高宏岩研究生现代控制理论

1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的充要条 件为如下定义的能控性矩阵:
满秩，即
Qc=[H GH … Gn-1H]
rankQc=n
2) 若系统矩阵G为奇异矩阵，则系统状态完全能控的充要 条件为
rankQc=rank[Qc Gn]
证明 线性定常离散系统状态方程的解如下:
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gnx(0)]
➢ 考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任意 一个状态，因此上式等价于 rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn]
即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩阵满足 rankQc=rank[Qc Gn]
➢ 上式写成矩阵形式即为
u(n 1)
[H GH ... Gn1H ]u(n 2) Gnx(0) ...
u(0)
➢ 这是一个非齐次线性代数方程组,由线性方程组解的存在 性理论可知，上式存在控制序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}的 充要条件为
rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn x(0)]
即定理的结论2)得以证明。
rankQc=rank[Qc Gn] 当系统矩阵G满秩时，显然有
rankGn=n ➢ 因此
rank[H GH … Gn-1H Gn]=n 所以由结论1可知，在系统矩阵G满秩时，系统状态完 全能控的充要条件为
rankQc=rank[H GH … Gn-1H]=n
注意：
3.4 离散时间系统的能控 性与能观性
➢ 由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周 期趋于无穷小时的无限近似，所以离散系统的 状态能控性/能观测性的定义与线性连续系统 的极其相似，能控性/能观测性判据则在形式 上基本一致。
1. 线性离散系统的状态能控性定义
定义： 对线性时变离散系统 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)
1 1 0
1
0
令 k 0,1,2 ,可得状态序列
2 1
x(1)
Gx(0)
Hu(0)
2
0u(0)
1 1
2 1
1
x(2) Gx(1) Hu(1) 6 2u(0) 0u(1)
0 1
1
2 1
1
1
x(3) Gx(2) Hu(2) 12 2u(0) 2u(1) 0u(2)
6 0
1 1 2
可见，其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 2 0 6
1 1 0
的秩为3，两个秩不等，方程组无解，故不能在第二 个采样周期内使给定初始状态转移至原点。
2 线性离散系统的能观测性
与线性连续系统一样，线性离散系统的状态能观测性只与 系统输出y(k)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, ✓ 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 ➢ 下面我们先引入线性离散系统状态能观测性的定义。
若离散系统能控，则经n个采样周期一定可以到达状态空
间原点，即 x(n)=0；
若离散系统能控，由任意初始状态转移到状态空间原点一
般也可以少于n个采样周期
例: 试判断如下系统的状态能控性
x(k
1)
0 0
10x(k) 10u(k)
解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有
rank Qc rank[ H
4 3
1
1
2 1
1 1
x(3) Gx(2) Hu(2) 12 2u(0) 2u(1) 0u(2)
4 3
1
1
令 x(3) 0 ,有下列方程组
1 1 1u(0) 2
2
2
0
u(1)
12
3 1 1u(2) 4
1
u(0) 1
u (1)
2
u(2) 3
1 2 1
1 1 2 0 12 1 4
21
2
1
1 1 1 Qc 0 2 2
1 1 3
1 1
2 1 1 2
2 1
2
0
1422
5
11
8
讨论x(2)=0可能性 , 解下列方程组
2 1
1
x(2) 6 2 u(0) 0 u(1)
0 1
1
1 1
2
2 1
10uu((10))
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
解 G为非奇异阵，由系统状态能控性判据有
1 1 1 rank Qc rank[ H GH G2H ] rank 0 2 2 3 n
1 1 3
故系统能控。
1 0 0
1
2
x(k
1)
0
2 2 x(k) 0 u(k), x(0) 1
➢ 若对任意非零初始状态x(l)，存在控制作用序列u(k)，使 系统在第n步上达到到原点，即x(n)=0，则称状态在时刻 l能控;
➢ 若状态空间中的所有状态都能控，则称系统状态完全能 控;
➢ 若存在某个状态不能控,称此系统是状态不完全能控的， 简称系统为状态不能控。
在上述状态能控性定义中，只要求在n步之内寻找控制作用， 使得系统状态在第n步上到达原点。
➢ 这是因为,可以证明，若离散系统在n步之内不存在控制 作用使得对任意初始状态控制到原点，则在n步以后也 不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。
➢ 故在上述定义中，只要求系统在n步之内寻找控制作用。
2. 线性定常离散系统的状态能控性判据
定理 (线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离散系 统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，有如下状态能控性判据:
GH
]
rank
1 0
0 0
1
但
因此
rank[ Qc
G
2
]
rank
1 0
0 0
0 0
0 0
1
rankQc=rank[Qc G2] 由定理的结论2可知，该系统状态完全能控。
例: 试判断如下系统的状态能控性，若初始状态x(0)=[2 1 0]T， 确定使x(3)=0的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使x(2)=0的可能 性
➢ 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态，于是上式 可记为
n1
0 Gnx(0) Gn j1Hu( j) j0
即
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0