《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第二章 函数的概念与基本初等函数 第二节

[解题指导](1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝
1.(2) 判断 f(x) 的奇偶性，就是研究 f(x) 、 f(－ x)的关系，从而想到 赋 值 x1 ＝ － 1 ， x2 ＝ x. 即 f( － x) ＝ f( － 1) ＋ f(x).(3) 就 是 要 出 现 f(M)<f(N)的形式，再结合单调性转化为M<N或M>N的形式求解.
2. 函数的奇
偶性. 3. 函数的周
值 大 小 ， 是高 考 的 热 点 函数的其他性质，如
及重点 . 常与函数的图象 与周期性、对称性相 及其他性质交汇命题 . 题 结合求函数值或参数
期性.
型 多 以 选 择题 、 填 空 题 的取值范围 .备考时应
形 式 出 现 ， 若 与 导 数 交 加强对这部分内容的 汇则多为解答题. 训练.
答案 (1)2 1 (2)－ 2 010
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[点评] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.
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方法3 函数性质的综合应用 对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对
奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、
创新能力、数形结合的能力.
最小 正数就叫做f(x)的最小正周期. 的正数，那么这个_____
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【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为： (1)两个变式：设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1<x2，那么 f（x1）－f（x2） ① >0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； x1－x2 f（x1）－f（x2） <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. x1－x2 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. (2)两个性质：①奇函数中若在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0， ②偶函数中有 f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
f(x)≥M； (1)对于任意x∈I，都有_______ 条件 f(x0)＝M (2) 存 在 x0 ∈ I ， 使 得 (2)存在x0∈I，使得_________
f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值
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知识点二 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意 f(－x)＝f(x) ，那么函 偶函数 一个x，都有___________ 数f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意 f(－x)＝－f(x) ，那么 奇函数 一个x，都有_____________ 函数f(x)是奇函数 原点 对称 关于_____ y轴 对称 关于_____ 图象特点
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知识点一 函数的单调性 1.单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有 定义 f(x1)<f(x2) ，那么就说函数 _________ f(x1)>f(x2) ，那么就说函数 f(x) _________ f(x)在区间D上是增函数 在区间D上是减函数
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(3)三条结论： ①若 f(2a－x)＝f(x)或 f(a－x)＝f(a＋x)，则 f(x)关于 x＝a 对称； 1 1 ②若 f(a＋x)＝－f(x)或 f(a＋x)＝ 或 f(a＋x)＝－ ， f（x） f（x） 则 f(x)的周期为 2a； ③若 f(a－x)＋f(a＋x)＝2b 或 f(2a－x)＋f(x)＝2b， 则 f(x)关于(a， b)成中心对称. 2.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增 或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相 同，也不能用并集表示.
∴x的取值范围是{x|－≤x<－，或－<x<3，或3<x≤5}.
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[ 点评 ]
(1) 要有明确的语言表示 . 如 “M”等价于 “N” ，“ M ”
变形为“N”.
(2)要写明转化的条件.如本例中：∵f(x)为偶函数，
∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64). (3) 转 化 的 结 果 要 等 价 . 如 本 例 ： 由 于 f[|(3x ＋ 1)(2x － 6)|]≤f(64)⇒|(3x＋ 1)(2x－ 6)|≤64，且 (3x＋ 1)(2x－ 6)≠0.若漏掉 (3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了.
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(5)复合函数y＝f[g()]根据“同增异减”判断.
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ax 【例 1】 (2015· 山东日照模拟)讨论函数 f(x)＝ 2 (a>0)的单调性. x －1 解 由 x2－1≠0，得 x≠± 1，即函数 f(x)的定义域为
(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞). ①当 x∈(－1，1)时，设－1<x1<x2<1， ax1 ax2 则 f(x1)－f(x2)＝ 2 － 2 x1－1 x2 －1
第二节 函数的基本性质
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考点梳理
考纲速览
命题解密 本考点包括确定函
热点预测 高考对本节内容
1. 函数的单 调性.
1. 理 解 函 数 的单调性及 其几何意义. 2. 结 合 具 体 函数，了解 函数奇偶性 的含义.
数 单 调 性 、 单 调 区 间 及 的考查仍将以函数性
应用函数单 调性求值域 、 质的应用为主 . 函数的 最 值 ， 比 较 或 应 用 函 数 单调性、奇偶性常与
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②当 x∈(1，＋∞)时，设 1<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝ ax1 ax2 － x2 x2 1－1 2－1
a（x2－x1）（x1x2＋1） ＝ ， 2 2 （x1－1）（x2－1）
2 ∵1<x1<x2，∴x2 1－1>0，x2－1>0，
x2－x1>0，x1x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数. 又函数 f(x)是奇函数， ∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数. 综上，f(x)在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上是减函数.
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[ 点评 ]
解答本题的思路是先求出函数的定义域，然后在各
自的区间内利用单调性的定义判断.
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方法2 函数的周期性及其应用 判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周 期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命
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方法1 函数的单调性
求函数的单调性或单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出， 可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
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1＋f（x） (2)∵f(x＋1)＝ ， 1－f（x） 1＋f（x） 1＋ 1－f（x） 1＋f（x＋1） 1 ∴f(x＋2)＝ ＝ ＝－ . 1－f（x＋1） 1＋f（x） f（x） 1－ 1－f（x） ∴f(x＋4)＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)＝2 010， 1 1 ∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－ ＝－ . 2 010 f（1）
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解
(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： 令x1＝x2＝－1，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
2 ax1x2 －ax1－ax2x2 a（x2－x1）（x1x2＋1） 1＋ax2 ＝ ＝ . 2 2 2 2 （x1－1）（x2－1） （x1－1）（x2－1）
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x2 － 1)( x 1 2－1)>0.又 a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，函数 f(x)在(－1，1)上为减函数.
题.
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【例 2】 (1)(2015· 四川眉山一中模拟)已知定义在 R 上的 函数 f(x)满足 ______. (2)(2015· 成都石室中学质检 )已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝ 1＋f（x） ，若 f(1)＝2 010，则 f(103)＝________. 1－f（x）
3 f(x)＝－fx＋ ，且 2
f(1)＝2，则 f(2 014)＝
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[解题指导](1)转化：由
3 3 ＝fx＋2＋ ＝f(x). 2
3 f(x)＝－fx＋2⇒f(x＋3)
1＋f（x） 1 (2) 转化： 由 f(x ＋ 1)＝ ⇒f(x ＋ 2)＝－ ⇒T＝ 4 ， 1－f（x） f（x） 1 f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－ f（1） 求解：写出正确结果
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