行列式的性质(三)
行列式
(1)
( j1 jk ji jn )
比较这两项，由已知有
aiji akji , aijk akjk .
也就是说，这两项有相同的数值. 但是排列
j1 ji jk jn 与 j1 jk ji jn
相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项
的符号相反. 易知，全部 n 级排列可以按上述形式 两两配对. 因而，上述展开式中的每一项都有一数 值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式 为零.
根据
证毕
性质 7 对换行列式中两行位置，行列式反号.
交换 i, j 两行记为 ri rj
1 2 3 0 1 1 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 3
证明
a11 ai1 a j1 an1 a12 ai 2 a j2 an 2 a1n ain a jn ann
把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的 值．
性质 2、6、7介绍了行列式关于行和列的三 种运算，在本教案中分别称为数乘运算、线性
运算、交换运算，它们分别记为
交换运算： 线性运算：
数乘运算：
ri rj ci c j ri k rj ci k c j k ri k ci
rj - ri
ai1 a j1 ai1 an1
ai 2 a j 2 ai 2 an 2
a11
a12 a j2 ai 2 an 2 a12 a j2 ai 2 an 2
a1n a jn ain ann a1n a jn . ain ann
a11 b1
简述行列式的性质
简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
03 第三节 行列式的性质
第三节 行列式的性质内容要点一、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnnnn n T a a a a a a a a a D212221212111=.性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n inin i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若21101321-=D , 则.213102011D D T=-=例2（1）012121110012110121---=--（第一、二行互换）. （2）12110211012110121---=--（第二、三列（3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例3（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4 若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=---- 又 D412101320141240112204=--=--.例5 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ----解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式D 0000321323132231211312nnnn n n a a a a a a a a a a a a ------=其中),(时j i a a ji ij ≠-=).(0时j i a ij == 利用行列式性质1及性质3的推论1,有D TD=0000)1(321323132231211312nnnn nn na a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n-=当n 为奇数时有,D D -=即.0=D例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=- 再计算.1623541430201541147022154218704212718987042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+15101080011202131----3445r r +.402501080011202131＝---例12 计算.3111131111311113=D解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .48200200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13计算.1111000000332211a a a a a a ---解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14计算.3610363234232dc b a cb a ba ad c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b aD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a+++++++++3423r r r r --.20200ba aab a a ac b a b a ad c b a+++++34r r -..020004a ab a ac b a b a ad c b a=++++例15 设nnn nkn n k kk k k b b c c b b c c a a a a D1111111111110000=，,)det(,)det(1111211111nnn n ij kk k k ij b b b b b D a a a a a D====证明 .21D D D =证 对1D 作运算,j i kr r +对2D 作运算,j i kc c +可分别把1D 和2D 化为下三角形行列式.1D =kkk p p p1110;11kk p p =2D =nnn q q q1110.11nn q q =对D 的前k 行作与对1D 相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对2D 相同的运算,j i kc c +即把D化为下三角形行列式，且D nn kk q q p p 1111⋅=.21D D = 证毕.例16解方程.0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n解 从第二行开始每一行都减去第一行得),)(())((00000000000001221112211321x a a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n n ----=---------由,0))(())((12211=------x a a x a x a a n n 解得方程的1-n 个根：.,,,,11222211----====n n n n a x a x a x a x。
行列式的性质(三)
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =四、课时小结（1交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
1.者行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
2.3行列式的性质
D’=D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡 是对行成立的对列也同样成立.今后我们只暂时研究有关行 的性质。
1
性质2（可提性或可乘性）行列式的某一行(列)中所有元素 若有公因子k, 可以提到行列式符号的外面．行列式的某一 行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式, 即
b1 b1 c1 b2 c2 b3 c3
证
由性质4，
a1
上式左边
b1 c1 b2 c2 b3 c3
c1 a1
c1 a1 c2 a2 c3 a3
a2 a3
c2 a 2 b2 c3 a 3 b3
a1 b1 c1 c1
a1 b1 c1 a1
b1 b1 c1 a1
1、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1
，
a12 a22 an 2 D a1n a2 n ann
'
行列式 D ' 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1（可转性）行列式与它的转置行列式相等，即行列互 换，行列式的值不变。
12
r2 r3
1
1
1
1
1
1
100 0 1 2 100 0 1 2 100*1*(1) *(5) 500 0 4 3 0 0 5
x r4 r3 0 r3 r2 D 0 r2 r1 0 y z w x x y x y z r4 r3 x 2 x y 3x 2 y z r3 r2 x 3x y 8 x 3 y z x y 0 x 0 0 0 0 z x y x x w x yz 2x y 5x y
第三节行列式的性质.ppt
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
证 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记 D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于D中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式D det aij 变换i, j(i j)两行得到的,
即当 k i, j 时, bkp akp;
当 k i, j 时, bip a jp , bjp aip,
于是
D1
1 b b b b t( p1 pi pj pn )
ri krj (ci kc j ).
6.利用行列式性质化行列式为上(下)三角行列 式,可以方便地求出行列式的值.要使计算顺畅,首先 应将首行首列元素化为1．
例5 计算4阶行列式
1 2 1 0
2 4 12
D
.
1 0 2 1
3 4 2 3
解
1 2 1 0
1 2 1 0
2 4 1 2 r2 2r1 0 0 3 2
(a 3)2 (b 3)2
0. (c 3)2 (d 3)2
证 先把 D的 第一列的(1)倍分别加到后面各列,再将得到
的行列式的第二列的 (2) 倍加到第三列,第二列的
(3) 倍加到第四列,得
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 D
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
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一、教学引入:
1、复习回顾
（1）二阶、三阶行列式的计算；
（2）余子式、代数余子式及拉普拉期法则。
二、讲授新课
1.行列式的性质
（1）转置行列式
设
将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为 或 ，
称 为 的转置行列式．显然 也是 的转置行列式，即
性质1行列式与其转置行列式相等，即 。
性质2行列式的两行（列）互换，行列式变号。
性质5.若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
性质6.将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变．即第 行乘 加到第 行上，有
性质7. 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘O3
课 题: 第三节行列式的性质
教学时间:
教学班级:
授课类型:讲授新课
教学目的的要求：
1. 理解行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
教学重点：
1. 理解行列式的性质；
2. 会用行列式的性质对行列进行化简计算。
教学难点：
1. 理解行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。；
（1）交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。
性质3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式。
推论1.行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
推论2.行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零．
性质4.行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零．
例2：计算行列式
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =
四、课时小结
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
2.在证明性质7应把两个行列式同时写出来加以对比，把i、k行用彩色粉笔写出，指
出这两个行列式的异同，便于学生理解。
3.讲解三角形行列式的求法时，可引导学生探索解法，培养学生学会思考；
4．在课堂练习中帮助学生熟练运用性质作特殊性行列式的简单计算。
1.者行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解