九年级数学每课时精讲精练系列专题252用列举法求概率(第02课时)人教版
人教版九年级数学上册《25-2 用列举法求概率(第2课时)》教学课件PPT初三优秀公开课
探究新知
归纳总结
画树状图求概率的基本步骤
1将第一步可能出现的A种等可能结果写在第 一 层； 2 若第二步有B种等可能的结果，则在第一层 每个结果下面画B个分支，将这B种结果写在第二 层，以此类推； 3根据树状图求出所有的等可能结果数及所求 事 件包含的结果数，利用概率公式求解.
探究新知 素养考点 利用画树状图求概率
始
正
(反，正）
反
P(正面向上)= 1 . 4
反
(反，反）
探究新知
树状图的画法
如一个试验中涉及2个因素,第一个因素中有2种可能情况; 第二个因素中有3种可能的情况. 则其树形图如下图：
一个试验
第一个因素
A
B
第二个因素 1 2 3 1 2 3 n=2×3=6
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
1 （1）P（全部继续直行）= 27 ；
共有27种行驶方向
（2）P（两车向右，一车向左）=
7
1 9
；
（3） P（至少两车向左）=27 .
探究新知
例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在 甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两 人中的一人，如此传球三次. (1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式); (2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中” ， 写出A发生的所有可能结果; (3)P(A).
CB A
你能用列表法列举所有可能出现的结果吗？
素养目标
3. 进一步学习分类思想方法，掌握有关数 学技能. 2. 掌握树状图法的定义，并能运用树状 图 计算事件的概率.
1. 进一步理解等可能事件概率的意义.
探究新知
知识点 利用画树状图法求概率
人教版数学九年级上册《用列举法求概率》概率初步(第2课时)
人教版数学九年级上册
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以练助学 名师点睛 • 知识点 树状图法求概率 • 适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时， 可以用树状图法求概率． • 注意：(1)当事件要经过两步完成时，用树状图法和 列表法都可以．(2)当事件要经过多个步骤(三步或三 步以上)完成时，用树状图法求概率很有效．
• (1)将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求 摸出小球是白色的概率；
• (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A、 B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若 颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获 胜．请用树状图法说明这个游戏规则对双方是否公 平．
14
解：(1)∵共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种，∴P(摸出白球)＝23. (2)画树状图如下：
装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2.从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取
出的两个小球上都写有数字 2 的概率是( C )
A．12
B．13
C．14
D．16
7
3．十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如
796 就是一个中高数．若十位上数字为 7，则从 3,4,5,6,8,9 中任选两个数，与 7 组成
5
基础过关
1．【山东临沂中考】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右
转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，
一辆向左转的概率是( B )
A．23
B．29
C．13
D．19
6
人教版九年级数学上册 25-2用列举法求概率课时2 教学课件PPT初三公开课
25.22RJ上节课我们学习了哪些求概率的方法？1.直接列举法.2.列表法.1.进一步理解等可能事件概率的意义.2.学习运用树形图计算事件的概率.3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红绿灯，红、黄、绿三色灯亮的的可能性都相等，小红希望上 学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是 多少？这个问题能用直接列表法和列表法解决吗？有什么简单的解决办法吗？解：根据题意画树状图如下：第1路口红 黄 绿第2路口红黄绿红黄绿红黄绿第3路口红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红黄绿红红红红红红红红红黄黄黄黄黄黄黄黄黄绿绿绿绿绿绿绿绿绿红红红黄黄黄绿绿 绿红 红 红黄 黄 黄绿 绿 绿 黄 黄黄黄黄黄绿绿绿红黄绿红黄绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红黄绿红黄绿红黄绿一共有27种情况，每种情况发生的可能性相等， 其中三个路口都为绿灯的情况只有 1 种，所以3个路口都为绿灯的概率为 127知识点以上用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法叫做画树状图法.画树状图法求概率的适用条件是什么呢？验涉及两个或更多个因素时，为了不重不所有等可能的结果，通常采用画树状图法.当一次试漏地列出确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果.数出所有事件出现 的结果数 n 和A 事件 出现的结 果数m .代入公式 P (A )= 计算概率列举每一步可 能出现 的结果, 得到树 状图.用树状图法求概率的“四个步骤”③数④算②画①定跟踪训练例1 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E； 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.( 1) 取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概 率分别是多少？(2) 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析： 当一次试验是从三个口袋中取球时,列表法就不方便 了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有12种,即ACH,ACI,ADH,ADI,AEH,AEI,BCH,BCI,BDH,BDI,BEH, BEI, 这些结果出现的可能性相等.H B C HI H B B C D I H I H B B D E I H I B E I 解：根据题意,可以画出如下的树状图： C D E H I H I H I A A A A A A C C D D E E H I H I H I B C D E 甲乙 丙A所以P ( 1个元音)= .有2个元音字母的结果有4种,所以P(2个元音)= = .全部为元音字母的结果只有1种,所以P(3个元音)= .(2)全是辅音字母的结果共有2种,所以P(3个辅音)= = .( 1)只有1个元音字母的结果有5种,当试验包含两步时，既可以用列表法有又可以用画树状图法； 当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.注意：用列举法求概率时，各 果出现的可能性必须相同，并 重不漏地列举出所有等可能的什么时候该用列表法什么时候该用画树状图法呢？① 直接列举法；② 列表法；③ 画树状图法.用列举法求事件的概率的方法：种结要不结果.例2 现有A,B,C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘中有一个酸菜包、一个糖包和一个韭菜包, C盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包 子 (馒头除外) ，那么老师选的包子全部是酸菜包的 概率是多少？由树状图得，所有等可能出现的结果有18种， 选的包子全部是酸菜包的结果有2种，所以P (老师选的包子全部是酸菜包)= = .解：根据题意，画出树状图如下酸韭糖酸韭酸 酸糖糖 酸糖酸酸酸糖酸酸 酸糖韭 糖糖韭酸 糖糖糖糖糖 酸 糖酸糖 糖酸 酸酸 糖 韭酸 糖 酸 糖 酸 糖韭酸 糖 酸 酸 韭 韭 酸 糖酸 糖酸 酸 酸 酸 酸 糖酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 糖A 盘B 盘C 盘酸 糖 酸 糖 酸 糖酸糖糖糖酸酸酸韭补全如图(2)所示的树状图；(2) 求使电路形成通路的概率.条件是开关a, b 闭合其中的一个,开关c,d,e 闭合其中的一个, 因此, 当 同时闭合的两个开关中一个是a 或b ,1.如图(1)是一电路AB 的开关控制，任意闭合两个开关， 可能会使电路形成通路.另一个是c 或d 或e时, 电路才形成通路。
人教版九年级数学上册25.2 用列举法求概率(第2课时) 课件
演示结束！
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倍 速 课 时 学 练
感谢聆听！
分析：第二步应该怎样走取决于踩在哪部分遇到地雷 的概率小，只要分别计算在两区域的任一方格内踩中 地雷的概率并加以比较就可以了．
倍 速 课 时 学 练
游戏开始时，随机地踩中一 个小方格，如果这个方格 下有地雷，地雷就会爆炸； 如果没有地雷，方格上就会 出现一个标号，该标号表示 与这个方格相临的方格（绿 线部分）内有与标号相同个 数的地雷．
h
3 颗地雷．因此，踩A区域的任一方格，遇到地雷的概率是 8
（2）B区域中共有 9×9－9＝72 个小方格，其中有10－3＝7
解：（1）A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方B区域的任一方
倍 速 课 时 学 练
7 格，遇到地雷的概率是 72
倍 速 课 时 学 练
小明的棋子现在第1格，距离“汽车”所在的位置还有7格，而骰子最 大的数字为6，抛掷一次骰子不可能得到数字7，因此小明不可能一次就 得到“汽车”；只要小明和小红两人抛掷的骰子点数和为7，小红即可 得到“汽车”，因此小红下一次抛掷可能得到“汽车”；其中共有36种 的概率等于
1 等可能的情形，而点数和为7 的有6种，因此小红下一次得到“汽车” 6
由于
雷的可能性，因而第二步应该踩B区域．
3 7 8 72
，所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地
3. 如图，小明和小红正在玩一个游戏：每人先抛掷骰子，骰子朝上 的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在 轮到小明掷，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得 “汽车”吗？小红下一次抛掷可能得到“汽车”吗？她下一次得到 “汽车”的概率是多少？ 1 7 6 5 4 3 2
人教版九年级数学上册25.2用列举法求概率(第2课时)(24张ppt)
第二个盒
• (2)取出的2个球中1个白球，1个黄球
(记为事件B).
P(B)
3 6
1 2
.Leabharlann 四 拓展1.课堂小结
（1）画树状图法求概率的一般步骤是什么？ （2）相对列表法，画树状图法在列举试验所有等 可能结果方面有什么优势？
2 知识延伸
两张图片形状完全相同,把两张图片全部从中 间剪断,再把四张形状相同的小图片混合在 一起.从四张图片中随机地摸取一张，接着
教科书习题 25.2 第 4～7 题．
AB 甲
E CD
乙
HI 丙
分析：
如何能不重不漏地列出所有 可能出现的结果呢？
• ①本次试验涉及到 3 个因素，用列
表法 不能 (能或不能)列举所有可能出现的结 果.
• ②摸甲口袋的球会出现 2 种结果，
摸乙口袋的球会出现 3 种结果，摸丙口袋
的球会出现 2 种结果.
E
AB
CD
HI
甲
乙
丙
画树状图法:
思考
求概率，什么时候用“列表法”方便？什么时 候用 “树形图”方便？
一般地，当一次试验要涉及两个因素(或两个步 骤),且可能出现的结果数目较多时,可用“列表法”, 当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时,可 采用“树形图法”.
练习
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能 向左转或向右转．如果这三种可能性大小相等，求三辆 汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
牌，已知小武以每次取一张且取后不放回 的方式,先后取出2张牌,组成一个二位数,取 出第1张牌的号码为十位数,第2张牌的号码 为个位数,若先后取出2张牌组成二位数的每 一种结果发生的机会都相同,则组成的二位 数为6的倍数的概率为( A )
人教版九年级数学 25.2 用列举法求概率(学习、上课课件)
班级恰好都抽到种花的概率是( D )
A.13
B.23
C.16
D.19
感悟新知
知2－练
2-2.[中考·衢州] 飞往成都每天有2趟航班.小赵和小黄同一 天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班， 1 则他们选择同一航班的概率等于___2___ .
感悟新知
知2－练
例3 [中考·吉林] 2023 年6 月4 日，神舟十五号载人飞船返 回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航 天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定， 现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、 邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C， 卡片除正面姓名不同外，其余均相同.
感悟新知
知2－练
三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一 张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后 乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或 列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是 同一位航天员的概率.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣放回两次操作相同，不放回两次操 作不相同，反映在表格中的实质就是舍不舍去表格 中一条对角线上的所有结果来求概率.
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
枚举法(直接列举法) 列表法 画树状图法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 枚举法（直接列举法）
知1－讲
1.定义 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个， 且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列，
人教版初中数学九年级上册 用列举法求概率(第2课时) 课件PPT
1
；
27
（2）P（两车向右，一车向左）=
1
;
9
（3）P（至少两车向左）＝
7
27
、
13
新课讲解
例2 小刚、小军、小丽三人参加课外兴趣小组，他们都计划从航模小
组、科技小组、美术小组中选择一个、
(1)求三人选择同一个兴趣小组的概率；
(2)求三人都选择不同兴趣小组的概率、
14
第 二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 树状图法
1
学习目标
1
用列举法（画树状图法）求事件的概率（重点）、
2
进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能、
2
新课导入
知识回顾
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并
且它们 发生的可能性相等 ,事件A包含其中的 m 种
m
n
结果，那么事件A发生的概率P（A）=
即
A A
C C
H I
A A
D D
H I
A
E
H
A B B B B B B
E C C D D E E
I H I H I H I
这些结果的可能性相等、
有 2 个元音字母的结果有4 种, 即ACI, ADI, AEH, BEI,
所以P（2 个元音）=
= 、
8
新课讲解
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 12种，
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10、
19
随堂训练
解：根据题意，画出树状图如下
第一个数字
人教版九年级上(实用型)：25.2 用列举法求概率(第2课时)
概率是多少？（11取A=1，J=11，Q=12，K=13）
（1）一张“10”和一张“K” （2）一张“5”和一张“Q”161 （3）一张“2”和一张“k1”0
11
例题
【例1】甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D 和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I. 从3个口袋中各随机地取出1个小球. （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概 率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
类型的概率是多少？
A
B
C
A AA
ABБайду номын сангаас
AC
B BA
BB
BC
C CA
CB
CC
【解析】列表如上，根据上表可知事件的所有可能情况共 有9种，表演的节目不是同一类型的情况有6种，所以小明 表演的节目不是同一类型的概率是： 6 2
【解析】设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则
A1
A2
B1
B2
A2 B1 B2 A1 B1 B2 A1 A1 B2 A1 A2 B1 所以穿相同一双袜子的概率为 4 1
12 3
例题
【例2】同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2.
满 则足P三（个三全个部元为音元）音字 1母42的结13 果有1个，
（2）满足全是辅音字母的结果有2个， 则 P（三个辅音） 1
12
2 1 12 6
跟踪训练
小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放 在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小 明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？
人教版九年级上25.2 用列举法求概率(2)PPT教学课件
5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完
全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两
个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止
后所指数字较大的一1 方为获胜者，负者则表
演一个节目（若箭头恰好停留在分界线4 上，
8
7
则重转一次）。作6为游戏者，你会选5 择哪个
装置呢？并请说明理由。 A
2020/12/09
图2 联欢晚会游戏转盘
2020/12/09
7
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
8
所得结果没有影响。
21~6的整数,随机的抽取一张后放 回,再随机的抽取一张,那么,第 一次取出的数字能够整除第2次 取出的数字的概率是多少?
问：我们以前做的题目可以用列表法吗？
2020/12/09
6
练习2：一天晚上小伟帮助妈妈 清洗两个只有颜色不同的有盖 茶杯，此时突然停电了，小伟 只好把杯盖和茶杯随即地搭配 在一起，求颜色搭配正确和颜 色搭配错误的概率各是多少？ （P153第4题）
25.2. 用列举法求概率（2）
2020/12/09
Waiyuxuexiao
Liudeguang
1
2006.10.17
复习引入
等可能性事件（古典概形）的两个特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率-------列举法
2020/12/09
2
复习：
已知一纸箱中装有5个只有颜色不 同的球，其中2个白球，3个红球。
B
4
例1、同时掷两个质地均匀的骰子,计算 下列事件的概率: (1)两个骰子的点数相同 (2)两个骰子点数之和是9 (3)至少有一个骰子的点数为2
人教版九年级上 25.2用列举法求概率(2)(15张ppt)
(1)点数为2； (2)点数为奇数； (3)点数大于2小于5.
解：（1）点数为2有1种可能，因此P（点数为2）= 1 ； 6
（2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5， 因此P（点数为奇数）= 1 ；
2
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4， 因此 P（点数大于2且小于5）= 1 .
解：一共有7种等可能的结果.
（1）指向红色有3种结果， P(指向红色)=__73___；
（2）指向红色或黄色一共有5种
5
等可能的结果，P( 指向红或黄）=__7___; （3）不指向红色有4种等可能的结果
4
P( 不指向红色）= ___7___.
例4、同时掷两个质地均匀的骰子,计算 下列事件的概率: (1)两个骰子的点数相同 (2)两个骰子点数之和是9 (3)至少有一个骰子的点数为2
（2）如果随机取出一个球是白球的概 率为1/6，则应往纸箱内加放几个红 球？
2. 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了
以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别
被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字
分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，
7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相
同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转
• 25.2. 用列举法求概率（2）
学习目标
1.理解一个事件概率的意义. 2.会在具体情境中求出一个事件的概率.（重点） 3.会进行简单的概率计算及应用.（难点）
复习引入
等可能性事件（古典概形）的两个特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率-------列举法
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基础知识：
当等可能事件发生的结果是有限的，且数量较多时，或实验的因素（步骤）较复杂时，一般用列表法或画树状图来列举所有可能发生的结果，能较好地避免重复或遗漏现象。
当一次实验中涉及3个或3个以上的因素（步骤）时，一般用画树状图的方式解决。
二、重难点分析
本课教学重点：学会运用列表法或树状图法计算事件的概率。
本课教学难点：能根据不同情况选择适当的方法进行列举，解决教复杂事件概率的计算问题。
通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
典型例题分析
例1、同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x上的概率为（）
A. B. C. D.
三、感悟中考
1、（2014•成都）第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
2、（2014年.山东泰安）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A． B．C．D．
四、专项训练。
（一）基础练习
1、有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A． B． C． D．
在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（）
A. B. C. D.
一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是 ( ) A. B. C. D.
（二）提升练习
1、(2014年.山东省滨州市)在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸取方法分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号．
（1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．
（2014•无锡）三个小球分别标有﹣2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀．
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数，求两次记下之数的和大于0的概率.（请用“画树状图”
或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）.
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次．若记下的13个数之和等于﹣4，平方和等于14．求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数。