.1.2用配方法化下列二次型为标准形(ⅰ)3231212322212162252),...,,(x x x x x x x x x x x x f n +++++=； (ⅱ)32312121622),...,,(x x x x x x x x x f n -+=．解（ⅰ）先集中所含1x 的项并配方，得32232232121652)(2x x x x x x x x f +++++=322322322321652)()(x x x x x x x x x ++++-++=233222232144)(x x x x x x x +++++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=.,,33223211x y x y x x x y 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--=.,,33223211y x y x y y y x 得上式右端除第一项外已不再含1y ，继续配方．可得23221)2(y y y f ++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==.,2,3332211y z y y z y z )1( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.,2,3332211z y z z y z y )2(得标准形 2221z z f +=所用的可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,333223211z x z z x z z z x )3(注：此题中它的标准形为2221z z f +=，它还是三元二次型，只是23z 的系数为零；所做的线性变换)2(必须有33z y =项，否则不是非退化线性变换．（ⅱ）因为f 中不含平方项而含21x x 乘积项，故令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.,,33212211y x y y x y y x )1(代入二次型，得 3213212121)(6)(2))((2y y y y y y y y y y f --++-+=323122218422y y y y y y +--=再按情形1的方法配方 232322316)2(2)(2y y y y y f +---=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,2,33322311y z y y z y y z )2( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322311z y z z y z z y )3(则二次型化为 232221622z z z f +-=将式)1(代入式)3(，得可逆线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=.,,33332123211z x z z z x z z z x2．2 初等变换法（合同变换法）我们知道可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵1P ，2P ，…，m P 的乘积，即m m P P EP P P P C ......2121== )1.2.2(把上式代入式D AC C T =，得 D P P AP P P P m TTTm =......2112 )2.2.2(式)2.2.2(表明，对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换，A 就变为对角矩阵D ．而式)1.2.2(表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换，E 就变为可逆矩阵C ．这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为初等变换法．因此可得利用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ，并构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A ；第二步：对A 进行初等行变换和同样的初等列变换化为矩阵D ，此时D AC C T =；第三步：写出可逆线性变换CY X =化二次型为标准形DY Y f T =．这个方法可示意如下：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 换只进行其中的初等列变对和初等列变换进行同样的初等行变换对例]6[1.2.2用初等变换把二次型3231213213),,(x x x x x x x x x f -+=经过非退化（可逆）线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性变换．解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023212302121210A ，用矩阵的初等行、列变换法，有−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯++211212)21(10001100102312302112111001000102321230211212110010001023212302121210rr c c r r E A−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+++-⨯313121100021102111101410101100021102110111410101100011001023114101211)21(c c r r c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100121112111101410001−−−→−+-⨯32)4(r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121112113001410001−−−→−+-⨯32)4(c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121132113000410001因此，1001004003D ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10012113211C 令CY X =．其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y 得232221321341),,(y y y x x x f +-=所做的非退化（可逆）线性变换CY X =，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=.,21,32133********y x y y y x y y y x2．3 正交变换法对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵T ，使得 Λ=-AT T 1其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21这里1λ，2λ，…n λ 是A 的n 个特征值．注意到T 是正交矩阵，所以Λ==-AT T AT T T 1定理]3[1.3.2（主轴定理）对于任意一个n 元实二次型AX X x x x f T n =),...,,(21 一定能找到一个正交线性替换TY X =，把它变成标准形2222211...n n y y y λλλ+++ 其中1λ，2λ，…n λ是实对称矩阵A 的全部特征值，正交矩阵T 的n 个列向量恰为A 的对应特征值1λ，2λ，…n λ的标准正交特征向量．用正交变换法化二次型为标准形的步骤归纳如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ；第二步:求出A 的特征值，得1λ，2λ，…n λ；第三步：求出对应的特征向量；第四步：将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量；第五步：将正交的特征向量单位化；第六步：将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q ，这时Λ=='-AQ Q AQ Q 1其中Λ是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即),...,(21n diag λλλ=Λ，写得时候要注意与特征向量的顺序一致；第七步：写出可逆线性变换QY X =，则有 2222211...n n y y y f λλλ+++= 因此只要求出特征根，二次型的标准形也就求出来了．正交变换更具实用性．例]3[1.3.2 用正交变换化二次型-+++=21232221214552),...,,(x x x x x x x x f n323184x x x x -为标准形，并写出所用的正交变换．解二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．因为 )10()1()det(2--=-λλλA E ，所以A 的特征值为121==λλ，103=λ可求得对应的特征向量分别为1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3122ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭将1ξ，2ξ正交化 11210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，212211125,4,51ξηηξηηη⎛⎫⎪⎪〈〉 ⎪=-⋅= ⎪〈〉 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再将1η，2η，3ξ单位化10ψ⎛ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2ψ=，3132323ψ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 于是正交变换1122331323203x y x y x y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭化二次型为 23222110y y y f ++=2．4 雅可比法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni i i y 1ε，T n x x X ),,(1 =，T n y y Y ),,(1 =，那么给定一个F 上的n 元二次型AX X T （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一个V 上对称双线性函数),(βαf =AY X T ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1121n n n n f f f f A εεεεεεεε．反之亦然．在固定的基12n ,,...,εεε下，二次型AX X T 和对称双线性函数),(βαf =AY X T 是互相唯一确定的（都是由A 确定的）．这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下有二次型AX X T 确定的对称双线性函数),(βαf =AY X T ，满足条件0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而n n ij b B ⨯=)(=)),((j i f ηη是),(βαf 关于这个基的矩阵，又设n n ij c C ⨯=)(是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即∑==nj j ij i c 1εη，n i ,...,2,1= 那么 AC C B T =即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵是合同的．在n R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη．该方法的实质就是设 111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩然后用待定系数法求使得0),(=j i f ηη（其中j i ≠，n j i ,...,2,1,=）的系数ij c ．是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩使得0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠解将j jj j j j c c c εεεη+++= 2211代入),(j i f ηη得),(),(2211j jj j j i j i c c c f f εεεηηη+++==),(),(),(221j i jj i j i i j f c f c f c εηεηεη+++ ，所以，若对任意的i 及j i <有0),(=j i f ηη，则对i j <，也有0),(=j i f ηη，又因双线性函数),(βαf 是对称的，则对i j >，有0),(),(==i j j i f f ηηηη，即1n ,...,ηη是所求的基。

化二次型为标准形的几种方法

化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to thestandard formsAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵A 的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,i k k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++．例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=222211223344d x d x d x d x +++．（3）将1234,,,αααα正交化：1α=1β=(1,1,1,1)T -- 2β=2α-21111(,)(,)αββββ=(1,1,1,1)T -- 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=(-1,-1,1,1)T 4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)T 将正交向量组1234,,,ββββ，单位化得单位正交向量组：11=(1,1,1,1)2T η--，21(1,1,1,1)2T η=--，31(1,1,1,1)2T η=--，41(1,1,1,1)2T η=（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二）配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理92【】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式．用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对23,x x 配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理[7]3 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用C D 、分别表示A E 、变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义[1]定义 V 是数域P 上一个线性空间，f (,)αβ是V 上一个二元函数，如果f (,)αβ有下列性质：（1）11221122f (,k +)=k f (,)+k f (,)k αββαβαβ；（2）11221122f (k +,)=k f (,)+k f (,)k βββαβαβ；其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (,)αβ为V 上的一个双线性函数．[11]定义 f (,)αβ线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f (,)αβ=f (,)βα，则称f (,)αβ为对称双线性函数．[11]定义设f (,)αβ是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 f (,)αβ在12n,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2）由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算．（4）以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数f (,)αβ关于基123,,εεε的矩阵为A , 则A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=3222310221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换X CZ =能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆．（五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1：二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1）不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++，此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂，（2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++令112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．[1]定理对于二次型（1）矩阵()A=ij n na⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中,,(,1,2,3)ij i a b c i j =都是实数．我们记x =(x,y,z)T ，123=(,,)b b b b T ，111213212223313233A =a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ij jia a =利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0TTx Ax b x c ++= (2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行．第一步，利用正交变换X =PY 将方程（2）左边的二次型TX AX 的部分化成标准形：222112131T x Ax x y z λλλ=++其中P 为正交矩阵，3=()12y x ,x ,x T,相应地有()112131T T T b x b Py b P y k x k y k z ===++于是方程(2)可化为2221121311121310x y z k x k y k z c λλλ++++++= 第二步, 作平移变换y y y =+，将方程(3)化为标准方程, 其中(,,)y x y z =这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对123,,λλλ是否为零进行讨论:1)当123,,0λλλ≠时，用配方法将方程(3)化为标准方程：222123x y z d λλλ++= (6-1) 根据123,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如123,,λλλ与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当123,,λλλ中有一个为0，设30λ=方程（3）可化为22123(0)x y kz z λλ+=≠ (6-2)22123(0)x y d k λλ+== (6-3)根据12,λλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当12,λλ同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当12,λλ异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当123,,λλλ中有两个为０，不妨设230λλ==，方程(3) 可化为下列情况之一：21()0(,0)a x py qz p q λ++=≠此时，再作新的坐标变换：2222py qz qy pz x x y z p q p q +-'''===++(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；21()0d x d λ+=若1λ与d 异号，表示两个平行平面；若1λ与d 同号，图形无实点，若0d =，表示yoz 坐标面．例二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010=++x b Ax x T T，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE AA 的特征值为1236,3,0λλλ===，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：221111163868100x y x y z ++-++= 配方得：221118176()3(1)8()0372x y z ++-++=令111817,1,372x x y y z z =+=-=+ 则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th eCollegeMathematicsJournal.2001.。

第二节化二次型为标准型

第二节化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式,2222211n n y b y b y b则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵n b b b B 21则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5 ★ 例6★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7 ★ 例8★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk ji j j i i且化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是s P P EP C 21s TT T s T P P AP P P P AC C 2112.由此可见, 对n n 2矩阵E A 施以相应于右乘s P P P21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘Ts T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即.),,,(2222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y定理3 任给二次型),(1,ij ji nj i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形,2222211n n y y y f其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C(5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形.2222211n n y y y f四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为)1(22112211r r p p p p x d x d x d x d 其中).,,2,1(0r i d i定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0000000p r pE E定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得0000000pr p TE E AC C ，0000000qr p TE E AQ Q 则 .q p注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。

化二次型的方法

化二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院数学与计算机科学系，福建三明 365004）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi 方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics & Computer Scince,Sanming College, Sanming 365004,China ）Abstract ：This paper provides four kinds of methods for the transforming quadratic form into standard form ，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method. Key words: symmetry matrix ；quadratic form ；orthogonal transformation ；contragradient transformation任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法. 1 预备知识定义 1.1[1]设P 是数域,系数属于P 的n 个未知量12,,,n x x x 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++,1nij i j i j a x x ==∑ ()ij ji a a =称为数域P 上的n 元二次型.任何一个二次型12,1(,,,)nn ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a = (11)-都可以写成如下形式1211111221(,,,)()n n n f x x x x a x a x a x =++++ 22112222()n n x a x a x a x +++++ 1122()n n n nn n x a x a x a x +++ ，f 的系数可以确定一个n 阶矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，由于ij ji a a =(,1,2,)i j n = ,所以TA A =,即矩阵A 是对称矩阵.定义1.2[4]矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为二次型 12,1(,,,)nn ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a =的矩阵，A 的秩叫做二次型12(,,,)n f x x x 的秩.由于n 阶对称矩阵()ij n n A a ⨯=与二次型12,1(,,,)nn ij iji j f x x x a x x==∑ ()ij ji a a =一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.若记()12,,,Tn x x x X = ，则式(11)-可用矩阵的记号写成如下形式：1111221211222212121122(,,,)(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭ 12(,,,)n x x x = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12n x x x ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭T X AX =在本文中，将一个n 元二次型表为12(,,,)n f x x x = TX AX 时,都要求A 是对称矩阵. 定义1.3[4]二次型2221122n n f y y y λλλ=+++ (12)- 叫做数域P 上n 元二次型的标准形.显然标准形(12)-的矩阵是对角矩阵1212(,,,)n n diag λλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 定义1.4[4]P 是数域,12,,,n x x x 和12,,,n y y y 是两组未知量,线性关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (13)- 叫做由未知量12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性变换.系数矩阵111212122212n n n n nn c c c c c c C c c c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为变换(13)-的矩阵.如果0C ≠,那么称(13)-式为非退化线性变换.利用矩阵相乘与相等的概念,变换(13)-可写作12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111212122212n n n n nn c c c c c c c c c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12n y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 或X CY =其中X 12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,Y =12n y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,C =111212122212n n n n nn c c c c c c c c c ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭研究如何通过非退化线性变换X CY =将二次型12(,,,)n f x x x 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ 是本文主旨.引理1.1[16]设12(,,,)n f x x x TX AX =是数域P 上一个n 元二次型.那么,二次型12(,,,)n f x x x 经非退化线性变换(13)-后,可化为关于12,,,n y y y 的二次型12(,,,)T n g y y y Y BY = 并且TB C AC =定义1.5[1]设A ,B 是数域P 上两个n 阶方阵,如果存在P 上一个n 阶可逆矩阵C ,使B =TC AC ,那么称A 合同于B .引理1.2[1](1)A 合同于A .(2)如果A 合同于B ,那么B 合同于A .(3)如果A 合同于B ,B 合同于C ,那么A 合同于C .(4)如果A 合同于B ,那么秩()A =秩()B .定义1.6[2] 如果矩阵A 经一系列初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 是等价的.引理 1.3[2]矩阵A 与B 等价的充要条件是有一系列初等矩阵12,,,s P P P 与12,,,r Q Q Q ,使得2112s r P P PAQQ Q B = .引理1.4[2]n 阶方阵A 为可逆矩阵的充要条件是A 可表为有限个初等矩阵的乘积.引理1.5[2]设,P Q 是可逆矩阵,A 是任一矩阵,,PA AQ 有意义,那么秩()PA =秩()AQ =秩()A .由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题. 2 用配方法化二次型为标准形定理2.1[2]数域P 上的任一个n 元二次型12(,,,),T n f x x x X AX = ()ij n n A a ⨯=均可以经过非退化线性变换化为标准形.证明对二次型的变量个数n 作数学归纳法.当1n =时,二次型21111()f x a x =即为标准形,假设结论对1n -成立,下面证明结论对n 也成立.分三种情况来证明:(1) (1,2,)ii a i n = 中至少有一个不为0,不妨设0ii a ≠,则12(,,,)n f x x x 2111112222nnnj j ij i j j i j a x a x x a x x ====++∑∑∑211111111222(2)nn njj ij i j j i j a x x aa x a x x -====++∑∑∑12121111111112222()()nnn njj j j ij i j j j i j a x aa x aa x a x x --=====+-+∑∑∑∑令111111222nj j j n ny x a a x y x y x -=⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 即111111222n j j j n nx y a a x x y x y -=⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 或11221n n x y x y C x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(14)-其中11111211111010001n a a a a C --⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 这是一个非退化线性变换,它使得21211112(,,,)(,,)n n f x x x a y f y y =+其中1212111222(,,)()n n nn j j ij i j j i j f y y aa y a y y -====-+∑∑∑是关于2,,n y y 的一个1n -元二次型,由归纳假设,存在非退化线性变换 222n n y z C y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使二次型12(,,)n f y y 变为标准形2222233n n d z d z d z +++ . 从而非退化线性变换11222100n n y z y z C y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(15)-可将12(,,,)n f x x x 变为标准形22221112233n n a z d z d z d z ++++由于线性变换(14)-,(15)-均非退化,故从12,,,n x x x 到12,,,n z z z 的线性变换11222100n n x z x z C x z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也非退化,结论成立.(2) (1,2,)ii a i n = 均为0,但至少有一个10(0)j a j ≠>,不妨设120a ≠,令11221233nn x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即1X C Y =,其中11100110000100001C ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭.它是非退化线性变换,并且使得12(,,,)n f x x x 化为关于12,,,n y y y 的二次型11,2(,,)n f y y y ,且21y 的系数1220a ≠,由情形(1)可得,经过非退化线性变换11222n n y z y z C y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化11,2(,,)n f y y y 为标准形2221122n n d z d z d z +++ ,从而非退化线性112212n n x z x z C C x z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可将12(,,,)n f x x x 化为标准形2221122n n d z d z d z +++(3) 110,0(1,2,;1,2,)i j a a i n j n ==== 此时1222(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是一个关于12,,,n x x x 的n 元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将12(,,,)n f x x x 化为标准形.综上所述,数域P 上的任一个n 元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理得证.定理2.1中化二次型为标准形的方法称为配方法.例 2.1[8]把二次型222(,,)24262f x y z x y z xy yz zx =+++++化为标准形.解在f 中2x 的系数不为零,可先集中含x 的项,利用配方法把f 改写为 222222()()()246f x y z x y z y z y z yz =++++-++++ 222()43x y z y yz z =+++++再在剩下的项中集中含y 的项,配方后得到222()(2)f x y z y z z =++++-于是, 线性变换''2'x x y z y y z z z =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩或''''2''x x y z y y z z z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩把二次型f 化为标准形222'''f x y z =+-例 2.2[12]化二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-为标准形,并写出所用的非退化线性变换.解由于123(,,)f x x x 中没有平方项，故作非退化线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则 123(,,)f x x x 221122232428y y y y y y =---2221322332()282y y y y y y =---- 222132332()2(2)6y y y y y =--++.令113213332z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 或112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则123(,,)f x x x 的标准形为222123226z z z -+. 所用的非退化线性变换为112233110101110012001001x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123113111001z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 对于一般的二次型,当平方项的系数ii a 不全为零时,可用例1中的方法;当二次型中不含有平方项,这时ij a 不全为零,可用例2中的方法,先作一变换,把二次型化为含有平方项的情形,然后再用例1中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形.3 用正交变换方法化二次型为标准形定义3.1[1] 设A 为实n 阶方阵,如果1T AA -=,则称A 为正交矩阵.定义3.2[1] 若变换(13)-的矩阵C 是正交矩阵,则称这个线性变换是正交变换. 定义 3.3[2] 设,A B 为数域P 上两个n 阶矩阵,如果可以找到数域P 上的n 阶可逆矩阵X ,使得1B X AX -=,就说A 相似于B .定义3.4[2] 设A 为n 阶方阵, λ是一个数,如果存在非零向量α,使得A αλα=成立,则称λ是A 的一个特征值,α为A 的属于特征值λ的特征向量.含有未知量λ的矩阵E Aλ-称为A 的特征矩阵,其行列式E A λ-为λ的n 次多项式,称为A 的特征多项式,0E A λ-=称为A 的特征方程.定义3.5[2] 设向量12(,,,)n a a a α= ,12(,,,)n b b b β= ,数量1122n n a b a b a b +++ 1ni i i a b ==∑称为向量α与β的内积,记为(,)αβ.定义3.6[2] 如果两个向量α与β的内积等于0,即(,)0αβ=,则称向量α与β是正交的. 定义3.7[1] 若非零向量组12,,,s ααα 两两正交,即(,)0i j αα=,(,,i j i j ≠=1,2,)s .则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为一个正交单位向量组.引理3.1[1] 设12,,,s ααα 是一个线性无关向量组(2)s ≥,令11212211132313321221111111111,,,,,,,,,,s s s s s s s s βααββαβββαβαββαββββββαβαββαββββββ----=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎪=---⎪⎩（）（）（）（）（）（）（）（）（）（） (3-1). 则12,,,s βββ 是一个正交向量组,并且向量组12,,,s βββ 与12,,,s ααα 等价. 由式(3-1)生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.定理 3.1[4] n 阶矩阵C 是正交矩阵的充分必要条件为C 的n 个列向量是两两正交的单位向量.证明由定义3.1 有T C C E = (3-2),比较式(3-2)两边的对应元素,知TC C E =成立的充分必要条件为C 的元素ij C 满足关系式1nkikjij k C Cδ==∑,(,1,2,i j n = ), (3-3)其中0,1,ij i ji j δ≠⎧=⎨=⎩,而式(3-3)表示矩阵C 的n 个列向量是两两正交的单位向量.定理3.2[2] 如果n 阶矩阵A 与B 相似,则,A B 有相同的特征值. 证明因为A 与B 相似,所以存在n 阶可逆矩阵P ,使得1B P AP -=,而E B λ-()11E P AP P E A P λλ--=-=-1P E A P λ-=⋅-⋅E A λ=-,所以A 与B有相同的特征多项式,于是A 与B 有相同的特征值.定理3.3[4] 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证明设A 是实对称矩阵, 12,X X 分别是A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 由题设知 111AX X λ=,222AX X λ=.于是112T X X λ11212()()T T X X AX X λ==1212()T T T X A X X AX == 122212()T T X X X X λλ==.移项,得1212()0T X X λλ-=,但120λλ-≠, 所以120T X X =,即12(,)0X X =.所以1X 与2X 正交.定理3.4[9] 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ,都存在一个n 阶正交矩阵C ,使得121T n C AC C AC λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中12,,,nλλλ 是A 的全部特征值. 证明利用数学归纳法证明. 当1n =时,定理结论显然成立.假设对1n -阶实对称矩阵定理已经成立,下面证明对n 阶实对称矩阵也成立.令A 是一个n 阶实对称矩阵,设1X 是A 的属于特征值1λ的一个单位特征向量,现选1n -个非零向量23,,n Y Y Y ,使得123,,,n X Y Y Y 两两正交.由施密特正交化方法得到n 个两两正交的单位向量12,,n X X X ,再以12,,n X X X 为列向量构成矩阵12(,,)n P X X X = ,P 是一个正交矩阵,即1TP P -=.由于1X 是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,于是1212(,,)(,,)n n AP A X X X AX AX AX == 12(,,)n X AX AX λ=记2233,,,n n AX b AX b AX b === .那么112(,,)n AP X b b λ= .12112(,,,)T T Tn T n X X P AP X b b X λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111121121222112T T T n T T T n T T T n n n n X X X b X b X X X b X b X X X b X b λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1121222200n n n nn b b b b b b λ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.又由于TP AP 是对称矩阵,所以121310,0,,0n b b b === ,且2223232333123n n n n n nn b b b b b b B b b b -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭是一个1n -阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个1n -阶正交矩阵1n Q -,使得121111111T n n n n n n n Q B Q Q B Q λλλ-------⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ . 于是111101000T n n P AP Q Q ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111110010000T n n n Q B Q λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111110000T n n n Q B Q λλ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111100Tn n n Q B Q λ---⎛⎫= ⎪⎝⎭12n λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .令1100n Q Q -⎛⎫= ⎪⎝⎭.容易看出Q 是一个n 阶正交矩阵,又,P Q 是两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.记C PQ =,得121T n C AC C AC λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于1CA C -与A 相似,由定理 3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素12,,n λλλ 就是A 的全部特征值,定理得证.定理3.5[17]实二次型必可由正交变换X CY =化为标准形2221122n n y y y λλλ+++即12(,,,)n f x x x TX AX=X CY==()T T Y C AC Y12T n Y Y λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 21n i i i y λ==∑,其中12,,n λλλ 为A 的特征值.证明由于实二次型对应的矩阵A 是实对称矩阵,根据定理3.4存在n 阶正交矩阵C ,使T C AC 成对角形.设12T n C AC λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 注意到()TT CE A C E C AC λλ-=-=12n λλλλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 两边取行列式,即得()()()12n E A λλλλλλλ-=--- 可见,12,,,n λλλ 正是A 的全部特征值. 现在,令XCY =,那么12(,,,)n f x x x TX AX=X CY==()T T Y C AC Y12T n Y Y λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2221122n n y y y λλλ+++= 至此,定理得证.从定理 3.5我们可以知道:如果实对称矩阵A 有n 个两两正交的单位特征向量12,,,n C C C .分别对应于特征值12,,,n λλλ ,那么，把12,,,n C C C 作为矩阵C 的列向量,由定理 3.1知矩阵C 就是正交矩阵,从而知道正交变换X CY =可以使二次型T X AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ .下面把用正交变换将二次型TX AX 化为标准形的步骤归纳如下: (1) 首先求出实对称矩阵A 的全部特征值12,,,n λλλ (可能有相同的)(2) 求出矩阵A 的属于每一个特征值的线性无关的特征向量(总的个数为n ),即对于各个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组()0E A X λ-=的基础解系.(3)因为属于不同特征值的特征向量是相互正交的(定理3.3).所以对于每个重数为1的那些特征值的特征向量只需将其单位化.对于每个重数为(1)r r >的特征值,先求出r 个线性无关的特征向量,然后应用施密特正交化方法,得到属于这r 重特征值的r 个相互正交的单位特征向量.(4)把这n 个相互正交的单位特征向量作为矩阵的列,得到一个正交矩阵C ,X CY =就是使二次型TX AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ 的正交变换.例 3[12] 用正交变换化二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--为标准形.解 (1)写出此二次型的矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)求出A 的特征值由(1)(2)(4)0E A λλλλ-=-+-=,得1231,2,4λλλ==-=为A 的特征值.(3)求出相应的特征向量当1λ=时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组1212232022020x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得基础解系(即为特征向量)1(2,1,2)T α=-.当2λ=-时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组12123234202320220x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得基础解系(即为特征向量)2(1,2,2)T α=.当4λ=时,由(4)0E A X -=,即解方程组12123232202330240x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩,解得基础解系(即为特征向量)3(2,2,1)T α=-.(4) 正交单位化由于123,,ααα为对应于不同特征值的特征向量，123,,ααα∴正交,只需单位化即可, 令1112311323βαα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,2221312323βαα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3332312313βαα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则123(,,)C βββ=为正交矩阵.(5)作正交变换化标准形作正交变换X CY =,即112233212333122333221333x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭,那么222123123(,,)24f x x x y y y =-+ 例4[16] 试求一个正交变换,将二次型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++化为标准形.解 (1)求出A 的特征值f 的矩阵0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，A 的特征方程为1111110111111E A λλλλλ--⎛⎫ ⎪- ⎪-== ⎪-- ⎪---⎝⎭.将上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到1111111(1)111111E A λλλλλ--⎛⎫⎪-⎪-=- ⎪- ⎪--⎝⎭，然后将第二,三,四行各减去第一行,得到E A λ-11110122(1)02120001λλλλ--⎛⎫ ⎪+- ⎪=- ⎪+- ⎪-⎝⎭22(1)[(1)4]λλ=-+-3(1)(3)λλ=-+，故特征值为12341,3λλλλ====-. （2）求出标准正交特征向量对应于1231λλλ===,解齐次线性方程组()0E A X -=,即12341234123412340000x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-++-=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩ 求得基础解系: 123101100,,010011ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.施密特正交化后,得到方程组解空间的一个标准正交基,也就是A 的对应于1λ=的三个两两正交的单位特征向量1T η=, 2T η=, 31111(,,,)2222T η=--.对应于43λ=-,解齐次线性方程组(3)0E A X --=或(3)0E A X +=即123412341234123430303030x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+++=⎩，此方程组的基础解系只含有一个解向量4(1,1,1,1)T λ=--,单位化以后对应于3λ=-的单位特征向量41111(,,,)2222Tη=--.（3）结论因为对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以1234,,,ηηηη是两两正交的单位特征向量,把它们作为矩阵的列,就得到正交矩阵12341102211022(,,,)1102211022C ηηηη⎫⎪⎪⎪--⎪⎪== ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭，容易验证1113T C AC ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，故通过正交变换X CY =,即11342134323442341122112211221122x y y y x y y y x y y y x y y y ⎧=++⎪⎪⎪=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=-+⎪⎩可将原二次型化为标准形222212343f y y y y =++-. 4 用初等变换方法化二次型为标准形定义4.1[1]对单位矩阵E 施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.因为初等变换有3种,所以初等矩阵也有3类,每个初等行变换都有一个初等矩阵与之对应.(1)单位矩阵E 的第i 行与第j 行互换后,得(,)P i j . (2)用非零常数c 乘单位矩阵E 的第i 行 ,得(())P i c .011(,)11P i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,11(())11P i c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. (3)把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上,得11(,())11P i j k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.并且容易看出对E 作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上述这三类矩阵中,其中(,())P i j k 即是把E 的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵 ,因此上述三类矩阵也就是全部的初等矩阵.定义4.2[4]数域P 上矩阵的下列初等变换称为矩阵合同变换. (1)换法合同变换:交换矩阵的第,i j 列,再交换所得矩阵的第,i j 行.(2)倍法合同变换:用P 中的非零数k 乘矩阵的第i 列 ,再用k 乘所得矩阵的第i 行. (3)消法合同变换:把第i 列的k 倍加到第j 列,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.引理4.1[16] 初等矩阵具有以下性质:(1)三类初等矩阵的行列式: (,)1,(())0,(,())1P i j P i c c P i j k =-=≠=. 由此可见三种初等矩阵均可逆,并且易知其逆为:111(,)(,),(())[()],P i j P i j P i c P i c--==1(,())(,())P i j k P i j k -=-.(2)三类初等矩阵的转置矩阵:(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==(,())(,())T P i j k P j i k =由此可见,三种初等矩阵的逆及其转置还是初等矩阵,并且其类型也不变.引理 4.2[8]对一矩阵A 施行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘A ;而对A 施行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘A .引理4.3[8] n 阶方阵可逆的充分必要条件是A 可表示称若干个初等矩阵之积.由于二次型与其标准形等价,而标准形的矩阵是对角矩阵,从而用矩阵语言可将定理2.1表述为：引理4.4[3]数域P 上的任一个n 阶对称矩阵均合同于一个对角矩阵.下面讨论利用矩阵的初等变换将二次型化为标准形的方法.设A 是数域P 上的一个n 阶对称矩阵,由引理 4.4可知,存在一个n 阶可逆矩阵C ,使12(,,,)T n C AC diag d d d = .由C 可逆,故C 可以表示成一些初等矩阵12,,,t P P P 的乘积,即12t C PP P = ,故1212()()T t t PP P A PP P 2112T T T t t P P P APP P = 12(,,,)n diag d d d = . (41)-这说明,A 经过一系列初等变换可化成对角矩阵12(,,,)n diag d d d .由于初等矩阵有三种类型(,),(()),(,())P i j P i c P i j k ,且(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==(,())(,())T P i j k P j i k =，于是我们有(,)(,)(,)(,)T P i j AP i j P i j AP i j =,这相当于把A 的第,i j 列互换 ,再把所得矩阵的第,i j 行互换；而(())(())(())(())T P i k AP i k P i k AP i k =，相当于把A 的第i 列乘上非零数k ,再把所得矩阵的第i 行乘上数k .又(,())(,())(,())(,())T P i j k AP i j k P i j k AP i j k =，相当于把A 的第i 行的k 倍加到第j 行,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.综上所述,若i P 是一个初等矩阵,则式(41)-相当于对A 进行一次初等列变换,再对所得矩阵进行一次同样类型的初等行变换.定理 4.1[3] 设A 为数域F 上的n 阶矩阵,若对2n n ⨯阶矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 行,n 列进行合同变换化为B C ⎛⎫⎪⎝⎭,则C 可逆,且TB C AC =. 证明由条件可知,存在n 阶可逆矩阵12,,...,t P P P ,且令12t P PP P = ,使.TT T A B P O P A P AP P P E C O E E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故TB P AP =,且C P =可逆.由定理 4.1可知,若A 为二次型的矩阵,用合同变换将A E ⎛⎫⎪⎝⎭化为D C ⎛⎫⎪⎝⎭,其中12(,,...,)n D diag d d d =,则相当于用非退化线性变换X C Y =,将二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =,化成标准形2221122...n n d y d y d y +++. 这种方法我们称为化二次型为标准形的初等变换方法.操作方法是：将二次型矩阵A 写在单位矩阵E 的上面，构成分块矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭，先对分块矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭的列作初等变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换，当二次型的矩阵A 化为对角矩阵时，单位矩阵E 就化为可逆矩阵C .例 5[16] 用初等变换方法化二次型222123123121323(,,)364410f x x x x x x x x x x x x =++--+为标准形,并写出所用的非退化线性变换.解 123(,,)f x x x 的矩阵为122235256A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,构造分块矩阵63A E ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，先对此矩阵作初等列变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换：122100100100100235211011010010256212012013003100122122124124010010010011011001001001001001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ --⎛⎫=→→→→⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221233y y y -+,所作的非退化线性变换为X CY =, 其中124011001C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注：此例题的第一次初等列变换是先把矩阵的第一列乘2，然后分别加到第二列、第三列上，相同内容的行变换也就是把第一行乘2然后分别加到第二行、第三行上；第二次初等列变换是先把矩阵的第二列乘1，然后加到第三列上，相同内容的行变换也就是把第二行乘1然后加到第三行上. 5 Jacobi 方法引理5.1[18]设二次型12,1(,,,)nn ij iji j f x x x a x x==∑ 矩阵的1n -个顺序主子式11121,121212,111121112121221,11,21,1,,,n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------∆=∆=∆=均不为零，则二次型可化为标准形2222121121121n n n n n n f y y y y ----∆∆∆=∆++++∆∆∆ .例 6[18] 用Jacobi 方法化二次型22123412121323(,,,)8228f x x x x x x x x x x x x =--+-为标准形.解二次型的矩阵111184140A -⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式123111111,9,184018140--∆=∆==-∆=---=---， 2222232112212129f y y y y y ∆∆∴=∆++=-∆∆ 6 讨论在实际应用中，我们要根据要求选用不同的方法解题，配方法的优点是方法初等，易于接受，但是当元数较多时，由于计算过于复杂，往往不被采用；矩阵初等变换法比较简单而实用，且适用于元数较多情形；正交变换法算法科学、有序、稳定，最大的优点是某个问题经正交变化为标准形后，其几何图形保持不变；Jacobi 方法简单，易于操作，但没有给出相应的非奇异线性变换.对于二次型的标准形我们还要注意两点：1）：一个二次型的标准形不是唯一的；2）：任何一个二次型的标准形中含的总项数就是该二次型的秩数，而且，当限定变换为实可逆线性变换时，标准形中的正系数的个数与负系数的个数不变.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998[2] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998[3] 上海交通大学线性代数编写组.线性代数[M](第三版).上海高等教育出版社,2002[4] 陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000[5] 丘维声.高等代数(上、下) [M].北京:高等教育出版社,1996[6] 刘深泉等译.线性代数及其应用[M].北京:机械工业出版社,2004[7] 杨子胥.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1990[8] 谢国瑞.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1999[9] 王萼芳.高等代数教程(上、下) [M].北京:清华大学出版社,1997[10] 杨永根等.线性代数方法与应用[M].北京:科学出版社,2001[11] 杨家骐等.高等代数在初等数学中的应用[M].济南:山东教育出版社,1992[12] 王品超.高等代数新方法[M].济南:山东教育出版社,1989[13] 电子科技大学应用数学系.线性代数与空间解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000[14] 王向东.高等代数常用方法[M].北京:科学出版社,1989[15] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨:黑龙江教育出版社,1996[16] 杨子胥.高等代数习题解(上、下) [M].济南:山东科学技术出版社,1982[17] 王文省.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004[18] 胡海清. 线性代数题解分析[M].湖南:湖南科学技术出版社,1985。

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莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名：**学号：*********莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月20日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041数本 410401141 廖丹摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形1．数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21ni i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P .定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）,所得到的第三种初等阵.定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且110d a P A A ⎛⎫'=⎪⎝⎭其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100dP AP A ⎛⎫'= ⎪⎝⎭. 证明：由于P 是()ij k T 的乘积，且1i >,根据矩阵的乘法规则，用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而110d P AP A β⎛⎫'=⎪⎝⎭,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β=这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使()(),,P A E P A P '''=1*,00rd d P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则这个P '的转置阵就是我们要找的非异阵P ,它使P AP '为对角阵.即只要对(),A E 作有限次第三种初等变换()ij k T ,i j >,则当把A 变换成上三角阵时,(),A E 的E 就同时化为P ',且使100rd d P AP ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 例1 求非异阵P ,使P AP '为对角阵,其中112110202A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 解：()112100,110010202001A E -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭21112100022110202001r r +-⎛⎫⎪−−−→- ⎪⎪⎝⎭31(2)r r +-−−−−→32112100112100022110022110022201000111r r +--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故由定理知111011001P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.100020000P AP ⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪⎝⎭例2将实二次型122313262x x x x x x -+化为平方和.解：此二次型的系数矩阵 011103130A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的主对角元素全是0,故不能立即引用定理,需先对A 作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.()12011100112110,103010103010130001130001r r A E +-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123112212110212110111103010020222230001022111r r r r c c -++-⎛⎫-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪--⎝⎭32421211011120222006311r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭∴ 11321112001P -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2126P AP ⎛⎫⎪- ⎪'= ⎪⎪⎝⎭令X PY =, 则122313262x x x x x x -+2221231262yy y =-+. 2．若要求一正交阵P 使P AP '成对角阵,这等价于经过正交变换X PY =将二次型X AX'化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.定理2.1设A 为n n ⨯阶矩阵,秩()A r =,且n n n A E ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换(1)(1)*n n n n n n B Q P ⨯⨯-⨯-⎛⎫⎪⎝⎭其中B 是秩为r 的列满秩矩阵,则矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系. 证明：秩()A r =∴存在可逆的n 级矩阵12S PP P 使()12*,0S n r APP P B =，其中*n r B 是秩为r 的列满秩矩阵同理：()12*,*()n S nr n n r E PP P E E -''=，其中*n r E '表示秩为r 的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，*()nn r E -'表示秩为n r -的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵 ∴*12(1)0n nn n S n n n n n B A PP P Q P E ⨯⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中n n nr Q E ⨯⨯'=，()n n n n r P E ⨯⨯-'= 由于0AX =的解向量个数为n r -，而()n n r P ⨯-为秩为n r -的列满秩矩阵再由初等变换原理易知：矩阵P 所含n r -个列向量就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系.定理2.2矩阵A 的特征矩阵()A λ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵()B λ,且()B λ的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法：设()A E A λλ=- 且()A E λ⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换()()B A λλ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()B λ为下三角矩阵,则()B λ的主对角线上的全部元素的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根,对于矩阵A 的每一特征根i λ,若矩阵()B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵()i P λ中和()i B λ中零向量所对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量；否则继续()()i i B A λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→列初等变换()()**i i B P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭使得()*i B λ中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么()*i P λ中和()*i B λ中向量对应的列向量是属于特征根i λ的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量111111iski iks skαααααα,它是一组线性无关的向量,以ijα为列向量构成矩阵()ijB α=,则B B '是一个n 阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在n阶可逆矩阵Q ,使得()()1Q B B Q E ''=即()()()2Q B BQ E''=()1式说明：对矩阵B B '施行一系列的列初等变换,（相应的初等矩阵的乘积为Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q '）,可化为单位矩阵；(2)式说明：BQ 的列向量组是一个标准正交基,BQ 可以通过对矩阵B 施行与对矩阵B B'所施行的相同的初等变换求出.于是得到求正交矩阵的初等变换法B B E B BQ '⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对B B '施行列初等变换,对B 施行行初等变换.实际上将B B '化为E ,分别乘以11a 所在的行和列使11a 变成1；再施以列初等变换把11a 所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把11a 所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把22nn a a ，变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ 即为所求的矩阵P ,且P AP '为对角阵,其中主对角线上元素11,si ls k k λλλλ例1 求正交矩阵P 使P AP '为对角阵,其中422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 解：()422242224100010001A E λλλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪---⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21001241221424*********2001001010010114001222λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪⎪ ⎪⎪---+---⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭210012022582200101111322λλλλλλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-+-+-+⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪ ⎪---⎪⎝⎭∴ 矩阵A 的特征根为12λ=（二重）,28λ=.当12λ=时,有()()111001001000010111122B P λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪-- ⎪⎝⎭非零向量的列构成满秩矩阵,对应零向量的向量12011,112αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当28λ=时,同法求出对应特征向量3111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα是无关的,以123,,ααα为列向量构成矩阵B ,再求出B B '于是得：1000102300013600030011111121B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎝⎭⎝即得：0P ⎛ =⎝且有200020008P AP ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭参考文献：[1] 北大. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1989.11[2] 北大数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1987.3 [3] 王琳. 用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J]. 数学通讯, 1990（3） [4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M]. 航空工业出版社, 2005.3。