绵阳市高中2016届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题
四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．88．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）A．32 B．10+10C．20 D．2810．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg25﹣2lg=．12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是．13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为元．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*）．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx﹣mx2．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若＞1对任意的x∈[，e2]恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．（参考数据：e=2.71828…）2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．∴tanθ=．∴θ=60°．故选：B．2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：a∈R，复数z=（a﹣1）+（a+1）i对应的点（a﹣1，a+1）位于第三象限的充要条件是，解得a＜﹣1．故选：D．5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）【考点】程序框图．【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．【解答】解：执行程序框图，有输入的t∈[﹣1，2]，S=，输出S的值，由﹣1时，S=2t∈[，）；时，S=2t﹣t2=1﹣（t﹣1）2∈[0，1]，此分段函数在t∈[﹣1，2]时，输出的s属于[0，]．故选：C．7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），则S=|OF|•|x1﹣x2|，直线l方程为y=kx+1代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：抛物线焦点为（0，1），直线l方程为y=kx+1，代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴|x1﹣x2|=≥4，∴S=|OF|•|x1﹣x2|≥2，∴△MON的面积的最小值为2．故选：A．8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）A．32 B．10+10C．20 D．28【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，由于a5+a4﹣a3﹣a2=5，可得（q2﹣1）（a3+a2）=5．因此a6+a7=q4（a3+a2）==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，∵a5+a4﹣a3﹣a2=5，∴（q2﹣1）（a3+a2）=5．则a6+a7=q4（a3+a2）===≥+10=20，当且仅当q2=2，即q=时取等号．故选：C．10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg25﹣2lg=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg25﹣2lg=lg25+lg4=lg100=2．故答案为：2．12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 2.3元．【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．【分析】根据邮资标准进行求解即可．【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，则需要付0.4×4=1.6元，则共付费0.7+1.6=2.3元，故答案为：2.314．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u ﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是[﹣2，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【分析】利用定义比较的大小，从而化简f（x）的解析式，作其图象，结合图象解得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣（x+3）﹣1=x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1），∴f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3）=，作函数y=f（x）的图象如下，结合图象可知，当﹣1＜﹣k≤2时，函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，故答案为：[﹣2，﹣1）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图求出不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段，有2人是在[50，60）年龄段，由此利用列举法能求出从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，∴随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由（II）知，所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段中取得，记为A1，A2，A3；有2人是在[50，60）年龄段中取得，记为B1，B2，∴从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10种，其中[50，60）年龄段仅1人获奖的情况有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）共6种，∴[50，60）年龄段仅1人获奖的概率为P=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*）．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列{a n}的前n项和S n；由，能求出数列{b n}的通项公式．（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），利用作差法能比较S n b n与T n a n的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，∴，解得，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，S n==n2+n．…∵数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*），∴，解得b1=1，又，n∈N*，﹣T n==，n∈N*，∴T n+1即，n∈N*，=3b n，即=3（常数），整理得b n+1∴数列{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…（2）∵T n=b n﹣=，∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），于是S n b n﹣T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣2）+1]，…当n=1时，S n b n﹣T n a n=0，即S n b n=T n a n；当n≥2（n∈N*）时，S n b n﹣T n a n＞0，即S n b n＞T n a n．∴综上，当n=1时，S n b n=T n a n；当n≥2（n∈N*）时，S n b n＞T n a n．…19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；令f（x）=x2+4x+m=0，由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0解得：m＜4且m≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0∴，∴或，∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，与椭圆联立，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质能求出m的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），则由题意有e==，=，即a=，c=1，b=1，∴椭圆C的方程为．…（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，于是，消去x，可得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），于是y 1+y 2=，x 1+x 2=k （y 1+y 2）﹣2=﹣，…∴MN 的中点A 的坐标为（﹣，）．∵PQ ⊥l ，∴直线PQ 的方程为y ﹣=﹣k （x +），令y=0，解得x=﹣，即P （﹣，0）． …∵P 、Q 关于A 点对称，设Q （x 0，y 0），∴﹣=（ x 0﹣），=（ y 0+0），解得x 0=﹣，y 0=，即Q （﹣，）．…∵点Q 在椭圆上，∴（﹣）2+2（）2=2，解得k 2=，于是，即，∴m 的方程为y=x +或y=﹣x ﹣． …21．已知函数f （x ）=xlnx ﹣mx 2．（Ⅰ）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若＞1对任意的x ∈[，e 2]恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若x 1，x 2∈（，1），x 1+x 2＜1，求证：x 1x 2＜（x 1+x 2）4．（参考数据：e=2.71828…） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）m=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题整理得＜m ＜，令g （x ）=，令h （x ）=，根据函数的单调性求出m 的范围即可；（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式． 【解答】解：（I ）当m=0时，f （x ）=xlnx ，x ＞0，得f ′（x ）=lnx +1，由lnx +1＞0，解得x ＞，即f （x ）在（，+∞）上单调递增；由lnx +1＜0，解得0＜x ＜，即f （x ）在（0，）上单调递减．∴综上，f （x ）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．…（II）已知x∈[，e2]，于是＞1变形为＞1，从而＞，即0＜lnx﹣mx＜x﹣1，整理得＜m＜…令g（x）=，则g′（x）=＜0，即g（x）在[，e2]上是减函数，∴g（x）max=g（）=﹣1，令h（x）=，则h′（x）=，当＜x＜e时，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增；当e＜x＜e2时，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，而h（）=＞h（e2）=，∴h（x）min=∴﹣1＜m＜…（III）由（I）知当m=0时，f（x）=xlnx在（，+∞）上是增函数，∵＜x1＜x1+x2＜1，∴f（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞f（x1）=x1lnx1，即lnx1＜ln（x1+x2），同理lnx2＜ln（x1+x2），所以lnx1+lnx2＜（+）ln（x1+x2）=（2++）ln（x1+x2），又因为）2++≥4，当且仅当x1=x2时，取等号．又x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，ln（x1+x2），∴（2++）ln（x1+x2）≤4，∴lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），∴x1x2＜（x1+x2）4．…2016年10月16日。
绵阳市高中2016届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题
绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}2|{A xy y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A I(A) ),0[+∞(B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞2.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点 (A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变3．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45 (B)35 (C) 37 (D)3214.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第四象限的充要条件是 (A) 1-≥a(B) 1->a (C) 1-≤a(D) 1-<a5．直线032=-+y x 的倾斜角是θ，则θθθθcos sin cos sin -+的值是(A) -3 (B) -2(C) 31-(D) 36．在闭区间]6,4[-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为 (A)51(B) 52 (C) 53(D)54 7．已知点M 是边长为2的形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA •的取值范围是(A) []0,1- (B) []2,1- (C) []3,1- (D) []4,1-8．已知正项等比数列}n a ｛满足82345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 4 (B) 16 (C) 24(D) 329．已知函数),(21)(2是常数c b c xb x x f ++=和x x x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，对任意的M x ∈，存在M x ∈0使得)()(0x f x f ≥，)()(0x g x g ≥，且)( g )(00x x f =,则)(x f 在集合M 上的最大值为(A)27(B)29 (C) 4(D) 510.已知抛物线)0(42>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若251)(p FN BF AF BF AF --=⋅++•，则p 的值为(A) 41(B)21(C) 1 (D) 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位 数是_______．12.在5)1(-x x 展开式中含3x 项的系数是_______．（用数字作答) 13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三全不同的数字组成的三位偶数有_______个．（用数字作答)14．已知点P 在单位圆122=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记为1d 、2d ，则21d d +最小值为_________．15．现定义一种运算“⊕”： 对任意实数b a ,， ⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a .设)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.17．（本题满分12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=． (Ⅰ) 若x 是某三角形的一个内角，且的值，并22)(-=x f ，求角x 的大小； (Ⅱ) 当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．18．（本题满分12分）已知二次函数为非零常数）m m x x x f (4)(2++=的图象与坐标轴有三个交点，记过 这三个交点的圆为圆C ．(Ⅰ) 求m 的取值范围；(Ⅱ) 试证明圆C 过定点取值无关）与m (，并求出定点的坐标．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{}n b 的前n 项和T n 满足：11=b 121=-+n n T b ．(Ⅰ) 求S n 与b n ；(Ⅱ) 比较S n b n 与n n a T 2的大小，并说明理由．20．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （－１，０）的距离与它到直线2-=x 的距离之比是常数22，记M 的轨迹为T ． (Ⅰ) 求轨迹T 的方程；(Ⅱ) 过F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形A PBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数为常数）m mx x x f (ln )(-=．(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ) 当223≥m 时，设2)(2)(x x f x g +=的两个极值点21x x ，，)21x x <（恰为bx cx x x h --=2ln )(的零点，求)2(')(2121x x h x x y +-=的最小值.绵阳市高2013级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BABDC ACDDB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．127 12．-10 13．5214．5545-15．(-3，-2)∪]78(-，-∪{1} 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3， 即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分 （III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=1012522=C C ， ∴ X 的分布列为X1 2P103 53 101 ∴ EX =0×103+1×53+2×101=54． …………………………………………12分17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ，解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x =k π+2413π，k ∈Z ，…………………6分∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π． ……………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)， ∵ [0]2x π∈，， ∴ 2x -4π∈3[]44ππ-，，∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2，即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分18．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ， 代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ， 此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)．……………………12分19．解： （I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．………………………………3分对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)， 整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)，结合（*）得31=+nn b b(常数)，n ∈N *，∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分 （II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ； 当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ． ………………………………………………12分20．解：（I ）设动点M (x ，y )，则由题意可得222)1(22=+++x y x ， 化简整理得C 的方程为1222=+y x ．……………3分（II ）假设存在Q (x 0，y 0)满足条件．设依题意可设直线m 为x =ky -1，于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ，22+k k)．∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )，令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)．………………………………9分∵ P 、Q 关于N 点对称，∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k=21( y 0+0)，解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k)． ……………………11分∵ 点Q 在椭圆上， ∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2，解得k 2=21，于是212=k，即421±=k ，∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）xmxm x x f -=-='11)(，x >0．当m >0时，由1-mx >0解得x <m 1，即当0<x <m 1时，)(x f '>0，f (x )单调递增；由1-mx <0解得x >m 1，即当x >m 1时，)(x f '<0，f (x )单调递减．当m =0时，)(x f '=x1>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增；当m <0时，1-mx >0，故)(x f '>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增．∴当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m 1)，单调递减区间为(m1，+∞)； 当m ≤0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，+∞)． …………………………5分（II ）2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2，则xmx x x g )1(2)(2+-='，∴ )(x g '的两根x 1，x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根．∵ m ≥223， ∴ ∆=m 2-4>0，x 1+x 2=m ，x 1x 2=1． …………………………………………7分 又∵ x 1，x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点， ∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0，ln x 2-cx 22-bx 2=0，两式相减得 21ln x x -c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0，得b =)(ln 212121x x c x x x x +--， 而b cx xx h --='21)(， ∴ y =])(2)[(212121b x x c x x x x -+-+-=-+-+-)(2)[(212121x x c x x x x )(ln212121x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-⋅，…………… ……………10分令t x x=21(0<t <1)， 由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2=1，两边同时除以x 1x 2，得t +t1+2=m 2，∵ m ≥223，故t +t 1≥25，解得t ≤21或t ≥2，∴ 0<t ≤21．……………12分设G (t )=t t t ln 112-+-⋅，∴ )(t G '=0)1()1(2<+--t t t ，则y =G (t )在]210(，上是减函数， ∴ G (t )m in = G (21)=-32+ln2，即1212()()2x x y x x h +'=-的最小值为-32+ln2． ……………………………14分。
四川省绵阳市东辰国际学校2016-2017学年高三上学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年四川省绵阳市东辰国际学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{﹣1，0，1} 3．已知命题p：e x＞1，命题q：log2x＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．若命题p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题．C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．7．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +6y 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．408．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ ）A ．150B ．160C ．170D ．1809．函数f （x ）=|x |+（其中a ∈R ）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在实数集R 上的函数y=f （x ）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f （t +x ）=﹣tf （x ）恒成立，则称f （x ）是一个“关于t 函数”，下列“关于t 函数”的结论正确的是（ ）A ．f （x ）=2不是“关于t 函数”B ．f （x ）=x 是一个“关于t 函数”C ．“关于函数”至少有一个零点D ．f （x ）=sin πx 不是一个“关于t 函数”11．已知函数f （x ）=，若方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 3（x 1+x 2）+的取值范围是（ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）12．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）＞0，且2f （x ）＜xf ′（x ）＜3f （x ）对x ∈（0，+∞）恒成立，其中f ′（x ）为f （x ）的导函数，则（ ）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜二．填空题化简求值：（）+lg﹣1g25=．14．已知=（1，2），=（x，1），若∥（﹣），则|+|=．15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e﹣kt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要小时．16．已知函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则函数f（x）的值域为．三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=+x2﹣x（其中e=2.71828…）．（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=ln[f（x）﹣x2+x]﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞g′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2016-2017学年四川省绵阳市东辰国际学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】由集合A，求出集合B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，∴B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}={﹣2，﹣1，﹣3}，∴A∩B={﹣2，﹣1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．3．已知命题p：e x＞1，命题q：log2x＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由e x＞1，得x＞0，由log2x＜0，得0＜x＜1，所以则p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的运用，比较基础．4．下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．若命题p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题．C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．由非命题的定义即可得出；B．取x=2kπ（k∈Z）满足等式，可知p是真命题；q：利用二次函数的单调性可判断出出是真命题，再利用“非命题”和“且命题”即可判断出．C．利用否命题的意义即可得出；D．由“θ=30°”⇒“”，反之不成立，再利用充分必要条件即可判断出．【解答】解：A．命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，由非命题的意义可得：￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，正确；B．由命题p：∃x∈R，cosx=1，是真命题，例如x=2kπ（k∈Z）满足等式；q：∀x∈R，x2﹣x+1=＞0，是真命题，则￢q是假命题，可得“p∧￢q”为假命题，因此B正确；C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，正确；D．由“θ=30°”⇒“”，反之不成立，因此“”是“θ=30°”的必要不充分条件，因此不正确．综上可知：只有D是错误的．故选：D．【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、三角函数的性质、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．40【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（）A．150 B．160 C．170 D．180【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且a1+a4+a7=390，S9=1260，利用等差数列的性质求得a4，a5的值，进一步求得公差，则答案可求．【解答】解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且a1+a4+a7=390，S9=1260，则，∴a4=130，a5=140，∴d=a5﹣a4=10，则a8=a5+3d=140+30=170．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．9．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a=0时，f （x ）=|x |，且x ≠0，故A 符合，当x ＞0时，且a ＞0时，f （x ）=x +≥2，当x ＜0时，且a ＞0时，f （x ）=﹣x +在（﹣∞，0）上为减函数，故B 符合，当x ＜0时，且a ＜0时，f （x ）=﹣x +≥2=2，当x ＞0时，且a ＜0时，f（x ）=x +在（0，+∞）上为增函数，故D 符合，故选：C ．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于中档题．10．定义在实数集R 上的函数y=f （x ）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f （t +x ）=﹣tf （x ）恒成立，则称f （x ）是一个“关于t 函数”，下列“关于t 函数”的结论正确的是（ ）A ．f （x ）=2不是“关于t 函数”B ．f （x ）=x 是一个“关于t 函数”C ．“关于函数”至少有一个零点D ．f （x ）=sin πx 不是一个“关于t 函数” 【考点】函数恒成立问题．【分析】根据“关于t 函数的概念”可知，只有存在常数t ，使得f （t +x ）+tf （x ）=0恒成立即可．依此逐项求t 即可．【解答】解：对于A ：f （x ）=2时，令t=﹣1，可知f （x ﹣1）=﹣（﹣1）f （x ）=f （x ）=2．故该函数是一个“关于﹣1函数”，所以A 错；对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t﹣1）x+t=0恒成立，因此需满足，无解．所以B错；对于C：因为是“关于函数”，所以f（x+）=﹣f（x）恒成立，不妨取x=x0，且f（x0），所以，所以，故在区间（x0，x0+）必有零点．故C正确．对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=﹣sinπx恒成立．即t=1，所f（x）=sinπx 是一个“关于1函数”．故D错误．故选C．【点评】本题是一个新定义题目，要注意给的定义式是一个恒等式，需要在解题时引起注意．11．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x ∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（2015涪城区校级模拟）化简求值：（）+lg﹣1g25=0．【考点】有理数指数幂的化简求值；有理数指数幂的运算性质．【分析】根据指数幂的运算法则进行化简即可【解答】解：原式=：（）+lg=+lg=2﹣2=0．故答案为：0【点评】本题主要考查指数幂和对数的基本运算，比较基础．14．已知=（1，2），=（x ，1），若∥（﹣），则|+|= ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x ，1）．∵∥（﹣），∴2（1﹣x ）﹣1=0，解得x=．∴=．则|+|==．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L 与时间th 间的关系为P=P 0e ﹣kt ，如果在前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要 15 小时．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了l0%的污染物，求出k 的值，从而得到过滤过程中废气的污染指数量Pmg/L 与时间th 间的关系为P=P 0e ﹣kt ，当P=27.1%P 0时，有27.1%P 0=P 0，求出t 值得答案．【解答】解：由题意，前5个小时消除了l0%的污染物，∵P=P 0e ﹣kt ，∴（1﹣10%）P 0=P 0e ﹣5k ，∴k=﹣ln0.9， 则P=P 0，消除27.1%的污染物，则27.1%P 0=P 0，即，解得：t=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查函数模型的运用，考查学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则函数f（x）的值域为[﹣36，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】根据函数的对称性，求出a，b值，得到函数的解析式，结合导数法求出最小值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，∴f（6﹣x）=f（x），即[（6﹣x）2﹣1][（6﹣x）2+a（6﹣x）+b]=（x2﹣1）（x2+ax+b）解得：，故f（x）=（x2﹣1）（x2﹣12x+35），则令f′（x）=4（x﹣3）（x2﹣6x﹣1）=0，解得：x=3或x=3±．当x＜3﹣，或3＜x＜3+时，f′（x）＜0函数为减函数．当3﹣x＜3，或x＞3+时，f′（x）＞0函数为增函数．∵f（3±）=﹣36．函数f（x）的值域为[﹣36，+∞）故答案为：[﹣36，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用导数求函数的最值，难度中档．三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x=1+sin2x +cos2x=1+sin （2x +），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x +∈[，]，故当2x +=时，f （x ）取得最小值为 1+×（﹣）=0，当2x +=时，f （x ）取得最大值为 1+×1=1+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．19．设函数f （x ）=log 4（4x +1）+ax （a ∈R ）． （1）若函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，求a 的值；（2）若不等式f （x ）+f （﹣x ）≥mt +m 对任意x ∈R ，t ∈[﹣2，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由偶函数的定义f （﹣x ）=f （x ）恒成立可求；（Ⅱ）不等式f （x ）+f （﹣x ）≥mt +m 对任意x ∈R 成立，等价于[f （x ）+f （﹣x ）]min ≥mt +m ，利用基本不等式可求得[f （x ）+f （﹣x ）]min ，然后构造关于t 的一次函数，利用一次函数的性质可求得m 范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，得f （x ）=f （﹣x ）恒成立，则，∴，∴（2a +1）x=0恒成立，则2a +1=0，故．（Ⅱ）=．当且仅当x=0时取等号，∴mt+m≤1对任意t∈[﹣2，1]恒成立，令h（t）=mt+m，由，解得，故实数m的取值范围是．【点评】本题考查函数奇偶性的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值解决．20．设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，则x1f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…【点评】本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．21．已知函数f（x）=+x2﹣x（其中e=2.71828…）．（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=ln[f（x）﹣x2+x]﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞g′（）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出g（x）的解析式，求出导数，由零点的定义，运用换元法和构造函数法，结合分析法证明，以及函数的单调性，即可得到证明．【解答】解：（1）函数f（x）=+x2﹣x的导数为f′（x）=+2x﹣1，f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=1，切点为（1，），可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣=x﹣1，即为y=x﹣1+；（2）证明：由题意知函数g（x）=lnx﹣x﹣b，所以g′（x）=﹣1，因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，所以，相减得x2﹣x1=ln，令=t＞1，则x2=tx1，即tx1﹣x1=lnt，则x1=，x2=，要证g′（x1）+g′（x2）＞g′（），即证+＞+1，即证+＞+1，即证t﹣﹣﹣lnt＞0，令φ（t）=t﹣﹣﹣lnt，φ′（t）=1+﹣﹣=，令m（t）=t4+t3﹣4t2+t+1，m′（t）=4t3+3t2﹣8t+1，令h（t）=4t3+3t2﹣8t+1，h′（t）=12t2+6t﹣8＞0恒成立，m′（t）在（1，+∞）递增，可得m′（t）＞m′（1）=0，m（t）在（1，+∞）递增，m（t）＞m（1）=0，即φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）递增，φ（t）＞φ（1）=0，即原不等式成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=ADAE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。
绵阳市高中2016级第二次诊断性考试(数学理)
y 78 76 77 79 80 78 ． 5
………………………………2 分
5
∴ (xi x)( yi y) (10 10)(78 78) (9 10)(76 78) (9.5 10)(77 78)
i 1
(10.5 10)(79 78) (11 10)(80 78)
19．解 ：（1）∵ 3 AB AC=b(c asin C) ，
∴ 3 cbcosA=b(c-asinC)，
即 3 ccosA=c-asinC． ………………………………………………………2 分
由正弦定理得 3 sinCcosA=sinC-sinAsinC， ∵ sinC 0，
∴ 3 cosA=1-sinA，即 sinA+ 3 cosA=1． …………………………………4 分
绵阳市高中 2016 级第二次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． ABDAB BDCAC CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．200
14．12
15．x> 1 3
16．25
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
∴ 数列{an}的通项公式为 an 4n ． …………………………………………6 分
（2）∵
bn
log2
an
1 log2
an1
=
log2 4n
1 log2 4n1
=
1
1(1 1 ) ．
2n (2n 2) 4 n n 1
…………………………………8 分
∴ 数列{bn}的前 n 项和 Tn b1 b2 b3 bn
四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科).docx
2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=8，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′==，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：32．故选：D．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g （x ）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f ′（x ）=x ﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g （x ）=x +≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f （2）=2++c=g （2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f （x ）=x 2+=x 2+﹣1﹣，∴f ′（x ）=x ﹣=，∵f （x ）在x=2处有最小值，∴f ′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f （x ）=x 2+﹣5，f ′（x ）=，故f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f （1）=+8﹣5=，f （4）=8+2﹣5=5，故f （x ）的最大值为5，故选：B ．10．已知抛物线x 2=4py （p ＞0）的焦点F ，直线y=x +2与该抛物线交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若•+（+）•=﹣1﹣5p 2，则p 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0． 由韦达定理得x 1+x 2=4p ，x 1x 2=﹣8p ，所以M （2p ，2p +2），所以N 点（2p ，0）．同理y 1+y 2=4p +4，y 1y 2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p 2，∴（﹣x 1，p ﹣y 1）•（﹣x 2，p ﹣y 2）+（﹣x 1﹣x 2，2p ﹣y 1﹣y 2）•（2p ，﹣p ）=﹣1﹣5p 2， 代入整理可得4p 2+4p ﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u ﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k 有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；令f（x）=x2+4x+m=0，由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0解得：m＜4且m≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0∴，∴或，∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n与b n；由，能求出数列{b n}的通项公式．（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），由此利用作差法能比较S n b n与2T n a n 的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S5=30，S10=110，∴，解得∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴b 2=3b 1，（*）又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*）， 整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），结合（*）得（常数），n ∈N*，∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列， ∴b n =3n ﹣1．…（2）2T n =b n +1﹣1=3n ﹣1，∴S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），于是S n b n ﹣2T n a n =（n 2+n ）•3n ﹣1﹣2n •（3n ﹣1）=n [3n ﹣1（n ﹣5）+2]，… 当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＜0，即S n b n ＜2T n a n ； 当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＞0，即S n b n ＞2T n a n ．∴当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ＜2T n a n ；当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ＞2T n a n ．…20．在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M 的轨迹为T ．（1）求轨迹T 的方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，与轨迹T 是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设动点M （x ，y ），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T 的方程．（2）假设存在Q （x 0，y 0）满足条件．设依题意设直线m 为x=ky ﹣1，联立，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky ﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m 的方程． 【解答】解：（1）设动点M （x ，y ），∵动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y 的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…2016年10月6日。
2016届绵阳市高三第二次诊断性考试理综卷(2016.01)
秘密★启用前【考试时间：2016年1月15日上午9∶00～11∶30】绵阳市高中2013级第二次诊断性考试理科综合·化学理科综合考试时间共150分钟，满分300分。
其中，物理110分，化学100分，生物90分。
化学试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷5至6页，第Ⅱ卷7至8页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 S 32 Cl 35.5 Mg 24 K 39 Fe 56 Cu63.5第Ⅰ卷（选择题共42分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共7题，每题6分。
每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.科研、生产和生活中的下列做法，利用了氧化还原反应的是A．用乙醚从黄花蒿中提取青蒿素B．用氯化铁溶液腐蚀铜制印刷电路板C．在空气净化器中装入活性炭层D．服用阿司匹林出现水杨酸反应时用小苏打解毒2. 下列物质发生反应后固体质量一定减少的是A．FeCO3在空气中灼烧 B．铝条插入冷的浓硫酸中C．Na2O2敞放在空气中D．向Mg(OH)2悬浊液中加入FeCl3溶液3．实验室用右图装置完成下表所列的四个实验，不能．．达到实验目的是选项实验目的试剂X 试剂YA 验证C2H5OH与浓H2SO4加热至170℃制得的乙烯的性质NaOH溶液Br2水B 检验FeSO4受热分解产生的气体中有SO3和SO2BaCl2溶液品红溶液C 验证电石与饱和食盐水反应生成的乙炔的性质CuSO4溶液KMnO4溶液D 验证氧化性：Cl2＞Br2＞I 2 NaBr溶液KI溶液4. 下列有关0.2 mol /L Fe(NO 3)2溶液的叙述正确的是A. 该溶液中Na ＋、K ＋、[Fe(CN)6]3－、I － 可以大量共存B. 滴加稀硫酸，充分振荡无现象C. 通入H 2S 气体，发生反应的离子方程式为Fe 2+＋S 2-==错误!未找到引用源。
2016届绵阳市高三第二次诊断性考试理综卷
绵阳市高中2013级第二次诊断性考试理科综合·化学理科综合考试时间共150分钟，满分300分。
其中，物理110分，化学100分，生物90分。
化学试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷5至6页，第Ⅱ卷7至8页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 S 32 Cl 35.5 Mg 24 K 39 Fe 56 Cu 63.5第Ⅰ卷（选择题 共42分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共7题，每题6分。
每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 科研、生产和生活中的下列做法，利用了氧化还原反应的是A ．用乙醚从黄花蒿中提取青蒿素B ．用氯化铁溶液腐蚀铜制印刷电路板C ．在空气净化器中装入活性炭层D ．服用阿司匹林出现水杨酸反应时用小苏打解毒2. 下列物质发生反应后固体质量一定减少的是A ．FeCO 3在空气中灼烧B ．铝条插入冷的浓硫酸中C ．Na 2O 2敞放在空气中D ．向Mg(OH)2悬浊液中加入FeCl 3溶液3．实验室用右图装置完成下表所列的四个实验，不能．．达到实验目的是选项实验目的 试剂X 试剂Y A验证C 2H 5OH 与浓H 2SO 4加热至170℃制得的乙烯的性质 NaOH 溶液 Br 2水 B检验FeSO 4受热分解产生的气体中有SO 3和SO 2 BaCl 2溶液 品红溶液 C验证电石与饱和食盐水反应生成的乙炔的性质 CuSO 4溶液 KMnO 4溶液 D 验证氧化性：Cl 2＞Br 2＞I 2 NaBr 溶液 KI 溶液4. 下列有关0.2 mol /L Fe(NO 3)2溶液的叙述正确的是A. 该溶液中Na ＋、K ＋、[Fe(CN)6]3－、I －可以大量共存 B. 滴加稀硫酸，充分振荡无现象C. 通入H 2S 气体，发生反应的离子方程式为Fe 2+＋S 2-==错误！未找到引用源。
四川省绵阳市高中2016届高三理综上学期第二次诊断性考试试卷.pdf
复上述实验操作，得到多个H及对应的t。当地重力加
速度为g。
(1)计算小球在B处速度的表达式是vB=_
。
(2)作出随H的变化图线如图乙所示。要根据该图线验证机械能守恒定律，图中H1、
H2、tl、 t2四个物理量中已经已知H2，还需要已知 ，当这两个已知的物理量和重力加
速度g及小球的直径d满足表达式 时，可验证小球下落过程中机械能守恒。
C.550℃时，用平衡分压代替平衡浓度表示的化学平衡常数K＝ ×?总
D.550℃时℃时的3倍
第Ⅱ卷（非选择题 共58分）
注意事项：
使用题8.（分）X、Z、Q、RX、Y、Z、U是d区元素，U2+的核外最高能级有2对成对电子。
请回答下列问题：
（1）Q原子电子排布式为
。
（2）XZ2的分子中σ键与π键之比
加入饱和KOH，析出紫色晶体，过滤，得到K2FeO4粗品（）K2FeO4Fe(OH)3、KCl等杂质，其提纯步骤为：
①将一定量的K2FeO4粗产品溶于冷的3?mol/L?KOH溶液中，②
，③
，
④搅拌、静置、过滤，用乙醇洗涤2～3次，⑤在真空干燥箱中干燥。
【测定产品纯度】
（5）称取K2FeO4样品.2100?g于烧杯中，配成20?mL溶液，取出2?mL放入锥形瓶，用0.01000?mol/L的
0.10?mol·L-1?CaCl2溶液下列的是
A. 存在电离平衡、水解平衡和沉淀溶解平衡
B.c(Na＋)＝c()＞c(HCO)＞c(CO)＝c()
C.c(Na+)＋c(Ca2+)＝c(HCO)＋c(CO)＋c()
D.反应的离子方程式：2HCO＋Ca2+==CaCO3↓＋H2CO3
绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)正视图侧视图俯视图C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字） 14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”，则nm的取值范围是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x =∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m 的取值范围是62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ． （Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14． （Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率； （Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）． （Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程． 20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．D AB CPF E（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP|==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
2019年1月10日四川省绵阳市高2016级高2019届高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案
四川省绵阳市高2016级高2019届高三第二次诊断性考试理科数学试题及参考答案2019年1月10日一、选择题(60分)1、在复平面内,复数2ii+对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】:A【试题解析】:2ii+＝21212(2)(2)555i iii i+==++-（－i),对应的点为(12,55)在第一象限。
2、己知集合A＝{0, 1,2, 3,4},B＝｜x ｜1x e-＞1｝,则A∩B＝A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{4}【参考答案】:B考点:集合的运算,指数运算。
【试题解析】:1x e-＞1＝0e,所以,x－1＞0,即x＞1,集合A中,大于1的有:{2,3,4} ,故A∩B＝{2,3,4} 。
3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩(每道题5分,共8道题)．已知两组数据的中位数相同,则m的值为A.0B.2C.3D.5【参考答案】:D考点:茎叶图,中位数。
【试题解析】:甲班成绩:25、30、35、40、40,中位数为:35乙班成绩:30、30、30＋m、35、40因为中位数相同,所以,30＋m＝35,解得:m＝54、“a＝b＝1”是“直线a x－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】:A考点:充分必要条件。
【试题解析】:a ＝b ＝1时,两直线分别为:x －y ＋1＝0与直线x －y －1＝0,斜率相同,所以平行；当直线a x －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行时,b ＝0显然不符合,所以,b ≠0,由斜率相等,得:1a b =,显然不一定是a ＝b ＝1,所以,必要性不成立,选A 。
5．设a ,b 是互相垂直的单位向量,且(λa ＋b )⊥(a ＋2b ),则实数λ的值是 A.2 B.－2 C.1 D.－1 【参考答案】:B考点:平面向量的数量积。
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绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}2|{A x y y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A(A) ),0[+∞(B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞2.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点(A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变3．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45(B)35 (C) 37 (D)3214.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第四象限的充要条件是 (A) 1-≥a(B) 1->a (C) 1-≤a(D) 1-<a5．直线032=-+y x 的倾斜角是θ，则θθθθcos sin cos sin -+的值是 (A) -3 (B) -2(C) 31-(D) 36．在闭区间]6,4[-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为 (A)51(B) 52 (C) 53(D)54 7．已知点M 是边长为2的形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA ∙的取值范围是(A) []0,1- (B) []2,1- (C) []3,1- (D) []4,1-8．已知正项等比数列}n a ｛满足82345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 4 (B) 16 (C) 24(D) 329．已知函数),(21)(2是常数c b c xbx x f ++=和x x x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，对任意的M x ∈，存在M x ∈0使得)()(0x f x f ≥，)()(0x g x g ≥，且)( g )(00x x f =,则)(x f 在集合M 上的最大值为(A)27(B)29 (C) 4(D) 510.已知抛物线)0(42>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若251)(p FN BF AF BF AF --=⋅++∙，则p 的值为(A) 41(B)21(C) 1 (D) 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位 数是_______．12.在5)1(-x x 展开式中含3x 项的系数是_______．（用数字作答) 13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三全不同的数字组成的三位偶数有_______个．（用数字作答)14．已知点P 在单位圆122=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记为1d 、2d ，则21d d +最小值为_________．15．现定义一种运算“⊕”： 对任意实数b a ,， ⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a .设)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数； （Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.17．（本题满分12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=． (Ⅰ) 若x 是某三角形的一个内角，且的值，并22)(-=x f ，求角x 的大小； (Ⅱ) 当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．18．（本题满分12分）已知二次函数为非零常数）m m x x x f (4)(2++=的图象与坐标轴有三个交点，记过 这三个交点的圆为圆C ．(Ⅰ) 求m 的取值范围；(Ⅱ) 试证明圆C 过定点取值无关）与m (，并求出定点的坐标．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{}n b 的前n 项和T n 满足：11=b 121=-+n n T b ．(Ⅰ) 求S n 与b n ；(Ⅱ) 比较S n b n 与n n a T 2的大小，并说明理由．20．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （－１，０）的距离与它到直线2-=x 的距离之比是常数22，记M 的轨迹为T ． (Ⅰ) 求轨迹T 的方程；(Ⅱ) 过F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形A PBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数为常数）m mx x x f (ln )(-=．(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ) 当223≥m 时，设2)(2)(x x f x g +=的两个极值点21x x ，，)21x x <（恰为bx cx x x h --=2ln )(的零点，求)2(')(2121x x h x x y +-=的最小值.绵阳市高2013级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BABDC ACDDB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．127 12．-10 13．5214．5545-15．(-3，-2)∪]78(-，-∪{1} 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分（III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=1012522=C C ， ∴ X 的分布列为X12P103 53 101∴ EX =0×103+1×53+2×101=54． …………………………………………12分17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ，解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x =k π+2413π，k ∈Z ，…………………6分∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π． ……………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)，∵ [0]2x π∈，， ∴ 2x -4π∈3[]44ππ-，，∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2， 即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分18．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ， 代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ， 此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)．……………………12分19．解： （I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．………………………………3分对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)， 整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)，结合（*）得31=+nn b b(常数)，n ∈N *，∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分 （II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ； 当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ． ………………………………………………12分20．解：（I ）设动点M (x ，y )，则由题意可得222)1(22=+++x y x ， 化简整理得C 的方程为1222=+y x ．……………3分（II ）假设存在Q (x 0，y 0)满足条件．设依题意可设直线m 为x =ky -1， 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分 ∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ，22+k k)．∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )， 令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)．………………………………9分∵ P 、Q 关于N 点对称，∴222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k=21( y 0+0)， 解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k)． ……………………11分∵ 点Q 在椭圆上， ∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2，解得k 2=21，于是212=k，即421±=k ，∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）xmxm x x f -=-='11)(，x >0．当m >0时，由1-mx >0解得x <m 1，即当0<x <m 1时，)(x f '>0，f (x )单调递增； 由1-mx <0解得x >m 1，即当x >m 1时，)(x f '<0，f (x )单调递减．当m =0时，)(x f '=x1>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增；当m <0时，1-mx >0，故)(x f '>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增．∴当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m 1)，单调递减区间为(m1，+∞)； 当m ≤0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，+∞)． …………………………5分（II ）2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2，则xmx x x g )1(2)(2+-='，∴ )(x g '的两根x 1，x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根．∵ m ≥223， ∴ ∆=m 2-4>0，x 1+x 2=m ，x 1x 2=1． …………………………………………7分 又∵ x 1，x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点， ∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0，ln x 2-cx 22-bx 2=0，两式相减得 21ln x x-c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0，得b =)(ln 212121x x c x x x x +--， 而b cx xx h --='21)(， ∴ y =])(2)[(212121b x x c x x x x -+-+- =-+-+-)(2)[(212121x x c x x x x )(ln212121x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-⋅，…………… ……………10分令t x x=21(0<t <1)， 由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2=1，两边同时除以x 1x 2，得t +t1+2=m 2，∵ m ≥223，故t +t 1≥25，解得t ≤21或t ≥2，∴ 0<t ≤21．……………12分设G (t )=t t t ln 112-+-⋅，∴ )(t G '=0)1()1(2<+--t t t ，则y =G (t )在]210(，上是减函数， ∴ G (t )m in = G (21)=-32+ln2，即1212()()2x x y x x h +'=-的最小值为-32+ln2． ……………………………14分。