黑龙江省哈尔滨师大附中2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)
黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文(Word版含答案)
2014年哈师大附中高二下学期期中文科数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知x 与y 则y 与x 的线性回归方程∧y =bx+a 必过A 点(2,2)B 点(1.5 ,4)C 点(1.5,-3.75)D 点(1.5,0) 2.在区间[]1,3上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为A 0.25B 0.5C 0.6D 0.753.用反证法证明命题:a ，b N ∈，ab 的乘积可被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除，假设的内容应为A a,b 都能被5整除B a,b 都不能被5整除C a,b 不都能被5整除D a 不能被5整除4.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是A 模型1的相关指数2R 为0.97B 模型2的相关指数2R 为0.81C 模型3的相关指数2R 为0.49 D 模型4的相关指数2R 为0.255.对于事件A 和事件B ，通过计算得到2K 的观测值k ≈4.526，下列说法正确的是 A 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A 和事件B 有关 B 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和事件B 有关 C 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A 和事件B 无关 D 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和事件B 无关 6. 一枚硬币连抛2次，只有一次出现正面的概率为21314132DCBA7. 复平面内，复数iz +=21对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限8. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A 若得观测值为2K =6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患病B 从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D 以上三种说法都不正确9.若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m,n 作为点P 的坐标（m,n ）,则点P 落在圆2216x y +=内的概率92614121DCBA10. 回归直线方程y=2 ―1.2x,则变量x 增加一个单位Ay 平均增加1.2个单位 B y平均增加2个单位 C y 平均减少2个单位2 D y 平均减少1.2个单位 11. 从3男1女4位同学中选派2位同学参加演讲比赛，那么选派的都是男生的概率 A43 B 41 C 32 D 21 12．椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，M 为椭圆上一点，且12MF MF 的最大值的取值范围是22,2c c ⎡⎤⎣⎦，其中c 是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是111,,1322A B CD ⎫⎡⎤⎡⎫⎪⎪⎢⎥⎢⎪⎣⎦⎣⎭⎣⎦⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 观察下列各式：2333233)321(321,)21(21++=+++=+， 23333)4321(4321+++=+++根据上述规律，第四个等式为__________14. 若i x x z )1()1(22-+-=为纯虚数，则实数x 的值为__________15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学14—15学年下学期高二第一次月考数学(文)试题(附答案)
哈师大附中高二下学期月考数学试卷（文）一、选择题（每题4分，共计40分） 1.若3)(,)(03='=x f x x f ，则0x 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．2.若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 3.函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ． )1,(-∞C ． ),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4.参数方程4sin 5cos x y θθ=⎧⎨=⎩表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．过原点的直线D ．圆心在原点的圆5.方程3269100x x x -+-=的实根个数是( )A.3B.2C.1D.06.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是为参数）t t y t x (31⎩⎨⎧-=+=,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为 ( )A.B. C. D. 7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足)()(0x g x f '=',则()f x 与()g x 满足（ ） A. ()f x =()g x B. ()f x -()g x 为常数函数C. ()f x =()0g x =D. ()f x +()g x 为常数函数8. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ）A. (0)(2)2(1)f f f +<B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>9. 设在函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线斜率为k ,若0()k g x =,则函数[]00(),,k g x x ππ=∈-的图象大致为()10. )(x f 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,有()()0f x xf x '+<,且(4)0f -=,则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. (0,4)B. (-∞,-4) C ．(-∞,-4)∪(0,4) D.(-4,4) 二、选择题（每题5分，共计20分）11. 在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sincos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 .12.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，过极点的一条直线l 与圆相交于,O A 两点，且45AOx ︒∠=，则OA ＝________.13．若点(2,1)P -(直角坐标系下的坐标)为曲线024cos 22=--θρρ(极坐标系下的方程)的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为________．14. 已知函数()f x = ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-+0,2310,13x x x x x e x 给出如下四个命题:①()f x 在[2,+∞)上是减函数; ②()f x 的最大值是2; ③函数()y f x =有两个零点; ④()f x ≤234在R 上恒成立.其中正确的命题有 .(把正确的命题序号都填上) 三、解答题（每题10分，共计40分） 15. 已知函数x x x f ln )(=.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 在点)0,1(处的切线方程.16. 已知直线AB 过定点)0,1(，倾斜角为α，曲线为参数）θθθ(sin cos 36:⎪⎩⎪⎨⎧==y x C （1） 求直线AB 的参数方程；（2） 若直线AB 与曲线C 有公共点，求α的范围.17. 三次函数d cx bx x a x f +++=233)(，09)(<-'x x f 的解集为)2,1(. （1） 若07)(=+'a x f 有两个相等的实数根，求)(x f '的解析式； （2） 若)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，求a 的取值范围.18. 如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ， A 证明：|FP |-| FP |cos2α为定值，并求此定值.答案（文）CDCBCDBCAC （1，1），2，x －y －3＝0，①③④ 15. 1ln )(+='x x f（1）由01ln )(>+='x x f 解得ex 1> 由0)(<'x f 解得ex 10<< )(x f 的增区间为),1(+∞e ，减区间)1,0(e（2）1)1(='f 所以切线方程为1-=x y16. （1） 为参数）t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα（2）曲线223:22=+y x C 代入得2)sin (2)cos 1(322=++ααt t 即01cos 6)2(cos 22=+++ααt t 由0)2(cos 4cos 3622≥+-=∆αα解得21cos 21cos 41cos 2-≤≥≥ααα或即 又[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴∈πππαπα,323,0,0 17. 设d cx bx x a x f +++=233)(则c bx ax x f ++='2)(2 09)(<-'x x f 的解集为)2,1(，0)92(2=+-+∴c x b ax 的两根为1，2且0>a故⎪⎩⎪⎨⎧==-2329ac a b 得到a c a b 2,392=-=（1）由条件0)7(4)2(2=+-=∆a c a b ，代入得1=a 舍去）3(-=a26)(2++='∴x x x f（2）)(x f 在),(+∞-∞上单调递增且0>a ，02)39()(2≥+-+='∴a x a ax x f 的解集为R ，()083922≤--=∆∴a a 即081542≤+-∴a a ，解得2182721827+≤≤-a取值范围是[21827,21827+-].18. （Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p因此焦点)0,2(pF 的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2p x -= 从而所求准线l 的方程为2-=x（Ⅱ）解法一：如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知|F A |=|FC |,|FB |=|BD |.记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=， 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得aFB cos 14||+=记直线m 与AB 的交点为E ，则 aaa a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-= 所以aa FE FP 2sin 4cos ||||==故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 将此式代入x y 82=,得04)2(42222=++=k x k x k ，故22)2(k k k x x B A +=+记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 22)2(22k k x x x B A E +=+=，kx k y E E 4)2(--=，故直线m 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标44222++=k k x P 故a k k x FP P222sin 4)1(42||=+=-= 从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP 为定值.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二数学上学期期中试
2014级哈师大附中高二上学期期中考试数 学 试 题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线24x y =的焦点坐标是（ ） A. (0,1)B. (1,0)C.1(0,)16 D. 1(,0)162.若直线210x y ++=与直线20ax y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．1B ．13-C ．2-D ．23- 3. 圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.外切D.内切4．焦点在x 轴上的椭圆221(0)3x y n n+=>的焦距为 ）A.3B.6C.D.25. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A.4B ．5C ．1-D ．6. 方程22141x y t t +=--表示椭圆，则t 的取值范围是（ ） A.14t <<B.1t <或4t >C.4t >D. 512t <<或542t << 7. 过P (4,1)-的直线l 与抛物线24y x =仅有一个公共点，则这样的直线l 有（ ）条 A.1 B.2 C.3 D.4 8.直线y x m =+与椭圆2212x y +=相切，则m 的值为（ ）A.B.C.1±D.3±9．已知斜率为1的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于B A 、两点，且AB 的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±= D ．x y 33±= 10.倾斜角为45︒的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A,B 两点，则弦AB 的长为（ ） A.2B.4C.6D.811.直线1y kx =-与双曲线221x y -=的左支有两个公共点，则k 的取值范围是（ ） A．(B. (C. (1)-D. (1]-12. 已知向量00(2,),a x y =-r 向量00(2,),b x y =+r且||||a b +=r r ，设00(,)M x y ,(2,0)A -，(2,0)B ，则||||MA MB ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.4B. 6C. 8D. 12二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.) 13.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P满足条件||||PM PN -=P 的轨迹方程 ． 14.已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.15．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则2z x y =+的最大值为____________．16．设21F F ，分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P ，使得12123||||2,||||,2PF PF b PF PF ab -=⋅=则椭圆的离心率为三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分) △ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a,b,c,已知c ＝2，C ＝π3.(Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．18.(本题满分12分) 已知椭圆C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6,1)， P 2(－3，－2)两点.(I)求椭圆C 的标准方程.(II)过点P (1，1)作椭圆的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，求弦AB 的长.19．（本题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点． (Ⅰ)证明：AE ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若AD ＝3，求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值．20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上。
2014—2015学年度黑龙江哈师大附中高二上学期期末考试【语文】
黑龙江哈师大附中2014—2015学年度高二上学期期末考试语文试卷（考试时间：150分钟；满分：150分）一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1~3题。
经典阅读有全然不同于“浅阅读”的特点。
它有对普遍性和本原特征的热切关注，能助人了解世界，观照自我，因此提供给人的是切切实实的精神养料。
所谓了解世界，是说借由经典提供的经验，人们能找到世界的原始图景，从而认清未来发展无穷。
相信每个人都有这样的体会，也发生过类似的感慨——这个世界是如此之美，但人看到的是如此之少。
仅仅是因为没时间、没精力吗？其实，主要是因为个体常受种种困扰的限制，未能获得了解世界的能力与方法。
而经典阅读能让自感处处受限的我们在身心解放中拓展视野，所以，这个活动会被称为“心灵的探险”与“灵魂的壮游”。
或以为，生活是最好的导师，这话自然不错，但对于经典阅读，我们想说的是，生活并不必然就比虚构具有更多的真实，世界也并不必然就比人的心智创造更能象征存在的本质，而由媒体构建出的生活世界，有时更只是表象，它的肤泛和破碎，根本不足以映像真实的世界。
如果没有经典思想的烛照与指引，它们完全有可能被表现得毫无真实感，更遑论深邃。
由此，透过现象，直抵本质，在不出离历史细节和人性真实的同时，认识和把握世界的任务也就无从完成。
所谓观照自我，是说人生有限，决定了人有使命要完成，不但对自己和家人，还有对国家和社会。
而要做到这些，了解自己非常重要。
但实际情形是，人恰恰最难自知，故“自知者明”与“认识你自己”，会成为横亘在东西方所有人面前的千古难题。
而经典阅读在很大程度上恰恰能助人了解自己，因为它致力于一切真假和善恶的剔析，对集天使魔鬼于一身的人性原态更有深刻的追索，这些都能让人从中发现一个真实的自己，从而疏浚心源，检点小我，唤出自觉意识，养成反省习惯，然后从心底生出广大的社会关怀，乃至以天下为己任的高上的担当。
正是从这个意义上，罗曼·罗兰说，“从来没有人为读书而读书，只有在书中读自己，在书中发现自己或检查自己”，普鲁斯特所谓“阅读过程是一交流的过程，是一次与不在场或已死去的当事人的心灵对话”，也是强调通过人书对话真正认识自己。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对下列函数求导正确的是（）A．（x2）′=x B．（）′=﹣C．（）′=D．（ln2）′=2．（5分）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数y=x+的单调递增区间为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0），（0，2）D．（﹣∞，﹣2），（2，+∞）4．（5分）下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（）A．y=x3+x2B．y=x+e﹣x C．y=（x﹣1）e2D．y=xsinx 5．（5分）已知函数f（x）=x3+2xf'（0），则f'（0）=（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．47．（5分）做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（）A．分米B．1分米C．2分米D．4分米8．（5分）直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2B．0C．2D．69．（5分）函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，3]10．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=kx+k，若函数f（x）的图象恒在函数g （x）图象的上方，则实数k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（0，1）D．（1，+∞）12．（5分）已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2015）＞e2015f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2015）＞e2015f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2015）＜e2015f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2015）＜e2015f（0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x﹣2lnx的单调递减区间是．14．（5分）函数f（x）=在x=0处取得极值，则a=．15．（5分）经过点（2，0）且与曲线y=相切的直线方程为．16．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），曲线C与直线l相交于点A，B，且定点P的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+x（x∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x﹣1．20．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣lnx．（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，g（x）≥3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，1），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M 为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：AP⊥OM；（Ⅲ）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对下列函数求导正确的是（）A．（x2）′=x B．（）′=﹣C．（）′=D．（ln2）′=【解答】解：（x2）′=2x，（）′=﹣，（）′=，（ln2）′=0，故选：B．2．（5分）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z===1+i，∴复数z=在复平面内对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．3．（5分）函数y=x+的单调递增区间为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0），（0，2）D．（﹣∞，﹣2），（2，+∞）【解答】解：对函数y=x+求导数，得：y′=1﹣；令y′＞0，得1﹣＞0，解得x＜﹣2或x＞2；所以函数y的增区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）．故选：D．4．（5分）下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（）A．y=x3+x2B．y=x+e﹣x C．y=（x﹣1）e2D．y=xsinx【解答】解：A选项，y=x3+x2的导函数y′=3x2+2x，令x=0得到y′=0；B选项，y=x+e﹣x的导函数y′=1﹣e x，令x=0得到y′=0；C选项，y=（x﹣1）e2的导函数y′=e2，令x=0得到y′=e2；D选项，y=xsinx的导函数y′=sinx+xcosx，令x=0得到y′=0；故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x3+2xf'（0），则f'（0）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2+2f′（0），令x=0，则f′（0）=2f′（0），解得f′（0）=0，故选：B．6．（5分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选：C．7．（5分）做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（）A．分米B．1分米C．2分米D．4分米【解答】解：设长方体的底面边长为x分米，高为h分米，表面积为y，则由体积为4，得x2h=4，从而表面积y=x2+4x•h=x2+4x•=x2++≥3=12，当且仅当x2=，即x=2时，y min=12．即水箱用料最省时水箱底面边长为2分米．故选：C．8．（5分）直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2B．0C．2D．6【解答】解：∵y=ax3+x+b过点（1，5），∴a+b=4，∵直线y=kx+1过点（1，5），∴k+1=5，即k=4，又∵y′=3ax2+1，∴k=y′|x=1=3a+1=4，即a=1，∴b=4﹣a=4﹣1=3，∴a﹣b=1﹣3=﹣2．故选：A．9．（5分）函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，3]【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x+1，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，∴3ax2﹣6x+1=0满足：a≠0，且△=36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故选：C．10．（5分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=kx+k，若函数f（x）的图象恒在函数g （x）图象的上方，则实数k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（0，1）D．（1，+∞）【解答】解：如图示：，若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，即e x﹣k（x+1）＞0，即e x＞k（x+1），若k=0，满足条件，若k＜0，则不满足条件．则当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（﹣1，0），函数f（x）的导数为f′（x）=e x，设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=e a，则对应的切线方程为y﹣e a=e a（x﹣a），∵直线过点（﹣1，0），∴﹣e a=e a（﹣1﹣a），解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=1，即此时k=1，则解得0＜k＜1，综上0≤k＜1，故选：B．12．（5分）已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2015）＞e2015f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2015）＞e2015f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2015）＜e2015f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2015）＜e2015f（0）【解答】解：令，则，由于f'（x）＜f（x），e x＞0对于x∈R恒成立，所以h'（x）＜0在R上恒成立，所以为减函数，∴，即f（1）＜ef（0）；，即f（2015）＜e2015f（0）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x﹣2lnx的单调递减区间是（0，2）．【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，令y′=1﹣＜0，得x＜2∴结合函数的定义域，得当x∈（0，2）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，2）故答案为：（0，2）．14．（5分）函数f（x）=在x=0处取得极值，则a=0．【解答】解：f′（x）=，若函数f（x）=在x=0处取得极值，则f′（0）=0，解得：a=0，故答案为：0．15．（5分）经过点（2，0）且与曲线y=相切的直线方程为4x+y﹣8=0．【解答】解：点P（2，0）不在曲线y=上．设经过点P（2，0）与曲线y=相切的直线方程为y=k（x﹣2），切点为Q（x0，y0），y′=，则k==，y0=，∴﹣4（x0﹣2）=×，解得x0=1，∴k=﹣=﹣4，∴切线方程为：y=﹣4（x﹣2），化为：4x+y﹣8=0．故答案为：4x+y﹣8=0．16．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）==，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）e x，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，1）；（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，且为f（1）=﹣e，由f（0）=﹣2，f（2）=0，可得f（x）的最大值为f（2）=0．则f（x）的最小值为﹣e，最大值为0．18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），曲线C与直线l相交于点A，B，且定点P的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为．（Ⅱ）把（t为参数）代入得，化简得：5t2+4t﹣12=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+x（x∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由已知f'（x）=x2﹣ax+1≥0，即对x∈（0，+∞）恒成立，∵x＞0时，（当且仅当x=1取等号）∴a≤2…（5分）（Ⅱ）a=1时，，设，则g'（x）=x2﹣x=x（x﹣1）当x≥1时，g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）单调递减，∴当x＞1时，，即f（x）＞x﹣1．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣lnx．（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，g（x）≥3，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=x2﹣lnx，∴，∴k=f'（1）=1，又f（1）=1∴切线方程为y=x …（4分）（Ⅱ）（方法一）当x∈（0，e]时，g（x）=mx﹣lnx≥3，即对x∈（0，e]恒成立．设，则当时，h'（x）＞0；当时，h'（x）＜0∴h（x）的增区间为，减区间为∴∴m≥e2．…（12分）（方法二）g（x）=mx﹣lnx（0＜x≤e），则当x∈（0，e]时，①时，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，e]单调递减∴g（x）min=g（e）=em﹣1≤0矛盾，（舍）②时，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0∴g（x）在单调递减，单调递增∴，解得m≥e2综上，实数m的取值范围为[e2，+∞）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x﹣3（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜2时，讨论函数f（x）零点的个数．【解答】解：f'（x）=3ax2﹣3（a+2）x+6=3（ax﹣2）（x﹣1），（1）当a=﹣2时，f'（x）=﹣6（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0得x1=1，x2=﹣1，f'（x）＜0时，x＜﹣1或x＞1；f'（x）＞0时，﹣1＜x＜1．∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递增区间为（﹣1，1），f（x）极小值=f（﹣1）=﹣7，f（x）极大值=f（1）=1．（2）①若a=0，则f（x）=﹣3（x﹣1）2∴f（x）只有一个零点．②若a＜0，f′（x）=0的两根为，则，∴当或x＞1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0∴f（x）的极大值为∵f（x）的极小值为∴f（x）有三个零点．③若0＜a＜2，则，∴当x＜1或时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，∴f（x）的极大值为∴f（x）有一个零点．综上，当a＜0时，f（x）有3个零点；当0≤a＜2时，f（x）有1个零点．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，1），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M 为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：AP⊥OM；（Ⅲ）试问•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（Ⅰ）解：由已知，又，∴a2=b2+c2．联立解得：a2=4，b2=2．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（﹣2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x﹣2），则M（﹣2，﹣4k），由，得（2k2+1）x2﹣8k2+8k2﹣4=0，△＞0，则，∴，，即．又，，∴，即AP⊥OM．（Ⅲ）解：，∴为定值4．。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨三十二中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意）1．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2B．x=﹣4C．y=﹣2D．y=﹣42．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程=bx+a必过（）A．（2，2）B．（1.5，3.5）C．（1，2）D．（1.5，4）4．（5分）如果（2x﹣y）+（x+3）i=0（x，y∈R），则x+y的值是（）A．18B．C．3D．﹣95．（5分）已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．V=（s1+s2+s3+s4）R B．V=（s1+s2+s3+s4）RC．V=（s1+s2+s3+s4）R D．V=（s1+s2+s3+s4）R6．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=﹣1D．a=1，b=18．（5分）已知f （x ）=x 2﹣4x ，则f'（0）=（ ） A ．0B ．﹣4C ．﹣2D ．29．（5分）在独立性检验时计算的K 2的观测值k=3.99，那么我们有（ ）的把握认为这两个分类变量有关系A ．90%B ．95%C ．99%D ．以上都不对10．（5分）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） A ．B ．﹣4C ．4D ．二、填空题11．（5分）回归直线方程为y=0.5x ﹣0.81，则x=25时，y 的估计值为 ． 12．（5分）函数f （x ）=2x 3﹣3x 2+10的单调递减区间为 ．13．（5分）当m ＜1且m ∈R 时，复数z=2+（m ﹣1）i在复平面上对应的点位于第 象限．14．（5分）离心率e=，一个焦点是F （0，﹣3）的椭圆标准方程为 ． 三、解答题 15．（10分）已知，求z ，|z|和．16．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=bx+a ；17．（10分）已知曲线y=2x2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率；（2）点A处的切线方程．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个选项符合题意）1．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=﹣2B．x=﹣4C．y=﹣2D．y=﹣4【解答】解：根据抛物线方程可知2p=8，p=4，故准线方程为x=﹣2，故选：A．2．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．1﹣i D．1+i【解答】解：复数===﹣i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．3．（5分）已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程=bx+a必过（）A．（2，2）B．（1.5，3.5）C．（1，2）D．（1.5，4）【解答】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，），∵=1.5，=4，∴样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（1.5，4），故选：D．4．（5分）如果（2x﹣y）+（x+3）i=0（x，y∈R），则x+y的值是（）A．18B．C．3D．﹣9【解答】解：∵（2x﹣y）+（x+3）i=0，∴2x﹣y=0且x+3=0，解得x=﹣3，y=﹣6，则x+y=﹣3﹣6=﹣9，故选：D．5．（5分）已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．V=（s1+s2+s3+s4）R B．V=（s1+s2+s3+s4）RC．V=（s1+s2+s3+s4）R D．V=（s1+s2+s3+s4）R【解答】解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：∴△ABC的面积为s=（a+b+c）r，对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R．故选：B．6．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选：A．7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=﹣1D．a=1，b=1【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选：D．8．（5分）已知f（x）=x2﹣4x，则f'（0）=（）A．0B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：根据题意，f（x）=x2﹣4x，其导数f′（x）=2x﹣4，则f'（0）=0﹣4=﹣4；故选：B．9．（5分）在独立性检验时计算的K2的观测值k=3.99，那么我们有（）的把握认为这两个分类变量有关系A．90%B．95%C．99%D．以上都不对【解答】解：根据K2的观测值k=3.99，对照临界值知，3.99＞3.84，所以有95%的把握认为这两个分类变量有关系．故选：B．10．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4C．4D．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．二、填空题11．（5分）回归直线方程为y=0.5x﹣0.81，则x=25时，y的估计值为11.69．【解答】解：∵回归直线方程为，∵x=25∴y=0.5×25﹣0.81=12.5﹣0.81=11.69，故答案为：11.6912．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2+10的单调递减区间为（0，1）．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣6x，∴由6x2﹣6x＜0可得：x（x﹣1）＜0∴0＜x＜1．∴函数f（x）=2x3﹣3x2+10的单调递减区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．13．（5分）当m＜1且m∈R时，复数z=2+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵m＜1，∴m﹣1＜0，∵复数z=2+（m﹣1）i在复平面上对应的点为（2，m﹣1）∴复数z=2+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于第四象限，故答案为：四．14．（5分）离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．【解答】解：由题设椭圆的焦点在y轴上，设方程为：，由题得：解得所以椭圆标准方程为故答案为：．三、解答题15．（10分）已知，求z，|z|和．【解答】解：=，|z|=，=．16．（10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a；．【解答】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．（2）由对照数据，计算得x i2=86，x i y i=66.5，=4.5，=3.5，∴回归方程的系数为b===0.7，a=﹣b=3.5﹣0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为=0.7x+0.3517．（10分）已知曲线y=2x2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率；（2）点A处的切线方程．【解答】解：（1）∵y=2x2，∴y′=4x，当x=1时，y′=4，（2）由已知条件以及（1）可知：直线的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），即：4x﹣y﹣2=0．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题文(扫描版)
哈师大附中2014级高二学年上学期第一次月考文科数学答案一、选择题二、 填空题13. 0x =或7240x y -= 14.32 15.(4, 三、 解答题17.（本题满分１０分） 302(2,1)2501x y x A x y y +-==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+-==⎩⎩L L L 4'L L L BC 边上的高线所在直线方程为250x y +-=，则直线BC 的斜率为12，又(2,1),B -直线BC 方程：122y x =- 设(2,1),B -关于A ∠的平分线所在的直线：30x y +-=的对称点为(,)B x y ' 1142(4,1)121322y x x B y x y +⎧=⎪=⎧⎪-'⇒⇒⎨⎨=+-⎩⎪+=⎪⎩，L L L 6'L L L 直线AB '即直线AC 方程为1y =12(6,1)21y x C y ⎧=-⎪⇒⎨⎪=⎩ L L L 10'L L L18. （本题满分12分）（1）证明：连1A C 交1AC 于O ，连,OE OF1111111111ACC A O AC 1OF//CC OF CC 2F AC OF//BE OF BE 1BB C C E BB EB//CC EB=CC 2⎫⎫⇒=⎪⎬⎪⎭⇒=⎬⎪⇒⎪⎭矩形中为的中点且为的中点且矩形中为的中点且111OEBF BF//OE BF BF//OE AEC AEC AEC ⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭Y 中平面平面平面平面 L L L 8'L L L（2）证明： 1111ABC BF AC BF ACC A F AC AA ABC BF AA ⎫⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎭⎪⊥⇒⊥⎭V 正三棱柱中为正三角形平面为的中点正三棱柱中平面 由（1）知BF//OE ，所以11OE ACC A ⊥平面又1OE AEC ⊂平面，所以平面1AEC ⊥平面11A C CA . L L L 12'L L L19. （本题满分12分）（1）由已知得，AB AB 21k 1,=-中点为（，-），线段AB 垂直平分线的方程为y=x-331(1,2)102y x x C x y y =-=⎧⎧⇒⇒-⎨⎨++==-⎩⎩圆心 r AC 2,==22C :(x 1)(y 2)4∴-+-=d L L L 6'L L L（2）设:4(3)l y k x +=+，即340kx y k -+-=224242340031k d k k k k k -==⇒-=⇒==+或 :4430l y x y =--=或 L L L 12'L L L20. （本题满分12分）（1）ABC V 中，A+B+C=πsin sin()sin cos cos sin sin cos A B C C B C B C B =+=⋅+⋅=⋅所以，0sin cos 0(sin 0)cos 090B C B C C ⋅=≠⇒=⇒=L L L 6'L L L （2）182AC BC AC BC ⋅=⇒⋅=RT ABC S=16V 中 2222|2|4448AC BC AC BC AC BC AC BC +=++⋅=+≥≥2AC 2BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g当且仅当||2||42AC BC ==，min |2|8AC BC +=u u u r u u u r 12'L L L L L L L L L 21．（本题满分12分）（1）22124122a c a c c a +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩ 所以，椭圆方程为2211612x y += L L L 4'L L L （2）11212211825:11:52PF PF PF PF PF PF ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩ 11114322P P P PF a ex x x =+=+=⇒= 292112(1)164P y =--=212P y ⇒= 121212P S F F y ==g 12'L L L L L L L L L 22．（本题满分12分）12212108PF PF PM PF F F +=+=>=P 点的轨迹为以12F F 、为焦点的椭圆5,4,3a c b ===P 点的轨迹方程为221259x y +=. L L L 4'L L L （2）设(,)P x y ，22216(3)61825PN x y x x =-+=-+ [](5,5)x ∈- min max 378PNPN == 12'L L L L L L L L L。
黑龙江省哈尔滨师大附中2015-2016学年高二下学期期中
哈师大附中2014级高二下学期期中考试数学理科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足)42(i i z +=（i 是虚数单位），则在复平面内,z 对应的点的坐标是 Ａ.)2,4(- Ｂ.)4,2(- Ｃ.)4,2( Ｄ.)2,4(2.函数321()3f x x ax ax =++在(,)-∞+∞单调递增的充要条件是 A ．01a << B ．01a ≤≤ C ．0a <或1a > D ．0a ≤或1a ≥ 3. 已知数据123 n x x x x ，，，，是哈尔滨市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2015年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔⋅盖茨的2015年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据，下列说法正确的是 A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 4. 函数()sin cos f x x x x =-，(0,2)x π∈的单调递减区间为A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭和3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(0,)π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(,2)ππ 5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100g 的个数是36，则样本中净重（g)在 [98,104)内的产品个数是A ．90B ．75C ．60D ．456．已知函数 ),()(),()(,)(12010x f x f x f x f xe x f x '='== ))(()(*1N n x f x f n n ∈'=-则2016(0)f =A ．2015B ．2016C ． 2017D ． 20187.函数22()ln 3f x a x x ax =+-在1x =处取到极小值，则实数a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或12D ． 1或2 8．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：A ．70.9kgB ．71.2kgC ．70.55kgD ．71.05kg9. 设函数3()3,01f x x x a a =-+<<，若()f x 的三个零点为123,,x x x ，且123x x x <<，则A ．12x <-B ．20x <C ．201x <<D ．32x > 10．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率是 A ．2 B ． 1 C ．3D ． 2-11.已知函数()1ln af x x x=-+，若存在00,x > 使0()0f x ≤成立，则得取值范围是 A. 1a ≥ B. 01a <≤ C. 1a < D. 1a ≤ 12．()f x 为定义域为(0,)+∞的可导函数，若xx f x x f )(ln )(＞'，则 A.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＜ B.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＜ C. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＞ D.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＞ 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设随机变量ξ服从正态分布(4,9)N ，若()(4)P a P a ξξ>=<-，则实数a 的值为 ．14.在区间]2,0[和]1,0[分别取一个数，记为,x y ，则x x y 22+-≤的概率为 . 15.已知函数()f x 的图像如右图所示，()f x '是()f x 的导函数，将下列 三个数值(2)(1),(1),(2)f f f f ''-由小到大．．．．排列顺序为 16． 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，1 2则有22sin sin 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222sin sin sin αβγ++=__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线的极坐标方程为θθρcos sin 24+=.（Ⅰ）写出曲线1C 与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线距离的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE D E ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求平面CED 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生身心健康及学习成绩，某校为了解高二年级A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，A 班（单位：小时/每周）：9，37，11，20，13，24；B 班：11，36，21，25，27，12（单位：小时/每周）．注：规定学生平均每周手机上网的时长超过21小时，称为“过度用网”．（Ⅰ）根据两组数据绘制茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字），根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值，并比较哪个班的学生平均上网时间较长；CDABE（II ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．（本小题满分12分）设a 为实数，()ln f x x ax =- （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （II ）求函数()f x 的极值.21．（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，离心率12e =，12,F F 分别为左、右焦点，AB（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）求1ABF ∆的面积的最大值.22．（本小题满分12分）设函数()()xf x mxe m R =∈，其中(0)1f '=（I ）求实数m 的值；（II ）求函数()f x 在区间[2,0]-的最值；（III ）是否存在实数a ，使得对任意的12,(,)x x a ∈+∞，当12x x <时，恒有2121()()()()f x f a f x f a x a x a-->--成立，若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由.。
黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=12．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A．B．2C．D．13．（5分）在空间中下列结论中正确的个数是（）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．A．1B．2C．3D．44．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．5．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．6．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12 B．8C．6D．47．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）8．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．9．（5分）p为椭圆+=1上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，且∠F1PF2=60°则|PF1|•|PF2|=（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．x+8y﹣10=0 D．x﹣8y+6=012．（5分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣aC．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是．14．（5分）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是．15．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是．16．（5分）若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有个．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知抛物线x2=4y，直线y=x+2与抛物线交于A，B两点，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABO的面积．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求异面直线AB1与BC1所成的角．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（，0），且椭圆C经过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线x=m（m＞a）于M点，若k PA，k PM，k PB 成等差数列，求实数m的值．21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=2，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥NC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣MDC的体积．22．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，（Ⅰ）当直线l过F2时，求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为Ax2+By2=1，（4，0），（0，2）代入可得16A=1，4B=1，即可求出椭圆的方程．解答：解：设椭圆方程为Ax2+By2=1，（4，0），（0，2）代入可得16A=1，4B=1，∴A=，B=，∴椭圆的标准方程是+=1．故选：D．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A．B．2C．D．1考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故选D．点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是基础题．3．（5分）在空间中下列结论中正确的个数是（）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．A．1B．2C．3D．4考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：结合公理及正方体模型可以判断：①④正确，②③错误，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．解答：解：①④正确，②③错误①：根据公理4可知：平行具有传递性，即如果a∥b，a∥c，那么b∥c，所以①正确；②：如图1所示：在正方体AC1中，D1A1⊥A1A，B1A1⊥A1A，但是D1A1∩B1A1=A1，所以②错误；③：如图1所示：A1C1∥平面ABCD，B1D1∥平面ABCD，但是A1C1与B1D1相交，所以③错误；④：如图2所示：假设a⊥α，b⊥α，且a∩b=A，则过一点有两条直线均垂直于平面α，故假设错误，所以④正确．故选B．点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．4．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．5．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．解答：解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选C．点评：熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．6．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12 B．8C．6D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．解答：解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=﹣2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2∵点P到y轴的距离是6，∴x0=6∴|PF|=6+2=8．故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属于中档题．7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．解答：解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．点评：本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．8．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；双曲线的应用．专题：计算题．分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解答：解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．9．（5分）p为椭圆+=1上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，且∠F1PF2=60°则|PF1|•|PF2|=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，利用余弦定理中求得mn的值．解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a=6，∴m2+n2+2nm=36，∴m2+n2=36﹣2nm由余弦定理可知cos60°==求得mn=故选B．点评：本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．10．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．解答：解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．11．（5分）已知（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．x+8y﹣10=0 D．x﹣8y+6=0考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出直线l的方程．解答：解：设直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），∵（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆+=1，得：，两式相减，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得x+2y﹣4=0．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．12．（5分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣aC．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|==b．即可得出关系式．解答：解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点．由三角形的中位线定理可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|===b．∴|OM|﹣|MT|=b﹣a．故选：C．点评：本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是4．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，已知|PF1|=6，进而可求|PF2|解答：解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．故答案为4点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．14．（5分）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是或．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（，0），从而设所求直线方程为y=k（x﹣）．再将所得方程与抛物线y2=6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2=0，利用一元二次根与系数的关系，得x1+x2=，最后结合直线过抛物线y2=6x焦点截得弦长为12，得到x1+x2+3=12，所以=9，解之得k2=1，得到直线的倾斜角．解答：解：∵抛物线方程是y2=6x，∴2p=6，可得=，焦点坐标为F（，0）设所求直线方程为y=k（x﹣），与抛物线y2=6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2=0设直线交抛物线与A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1+x2=，∵直线过抛物线y2=6x焦点，交抛物线得弦长为12，∴x1+x2+3=12，可得x1+x2=9，因此，=9，解之得k2=1，∴k=tanα=±1，结合α∈k﹣k﹣=2k﹣=2k﹣=2k﹣．又M（m，y m）在直线l上，∴，则=k﹣．∵k PA，k PM，k PB成等差数列，∴2k PM=k PA+k PB，则2k﹣=2k﹣，解得m=．点评：本题考查椭圆的方程性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项及斜率公式，考查学生的运算求解能力．21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=2，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥NC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣MDC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；（Ⅱ）由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD，利用V E﹣MDC=V M﹣EDC，可得结论．解答：（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（2分）∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（4分）由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）∴DE⊥NC．…（8分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．∴V E﹣MDC=V M﹣EDC===．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥E﹣MDC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，（Ⅰ）当直线l过F2时，求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，可知G，H的坐标，进而根据原点在以线段GH为直径的圆内，所以＜0，即x1x2+y1y2＜0求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知c=，l交x轴于（，0）为F2（c，0），=，得m=…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），F2（c，0），因为△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，所以G（，），H（，）因为原点在以线段GH为直径的圆内，所以＜0，即x1x2+y1y2＜0 …（5分）直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1联立可得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，①…（6分）且有y1+y2=﹣，y1y2=．…（7分）∴而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．…（12分）点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨六中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（）A．点（2，2）B．点（1.5，0）C．点（1，2）D．点（1.5，4）2．（5分）下列结论正确的是（）①当a＜0时，（a2）=a3；②函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠}；③=|a|（n∈N*，n是偶数）；④若2x=16，3y=，则x+y=7．A．①②B．②③C．③④D．②④3．（5分）函数f（x）=的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）4．（5分）下列函数中，同时具有性质：（1）图象过点（0，1）；（2）在区间（0，+∞）上是减函数；（3）是偶函数．这样的函数是（）A．y=x3+1B．y=log2（|x|+2）C．y=（）|x|D．y=2|x|5．（5分）一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（）A．4+πB．C．6+3πD．6+π6．（5分）双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（）A．4B．C．﹣4D．7．（5分）根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（）A．36B．37C．38D．398．（5分）下列说法正确的个数为（）①“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递减；③已知点A（﹣2，1）在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于﹣4；④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；⑤在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是．A．1B．2C．3D．49．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a 的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．11．（5分）已知y=f （x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）=ln x﹣ax （a ＞），当x∈（﹣2，0）时，f （x）的最小值为1，则a的值等于（）A．B．C．D．112．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知集合{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，则实数a的值为．14．（5分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=﹣2a ﹣无实根的概率为．15．（5分）已知A，B，C三点在同一球面上，若球心到平面ABC的距离为1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球的体积为．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1则（1）2是函数f（x）的周期；（2）函数f（x）在（2，3）上是增函数；（3）函数f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）直线x=2是函数f（x）的一条对称轴．其中正确的命题是．三、选修题【选修4-4：坐标系与参数方程】17．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sin θ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，其中a＞0．（1）当a=1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；（2）若1≤x≤e时，函数f（x）的最大值为﹣4，求函数f（x）的表达式．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（）A．点（2，2）B．点（1.5，0）C．点（1，2）D．点（1.5，4）【解答】解：由题意知，y与x的线性回归方程=x+必过样本中心点，==1.5，==4，∵=x+=x+（﹣=（x﹣）+，∴线性回归方程必过（1.5，4）．故选：D．2．（5分）下列结论正确的是（）①当a＜0时，（a2）=a3；②函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠}；③=|a|（n∈N*，n是偶数）；④若2x=16，3y=，则x+y=7．A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：①当a＜0时，（a2）=﹣a3，因此不正确；②由函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0，可得，解得x≥2且x≠，因此其定义域是{x|x≥2且x≠}，正确；③=|a|（n∈N*，n是偶数），正确；④若2x=16，3y=，则x=4，y=﹣3，则x+y=1，因此不正确．故选：B．3．（5分）函数f（x）=的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：∵2x＞0，∴2x﹣2＞﹣2，由f（x）=得2x﹣2≠0，若2x﹣2＞0，则f（x）＞0，若﹣2＜2x﹣2＜0，则，则＜﹣1，即此时f（x）＜﹣1，综上f（x）＞0或f（x）＜﹣1，即函数的值域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故选：D．4．（5分）下列函数中，同时具有性质：（1）图象过点（0，1）；（2）在区间（0，+∞）上是减函数；（3）是偶函数．这样的函数是（）A．y=x3+1B．y=log2（|x|+2）C．y=（）|x|D．y=2|x|【解答】解：当x=0时，对于A：y=x3+1=1；对于B：y=log2（|x|+2）=1；对于C：y=（）|x|；对于D：y=2|x|=1．故四个函数都满足性质（1），而满足性质（2）在区间（0，+∞）上是减函数的只有C．且C：y=（）|x|是偶函数．故选：C．5．（5分）一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（）A．4+πB．C．6+3πD．6+π【解答】解：由题设条件，俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切知俯视图中三角形的高为=3，故此三角形的面积为×3×2=3，此三角形的周长为6，又此三角形的面积又可表示为×r×6，故可解得内切圆的半径为1，则侧视图上部圆的表面积为π侧视图下部是一个矩形由图示及求解知，此两边长分别为为3与2，故其面积为6由上计算知侧视图的面积为6+π故选：D．6．（5分）双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（）A．4B．C．﹣4D．【解答】解：∵双曲线的方程为x2+ky2=1即，所以焦点在x轴上，其中∵一条渐近线斜率是2，∴，∴解得k=故选：D．7．（5分）根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（）A．36B．37C．38D．39【解答】解：∵2146÷1813=1 (333)1813÷333=5 (148)333÷148=2 (37)148÷37=4∴m=2146，n=1813的最大公约数是37故选：B．8．（5分）下列说法正确的个数为（）①“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递减；③已知点A（﹣2，1）在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于﹣4；④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；⑤在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是．A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①“p∨q”为真，说明p，q中至少一个为真，故不能推出“p ∧q”为真，而“p∧q”为真，说明p，q同为真，故能推出“p∨q”为真，故前者是后者的必要不充分条件，故不正确；对于②m=2时，f（x）=x﹣1是幂函数，且在（0，+∞）上递减，故正确；对于③∵点A（﹣2，1）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴=2，∴F（2，0），则直线AF的斜率为=﹣，故不正确；对于④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”；故不正确；对于⑤如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V P﹣ABC=S△ABC×SO=V S﹣ABC，因此使得使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是1﹣=，故正确；故选：B．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a 的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：D．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．11．（5分）已知y=f （x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）=ln x﹣ax （a ＞），当x∈（﹣2，0）时，f （x）的最小值为1，则a的值等于（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，，令f'（x）=0得，又，∴．令f'（x）＞0时，，f（x）在上递增；令f'（x）＜0时，，f（x）在上递减；∴，∴，得a=1．故选：D．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知集合{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，则实数a的值为±1．【解答】解：令A={0，﹣1，2a}，B={a﹣1，﹣|a|，a+1}，∵{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，若a﹣1=0，则a=1，则A={0，﹣1，2}，B={0，﹣1，2}，满足要求；若﹣|a|=0，则a=0，则A={0，﹣1，0}，不满足集合元素的互异性；若a+1=0，则a=﹣1，则A={0，﹣1，﹣2}，B={0，﹣1，﹣2}，满足要求；故实数a的值为±1故答案为：±114．（5分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=﹣2a﹣无实根的概率为．【解答】解：设在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，记为（a，b），对于区域的面积为边长为1的正方形的面积1，而在此条件下满足方程x=﹣2a﹣整理得x2+2ax+b2=0，方程有实根，△≥0即4a2﹣4b2≥0∴b≤a．在aOb坐标系中画出图形．如图．∴方程有实根的概率为P==故答案为：．15．（5分）已知A，B，C三点在同一球面上，若球心到平面ABC的距离为1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球的体积为．【解答】解：在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=1，AC=2，∴BC=，则三角形ABC是以AC为斜边的直角三角形，如图所示：取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM 即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MA=1，∴OA=，即球球的半径为．∴球的体积为：=．故答案为：．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1则（1）2是函数f（x）的周期；（2）函数f（x）在（2，3）上是增函数；（3）函数f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）直线x=2是函数f（x）的一条对称轴．其中正确的命题是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），取x=x+1则f（x+1+1）=f（x+1﹣1）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以2是函数f（x）的周期，所以（1）正确；（2）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1为增函数，又因为函数f（x）的周期是2，所以函数在[2，3]上的图象与在[0，1]上的图象完全相同，所以函数f（x）在（2，3）上是增函数，所以（2）正确；（3）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1为增函数，且函数f（x）为偶函数，所以在[﹣1，1]上函数的最小值为f（0）=，再由函数图象以2为周期周期出现，所以函数f（x）的最小值是，所以（3）不正确；（4）由函数f（x）的周期是2，且函数f（x）是偶函数，所以f（4+x）=f（x）=f（﹣x），所以函数的一条对称轴是x=2，所以（4）正确．故答案为（1）（2）（4）．三、选修题【选修4-4：坐标系与参数方程】17．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sin θ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．l 的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，解得，t1=，t2=．则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：（参考公式K 2=，其中n=a+b+c+d ）【解答】（本题满分12分） 解：（1）表格如下：…（3分）在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为∴女性应该抽取人．…（6分）（2）∵…（8分）=10＞7.879，…（10分）那么，我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．…（12分） 19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S ﹣ABC 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．因为P，F分别是棱SC，SD的中点，所以FP∥CD，且FP=CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以AQ∥CD，且AQ=CD．所以FP∥AQ且FP=AQ．所以AQPF为平行四边形．所以PQ∥AF．又因为PQ⊄平面SAD，AF⊂平面SAD，所以PQ∥平面SAD．…（5分）（Ⅱ）证明：连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以SE⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以BD⊥AC，EQ∥BD．所以EQ⊥AC，因为SE∩EQ=E，所以AC⊥平面SEQ．…（11分）（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，=AB•BCsin∠ABC=．所以S△ABC因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=．由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，•SE=1．…（14分）所以三棱锥S﹣ABC的体积V=S△ABC20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=x﹣1，所求切线方程为y=x﹣1；（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得，b=2．所求g（x）=（x∈R）．（3）∵，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）令，∵．∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，故，+∞），∵存在x＞0，不等式（*）成立，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，其中a＞0．（1）当a=1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；（2）若1≤x≤e时，函数f（x）的最大值为﹣4，求函数f（x）的表达式．【解答】解：f′（x）=﹣a=，（a＞0，x＞0）（1）当a=1时，f′（x）=，∴x∈[1，e]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，e]上单调递减，最大值为f（1）=﹣1．（2）∵f′（x）=﹣a，令f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．①当0＜＜1，即a＞1时，f（x）max=f（1）=﹣4，解得a=4符合题意；②当1≤≤e，即≤a≤1时，f（x）max=f（）=﹣4，解得：a=e3＞1（舍去）；③当＞e，即0＜a＜时，f（x）max=f（e）=﹣4，解得：a=＞（舍去）．综上，f（x）=lnx﹣4x．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．。
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哈师大附中2014-2015高二下学期期中考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对下列函数求导正确的是（ ）A ．()2x x '= B ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C '=D ．()1ln 22'= 2．已知i 为虚数单位，则1i z i-=在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．函数4y x x=+的单调递增区间为（ ） A ．(2,0)(0,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,0),(0,2)-D ．(,2),(2,)-∞-+∞4．下列函数中，在0x =处的导数不．等于零的是（ ） A ．32y x x =+ B ．xy x e -=+ C ．2(1)y x e =- D ．sin y x x = 5．已知函数3()2(0)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 6．函数32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．47．做一个容积为4升的正方形底无盖水箱，要使得材料最省，则此水箱底面边长为（ ）A ．12分米 B ．1分米 C ．2分米 D ．4分米 8．直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点(1,5)，则a b -=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．2 9．函数32()31f x ax x x =-++恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3)-∞D ．(,0)(0,3]-∞ 10．已知函数21()sin()42f x x x π=++，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）yyyy11．已知函数(),()xf x eg x kx k ==+，若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,)+∞ 12．可导函数()f x 满足()()f x f x '<对x R ∈恒成立，则（ ）A ．(1)(0)f ef <，2015(2015)(0)f e f < B ．(1)(0)f ef >，2015(2015)(0)f e f < C ．(1)(0)f ef <，2015(2015)(0)f ef > D ．(1)(0)f ef >，2015(2015)(0)f e f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为____________．14．函数2()1x af x x +=-在0x =处取得极值，则a =____________．15．经过点(2,0)且与曲线4y x=相切的直线方程为____________． 16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知函数()()2xf x x e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 在[]2,0上的最值． 18．（本题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy 中曲线C的参数方程为2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 与直线l 相交于点,,A B 且定点P 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值． 19．（本题满分12分）已知函数()()321132f x x ax x x R =-+∈． （Ⅰ）若函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若1a =，当1x >时，求证：()1f x x >-．20．（本题满分12分）已知函数()x mx x x f ln 2-+=．（Ⅰ）当0=m 时，求曲线=y )(x f 在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）令()()2x x f x g -=，当(]e x ,0∈（e 是自然常数）时，()3≥x g ，求实数m 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f ． （Ⅰ）当2-=a 时，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当2<a 时，讨论函数)(x f 零点的个数．yxMPB A O22．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且经过点，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：AP ⊥OM ；（Ⅲ）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．哈师大附中2014-2015高二下学期期中数学（文）参考答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(0,2)； 14．0； 15．480x y +-=； 16．1(0,)2． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）()()1xf x x e '=-． …………2分当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．∴()f x 的单调减区间为(,1)-∞，增区间为(1,)+∞． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上递减，在[1,2]上递增．又(0)2,(2)0f f =-=∴max ()(2)0f x f ==；min ()(1)f x f e ==-． …………10分18．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22143x y += …………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2213(1))122t ++=，即254120t t +-=，△>0设其两根为12,t t ，12125t t ∴⋅=-1212121255PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-=． …………12分 19．解：（Ⅰ）由已知()210f x x ax '=-+≥，即21x a x+≤对()0,x ∈+∞恒成立．∵0x >时，2112x x x x+=+≥（当且仅当1x =取等号） ∴2a ≤ …………5分 （Ⅱ）1a =时，()321132f x x x x =-+，设3211()132g x x x =-+，则2()(1)g x x x x x '=-=-当1x ≥时，()0g x '≥，∴()g x 在[1,)+∞单调递减． ∴当1x >时，5()(1)06g x g >=>，即()1f x x >-． …………12分 20．解：（Ⅰ）当0=m 时，()2ln f x x x =-，∴()12f x x x'=-，∴(1)1k f '==，又(1)1f = ∴切线方程为y x = …………4分（Ⅱ）（方法一）当(]e x ,0∈时，()ln 3g x mx x =-≥，即3ln xm x+≥对(]e x ,0∈恒成立． 设3ln ()(0)x h x x e x +=<≤，则2ln ()xh x x --'=当210x e <<时，()0h x '>；当21x e e<<时，()0h x '<∴()h x 的增区间为21(0,)e ，减区间为21(,)e e∴2max 21()()h x h e e==∴2m e ≥． …………12分 （方法二）()ln (0)g x mx x x e =-<≤，则()1g x m x'=-当(]e x ,0∈时，11x e≥①1m e≤时，()0g x '≤，∴()g x 在(]0,e 单调递减∴()min ()10g x g e em ==-≤矛盾，（舍） ②1m e>时， 当10x m <<时，()0g x '<；当1x e m <<时，()0g x '>∴()g x 在1(0,)m 单调递减，1(,)e m 单调递增∴()min 1()1ln 3g x g m m==+≥，解得2m e ≥综上，实数m 的取值范围为2[,)e +∞． …………12分 21．解：())1)(2(36)2(332--=++-='x ax x a ax x f（Ⅰ）当2-=a 时，())1)(1(6-+-='x x x f令()x f '=0得1,121-==x x∴极小值，极大值． …………4分 （Ⅱ）())1)(2(36)2(332--=++-='x ax x a ax x f …………5分 ①若0=a ，则2)13)(--=x x f （，由()0f x =，得1x =∴)(x f 只有一个零点． …………6分 ②若0<a ，则12<a∴当a x 2<或x ＞1时，()x f '＜0；当12<<x a时，()x f '＞0 ∴)(x f 的单调递减区间为2(,)a-∞和),1(+∞，单调递增区间为2(,1)a∵=极大值)(x f 02)1(>-=af ，且=极小值)(x f 2246()30f a a a=-+-< ∴)(x f 有三个零点． …………9分 ③若20<<a ，则12>a∴当1<x 或a x 2>时，()x f '＞0；当12<<x a时，()x f '＜0 ∴)(x f 的单调递增区间为(,1)-∞和2(,)a+∞，单调递减区间为2(1,)a∴=极大值)(x f 02)1(<-=af ∴)(x f 有一个零点． …………11分综上，02a ≤<时，)(x f 只有一个零点；0<a 时，)(x f 有三个零点． …………12分22．解：（Ⅰ）由已知c a =，则222a b =，又22211a b+=，∴224,2a b == ∴椭圆C 的方程为22142x y += …………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0),(2,0)A B -，直线BM 斜率显然存在，设BM 方程为(2)y k x =-，则(2,4)M k --由22(2)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)8840k x k k +-+-=，△>0则2284221P k x k -=+，∴224221P k x k -=+，24(2)21P P k y k x k -=-=+，即222424(,)2121k k P k k --++ ………7分 又22284(,)2121k kAP k k -=++，(2,4)OM k =--∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，即AP ⊥OM ． …………10分 （Ⅲ）22222222424841684(,)(2,4)421212121k k k k k OP OM k k k k k ---+++⋅=⋅--===++++∴OP OM ⋅为定值4． …………12分。