恒定电场与恒定磁场
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2014年电磁场与电磁波复习资料 (1)
一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。
（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。
高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。
2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。
其物理意义随A所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。
旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。
3.亥姆霍兹定理在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上矢量场的分布）唯一的确定。
说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场对电荷的作用称为电场力。
磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。
洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。
5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。
磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。
6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。
位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。
7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。
电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。
工程电磁场原理(教师手册)
四、本课程学时分配建议
本课程参考学时：60学时。 以电气工程类专业为例，学时分配比例建议如下：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 绪论(含可视化教材的演示) 电磁场的数学物理基础 静态电磁场I： 静电场 静态电磁场II: 恒定电流的电场和磁场 准静态电磁场 动态电磁场与电磁波 实验 2学时 6学时 16学时 14学时 6学时 12学时 4学时
“电磁场”课程的地位与作用：
● “电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必 要组成部分——电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特 定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电 气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础； ● 近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点 和新兴边缘学科发展的基础； ● 教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供 必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力， 关系到学生基本素质培养的终极目标。
2. 本课程的理论体系——宏观电磁理论
1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦 电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。 宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是： ● 场域(即场空间)中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速； ● 场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。 本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒 质被看作为“连续媒质” 该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平 均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率γ、磁导率μ和介 电常数ε)予以描述。 因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量 子电动力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动 体系中电磁现象和过程的研究领域。
第5章 恒定电流的电场和磁场
dl '×R ∫C ' R 3 ⋅ dl −R ∫C ' R 3 ⋅ (−dl × dl ' )
假设回路C′对P点的立体角为 ，同时P点位移dl引起的立体角增量 为d ，那么P点固定而回路C′位移dl所引起的立体角增量也为d ′。 -dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r′，这个立体 角为
z ' = z − r tan α , dz ' = r sec 2 α dl ' = ez dz ' = −ez r sec 2 α R = r sec α
dl '×R = ez dz '×[rer + ( z − z ' )ez ]
所以
= −eφ rdz ' = −eφ r 2 sec 2 α
∆P = ∆U∆I = E∆l∆I = EJ∆l∆S = EJ∆V
当∆V→0，取∆P/∆V的极限，就得出导体内任一点的热功 热功 率密度，表示为 率密度
∆P p = lim = EJ = σE 2 ∆V →0 ∆V
或
p = J ⋅E
此式就是焦耳定律 焦耳定律的微分形式。 焦耳定律 应该指出，焦耳定律不适应于运流电流 不 运流电流。因为对于运流电 运流电流 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷 晶格碰撞 电荷与晶格碰撞 电荷 晶格碰撞的热能。
对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2, α2=-π/2，其产生的磁场为
µ0 I B = eφ 2πr
5.3 恒定磁场的基本方程
5.3.1 磁通连续性原理 磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量 磁通量(或磁通)，单 磁感应强度 磁通量 位是Wb(韦伯)，用Φ表示：
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
图2.1电介质的极化
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
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（2） 对于多导体系统
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1 2
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例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场
解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可 将导体球看作等位体。在土壤内，半径r等于常数的半球面是 等位面。假设从接地线流入大地的总电流为I，可以容易地求 出，在土壤内任意点处的电流密度，等于电流I均匀分布在半 个球面上。即：
图 3-5 同轴线横截面
第三章 恒定电流的电场和磁场
两导体间的电位差为
b
U Edr
I
lnb
a
2π a
这样，可求出单位长度的漏电导为
G0
I U
2π
ln b
a
例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质
的电导率为σ，求该电容器的漏电导。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流
过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
RIP2 4π1(a11b)
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 如果我们把导电媒质中电源外部的恒定电场与不存在体电荷
区域的静电场加以比较,则会发现两者有许多相似之处,如表 3-2 。 可见，恒定电场中的E、j、J、I和σ分别与静电场中的E、 j 、
D、q和ε相互对应，它们在方程和边界中处于相同的地位，因而 它们是对偶量。由于二者的电位都满足拉普拉斯方程，只要两种 情况下的边界条件相同，二者的电位必定是相同的。因此，当某 一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通 过对偶量的代换(将静电场中的D、q和ε换为J、I和σ)直接得出。 这种方法称为静电比拟法。例如，将金属导体 1、2 作为正、负极 板置于无限大电介质或无限大导电媒质中，如图 3-6 所示，可以 用静电比拟法从电容计算极板间的电导。因为电容为
电磁场复习提纲(大连海事大学)
③r1>r2,反射系数Γ> 0,透射系数1 < T < 2。分界面反射波与入射波的电场同相,透射波电场振幅大于入射波电场振幅。
五．均匀平面波对导体平面的垂直入射
①入、反射波都是行波，合成波为纯驻波，振幅与位置有关。
②z=0和z为0.5 整数倍处是合成波电场波节、磁场波腹；z为0.25 奇数倍处是合成波电场波腹、磁场波节。合成波磁场与电场存在90°相差。
2.远区场
远区电场与磁场相位相同、相互垂直，复数波印亭矢量无虚部;
平均波印亭矢量不为零，电流元能量转换成电磁波向四周扩散。
瞬时玻印亭矢量的值始终不小于零，说明电磁能量一直向外辐射，因此远区场又称为辐射场。
电基本振子远区场的电气特性：
非均匀球面波横电磁波
E面：电场矢量所在的平面。
H面：磁场矢量所在的平面。
电场强度矢量指向电位Ф减小的方向，即由正电荷指向负电荷的方向，而电位梯度方向是电位Ф增大的方向。
电场能量密度
静电位能
镜像电荷：两个导板夹角为180°/n (n必须为整数)条件下镜像电荷数为2n−1。
电流元的镜像：电流元视为等量异号电荷构成的电偶极子。电流元电流正方向由负电荷指向正电荷。
两个带等量异号电荷导体的电容：
第4章恒定电场与恒定磁场
一.恒定电场【有源场，无旋场】
恒定电场基本方程
恒定电场边界条件
电流密度法向分量在边界上连续
恒定电场切向分量在边界上连续
电流线与 很大的媒质表面垂直。
电导率均匀，体电荷密度为0。换言之，各向同性线性均匀媒质不存在体电荷（媒质内没有净余电荷）。
通常导电媒质分界面上存在面电荷。除非 。
(2)导电媒质均匀平面波是TEM波, 仍成立。
五．均匀平面波对导体平面的垂直入射
①入、反射波都是行波，合成波为纯驻波，振幅与位置有关。
②z=0和z为0.5 整数倍处是合成波电场波节、磁场波腹；z为0.25 奇数倍处是合成波电场波腹、磁场波节。合成波磁场与电场存在90°相差。
2.远区场
远区电场与磁场相位相同、相互垂直，复数波印亭矢量无虚部;
平均波印亭矢量不为零，电流元能量转换成电磁波向四周扩散。
瞬时玻印亭矢量的值始终不小于零，说明电磁能量一直向外辐射，因此远区场又称为辐射场。
电基本振子远区场的电气特性：
非均匀球面波横电磁波
E面：电场矢量所在的平面。
H面：磁场矢量所在的平面。
电场强度矢量指向电位Ф减小的方向，即由正电荷指向负电荷的方向，而电位梯度方向是电位Ф增大的方向。
电场能量密度
静电位能
镜像电荷：两个导板夹角为180°/n (n必须为整数)条件下镜像电荷数为2n−1。
电流元的镜像：电流元视为等量异号电荷构成的电偶极子。电流元电流正方向由负电荷指向正电荷。
两个带等量异号电荷导体的电容：
第4章恒定电场与恒定磁场
一.恒定电场【有源场，无旋场】
恒定电场基本方程
恒定电场边界条件
电流密度法向分量在边界上连续
恒定电场切向分量在边界上连续
电流线与 很大的媒质表面垂直。
电导率均匀，体电荷密度为0。换言之，各向同性线性均匀媒质不存在体电荷（媒质内没有净余电荷）。
通常导电媒质分界面上存在面电荷。除非 。
(2)导电媒质均匀平面波是TEM波, 仍成立。
第四章 恒定电场和恒定磁场
E , 2 0
E1t E2t
1 2 , 1
J E
D1n D2n
1 2 2 n n
J1n J 2n
1 2 2 n n
静电场
对应物理量
12
恒定电场
E E
D
q
I
J
C G
电磁场与波
和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算 沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。 解： 设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方
向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位Ψ 只是变
量 的函数，因此电位函数Ψ 满足一维拉普拉斯方程
2 1 0 2 2 , z不变，变量
此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 若媒质1为理想介质，即1＝0，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中
媒质1
E1
媒质2
E2 2
( 2 1 )
1 2
媒质1 1 0 媒质2
ˆ n E1
的电流和电场与分界面平行。
9
E2
2
( 1 0)
2
2u 1 u 1 2u 2u 2 2 2 z
方程通解为
C1 C2
0
r2
代入边界条件 可以得到
20
U0 ,
0
0
0
J σ
h r1
C1 U 0 / 0 , C2 U 0
流密度的切向分量并不连续。
理想导体与另一导体的分界面处，将只可能存在法向的恒定电 场和恒定电流。
恒定电流的电场与磁场
电源电路的分析需要掌握电 路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等，以及各种
电子元件的特性。
电源电路的设计与分析对于保 证电力系统的稳定运行和节能
减排具有重要意义。
电磁感应在日常生活中的应用
例如，变压器利用电磁感应原理实现电压的变换，电 动机利用电磁感应将电能转换为机械能，发电机利用 电磁感应将机械能转换为电能。
电流的性质
电流具有连续性，电荷在 导体中不会积累或消失， 而是以一定的速度不断通 过导体。
电流的方向
规定正电荷定向移动的方 向为电流方向，与负电荷 定向移动的方向相反。
欧姆定律与基尔霍夫定律
欧姆定律
导体中的电流与导体两端的电压成正 比，与导体的电阻成反比。
基尔霍夫定律
电路中任一节点上流入的电流之和等 于流出的电流之和，即节点电流定律 ；任意回路上，电压降之和等于电压 升之和，即回路电压定律。
描述磁场中磁通量变化产生电动势的物理定律，指出当磁场中的磁通量发生变化 时，会在导体中产生电动势。
03
恒定电流产生的电场与 磁场
恒定电流的电场特性
恒定电流的电场是静电场的一种特殊形式，其电场线不随时间变化，只与导体的位 置和形状有关。
恒定电流的电场具有高斯定理和环路定理等基本性质，这些性质与静电场相同。
电源与电阻
电源
提供电能并维持电路中恒定电流 的装置，分为直流电源和交流电 源两类。
电阻
导体对电流的阻碍作用，由导体 的材料、长度、横截面积和温度 等因素决定。
02
电场与磁场的基本理论
电场强度与电位
电场强度
描述电场中电场力作用强弱的物理量，单位为伏特/米（V/m）或牛顿/库仑 （N/C）。
电位
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B r E dr I 2r
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
7
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
上述条件代入麦氏方程组(a), 得到 E 0 由表2.3-1中电流连续性方程(e)得 在导体内部， J 和 它们的积分形式
J 0
4
§4.1 恒定电场
例4.1－2
半径为a=0.5m的半球形铜电极埋在地面下，如图 4.1-1所示，大地土壤的电导率为101S/m。求此 半球铜电极的接地电阻R，并求离球心r=3m处，成 人跨步d=0.8m间隔时，两点间的跨步电压U；若 接地电流I=20A, 计算此电压值。
0 0
I
r
c
n n
1 2 1 1 2 2 n n
3
§4.1 恒定电场
两组方程具有相似的形式，导电媒质中的 E 、 J 、 、 I 和 分别与介 质中的 E、 D、 、Q 和 相对应，它们互为对偶量。
在相同条件下，如果已知静电场的解， 只要用对偶量代替，就可以求 出恒定电场的解，这种计算恒定电场的方法称为静电比拟法。 如：静电场中两导体间的电容C → 恒定电场两导体间的电导G Q s D ds s E ds C (F) 介质中两导体电极间的电容： U l E dl l E dl J ds E ds 恒定电场中两导体电极间的电导为： G I s s (S) U l E dl l E dl C 比较两式可以得到： G 1 恒定电场中两导体电极间的（漏）电阻为： R G C
I
6
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
一、恒定磁场的基本方程
在表2.3-1麦氏方程组中代入式(4.1-1)条件，便得到恒定磁场的 和 H 满足基 B 本方程 H J B 0
对于简单媒质，B H
前一个方程描述了恒定磁场的旋度特性，表明恒定磁场是一个有旋场， 这是它与静电场的一个重要区别，后一个方程反映恒定磁场的散度特性， 表明它是无散场，这是它与静电场的又一个重要区别。 积分形式
d
a
J
图4.1-1 半球形接地电极
[解] 黄铜电导率 =1.57×107S/m ，故c» 。由边界条件可知，大地中的电流密度
J将垂直于铜球表面，而空气中 =0，无漏电流。所以，大地中任一点的电流密度 为
I J r ˆ 2r 2
J 电场强度为 E r ˆ
I 2r 2
n n
2
§4.1 恒定电场
三、静电比拟法
表4.1-1 恒定电场与静电场的比较 导体内的恒定电场（电源外） 介质中的静电场（rv=0）
基本方程组
E 0 J 0 J E
E 2 0 l E dl I s J ds
因为 J E , 所以
1
J1t
2
J 2t
, 1E1n 2 E2n
上述边界条件表明， 在不同导体的分界面上，电场强度的切向分量和 电流密度的法向分量是连续的；而电场强度的法向分量和电流密度 的切向分量并不连续。 对于分界面两侧导体的电位1和2
1 2 1 1 2 2
E 0 D 0 D E
E 2 0 l E dl Q s D ds
E1t E2t D1n D2 n
导出方程
边界条件
E1t E2t J1n J 2 n
1 2 1 1 2 2
铜球至无限远处电压是
U
故接地电阻为
a
I dr I Edr a 2 r 2 2r 2
R
U 1 1 3.2() 1 I 2a 2 10 0.5
5
§4.1球体的电容为C0=4a，则半球的电容为C=2a 由式（4.1-15）得接地电阻R=/C=1/(2a) 地面离球心为r的B点和距离为（r-d）的A点的电位分布分别
A
于是跨步电压为
r d
E dr
I 2 (r d )
U A B
1 1 ) 2 r d r I d 20 0.8 3.9(V ) 1 2 r d 2 10 3 2.2 (
l H dl I
s B ds 0
安培环路定律
磁通连续性原理
7
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
二、恒定磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上恒定磁场的边界条件为： n (4.2 6) ˆ ( H1 H 2 ) J s ( B1 B2 ) 0 (4.2 7) 在不同媒质的分界面上，磁通密度的法向分量永远是连续的，而磁场强 度的切向分量仅当分界面上不存在面电流时才是连续的。 在分界面上不存在面电流时，恒定磁场的边界条件化为： H1t H 2t (4.2 8) B1n B2 n (4.2 7) 若媒质的磁导率，→∞称为理想导磁体。 某些边界可近似为理想导磁体边界，称为磁壁， 该壁上切向磁场为0；
E
的关系是欧姆定律的微分形式 J E
l s
E dl 0, J ds 0,
引入电位函数 E
得到无源区电位函数方程（拉普拉斯方程）
2 0
1
§4.1 恒定电场
二、恒定电场的边界条件
在具有不同电导率1和2的两种导体的分界面上
E1t E2t , J1n J 2n
§4.1 恒定电场
Steady Electric Field
一、恒定电场基本方程
恒定电场是电磁场的特例， 满足条件
F 0 t
上述条件代入麦氏方程组(a), 得到 E 0 由表2.3-1中电流连续性方程(e)得 在导体内部， J 和 它们的积分形式
J 0
4
§4.1 恒定电场
例4.1－2
半径为a=0.5m的半球形铜电极埋在地面下，如图 4.1-1所示，大地土壤的电导率为101S/m。求此 半球铜电极的接地电阻R，并求离球心r=3m处，成 人跨步d=0.8m间隔时，两点间的跨步电压U；若 接地电流I=20A, 计算此电压值。
0 0
I
r
c
n n
1 2 1 1 2 2 n n
3
§4.1 恒定电场
两组方程具有相似的形式，导电媒质中的 E 、 J 、 、 I 和 分别与介 质中的 E、 D、 、Q 和 相对应，它们互为对偶量。
在相同条件下，如果已知静电场的解， 只要用对偶量代替，就可以求 出恒定电场的解，这种计算恒定电场的方法称为静电比拟法。 如：静电场中两导体间的电容C → 恒定电场两导体间的电导G Q s D ds s E ds C (F) 介质中两导体电极间的电容： U l E dl l E dl J ds E ds 恒定电场中两导体电极间的电导为： G I s s (S) U l E dl l E dl C 比较两式可以得到： G 1 恒定电场中两导体电极间的（漏）电阻为： R G C
I
6
§4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件
一、恒定磁场的基本方程
在表2.3-1麦氏方程组中代入式(4.1-1)条件，便得到恒定磁场的 和 H 满足基 B 本方程 H J B 0
对于简单媒质，B H
前一个方程描述了恒定磁场的旋度特性，表明恒定磁场是一个有旋场， 这是它与静电场的一个重要区别，后一个方程反映恒定磁场的散度特性， 表明它是无散场，这是它与静电场的又一个重要区别。 积分形式
d
a
J
图4.1-1 半球形接地电极
[解] 黄铜电导率 =1.57×107S/m ，故c» 。由边界条件可知，大地中的电流密度
J将垂直于铜球表面，而空气中 =0，无漏电流。所以，大地中任一点的电流密度 为
I J r ˆ 2r 2
J 电场强度为 E r ˆ
I 2r 2
n n
2
§4.1 恒定电场
三、静电比拟法
表4.1-1 恒定电场与静电场的比较 导体内的恒定电场（电源外） 介质中的静电场（rv=0）
基本方程组
E 0 J 0 J E
E 2 0 l E dl I s J ds
因为 J E , 所以
1
J1t
2
J 2t
, 1E1n 2 E2n
上述边界条件表明， 在不同导体的分界面上，电场强度的切向分量和 电流密度的法向分量是连续的；而电场强度的法向分量和电流密度 的切向分量并不连续。 对于分界面两侧导体的电位1和2
1 2 1 1 2 2
E 0 D 0 D E
E 2 0 l E dl Q s D ds
E1t E2t D1n D2 n
导出方程
边界条件
E1t E2t J1n J 2 n
1 2 1 1 2 2
铜球至无限远处电压是
U
故接地电阻为
a
I dr I Edr a 2 r 2 2r 2
R
U 1 1 3.2() 1 I 2a 2 10 0.5
5
§4.1球体的电容为C0=4a，则半球的电容为C=2a 由式（4.1-15）得接地电阻R=/C=1/(2a) 地面离球心为r的B点和距离为（r-d）的A点的电位分布分别