高中绝对值不等式
绝对值不等式
－2
1 2
3Hale Waihona Puke 巩固练习：解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3) | 5 x 4 | 6
(5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 (2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6}
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
高中数学 第一节 绝对值不等式
绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
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绝对值不等式
结 束
[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．
3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
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1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
结 束
1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2
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2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高中数学绝对值不等式
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. 两个数的和或差的绝对值, 与两个 数的绝对值的和或差的大小关系如何?
2. 两个数的和或差的大小关系的几何 表示是怎的?
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) ∵|2b|+|a-b|≥|2b+(a-b)| = |a+b|,
∴|a+b|-|a-b|≤|2b| =2|b|.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
|a+b|=|a|+|b|.
|a| a
b
|a+b| |b|
1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a, b 是实数, 则
a
a
+
b
b
|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立.
证明: |a + b| = (a + b)2
|a|
|b|
ab
= a2 + 2ab+ b2 , ①
|
=
2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
【高中数学】绝对值不等式
【高中数学】绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解](1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1<x ≤32，x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1|x <13或x>5所以|f (x )|>1|x <13或1<x <3或x>5[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2.解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0≥a ，x －a ≤0<a ，x ＋a ≤0，≥a ，≤a 4<a ，≤－a 2.当a >0|x ≤－a 2由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0|x ≤a 4由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解](1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，≥12，x －1<x ＋1x <12，－2x <x ＋1≤0，－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|≤|x ＋2019－x ＋2018|＝4037，所以函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值为4037.2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．[解](1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，≥12，x －1－2x －1≤1－12<x <12，－2x －2x －1≤1≤－12，－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为－14(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x <－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵34，2⊆A ，∴当x ∈34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈34，2上恒成立，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：<－12，－2x －2x －1≤6－12≤x ≤12，－2x ＋2x ＋1≤6>12，x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，|－32≤x ≤322．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|2x ＋6，x ≤2，，2＜x ≤4，x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5|12≤x ≤1123．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1<x <1，，x ≥1.故不等式f (x )>1|x >12(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1|0<x <2a 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)3＋a)x＋2，x≥13，a－3)x＋4，x<13，所以f(x)＋3≥0，－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3<x<－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3<x<1或x>3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)2x＋1，x＜－1，，－1≤x＜2，x－1，x≥2，不等式f(x)＞x＋2＜－1，2x＋1＞x＋21≤x＜2，＞x＋2≥2，x－1＞x＋2，解得x＜1或x＞3，故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即|x －a 2|＋|12－x |≥3－a2.又x －a 2|＋|12－x＝|12－a 2|，所以|12－a2|≥3－a2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R .(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3<1，－2x ≤3≤x ≤2，≤3或>2，x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)M ，所以当x f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x |x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为12，2.。
高中的绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印
绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
最新整理高中绝对值不等式 (精华版) 适合高三复习用 可直接打印备课讲稿
绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
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绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：|x －1|2<|x +a |2即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>5⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.［请你试试4—2］1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)解析：易知－1<x <1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a-+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+于是22lg (1)lg (1)0x x --+>∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1<x <1∴0<1－2x <1∴lg (1－2x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x-<<+ 解得0<x <12．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
解： |x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21≥x 时124+<-x x ∴x>2当-3<x<21时4x+2<2x +1 ∴723-<<-x 当3-≤x 时124+<-x x ∴3-≤x综上72-<x 或x>2 故填),2()72,(+∞⋃--∞。
3．求不等式1331log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103x x>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：304x <≤。
(2)当1<x ≤2时，即()333log log 3log 3x x +-≥. ∴ 2330x x -+≤ x ∴∈∅。
(1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥(2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934x ≤<。
综合得原不等式的解集为390,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U第3变 解含参绝对值不等式［变题3］解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［请你试试4—3］1．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。
2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。
解：原不等式可化为－4≤kx ≤6当k >0时，进一步化为46x k k-≤≤，依题意有4433632k k k k⎧-=-⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩，此时无解。
当k =0时，显然不满足题意。
当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有42263k k k⎧-=⎪⎪⇒=-⎨⎪=-⎪⎩ 综上，k =－2。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集，求a 的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a的取值范围。
令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3<a，即2x－7<a解不等式组474272x axx a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a>1②当3<x<4时，原不等式化为4－x+x－3<a得a>1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x<a即7－2x<a解不等式37733 7222x a axx a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a>1综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<a≤1时，原不等式解集为空集。