7.角动量守恒定律
角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
力学-7-角动量守恒定律
注意：M＝0，可以是r=0,也可以是F =0,
2
2.力矩作用效果
M rF
r
dp
d
(r
p)
dr
p
dr
v
dt
dt
p mv
dt
dr
p
dt
0
dt
3.角动量矢量
Lrp
积分形式
4.角动量定理
M
dL
dt
t
0 M dt L'L0
质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
3
二、角动量守恒定律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
dL
dt
如果：M 0
则：dL 0
dt
角动量守恒定律
即L＝常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩 为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
5
三、质点系角动量守恒定律
1、定义：质点系各质点对该定点的角动量的矢量和。
Mi
dL dt
L
8
质点的角动量 角动量守恒定律
1
一、质点的角动量
1.rM 力是矩P点r相反对映F于力固的定大小点、O的方向位和矢作。用点M对 o物d 体r转动的p θ影F 响
大小：M＝Frsin=Fd
方力向臂：：右d=手rsi螺n旋定则判定力与M力 臂的r乘 F积 。
单位：N•m（不能写成功的单位J）
量纲：ML2T–2
dLi
dt
ri
i
i
Li Fi
ri
i M i ri
(ri
i
pi
(Fi
fi j )
j
fi j )
i j
7 第5章角动量及角动量守恒定律
ω
z
dx
r r x⊥v = x 2ω d m dLz = x（xω d m) ⋅
Lz = 2ω ∫0
l 2
v = xω
x
(kg ⋅ m 2 / s)
x
1 2 x d m = ml ⋅ ω 12
2
角动量为z轴方向
19
r r r 1) 对O点 作用在一个质点上的力矩 M = r × F 一个质点 N ⋅m 力矩的大小： M = rF sin α r Z r r 方向 (r × F ) M 右手螺旋 r
r r r M = r×F
（三）力矩
特点：矢量性 瞬时性 状态量
Mz
θ
mr
r
α 对Z轴的力矩: M
X
F
z
r r = k⋅M
o
Y
M z = Fr sin α ⋅ cos θ
20
2）对O点
r r r r M = ∑ M i= ∑ ri × F外i
i
作用在质点系的力矩
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散 力”的力矩 r r r r r M = ∫ dM dM = r × dF
2
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系 (1) 重力势能:
E
r r F ⋅ dr
a
E Pa = mgh a
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E = 1 kx 2 P 2
弹簧原长处为零势能位置。 弹簧原长处
Mm 选无穷远处为势能零点。 (3) 万有引力势能： P = −G E 无穷远处 r
连续分布物体
r L=
物体
r dL ∫
r v v L = ∫ r × v dm
角动量角动量守恒定律jm
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
讨论
L J =常量
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
碰撞后的瞬间：
M+N+板转动：
N
C
Bl
M+N具有相 u l
同的线速度： 2
M
h A
l/ 2
25
冲击前： vM (2gh)1 2
冲击后：u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 2
M
1 ml2 1 ml2
12
2
质点：
L
r
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
力 第七讲 动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律
解: varrrr矩Maaacos2si0cntoirs,t该irtb质irsib点nb对cto2原rjssi点nt的rj t角rj 动量 L
mabk
.
LMrrrrrr2mrrFrvr
0r
mabk
例4. 如图所示, 在光滑水平面上有一个以速率 v向右运动的物
个质点的运动, 与质点系的内力无关.
§3.5 碰撞
一. 定义 “相遇”—碰撞
碰撞的时间极短, 碰撞前后物体运动
状态的改变显著, 过程始末状态清楚.
二. 特征: 动量守恒!
r
碰撞过程, 相互作用内力—冲击力>>常力, 可认为 F合外 0！
三. 类型
特征
完全弹性碰撞: 碰撞 非弹性碰撞:
动量守恒, 动能守恒! 动量守恒, 动能不守恒!
求: (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小; (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量.
4. 一长为 l 、质量均匀的链条, 放在光滑的水平桌
面上, 若使其长度的一半悬于桌边下, 然后由静
l
v0
v
M
止释放, 任其滑动. 求它全部离开桌面时的速率.
5. 如图所示, 一质量为m的物体, 位于质量可以忽略的 直立弹簧的正上方高度为h 处, 该物体从静止开始落 h
2. 质Fr点的d角pr 动量定rr 理Fr rr d pr d (rr pr )
dt
dt
dt
质点的角动量定理:
drr
r p
r r
d
pr
dt 0
rr
d
pr
dt
dt
r M
r dL
角动量守恒定律是什么 公式有哪些
角动量守恒定律是什么公式有哪些
有很多的同学是非常想知道，角动量守恒定律是什幺，公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 角动量守恒定律内容对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
物理学的普遍定律之一。
反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律
如果合外力矩零(即M 外=0),则L1=L2，即L=常矢量。
这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。
这一结论叫做质点角动量守恒定律。
1 角量守恒公式是什幺角动量守恒定律是用来叙述刚体旋转运动的方法,要想了解它建议用和动量守恒定律类比的方法
很容易理解,我给您谢几个公式,注意他们是对应的:
1 动量：质量m,速度v,加速度a,动量mv,力F,F=ma
2 角动量：转动惯量J,角速度w,角加速度β,角动量Jw,力矩M,M=Jβ
可以看出转动惯量是“充当”质量的角色,力矩充当了力的角色
牛2：物体不受外力或合外力为0,则物体保持运动状态不变
角：旋转物体不受外力矩或和力矩为0,则物体保持旋转状态不变
以上可以看出其数学结构很统一,但是角动量中转动惯量的求法要复杂的多, 有些需要微积分基础,这里给出质点：J=mr
最后,角动量守恒定理：。
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
角动量守恒定律
Mdt dL
Mdt 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得
t2
Mdt L2 L1
t1
质点的角动量定理：对同一参
考点，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量。 成立条件：惯性系
四、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
v
L
L＝r mv＝恒矢量
二、角动量
概念：一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐
标原点O的位置矢量为 r，定义质点对坐标原点O的角 动量L为该质点的位置矢量与动量的矢量积 L
L r P r mv
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定 单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1 o
P m r θ
说明
角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为
零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。 外力矩为零有两种情况： a、质点所受的外力为零； b、质点所受的外力不为零，但是在任意时刻外力对于固定参考 点的合力矩为零。 特例： •在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； •匀速直线运动。 例题2.17 有心力场中质点的运动(P.81-82)
•角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典 力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。 •角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量 的角动量L保持不变。 P
L＝mrv
•质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点
L
o
r
三、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力F的作用下，运动方程
§2-7 角动量守恒定律
一、力矩
力对点的力矩
角动量守恒物体旋转状态的守恒定律
角动量守恒物体旋转状态的守恒定律角动量守恒，是指在没有外力矩作用下，物体的角动量保持不变。
这一守恒定律在描述物体旋转状态时具有重要的意义。
本文将探讨角动量守恒的基本原理、守恒定律的应用以及实际案例。
角动量守恒的基本原理角动量是描述物体旋转运动的物理量，它的大小与物体的质量、转动轴与速度有关。
在物体没有外力矩作用时，转动的物体总角动量保持不变，即角动量守恒。
根据角动量的定义，物体的角动量L可以表示为L = Iω，其中I为物体的转动惯量，ω为物体的角速度。
守恒定律的应用角动量守恒定律在众多物理现象和实际问题中都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 垂直转动的自行车轮自行车的轮子在转动时，可以利用角动量守恒定律解释其稳定性。
当骑车人向一侧倾斜时，轮子的转动惯量增加，从而角速度变小，使得整个系统保持平衡。
2.体操运动员的跳跃动作体操运动员在跳跃时，通过膝盖的屈伸使身体产生旋转，利用角动量守恒来调整身体的姿势，以保持在空中的平衡状态。
3.天体运动天体运动中的许多规律也可以用角动量守恒定律来解释。
例如，地球的自转角速度减小时，自转惯量会相应增加，以保持整个系统的角动量不变。
实际案例：陀螺陀螺是一种玩具，它在旋转时展示了角动量守恒的原理。
当陀螺旋转时，由于角动量守恒，陀螺会保持平衡，不会倒下。
我们可以通过施加力矩来改变陀螺的转动轴方向，进而改变陀螺的平衡状态。
结语角动量守恒是物体旋转状态下的一个重要定律，它揭示了物体在没有外力矩作用时，转动状态的稳定性和保持平衡的原理。
通过理解角动量守恒定律的基本原理和应用，我们可以更好地理解和解释一些复杂的物理现象。
理解角动量守恒对于学习和应用物理学知识都具有重要的意义。
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《大学物理》练习题 No 7 角动量守恒定律
班级__________学号 _________ 姓名 _________ 成绩 ________
基本要求： （1） 掌握质点和刚体在定轴转动中的角动量、角动量定理、角动量守恒定律及应用
内容提要：
1. 质点的角动量
a. 质点对点的角动量：v m r p r L ⨯=⨯=
b. 对固定轴的角动量：ω J L =
2. 刚体对定轴的角动量：等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积 即：ω
z z
J L =
3．刚体的角动量定理: 外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量.
即：00
ωω
J J L d dt M L L t t -==⎰⎰
若J 可以改变,则：000
ωω
J J L d dt M L L t t -==⎰⎰
4．角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变， 即00 ωωω
J J J ==或
常矢量
角动量守恒定律的两种情况：
a. 转动惯量保持不变的单个刚体
00,0ωωωω ===则时，当J J M
b. 转动惯量可变的物体。
.
保持不变就增大，从而减小时，当就减小；
增大时，当ωωω
J J J
一、选择题
1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ ] (A) 刚体不受外力矩的作用.
(B) 刚体所受合外力矩为零.
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ ] (A) J ω 0/(J +mR 2) .
(B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0.
3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒的角速度应为
[ ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ).
二、填空题
1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = .
2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。
当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。
则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。
3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度ω = .
三、计算题
1. 如图7.2所示,有一飞轮,半径为r = 20cm,可绕水平轴转动,在轮上绕一根很长的轻绳,若在自由端系一质量m 1 = 20g 的物体,此物体匀速下降；若系m 2=50g 的物体,则此物体在10s 内由静止开始加速下降40cm .
绳系重物m 2后的张力？
v /2
图7.1
图7.2
图7.3
2. 如图7.3所示,质量为M 的均匀细棒,长为L ,可绕过端点O 的水平光滑轴在竖直面内转动,当棒竖直静止下垂时,有一质量为m 的小球飞来,垂直击中棒的中点.由于碰撞,小球碰后以初速度为零自由下落,而细棒碰撞后的最大偏角为θ,求小球击中细棒前的速度值.
No. 7 参考答案
一、选择题
1. （B ）；
2. （A ）提示：人在向外运动的过程中，由于所受合外力矩为零，故角动量是
守恒的，由 ωω)(20mR J J +=可得；3. （B ），提示：子弹在与细杆相互作用的过程中，整个系统对细杆转轴的角度量是守恒的，则v L m J mLv 2⋅+=ω，其中，2
3
1mL J =，得到，棒的角速度为=ω3mv/(2ML ). 二、填空题
1. 2
38m kg ⋅；2. =L 122275-⋅⋅s m kg ，
=v s m /13， 提示：质点对轴的角动量p r L
⨯=，大小为1
2
2275705.65-⋅⋅=⋅⋅=s m kg L ，各自收绳时，系统的角动量是守恒的，故可得人的速度为=v s m /13； 3. 3
ωω=，提示：系统作用过程中，合外力矩为零，角动量守恒，ωω1013J J =；
三、计算题
1. 解： 摩擦阻力矩m N gr m M f ⋅==04.01
系上m 2物体后，
a m T g m 22=-
βJ M Tr f =- N T 5.0≈
βr a = 249.1m kg J ⋅≈ 2
2t S a =
2. 解：设小球碰撞前速度为v ω⋅=
-23
1
)(ML a L mv 2/L a = 2
)
(3ML
a L mv -=ω )cos 1(2
312122θω-=⋅L
Mg ML 解出 3)
cos 1()(θ--=
Lg a L m ML v
化简得到， 3
)
cos 1(2θ-=Lg m
M v。