中值定理证明题
中值定理证明例题
中值定理证明例题中值定理（RolleTheorem）是微积分中一个重要的定理，它指出，如果一个函数在定义域的端点上有可导的一阶连续导数，并且在定义域内单调，那么这个函数在定义域内必定存在不小于一个值的可导零点，即在两个不同的端点之间存在某点x，使得函数f(x)在该点处取得零值，而函数f(x)在该点处也取得零值。
它的具体证明如下：给定函数f(x)在定义域[a，b]上连续可导，且单调，假设存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，则f(c)=0。
证明：令g(x) = f(x) f(a)则g(x)在[a，b]上连续可导，且g(a) = g(b) = 0令h(x) = g(x) (x a)，则h(x)在[a，b]上连续可导，且h(a) = h(b) = 0设h(x)在定义域[a，b]上关于x的连续偏导数为h′(x)又根据中值定理，存在α∈[a,b]使 h′(α) = 0即h′(α) = 0对h′(x)求解：h′(x) = g(x)+ g′(x) (x a)设h′(α) = 0得 g(α) + g′(α) (α a)= 0即g(α)= 0由此可得f(α) = f(a)又由于f(α) = f(a)，而f(α) = f(c)因而可得 f(c) = f(a)再由于f(c) = f(a)，已知f(b) = f(c)所以有f(a) = f(c) = f(b)综上所述，可以得出结论：若函数f(x)在定义域[a,b]上连续可导，且单调，则存在a<c<b，使得f(a)=f(c)=f(b)，并且f′(c)=0。
中值定理的证明归纳出一般情况：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且有一阶可导，并且单调，则存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，并且f(x0)=0.根据中值定理，可以给出下面的例题：例题：设函数f(x)在[0，2]上连续且有一阶可导，且f(0) =2,f(2) = 4,试求f(x)在定义域内一阶偏导数等于0的解。
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
考研：微分中值定理的证明题汇总
f ( )
唯一性： （反证法） 假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1
2 sin
1
x sin
1 x
( 0 x )
因0 x， 故当 x 0 时， 由m i l 2 n s i 0 0，
0
1
x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1
0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)
泰勒中值定理证明题
泰勒中值定理证明题【泰勒中值定理证明题】引言：泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数在某一点和它在一阶导数所确定的切线，来研究函数在某一区间内的性质。
本文将对泰勒中值定理进行全面评估，并展示其深度和广度，希望能为您对该定理的理解提供帮助。
1. 泰勒中值定理的基本概念1.1 定理的表述泰勒中值定理可以表述为：给定一个区间[a, b]上的连续可导函数f(x)，则在[a, b]内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
该定理为我们研究函数在某一区间内的变化提供了重要依据。
1.2 理解函数的导数在理解泰勒中值定理之前，我们需要明确函数的导数概念。
函数的导数描述了函数在某一点的变化率，是函数增长或减少的速度。
导数为我们揭示了函数曲线的切线和斜率的关系。
2. 泰勒中值定理的证明2.1 一阶泰勒公式的推导我们从一阶泰勒公式开始推导。
根据泰勒中值定理，我们知道f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，可以将这个表达式进一步拆解为f(b) = f(a) +f'(c)(b - a)。
2.2 使用拉格朗日中值定理为了证明泰勒中值定理，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，对于一个连续可导的函数f(x)，在[a, b]区间内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
将此结果代入一阶泰勒公式中，得到f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)。
证明完毕。
3. 泰勒中值定理的应用3.1 函数曲线与切线的关系泰勒中值定理使得我们能够通过函数在某一点的导数，来了解函数曲线在该点附近的变化情况。
通过连接函数在某一点的切线，我们可以推测函数的增长或减少趋势，并进一步研究函数在其他点上的性质。
3.2 近似计算与误差分析泰勒中值定理还可用于近似计算，并进行误差分析。
通过取泰勒级数中的有限项，我们可以近似计算出函数在某一点附近的数值，而可以通过增加级数项来提高精度。
柯西中值定理证明题
柯西中值定理证明题柯西中值定理是一个非常重要的数学定理，它在微积分中有着广泛的应用。
该定理的内容可以简单地描述为：如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，则存在一个点c∈(a，b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a，b]上的平均速率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明柯西中值定理，我们可以使用罗尔定理来帮助我们完成证明。
首先，我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*x。
根据柯西中值定理的假设，g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导。
接下来，我们需要证明g(x)在区间[a，b]的两个端点处取相同的函数值，也就是g(a)=g(b)。
首先，我们考虑g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*a=f(a)-f(a)+f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*a。
然后，我们考虑g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*b=f(b)-f(b)+f(a)/(b-a)*b=f(a)/(b-a)*b。
由于f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*b，我们可以得出g(a)=g(b)。
根据罗尔定理，由于g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，且g(a)=g(b)，所以存在一个点c∈(a，b)，使得g'(c)=0。
由于g'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)-（f(b)-f(a))/(b-a)=0，我们可以得出f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
综上所述，我们通过使用罗尔定理，证明了柯西中值定理的正确性。
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
微分中值定理的证明题
证：将上等式变形得：
作辅助函数
f
(x)
由拉格朗日定理得：
即
f
1 eb b
(1) b 1
1
xe x
ba
11
ba
1 a
，则
f (1) a
1
ea
即： aeb bee (1 )e (a,b)
(1
f
1
e
1
1 b
ba
(x)
f
1
(1 )
)e
在[1
1
1
1
e
,
ba
1
f ( ) 1 f ( ) 1
f ()
1
5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得
f (a ) f ( ) .
【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根 的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分中值定理题目
例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。
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中值定理证明题
1. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.
【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到
0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ
【证明】令)()()(x f x a f x G -+=，],0[a x ∈．)(x G 在[0,a]上连续，且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-=
)0()()0(f a f G -=
当)0()(f a f =时，取0=ξ，即有)()(ξξf a f =+；
当)0()(f a f =时，0)()0(<a G G ，由根的存在性定理知存在),0(a ∈ξ使得，
0)(=ξG ，即)()(ξξf a f =+．
2. 试问如下推论过程是否正确。
对函数2
1sin
0()0
0t t f t t
t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得：
21
sin 0
()(0)111sin ()2sin cos 00x f x f x x f x x x ξξξξ
--'====--- (0)x ξ<< 即：1
1
1
cos
2sin
sin
x x
ξξ
ξ
=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由0
1
lim 2sin
0ξξξ
+→= 0
1
lim sin 0x x x
+
→= 得：0
lim x +
→1
cos 0ξ
=，即0
1
lim cos
0ξξ
+→=
解：我们已经知道，0
1
lim cos
0ξξ
+→=不存在，故以上推理过程错误。
首先应注意：上面应用拉格朗日中值的ξ是个中值点，是由f 和区间[0,]x 的
端点而定的，具体地说，ξ与x 有关系，是依赖于x 的，当0x →时，ξ不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使0
1
lim cos
0x ξ
+→=成
立，而0
1
lim cos
0ξξ
+→=中要求ξ是连续地趋于零。
故由0
1
lim cos 0x ξ
+
→=推不出
1
lim cos
0ξξ
+→=
3.设)(x f 在][a,b 上可微，且()0()0()()f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/x f 在
)(a,b 内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间)(a,b 内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b 上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵()()
()lim 0x a f x f a f a x a
++→-'=>-，由极限的保号性知，
)(1a,δ+∃ （不妨设21b-a δ<），对于)(1a,δx +∈∀ ，均有0)
()(>--a x a f x f ，
特别地，)(11a,δx +∈∃ ，使得
0)
()(11>--a
x a f x f ，∴得A a f x f =>)()(1；
同理，由()0f b ,-'>得)(22b,δx -∈∃ （22b-a
δ<），使得0)()(22>--b
x b f x f ， 从而得A b f x f =<)()(2；
又∵)(x f 在][21,x x 上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,x x ξ∈使得
A ξf =)(；
∵)(x f 在][a,ξ、][ξ,b 上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b 内可导，且A b f ξf a f ===)()()(， ∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1a,ξξ∈、)(2ξ,b ξ∈，使得12()()0f ξf ξ''==，结论成立。
4.设函数)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数，且
(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'==
==试用柯西中值定理证明：
)10()
()()(<<=θn!θx f x x f n n。
知识点：柯西中值定理。
思路：对)(x f 、n x x g =)(在]0[,x 上连续使用n 次柯西中值定理便可得结论。
证明：∵)(x f 、n x x g =)(及其各阶导数在]0[,x 上连续，在)0(,x 上可导， 且在)0(,x 每一点处，(1)()!0n g x n x -=≠，又(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====，
∴连续使用n 次柯西中值定理得，
(1)(1)11111(1)111()(0)
()()(0)
()()(0)(0)(0)
(0)
n n n n n n n n n f ξf f f ξf f x f x f x x g n n ξg n!ξg ξξ-------'''---=====
'--- )10()()(<<=θn!
θx f n ，从而结论成立。