模糊数直觉模糊数多属性决策记分排序法
基于可能度的区间直觉模糊数排序方法及其在决策中的应用
一
一
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＭａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｘ ｉ ｈ ｕ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ ０ ０ ３ ９ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
能够体 现 区 间 直 觉模 糊 数 的这 种 不 确 定 性 ； 因此， 本 文提 出 一 种 用 区 问 数 表 达 的得 分 函数 和精 确 函
［ 。 ， ６ ］ｃ ［ ０ ， １ ］，［ ｃ ， ｄ ］ｃ ［ ０ ， １ ］ ， ｂ＋ｄ≤ １， 并给
了 区间直觉 模糊 数 的运 算法 则 与 集 成方 法 ， 其 中 集 成方 法有 区 间直 觉模 糊 加 权 与 有 序 加 权 算 术 平
问直觉 模糊 信息 的决策 方 法 。进一 步 ， 文献 ［ ５— ６ ］ 给 出了 区间 直 觉 模 糊 加 权 与 有 序 加 权 平 均 算 子 及 混合平 均算 子 、 加权 与 有 序 加权 几 何 算 子 及混 合 几
［ ０ ， １ ］区间 巾所有 闭子 区 间之集合 。一 个 上 的 间直觉 模糊 集 ４定 义为
定义 ３
，
间直觉 模糊 信息 环境 下 的多属性 决策 方法 。
ｌ 区 间直 觉 模 糊 集 的基本 知 识
为 了便 于讨 论 ， 下 面 介 绍 区 间直 觉 模 糊 集 的基
本定 义 与运算 性质 。
定义 １ 设 为 一 非 空论 域 ， 一 个 上 的直
设 Ｏ Ｌ Ｉ ＝（ ［ 。 Ｉ ， 厶 Ｉ ］ ， ［ ｃ １ ， ｄ Ｉ ］ ）和 Ｏ Ｌ ２＝
基于直觉模糊集相似度量的多属性决策方法
西 安 邮 电 学 院 学 报 Ｊ ＲＮ ＯＵ ＡＬＯ ＦＸＩＡ Ｕ ＶＥ Ｉ ＹＯ Ｏ Ｉ ＮＤＴ Ｌ Ｃ ’ Ｎ ＮＩ ＲＳＴ ＦＰ Ｓ ￣Ａ Ｅ Ｅ ＯＭＭＵＮＩＡ Ｏ Ｃ ＴＩ ＮＳ
Ｍａ ００ ｙ２ １ Ｖ １１ ｏ３ ｏ．５Ｎ ．
有效性。 关 键 词 ： 觉模 糊 集 ； 觉 模 糊 值 ； 似 度 量 ； 想 点 直 直 相 理
中图分类号 ： ２ ５ Ｃ ３ ０ ３ ， ９４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ７３ ６ （００ ０ —０ ４０ １０ ．２ ４ ２ １ ）３０ ６ ．４
Ｏ 引言
直觉模 糊 集 【 理 论 已被 成 功 地 应 用 于模 式 识 １ Ｊ 别、 图像处 理 、 ｂ 务 质 量评 价 等 领域 ， 何 度 量 Ｗｅ 服 如 直 觉模 糊 集 的相 似 程 度是 应 用 中 的基 本 问题 。Ｌ ｉ 和 Ｃ ｅｇ ］ 出直 觉 模 糊 集 相 似 度 量 的公 理 化 定 ｈｎ ［ 提
体 的相似 度公 式 。此 外 ， 用 直觉 模 糊 集 的距 离 构 利 造 相似度 量也 是一 种 常 见 的方 式 击。本 文 主要 针 Ｊ
其 中映射 ， ｘ一 ［，］Ｏ ｘ一 ［ ，］ Ｕ Ａ： ０ １， Ａ： ０ １ 满足 Ｖ ∈ Ｘ，≤ （ ＋Ｕ （ ≤ ｌ这里 ， ｘ） ０ Ｘ） Ａ Ｚ） ｏ 表示元 素 ｚ对集合Ａ 的隶属度 ， （ 表示元素 Ｘ对集合 Ｕ ） Ａ Ａ 的非 隶属 度 。 令 （ 表示 Ｘ上 全体 直觉模糊 Ｘ） 集之 集 。
，
Ｕ （ ） Ａ Ｘ 为元素 对直觉模糊集 Ａ 的犹豫 Ａ Ｘ 一Ｕ （ ）
度。 特别地 ， 对于直觉模糊值 Ｘ＝（ ｘ Ｏ）称 ７ ，， ， ｒ Ｕ ｘ ｘ＝ １一 一 ｕ Ｘ 的犹 豫度 。 为
模糊多准则决策方法
模糊多准则决策方法综述
1965年Zadeh提出模糊集理论,1970年Bellman和Zadeh 将模糊集理论引入多准则决策中,提出了模糊决策分析的概念 和模型,用于解决实际决策中的不确定性问题。自此,模糊多 准则决策（FMCDM）取得了众多研究成果。模糊数的提出 使得利用模糊数可以较好地描述多准则决策中的模糊性,这样 基于模糊数的MCDM就成为FMCDM的一个重要方向。
31
模糊多准则决策方法
32
模糊多准则决策方法
33
模糊多准则决策方法
34
模糊多准则决策方法
35
模糊多准则决策方法
36
Fuzzy多准则决策VIKOR方法
37
Fuzzy多准则决策VIKOR方法
39
Fuzzy多准则决策VIKOR方法
40
Fuzzy多准则决策VIKOR方法
模糊多准则决策方法综述
1993年,Gau和Buehrer提出了Vague集[31],它 是模糊集的一种扩展。Vague集具有比模糊集 更好的表达不确定性的能力,已引起众多学者的 关注,被广泛应用于人工智能、决策分析、模式 识 别 和 智 能 信 息 处 理 等 领 域 。 虽 然 1996 年 Bustince和Burillo证明了Vague集是直觉模糊 集，但还有不少研究人员在研究基于Vague集 的FMCDM问题,提出了相应决策模型与方法。
对权系数确定或为模糊数且准则值为模糊数的MCMD或群决策问题 的研究较多，这些研究主要集中在利用一个集成函数将各准则的模糊数 和准则权系数集成起来,再利用某一模糊数的比较方法,得到方案的排序 或分类。在这些方法中,重要的一步是对准则值进行规范化处理,但规范 化处理存在一定缺陷，它不能反映决策者的偏好,而且可能影响决策结 果。
直觉模糊多属性决策方法综述
直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来，决策问题变得越来越复杂，多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。
在多属性决策中，决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况，这使得决策过程更加困难。
为了解决这些问题，直觉模糊多属性决策方法应运而生，它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法，为处理模糊信息提供了一种有效的工具。
本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势，分析不同方法的优缺点，为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述，介绍直觉模糊集的基本概念和性质，以及其在多属性决策中的应用。
然后，将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法，包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。
通过对这些方法的分析和比较，揭示各种方法的特点和适用范围。
本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。
针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题，提出相应的处理策略和方法，以提高决策的准确性和有效性。
本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。
随着、大数据等技术的快速发展，直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用，同时也将面临新的挑战和机遇。
因此，本文将分析未来的研究方向和发展趋势，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析，旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具，推动多属性决策理论和方法的发展和应用。
二、直觉模糊集理论直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）是Zadeh模糊集理论的一种扩展，由Atanassov在1986年提出。
直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度，还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度，从而提供了更丰富的信息描述方式。
在直觉模糊集中，每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示，非隶属度用ν_A(x)表示，而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。
最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。
关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数1引言多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。
随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者Atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。
Atanassov和Gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。
对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了记分函数及排序方法。
刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。
本文将Ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。
2 记分函数定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件.类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。
一种基于区间直觉模糊数多属性决策排序方法
在实际的决策问题 中． 决策者 由于 自身条件和外界环境 的不 同会 （ １ ， ｅ ｒ ， ｎ ） 的左右数学期望分别是 ： 有不同的心态。例如 ． 在 时间比较紧 ， 知识或数据 比较缺乏 ， 决策者 的 精力和信息处理能力有 限时 ，决策者进行决策时往往会非常谨慎 ， 持 悲观心态 ： 如果有关 的信息资料 比较 充足 ， 决策者精力 充沛和信息处 因此三角模糊数 ＝ ， ｒ ， Ｌ 就可 以转换成区间 （ ｆ ＋ ， ２ ， （ Ｍ ＋ 呐／ ２ ］ 。 理能力较强 ． 此 时决策者 的心态 比较温和 ： 当决策者 自认为是该决策 至此 ． 我们 已经可 以将 同时包含 区间数 、 语言数 、 三 角模糊数 、 区 问题方面 的专家时 ． 决策者进行决策时持乐观或激进心态。 一般来说 ， 决策者 的心态不 同会导致不同的决策结果 为此 ． 本 文引入 心态指 标 间直觉模糊数 等多种模糊信息 的混 合型不确定决策 矩阵化为较为简 来研究属性值为 区间直觉模糊数的多属性决策 ． 将区间直觉模 糊决策 单的区间型多数性决 策矩阵。 ４ ． 主要 结果 矩阵转化 为区间数决策矩阵 ， 再运用可能度进行排序 。 本文针对 同时包含区间数 、 语 言数 、 三角模糊数 、 区间直觉模糊 数 假设方案 在 属性 Ｇ ， 下的属性值为 区间直觉模糊数 ： （ ６ ， ［ ｃ 等模糊信息 的混合型决策矩阵求解其 排序 向量 ｄ ） ， ｉ ＝ １ … ２． ． ， Ｉ ｎ ＝ １ … ２ ｎ 。［ ％６ 表示方 案 Ａ 。 对属性 ｑ的满 足程度 ， ［ ｃ 具体算法步骤如下 ： 蝴表示方案 Ａ 。 不满足属性 Ｇ ， 的程度 ， ｉ ｉ ＝ 【 １ — ６ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ 表示决策者 步骤 １ 输入 原始决策矩阵 Ａ ＝ ㈤… （ 卿 可能为 区间数 、语 言数 、 的犹豫度 ， 记决 策矩 阵 Ｄ ＝ （ ０ 。 三角模 糊数 或区间直觉模糊 数其中一种 ） 首先 ． 我们将原始混 合型决 决策矩 阵中元 素 。 ． 的隶属度Ｍ， ｂ ｄ 越大说 明方案 Ａ 。 满足 属性 Ｇ ｉ 策矩 阵 Ａ转换成 区间数决策矩阵 Ａ， － ， 其中 。 ＝ ， ｂ 。 的程度越大 。 我们考虑犹豫度［ １ — ６ 一 ， １ 一 哪 一 ｃ 中有一部分表示方案 Ａ 步骤 ２ １ ￣ Ｉ１ ＂ ． ３ 决策矩阵 Ａ 进行规范化得 ＝ （ 一， 公式为 ： 满足属性 Ｇ ｊ 的值 ， Ｎ￣ＮＶ ２ 给犹豫度适 当的系数 ， 将其合理分配 到 隶属度 中。 当 属 性 为 成 本型 属 性时： ｎ ∑ｎ ａ － ｄ ∑。 ～ ； 设 ∈ ［ ％６ 小 ∈ ［ 。 ｄ ｄ ， １ － ｘ ｏ － ｙ ｑ ∈【 １ － ｂ — ｄ ， １ 一 嘞一 ｃ ｄ ，则隶属 区间 当属性 为成本型属性 时 ： 可表示 为 ： ＾ “ （ １ — 。 其中 ∈［ ０ ， １ ］ 。当 ｋ 固定时 ， ｈ 是关 于 的增 函数 ， 关 于 的减 ａ ｌ ｇ ＝ （ １ ／ ａ ￣ ｉ ） ／ ∑“ 允 ） ａ ￣ ｏ ＝ （ １ ／ ａ ％ ） ／ ∑（ １ 。 函数 。因此 当 ＝ ａ ｏ ， ＝ 西时， ｈ 取最小值 （ １ 一 吩 一 ； 当 ＝ ６ ， ＝ 。 步骤 ３计算各个方案 的综合属性值的值 ： 时， ｈ 取最大值 ６ （ １ — ６ — ｃ 。故此时隶属度 的取值 区间为 ：
模糊多准则决策方法
模糊集理论 1 Fuzzy 数(1) 区间数定义1：设R 是实数域，称闭区间],[11b a 为区间数，其中1a 为区间数的下确界，1b 为区间数的上确界，1111,,b a R b a ≤∈。
设],[],,[222111b a y b a y ==是任两个区间数，则区间数的基本运算定义为：（1）],[222121b b a a y y ++=+； （2）],[122121b a b a y y --=-； （3）],[212121b b a a y y =⨯； （4）],[122121b a b a y y =÷； （5）],[111kb ka y k =； （6）]1,1[1121a a y =。
定义2：设],[],,[222111b a y b a y ==是两个闭区间，则它们的距离为：|)|||)1(),(212121b b a a y y d -+--=λλλ。
其中]1,0[∈λ表示决策者的风险态度，当5.0>λ时，称决策者是追求风险的，当5.0<λ时，称决策者是厌恶风险的，当5.0=λ时，称决策者是风险中性的，此时有：|)||(|21),(212121b b a a y y d -+-=。
定义3：两区间数的比较22],[],[21212121b b a a b b a a +>+⇔>。
22],[],[21212121b b a a b b a a +=+⇔=。
（2）Fuzzy 数定义4：一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。
对模糊数A ，它的隶属函数可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=其它0 )( 1 )(d x c x f cx b b x a x f f R A L A A其中)(x f L A为连续的单调递增函数，)(x f RA 为连续的单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。
为方便起见，记为),,,(d c b a A =。
模糊数A 的α-截集})(|{αα≥=x f x AA (]1,0[∈α)是R 的闭区间，记为],[αααR LA A A = 。
几种模糊多属性决策方法及其应用
几种模糊多属性决策方法及其应用随着社会的不息进步和进步，人们在决策过程中面临的问题也越来越复杂。
面对多属性决策问题，传统的决策方法往往无法有效处理模糊性和不确定性。
模糊多属性决策方法应运而生，它能够更好地处理决策问题中存在的模糊性和不确定性，援助决策者做出更科学、合理的决策。
本文将介绍几种常见的模糊多属性决策方法及其应用，旨在援助读者了解这些方法，并在实际应用中发挥其作用。
二、几种常见的模糊多属性决策方法1. 人工智能模糊决策方法人工智能模糊决策方法是基于模糊集合理论和人工智能技术的决策方法，其核心优势在于可以更好地处理模糊性和不确定性的多属性决策问题。
其中，模糊综合评判方法是最常用的一种人工智能模糊决策方法。
该方法通过建立评判矩阵，运用模糊数学理论计算评判矩阵的权重，从而对多属性决策问题进行评判和排序。
2. 层次分析法层次分析法是一种将问题层次化、分解的多属性决策方法。
该方法通过构建决策模型的层次结构，将决策问题划分为若干个层次。
然后，通过对每个层次的评判和权重计算，最终得到决策问题的最优解。
层次分析法对于处理多属性决策问题具有很好的适用性，因为它能够充分思量到不同层次因素的权重干系。
3. 灰色关联分析法灰色关联分析法是一种基于灰色系统理论的多属性决策方法。
该方法主要通过灰色关联度的计算来评判和排序决策方案。
它能够将不同属性之间的关联度思量在内，从而得到较为客观合理的结果。
灰色关联分析法在处理模糊多属性决策问题方面具有较好的效果，主要用于较为复杂的决策问题。
三、模糊多属性决策方法的应用1. 经济决策在经济决策中，往往存在多个因素需要综合思量而做出决策。
模糊多属性决策方法可以援助决策者在不确定性和模糊性的状况下，找到最优的决策方案。
例如，在投资项目评估中，可以利用模糊综合评判方法对不同项目进行评判和排序，从而选择最具优势的投资项目。
2. 环境决策环境决策中存在许多模糊不确定性的因素，传统的决策方法无法很好地处理这些问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法
摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。
最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。
关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数
1引言
多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。
随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个
数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。
atanassov和gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。
对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了
记分函数及排序方法。
刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。
本文将ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。
2 记分函数
定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件 .
类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。
针对模糊数直觉模糊数，汪新凡[8]将记分函数进行拓展。
定义2[8] 假设是一个模糊数直觉模糊数，则的记分函数表示为
定义3[8] 设为一个模糊数直觉模糊数，则称
为的记分函数。
同时汪新凡给出了模糊数直觉模糊数排序方法
定义4[8] 取和为任意俩个模糊数直觉模糊数,
（1）如果，则；；
（2）如果，则：
①当时，；
②当时， .
2007年ye[12]针对直觉模糊数给出记分函数
该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，同时也考虑了反对部
分对决策影响。
表示决策者认为未知信息所起作用是积极地；表示决策者认为未知信息所起作用是消极的；表示决策者认为未知信息所起作用是无影响的。
本文将ye的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数如下
定义5设为一个模糊数直觉模糊数，则称
为的记分函数，其中。
定理1 由定义4.6定义的记分函数具有如下性质：
（ⅰ）；
（ⅱ）的充分必要条件；
（ⅲ）的充分必要条件。
证明：（ⅰ）由，，且，则有
由，有
（1）
（2）
故
（ⅱ）当时，显然有。
反之，若，由（1）知，，有。
由。
假设，即当时，
与之矛盾。
所以
（3）
从而。
假设不然，不妨设，则由于，所以与（3）矛盾。
故，
即
（ⅲ）类似（ⅱ）的证明可证（ⅲ）。
3 决策方法
基于上述分析，多准则决策问题步骤如下
步骤1：设为方案集，为属性集。
第个方案的第个属性用模糊数直觉模糊数表示，即，所有的构成决策矩阵。
步骤2：计算每个方案的综合属性值。
步骤3：根据综合属性值计算得分函数值，按得分函数值大小对方案进行排序。
4 实例分析
某高校对二级学院进行考核。
通常用教学工作（g1），科研工作（g2），学生就业情况（g3），师资队伍建设（g4），人才引进培养（g5）作为考核评估指标。
设有5个二级学院被考核，用
( =1,2,…,5)表示。
每个学院的评估信息可用模糊数直觉模糊数表示，如表1 所示:
试确定最佳选择方案。
取w= (0. 30, 0. 25, 0. 15, 0. 10，0.20). 步骤1：首先利用fifwaa算子，取，计算得到决策者所给出的方案综合属性值为
z1=
z2=
z3=
z4=
z5=
步骤2：根据综合属性值，利用定义5给出的记分函数计算出记分函数值为
，，，，
步骤3：根据记分函数值的大小对方案进行排序：
因此, 最佳方案为。
我们取属性权重与本文的一样。
按文[8]给出的得分函数公式进行计算排序，其对方案进行排序：
最佳方案为。
由此看出，本文给出的记分函数公式与汪新凡定义的记分函数公式在实例分析中计算结果一致。
说明本文的方法是可行的、有效的。
参考文献
[1] atanassov k t. intuitionistic fuzzy sets[j]. fuzzy sets and systems,1986,20(1): 87-96
[2] xu z s. intuitionistic fuzzy aggregation operators[j]. ieee transactions on fuzzy systems,2007,15(6):1179-1187。
[3] xu z s． yager r r. some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[j]. international journal of general systems, 2006,35(4):417-433.
[4] atanassov k,gargov g.interval-valued intuitionistic
fuzzy sets[j].fuzzy sets and systems,1989,31(3):343-349 [5] 徐泽水. 区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应
用[j]. 控制与决策,2007,22(2):215-219.
[6] xu z s, yager r. intuitionistic and interval-valued intuitionistic fuzzy preference relations and their measures of similarity for the evaluation of agreement within a group [j]. fuzzy optimization decision making, 2009,8(2):123-139.
[7] 刘峰，袁学海，模糊数直觉模糊集，模糊系统与数学，2007,21(1), 88-91.
[8] 汪新凡，模糊数直觉模糊几何集成算子及其在决策中的应用，控制与决策，23(6), 2008, 607-612.
[9] 刘於勋，基于直觉模糊集改进算子的多目标决策方法，计算机应用，29(5), 2009, 1273-1275.
[10] 刘於勋，基于模糊数直觉模糊数集算子的多准则决策方法，现代电子技术，239(6), 2009, 140-143.
[11] 苏杭，钱伟懿，基于topsis的模糊数直觉模糊多属性决策法，2012，33（1）：6－10.
[12] ye. jun improved method of multi-criteria fuzzy decision-making based on vague sets, computer aided design, 2007, 39, 164-169.
作者简介：
马晓东：女，1964年生，铁岭卫生职业学院数理教研室主任副教
授，现从事数学教学和数学研究。
胡十，男，1993年生，大连枫叶国际学校高中部学生。