单位根与协整检验
协整检验公式
协整检验公式协整检验公式是用来检验两个时间序列之间是否存在协整关系的。
协整关系指的是两个变量虽然彼此相关，但是它们的差值却是（弱）平稳的。
广义上的协整关系可以用多个变量进行检验，但是在本文中我们主要关注两个变量的情况。
协整检验的基本思想是将两个变量进行线性组合，然后检验该线性组合是否是平稳的。
如果该线性组合是平稳的，那么就说明这两个变量之间存在协整关系。
协整关系一般分为一阶协整和二阶协整，即线性组合的阶数。
下面是协整检验的公式：1. 单位根检验公式（Augmented Dickey-Fuller Test）：ADF(t_{y_{t}}) = \delta_{0} + \delta_{1}t_{y_{t}} + \sum_{i = 1}^{p} \gamma_{i}\Delta{y_{t-i}} + \epsilon_{t}其中，ADF(t_{y_{t}})表示单位根检验的统计量，\delta_{0} 和 \delta_{1}是回归系数， \sum_{i = 1}^{p}\gamma_{i}\Delta{y_{t-i}}表示滞后差分项，\epsilon_{t}表示残差。
2. 极小二乘法估计公式：\widehat{\mathbf{X}}(t_{k}) = \mathbf{c} +\widehat{\mathbf{V}}\mathbf{y}_{k-1} +\widehat{\boldsymbol{\alpha}}\mathbf{X}(t_{k-1}) +\delta\widehat{\mathbf{R}}^{-1}\widehat{\mathbf{U}}(t_{k-1})其中，\widehat{\mathbf{X}}(t_{k})表示对变量X在时间点t_{k}的估计，\mathbf{c}是常数项，\widehat{\mathbf{V}}是回归系数，\widehat{\boldsymbol{\alpha}} 是滞后相关系数，\delta\widehat{\mathbf{R}}^{-1} 是滞后误差关联系数，\widehat{\mathbf{U}}(t_{k-1})表示第k-1个时间点之前的累积残差。
单位根、协整检验实验报告
012131594063学生学号实验课成绩学生实验报告书实验课程名称应用时间序列开课学院理学院指导教师姓名桂预风学生姓名王世方学生专业班级金融sy13012015-- 2016学年第 2 学期实验一：实验项目名称 多元时间序列单位根检验和协整检验 实验成绩实 验 者王世方专业班级金融sy1301实验日期2016 年 5 月6日实验目的：（1）由于之前运用过的时序图检验法在判断序列平稳性上具有很强的主观性，而虚假回归问题的存在要求我们必须进行平稳性检验，因此实验者需要掌握运用最广泛的平稳性检验统计方法——单位根检验。
（2）把理论知识付诸于实践，通过实际操作Eviews 软件，能够熟练利用DF 、ADF 、PP 方法进行平稳性检验，并针对非平稳的各种形成机制进一步判断非平稳序列属于哪一种机制，从而根据不同的结果选择不同的序列分析方法，最终达到分析解决实际问题的效果。
实验原理：通过检验特征根实是在单位元内还是单位圆上（外）来检验序列的平稳性，这种检验即为单位根检验。
DF 检验为单边检验，当显著水平取为α时，记αг为DF 检验的分位点，当τ≤ατ时，拒绝原假设序列非平稳，认为序列显著平稳；当τ≥ατ时，保留原假设，认为序列非平稳。
DF 检验下非平稳序列的三种类型如下：（1）漂移项自回归过程（DS 序列），即随机游走模型，该序列均值非平稳，方差非齐，但一阶差分平稳：t x =1-t x +t ε。
（2）带漂移项自回归过程，这是一个有趋势且波动性不断增强的非平稳序列，一阶差分后是平稳的：t x =0Ф+1-t x +t ε。
（3）带趋势回归过程（TS 序列），又称趋势平稳序列：t x =0Ф+βt +t ε。
对于TS 序列最好是通过拟合线性模型提取序列中的相关关系，实现残差序列平稳：t ε=t x -（0^Ф+t ^β）；如果对TS 序列采用差分方法提取相关信息，可以使趋势平稳，但增加了残差序列的方差：t ▽x =β+t ε-1-t ε。
5.3 Panel Data 单位根和协整检验
– 按照Choi (2001)的总结，上述单位根检验存在四个缺 陷（或前提假设）；一是都需要截面单元数是无限的 ，否则检验的渐近正态性不存在；二是假定所有截面 单元有同样的非随机成份；三是假设所有的截面单元 拥有同样的时间序列跨度；四是备择假设都是所有截 面单元没有单位根，一些截面单元有单位根而另一些 没有的情形将不能被处理。
– Choi and Chue ( 2007)运用子抽样技术来处理面板数 据的截面相关，研究了非平稳、截面相关和截面协整 面板数据的子抽样假设检验。 – Pesaran (2007) 提出了一个简单的面板单位根检验。 将DF/ADF回归扩展到了水平滞后的截面平均和截面单 元序列一阶差分的情形（简称，CADF，Cross Sectionally Augmented ADF），然后基于截面单元 CADF统计量的简单平均或者对联合拒绝概率的合适变 换，便形成了Pesaran的标准面板单位根检验。
)
2
Under H0 : δ = 0 , tδ N ( 0,1) for model 1. but diverges to ∞ for model 2 and 3. A proper standardized test is given by
tδ =
*
* % tδ NTSNσu 2STD δ mT%
Where W1 ( r ) = W ( r ) is standard wiener process,
W2 ( r ) = W ( r ) ∫0W ( r ) dr is demeaned wiener process,
1
W3 ( r ) =W ( r ) 4 ∫0W ( r ) 1.5∫0 rW ( r ) dr + 6r ∫0W ( r ) dr 2∫0 rW ( r ) dr
单位根与协整检验
一、单位根检验的回顾1、在实际应用中，何种情况下需要对单位根进行检验？答：理论上，你在实际应用过程中，如果你遇到的样本是时间序列形式的，都要进行单位根检验。
原因是，如果你的时间序列数据是单位根的话，类似于你的数据的变化是很不规则的，好像一个“醉汉”。
从计量角度看，它影响了我们假设检验当中的“仪器”的准确性。
2、单位根检验的数学形式，或说你应当用数学方式会表述单位根检验的原假设。
3、学会在eviews上对一个时间序列变量进行单位根检验。
（1）如果一个变量具有单位根的特征，那么表示这个变量经过一次差分，就会变成平稳的。
（2）在eviews中，单位根检验的对象是series object。
也就是，你要先打开一个series object，然后，在打开的窗口中点击view来观察这个序列是否具有单位根的特征。
（3）要特别注意的是，eviews上如果你不能拒绝你所检验的变量对象是一个单位根，那么此时并不一定表明你所检验的变量一定是I（1），也可能是I（2）或I（3）等更高阶的单整。
要注意的是，只要你检验的变量是非平稳的，都会接受原假设。
（4）在eveiws单位根检验要遵循如下的步骤：第一，先对变量（比如Y）进行水平数据的单位根检验（level）；第二，如果水平数据拒绝原假设（即不存在单位根），那么检验停止，说明水平数据是一个平稳的时间序列变量；第三，如果水平数据的检验接受原假设，仅能说明你检验的变量是非平稳的，此时需要继续对这个变量的一阶差分进行单位根检验（1S difference）。
如果此时拒绝原假设，那么，检验停止，表明这个变量要经过两次差分才会平稳，否则，继续对二阶差分进行单位根检验（1S difference）。
总之，检验的目的是判断，到底你所检验的变量经过几次差分后才会平稳？所以，检验一定要到差分平稳后为止。
（5）对你而言，由于有不同的单位根检验方法，所以一个不错的选择是，你同时用不同的方法对你所关注的变量做单位根检验，并开出所有结果。
单位根检验、协整检验和格兰杰因果关系检验三者之间的关系
实证检验步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
一、讨论一1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验A、EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性B、JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）4、当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别二、讨论二1、格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
2、非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。
所以，非平稳序列的因果关系检验就是协整检验。
3、平稳性检验有3个作用：1）检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。
第九章单位根与协整
9.7
其中， －1。则原假设与备择假设变为
H0：＝0 vs H1： <0
对方程 9.7 使用OLS可得估计量ˆ及相应的t统计量
此t统计量称为ADF统计量（简记为ADF）。ADF统 计量的分布有没有解析解，其临界值也要通过蒙特 卡罗模拟得到。与DF检验一样，ADF检验也是左边 单侧检验，其拒绝域只在分布的最左边。
简记为DF统计量。 可以证明，DF统计量的渐近分布为布朗运动的函
数，并不服从渐近正态分布。由于其分布没有解
析解，故临界值须通过蒙特卡罗模拟来获得。
显然，DF统计量越小（绝对值很大的负数），则 越倾向于拒绝原假设。因此，DF检验是左边单侧 检验，即其拒绝域只在分布的最左边。比如，5％ 的临界值为－2.886，如果DF<－2.886，则拒绝原 假设；反之，则接受原假设 2、Augmented Dickey-Fuller单位根检验（ADF检验）
中心极限定理不再适用。虽然p
lim
n
ˆ1＝（1 仍为一
致估计），但在有限样本下可能存在较大偏差。
使用蒙特卡罗法可以得到ˆ1的大样本分布
2 传统的t检验失效：由于ˆ1不是渐近正态分布
t统计量也不服从渐近标准正态分布，传统的区间
估计与假设检验是无效的。更一般地，建立于平
稳性假设基础之上的大样本理论不再适用。
然而实际结果并非如此，因为扰动项
t＝yt－－
x
也是非平稳的（为什么？）
t
（因为 t＝yt－）
这一结论最初由Granger通过蒙特卡罗模拟而发现。
t 之非平稳部分会进入到OLS模型中去，从而 造成ˆ 0。
如何避免伪回归？方法之一，先对变量作一阶差 分，然后再回归。（差分后平稳了）
第5章 单位根检验和协整1
ˆ 1 该特征的原因是，检验统计量 t ˆ s ( 1 ) 将不再服从t分布，t统计量的方差远远大于t分布的方差，若
仍用t分布临界值进行检验，拒绝原假设的概率会大大增加。
伪回归的启示
多变量的时间序列回归建模必须要进行 序列的平稳性检验。
对于平稳的多元时间序列可以进行回归 建模。对于非平稳的序列还要进行进一 步的检验，再做处理。
第三种类型
xt t 1xt 1 t
DF检验的三种等价类型
第一种类型
xt xt 1 t
第二种类型
xt xt 1 t
第三种类型
xt t xt 1 t
DF检验的EVIEWS界面
例5.2
伪回归模拟案例
伪回归的概念
两个序列是相互独立的序列，但回归结果 却显示，模型中系数都具有统计显著性。 这是伪回归现象。 所谓伪回归，就是指变量之间本来不存在 真正的关系，而是由于变量都是非平稳序 列造成的虚假显著性关系。
伪回归的特征
非常高的R2
较低的DW统计量
系数表现出很强的显著性
单整的性质
若xt ~ I (0) ，对任意非零实数a，b，有
a bxt ~ I (0)
若xt ~ I (d ) ，对任意非零实数a，b，有 a bxt ~ I (d )
y 若xt ~ I (0) ，t ~ I (0) 对任意非零实数a，b，有
zt axt byt ~ I (0)
i 2
p
ADF检验
差分项的系数收敛于t-分布，从而联合分布收 敛于F分布。所以，差分项系数可以使用传统 的统计检验和推断。 ADF检验滞后期的选择很重要，可以信息准则 选择。
单位根检验和协整分析
yt = ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2)
(5.1)
yt = ? + ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2)
(5.2)
yt = ? + ? t + ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2)
??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难无常数项无趋势项有常数项无趋势项有常数项有趋势项样本容量t25t50t100t250t500t?1526619526219526019525819525819525819515375300358293351289346288344287343286154383641535404345399343398342396341?df临界值表表??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难第八节协整理论与误差修正模型一协整??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难??书山有路勤为径学海无涯苦作舟书到用时方恨少事非经过不知难?注意
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一、单位根检验的回顾
1、在实际应用中，何种情况下需要对单位根进行检验？
答：理论上，你在实际应用过程中，如果你遇到的样本是时间序列形式的，都要进行单位根检验。
原因是，如果你的时间序列数据是单位根的话，类似于你的数据的变化是很不规则的，好像一个“醉汉”。
从计量角度看，它影响了我们假设检验当中的“仪器”的准确性。
2、单位根检验的数学形式，或说你应当用数学方式会表述单位根检验的原假设。
3、学会在eviews上对一个时间序列变量进行单位根检验。
（1）如果一个变量具有单位根的特征，那么表示这个变量经过一次差分，就会变成平稳的。
（2）在eviews中，单位根检验的对象是series object。
也就是，你要先打开一个series object，然后，在打开的窗口中点击view来观察这个序列是否具有单位根的特征。
（3）要特别注意的是，eviews上如果你不
能拒绝你所检验的变量对象是一个单位根，那么此时并不一定表明你所检验的变量一定是I（1），也可能是I（2）或I（3）等更高阶的单整。
要注意的是，只要你检验的变量是非平稳的，都会接受原假设。
（4）在eveiws单位根检验要遵循如下的步骤：第一，先对变量（比如Y）进行水平数据的单位根检验（level）；第二，如果水平数据拒绝原假设（即不存在单位根），那么检验停止，说明水平数据是一个平稳的时间序列变量；第三，如果水平数据的检验接受原假设，仅能说明你检验的变量是非平稳的，此时需要继续对这个变量的一阶差分进行单位根检验（1S difference）。
如果此时拒绝原假设，那么，检验停止，表明这个变量要经过两次差分才会平稳，否则，继续对二阶差分进行单位根检验（1S difference）。
总之，检验的目的是判断，到底你所检验的变量经过几次差分后才会平稳？所以，检验一定要到差分平稳后为止。
（5）对你而言，由于有不同的单位根检验方法，所以一个不错的选择是，你同时用不
同的方法对你所关注的变量做单位根检验，并开出所有结果。
二、协整与误差修正
（一）平稳与非平稳序列所反映的信息区别1、平稳：一般来说，平稳时间序列的变动是有规律可循的。
2、非平稳：一般是无规律可循的。
（二）在何种情形下两个或多个非平稳时间序列之间会有内在的联系呢？
说明：假定将非平稳时间序列看作是“醉汉”，一般来说，当然，不同的醉汉之间走路没有什么联系，所以，他们的走路都是杂乱无章的。
但是，如果我们将两个醉汉用绳子拴在一起，在下述情况下，二者的走路的合力就会看起来是有规律的（平稳的）：一是两个“醉汉”“醉”的等级一样（对变量来说，即经过相同次差分后可平稳）；二是他们两个走路左右摇动的力量相等、方向相反。
此时，我们称两个醉汉是协整的。
（三）协整的经济含义是什么？
答：协整对应的是经济学的“长期均衡”。
比如，要检验两个市场是否是连通的，一个办法是检验两个市场的价格是否是协整的。
（四）如果两个变量是协整的，其因果方向是什么？
答：具有协整关系的两个变量的因果关系是双向的。
所以，一定要注意，即使你回归出来的两个变量具有单方程的形式，也不能像以前一样对其加以解释。
即，你不能说某个解释变量变动多少，会引起被解释变量变动多少。
（五）eveiws的协整检验有几种方法？答：有两种方法：一是单方程模型的检验；二是多方程模型，即建立在系统V AR基础上的检验。
（六）eviews上的单方程检验协整的方法1、检验的原始模型
注意问题：第一，evews要检验的是y t和X t 之间是否存在协整关系；第二，y t代表一个变量，但X t是一个向量，可以包括多个变量；第三，如果你用单方程模型进行检验，那么，你实际上隐含假定这些变量之间的协整关系就1个；第四，这并不意味着X与Y之间的因果关系是单向的；第五，要注意，两个模型中包含同样的一个D1；第六，无论是D1还是D2，它们都是向量，而且里面的变量元素都是外生的，包括截距项与时间趋势项；第七，你在协整检验前，必须先要做的是，观察一下，y t和X t是不是经过同样次数的差分都是平稳的。
只有在它们是经过同样次数差分后是平稳的条件下，才可以分析它们之间是否存在协整关系。
2、单方程协整检验的思想
对于式（8.1），如果y t和X t都是同阶非平稳的（这里指的差分一次后是平稳的），但它们的线性组合是平稳的，则称二者具有协整关系。
因此，单方程协整检验的思想是，计算与检验一下，式（8.1）当中的随机扰动项u1t是否是平稳的？因为，u1t显然就表示y t
和X t的一个线性组合。