2012年广东高考文科数学答案解析
2012年广东省高考文科数学试题参考答案+试卷分析
2012年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34i i+=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D. 43i - 解：分子分母同乘以-i ，得D 选项为正确选项 2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð= A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U 解：A3.若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 解：AC=AB+BC=（4，6），选A 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e =2.l n 1D y x =+ 解：A 、B 为奇函数，C 非奇非偶函数，所以选D 分析：前4题难度不大，属于基础考察。
5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为 6.A ．3 B.1 C.-5 D.-6 解：画出可行域可知，当x=-1，y=-2时Z 有最小值为-5，选C 6.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC=32，则AC= A ．43 B 23 C.3 D32解：BC=a ，AC=b ，用正弦定理解得b=asinB/sinA=3√2*(√2/2)/(√3/2)=2√3，选B 7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π解：上半部分为半圆，下半部分为圆锥，选C8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．33 B23 C 3 D 1 解：因为弦心距为1d =,所以弦AB 的长等于24123-=，选B 9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 解：选C分析：第56789题是中等难度的题型，计算量比前4题稍大 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52 B ．32 C ．1 D ．12解：a b =a ﹒b/b ﹒b=|a||b|cos θ/|b|^2=|a|cos θ/|b|b 。
2012广东高考文科数学试题和答案精美word版(全部是自己一点点输入的)
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。
锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一组数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的标准差s = 其中x 表示这组数据的平均数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2．设集合U ={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,5}，则U M =ðA ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U 3．若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =A ．(4,6)B ．(4,6)--C ．(2,2)--D ．(2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．y =3x C ．y =xe D ．y =5．已知变量,x y 满足约束条件1110x y x y x +≤-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D ．6- 6．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC＝AC ＝ A． B． CD7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．1 9．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ．若两个非零的平面向量,a b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则=a bA ．52 B ．32 C ．1 D ．12图1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13题） 11．函数y =_______________． 12．若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a =______________． 13．由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_______________．（从小到大排列）（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,0)2πθ≤≤和12(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)，则曲线1C 与2C 的交点坐标为__________．15、（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于 点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA ，若AD m =，AC n =， 则AB =_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布 直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)， [60,70) ,[70,80), [80,90) ,[90,100] ． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语 文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD =AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF =12AB ，PH 为△PAD 边上的高。
2012高考广东文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)本试卷21小题，满分150分，考试用时120分钟．参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．球的体积公式V ＝43πR 3，其中R 为球的半径．一组数据x 1，x 2，…，x n的标准差s =，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+=( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则U M ＝()A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量AB＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则A C ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2) 4．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e x D．y =5．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC =AC ＝( )A．B．C D．27．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A．B．C D．19．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105 B．16 C．15 D．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π4，π2)，且a∘b和b∘a都在集合{2n|n∈Z}中，则a∘b＝()A．52B．32C．1 D．12二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)11．函数yx=的定义域为__________．12．若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则2135a a a=__________.13．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14． (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数，0≤θ≤π2)和1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数f (x )＝A cos(π46x +)，x ∈R，且π()3f =.(1)求A 的值； (2)设α，β∈[0，π2]，430(4π)317f α+=-，28(4π)35f β-=，求cos(α＋β)的值．17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.18E 是PB的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD =FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB ．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．21．设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B ． (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．1． D2234i (34i)i3i 4i ii ii++⨯+==⨯＝－(3i －4)＝4－3i.2．C ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}， ∴U M ＝{3,5,6}．3． A A C ＝AB＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．4． D ∵函数()f x =R 且f (－x )＝=＝f (x )，∴f (x )是偶函数．5． C 由约束条件作出可行域如图所示，当z ＝x ＋2y 过点A 时z 取得最小值，联立方程组10,1,x x y +=⎧⎨-=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=-⎩∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5.6． B 由正弦定理得sin sin B C A C AB=，即sin 60sin 45AC =︒︒，解得AC =7． C 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体，∴其体积V ＝14π23⨯×33＋1π3×32×4＝30π.8． B 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. 所以圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离为1d ==，故弦AB 的长为==.9． C i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15. 10． D 由定义可知2cos cos θθ⋅⋅⋅===⋅⋅ a b a a b a b b b bb.2cos cos θθ⋅⋅===⋅⋅ b a b b a b a a aaa.∵a ∘b ，b ∘a ∈{2n |n ∈Z }．设a ∘b ＝2m ，b ∘a ＝2n (m ，n ∈Z )，则cos 2m θ⋅=a b，cos 2n θ⋅=b a，两式相乘，得cos 2θ＝4m n .又∵θ∈(π4，π2)，∴cos θ∈(0，2)，故cos 2θ∈(0，12)，即1042m n <<.∴0＜mn ＜2， 又∵m ，n ∈Z ， ∴m ＝n ＝1. ∴a ∘b ＝122m =.11． [－1,0)∪(0，＋∞)要使函数y x=有意义须10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩即1,0,x x ≥-⎧⎨≠⎩∴定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 12．答案：14解析：由等比数列的性质得a 2·a 4＝a 1·a 5＝2312a =，∴21351··4a a a =.13．答案：1,1,3,3解析：设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则123424x x x x +++=，2322x x +=，∴x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.∵x 1，x 2，x 3，x 4∈N ＋， ∴12341,1,3,3,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12342,2,2,2,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12341223x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩又∵标准差为1，∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.14．答案：(2,1)解析：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且00x y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立得225,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩15．解析：∵直线PB 与圆O 相切于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB又∵∠PBA ＝∠DBA ∴∠ACB ＝∠DBA 又∵∠BAD ＝∠BAC ∴△ABD ∽△ACB ∴A B A D A CA B=，即AB 2＝AC ·AD ＝nm ，∴AB =16．解：(1)由π()3f =得ππcos()126A +=，故A ＝2. (2)∵3017-＝f (4α＋43π)＝14ππ2cos[(4)]436α++＝2cos(α＋π2)＝－2sin α， 85＝f (4β－23π)＝12ππ2cos[(4)]2cos 436ββ-+=，∴15sin 17α=，4cos 5β=.∵α，β∈[0，π2]，∴8cos 17α===，3sin 5β===.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝841531317517585⨯-⨯=-.17．解：(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1.所以a ＝0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：18．解：(1)由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH ．又因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 故AD ⊥PH ．∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD．∴PH⊥平面ABCD．(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝12PH＝12．又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，故S△BFC＝12·CF·AD＝1122⋅因此V E－BCF＝12S△BCF·h＝11=32212⋅⋅．(3)证明：过E作EB∥AB交P A于G，连接DG．由于E为PB的中点，所以G为P A的中点，因为DA＝DP，故△DP A为等腰三角形，所以DG⊥PA．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面P AD，∴AB⊥DG．又∵AB∩P A＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB．又∵GE12AB，DF12AB，∴GE DF．所以四边形DFEG为平行四边形．故DG∥EF，于是EF⊥平面PAB．19．解：(1)由题意有S1＝T1＝2S1－1．故a1＝2a1－1．于是a1＝1．(2)由T n＝2S n－n2得T n－1＝2S n－1－(n－1)2，n≥2．从而S n＝T n－T n－1＝2a n－(2n－1)，n≥2．由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有S n＝2a n－(2n－1)，①因此S n－1＝2a n－1－(2n－3)，n≥2．②①－②得a n＝2(a n－a n－1)－2，n≥2．于是a n＝2a n－1＋2，故a n＋2＝2(a n－1＋2)，n≥2．∵a1＋2＝3，∴{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝3·2n－1－2．20．解：(1)由C1的左焦点F1的坐标为(－1,0)知c＝1，因为点P(0,1)在C1上，所以b＝1，于是a故C1的方程为22+=12xy．(2)由题设l同时与C1和C2相切，设切点分别为A和B，点B的坐标为(x0，y0)，显然x0＞0．当点B在第一象限时，点B的坐标为(x0,，考虑抛物线C 2在第一象限的方程y x ＞0．因为1'=y ，所以ll的方程为：=y由假设直线l 与椭圆C 1相切，因此方程组22==1 2y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩①② 有唯一解，将①代入②并整理得：(x 0＋2)x 2＋4x 0x ＋2x 0(x 0－1)＝0，所以∆＝2016x －8(x 0＋2)x 0(x 0－1)＝－8x 0(x 0＋1)(x 0－2)＝0． 因为x 0＞0，所以x 0＝2． 当x 0＝2时，直线l的方程为：=2y x +易验证l 是C 1的切线．由对称性，当切点B 在第四象限时，可得l的方程为：2y x =--综上所述，同时与C 1和C 2相切的直线方程为：2y x =+2y x =--．21． (1)解：2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0，∆＝［－3(1＋a )］2－4×2×6a ＝9(a 2＋2a ＋1)－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3) ∵0＜a ＜1 ①当a ∈(13，1)时，∆＜0，此时不等式的解集为R ，∴B ＝R ，D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． ②当1=3a 时，∆＝0，此时不等式的解集为{x |x ≠1}，∴B ＝{x |x ≠1}，D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1＋，∞)． ③当a ∈(0，13)时，∆＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两根为1,2=224x ⨯∴不等式的解为<4x 或>4x∴B ＝{x |<4x >4x ．又∵［3(a ＋1)2］＝9a 2＋18a ＋9＞9a 2－30a ＋94∴D ＝A ∩B ＝(04)∪4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2×3x 2－3(1＋a )×2x ＋6a＝6［x 2－(a ＋1)x ＋a ］ ＝6(x －a )(x －1) 又∵a ∈(0,1)∴当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ∴f (x )的极大值点为a ，极小值为1． 由(1)可知，当a ∈(13，1)时，D ＝(0，＋∞)此时f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a ，极小值点1． 当1=3a 时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)，此时f (x )在D 内只有一个极大值点a ．当a ∈(0，13)时，D ＝(04)∪4，＋∞)．与a 的大小．4a即：3－a 两边平方得：a －6a ＋9＞9a －30a ＋9 即8a 2－24a ＜0 也就是8a (a －3)＜0 ∵10<<3a ，∴4a ．又∵1＜a ＋1＜43∴33(1)<<144a +4．4与1的大小，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司43a -两边平方得：9a －30a ＋9＜9a 2－6a ＋1 即：24a ＞8 解得1>3a这与已知a ∈(0，13)不符．4恒成立． 所以，当a ∈(0，13)时，f (x )在区间D 内只有一个极大值点a ． 综上，当a ∈(13，1)时，f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a 和极小值点1． 当a ∈(0，13］，f (x )在D 内只有一个极大值点a ．。
2012年高考文科数学广东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页）数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的体积公式34π3V R =,其中R 为球的半径.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据12,,,n x x x的标准差s = 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数3+4ii= （ ）A .43i --B .43i -+C .43i +D .43i - 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ð（ ）A .{2,4,6}B . {1,3,5}C . {1,2,4}D .U3. 若向量(1,2)AB =,(3,4)BC =,则AC = （ ）A .(4,6)B .(4,6)--C .(2,2)--D .(2,2) 4. 下列函数为偶函数的是（ ）A .sin y x =B .3y x =C .e x y =D.y =5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥,则2z x y =+的最小值为（ ）A .3B .1C .5-D .6-6. 在△ABC 中,若60A ∠=,45B ∠=,BC =,则AC = （ ）A. B. CD7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A .72πB .48πC .30πD .24π8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A. B. CD .19. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为（ ）A .105B .16C .15D .110. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角ππ()42θ∈，,且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中,则=a b（ ） A .52B .32C .1D .12二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. （一）必做题（11～13题）11.函数y =_______. 12.若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =________.13.由正整数组成的一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.（从小到大排列）（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数,π02θ≤≤）和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示,直线PB 与圆O相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()cos()46x f x A =+,x ∈R ,且π()3f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,430(4π)317f α+=-,28(4π)35f β-=,求cos()αβ+的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共33页） 数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,AB CD ∥,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为PAD △中AD 边上的高. （Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若1PH =,AD 1FC =,求三棱锥E BCF -的体积； （Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB .19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,*n ∈N . （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切,求直线l 的方程.21.（本小题满分14分）设1a ＜＜,集合{|0}A x x =∈>R ,2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.3 / 11【答案】A【解析】(1,2)AC AB BC =+=【提示】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算。
2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣66．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．110．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为．15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．2012年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：∵，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M={2，4，6}，故选A．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由，，利用能求出．解答：解：∵，，∴．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx为奇函数B：y=x3，则有f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）为奇函数，C：y=e x，则有f（﹣x）=，为非奇非偶函数．D：y=ln，则有F（﹣x）=ln=f（x）为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．点评：本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答：解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C点评：本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．1考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题9．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（0，），故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈（0，），∴cos2θ=∈（0，），故m=n=1，∴•==，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列{a n}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．解答：解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．解答：解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答：解：曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1 联立方程x=2或x=﹣1（舍去），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．解答：解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可解答：解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．解答：解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1．由T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，能求出a1．（2）当n≥2时，S n=T n﹣T n﹣1=2S n﹣n2﹣[2S n﹣1﹣（n﹣1）2]=2S n﹣2S n﹣1﹣2n+1，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1，S n+1=2S n+2n+1，故a n+1=2a n+2，所以=2（n≥2），由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2（a n+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．解答：解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：导数的综合应用；集合．分析：（1）根据题意先求不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解．（2）对函数f（x）求导可得f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），由f′（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值解答：解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△≥0，方程g（x）=0的两个根分别为，所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）综上所述，当时，D=；当时，D=（0，+∞）．（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=a或x=1，①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0 所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，x1）（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．②当时，由（1）知D=（0，+∞）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．。
2012年广东文科数学解答
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i 为虚数单位，则复数34ii +=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则UM =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A.U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC = ，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x =C. x y e =D. y =4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z=-+，则当该直线过点(1,2)A --时， z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，BC =AC =x +A.B.C.D. 26. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B =，则sin sin BC BAC A⋅===. 7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅ αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 且 a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则= a b A. 52 B. 32 C. 1 D. 12图2图1正视图 俯视图侧视图10. D.=⋅⋅ a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a bb，同理有cos θ=b b a aa b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数，取3πθ=，则a b 和b a 是整数，则1==ab ba，则= a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题）11.函数y =的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞ . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y =的定义域为[)()1,00,-+∞ .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a == 13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==，即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤ 则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤，曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB， AB ADAC AB =，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值. 16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A =（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β==所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)， 图3PABCDOPABCH FED [70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成 绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ） 与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求 数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） （3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯= 数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F是CD 上的点且12DFAB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD 1FC =，求三棱 锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ， 所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为AB AD A = 所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH 因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E B CF B C FV S E G F C A D E G-∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF=所以四边形MEDF 是平行四边形PABCH F E DGM所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥ 因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥ 因为PA AB A = 所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PAB19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+ 所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ②②-①得122n n a a +=+所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥ 求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b =，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为2y x =2y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = . （1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++ 229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1334a x +=，2334a x ++=所以()0g x >的解集为()-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B ==)+∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D=3333(0,()44a a +++∞ ； 当113a <<时，D =(0,)+∞（2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。
2012年广东高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：1、球的体积公式34π3V R =，其中，R 为球的半径； 2、锥体体积公式13V sh =，其中s 为底面积，h 为高；3、一组数据1234n x x x x x ，，，，，的标准差；s =，其中x 是这组数据的平均数． 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．设i 是虚数单位．则复数34ii+= （ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，根据2i 1-=对其进行化简. 【参考答案】D 【试题解析】34i (34i)(i)43i i i (i)++⨯-==-⨯-． 2．设集合{123456}U =，，，，，，{135}M =，，．则U M =ð （ ） A ．{246}，， B ．{135}，， C ．{124}，， D ． U 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】A【试题解析】U 中除M 以外的元素所构成的集合.3．向量(12)AB = ，，向量(34)BC =，，则AC = （ ） A ．(46)，B ．(46)--，C ．(22)--，D ．(22)， 【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算. 【参考答案】A【试题解析】(12)(34)(46)AC AB BC =+=+=，，，．4．下列函数是偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x = C ．e xy = D ．y = 【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】根据12,x x x x ==-时12,y y 之间的关系进行判断.若12y y =，则为偶函数；若12y y =-，则为奇函数；否则既不是奇函数，也不是偶函数. 【参考答案】D【试题解析】选项A 、B 为奇函数，选项C 既不是奇函数，也不是偶函数．5．已知变量不等式组的解法.满足约束条件1110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩，，，………则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一组不等式，利用图象法求出z 的最小值. 【参考答案】C【试题解析】在平面直角坐标系中画出不等式范围图象，再画出直线22x zy -=+，求出z 2x y =+的最小值5-. （步骤1）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+，可化为直线1122y x z =-+， （步骤2） 第5题图则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值， （步骤3）min 12(2)5z =-+⨯-=-. （步骤4）6．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =则AC = （ ）A．．【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出两角一边，利用正弦定理求出另一边. 【参考答案】B【试题解析】根据正弦定理：sin sin BC ACA B=，得sin sin 45sin sin 60BC B AC A ⋅===第7题 7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ） A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【参考答案】C【试题解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积23114π34π330π323V V V =+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体．8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，则弦A B 的长等于 （ ）A ．．．1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求弦长AB . 【参考答案】B【试题解析】∵圆心(00)，到直线3450x y +-=的距离为1d ==，∴AB ===9．执行如图所示程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 第9题图 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．1 【测量目标】流程图.【考查方式】给出程序框图，输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】13515s =⨯⨯=． 10．对任意两个非零平面向量α和β，定义∙=∙αβαβββ．若两个非零平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角ππ(,)42θ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b = （ ）A ．52 B ．32 C ．1 D ．12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出两平面向量之间的关系，求值. 【参考答案】D 【试题解析】2cos cos θθ⋅∙==∙a b a a b a b =b b b b， 2cos cos θθ⋅∙==∙b a b b a b a =a a a a， a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取π3θ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则= a b 12． 二、填空题：本大题共5小题，考生答4小题，每小题5分，满分20分．11．函数y x=的定义域为 ． 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由分母定义和根式定义求出其定义域. 【参考答案】[1,0)(0,)-+∞【试题解析】10100x x x x +⎧⇒-≠⎨≠⎩且……，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞ ． 12．等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = ． 【测量目标】等比数列.【考查方式】由等比数列的性质求解. 【参考答案】14【试题解析】224312a a a ==，则24135314a a a a ==． 13．由正整数组成的一组数据1234x x x x ，，，，其平均数和中位数都是2，且标准差为1，则这组数据为 ．（从小到大排列）【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出样本数字特征，进而求解总体数字. 【参考答案】1,1,3,3 【试题解析】不妨设1234x x x x 剟?，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s =， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，∴43x …，则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，（θ为参数，π02θ剟）和=1=2x y ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，，（t为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ． 【测量目标】参数方程与普通方程的互化.【考查方式】将曲线的参数方程转化为普通方程，求其交点坐标. 【参考答案】(2,1)【试题解析】由x y θθ⎧⎪⇒⎨⎪⎩曲线1C 的方程为225x y +=（0x剟），由=12=x y ⎧-⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩曲线2C的方程为1y x =-，2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，直线PB 与圆O 相切于B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若AD m =，AC n =，则=AB . 【测量目标】圆的切线的判定与性质定理.【考查方式】由线、圆相切关系，求圆内切三角形的边长AB .【试题解析】∵直线PB 与圆O 相切于B ，∴PBA ACB ∠=∠，（步骤1） 第15题图 ∵PBA DBA ∠=∠，∴ACB DBA ∠=∠， （步骤2） ∵BAD CAB ∠=∠，∴ABD △∽ACB △， （步骤3） ∴AD AB AB AC=，∴2AB AD AC mn =⋅=， （步骤4）∴AB =．（步骤5）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数π()cos()46xf x A =+，x ∈R，且π()3f = （1）求A 的值；（2）设α，π[0]2β∈，，4π30(4)317f α+=-，2π8(4)35f β-=，求cos()αβ+的值． 【测量目标】三角函数、三角恒等变换. 【考查方式】由函数解析式，直接求解.【试题解析】（1）∵ππππ()cos()cos 312642f A A A =+===2A =．（步骤1） （2）由（1）知π()2cos()46x f x =+∵4ππ30(4)2cos()2sin 3217f ααα+=+=-=-，∴15sin 17α=，（步骤2） ∵2π8(4)2cos 35f ββ-==，∴4cos 5β=，（步骤3） ∵ π[0]2αβ,∈，，∴8cos 17α==，3sin 5β==，（步骤4）∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-841531317517585=⨯-⨯=-．（步骤5）17．（本题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】由频率分布直方图，求未知数a 的值，样本数据的平均数及某一样本数据. 【试题解析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积之和等于1， ∴(0.020.030.04)101a a ++++⨯=，∴0.005a =．（步骤1） （2）∵在区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的概率分别为0.05，0.4，0.3，0.2，0.05． ∴这100名学生语文成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤2）（3）∵语文成绩在这些分数段的人数人别为5,40,30,20,5,∴数学成绩在前四段分数段的人数人别为5,20,40,25,(步骤3) ∴数学成绩在[50,90)之外的人数为10人．（步骤4）18．（本题满分13分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC上的点，且12DF AB =，PH 为PAD △中AD 边上的高． （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ．【测量目标】点、线、面之间的位置关系，三棱锥的体积.【考查方式】给出线面垂直，线线平行，线线相等，线线成比例等关系，线段长度，求证线面垂直，三棱锥的体积.【试题解析】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 第18题图第18题图 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n n =-∈*N ，． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【测量目标】数列的通项公式与前n 项和.【考查方式】由前n 项和的等式关系，直接求解. 【试题解析】（1）当1n =时，21121T S =-，∵111a S T ==，∴21121a a =-，∴11a =， （步骤1） (2)当2n …时，2211(22(1)]n n n n n S T T S n S n --=-=---)-[12()21n n S S n -=--+221n a n =-+， （步骤2）∵当n ≤2时，11(22122(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+)-[ （步骤3）∴122n n a a -=+， （步骤4） ∴122(2)n n a a -+=+， （步骤5）∴数列{2}n a +是以123a +=为首项，2为公比的等比数列， （步骤6） ∴1232n n a -+=⋅，∴1322n n a -=⋅-， （步骤7） ∵1111322a -==⋅-，∴1322n n a -=⋅-，n ∈*N ． （步骤8）20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(10)F -，，且点(01)P ，在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系.【考查方式】由椭圆的焦点坐标及点P 直接解得椭圆标准方程，直线方程分别与椭圆方程、抛物线方程联立，求解.【试题解析】（1）∵椭圆1C 的左焦点1(10)F -，，∴1c =， （步骤1） ∵点(01)P ，在1C 上，∴2222011a b+=，∴1b =， （步骤2） ∴2222a b c =+=， （步骤3）∴椭圆1C 的方程为2212x y +=． （步骤4）（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， （步骤5） ∵直线l 与椭圆1C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=， （步骤6） 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=， （步骤7） ∵直线l 与抛物线2C 相切，∴222(24)40km k m ∆=--= （步骤8） 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （步骤9） ∴直线l的方程为y x =或y x =（步骤10）21．（本题满分14分）设01a <<，集合{}0A x x =∈>R ，2{23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = ．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【测量目标】集合的基本运算，函数的极值点.【考查方式】给出两集合，利用图象法求其交集，并求在此区间内某已知函数的极值点. 【试题解析】（1）方程223(1)60x a x a -++=， ∵229(1)489309a a a a ∆=+-=-+23(3103)3(31)(3)a a a a =-+=--，又01a << ， ∴当103a <…时，0∆…， （步骤1）∴223(1)60x a x a -++=有两个根1x =，2x =， （步骤2）∴3(1)3(1)(,()44a a B ++=-∞+∞ （步骤3）∴3(1)(0,4a D A B +==3(1)()4a ++∞ ，（步骤4） ∴当113a <<时，0∆<， （步骤5） ∴223(1)60x a x a -++>一定成立， （步骤6）∴ (,)B =-∞+∞， （步骤7）∴ (0,)D A B ==+∞ ． （步骤8）∴当103a <…时，D=)+∞ ；（步骤9） 当113a <<时，(0,)D =+∞． （步骤10） （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =， （步骤11）① 当103a <…时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ （步骤12） ∵3222()23(1)6(3)0f a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310f a a a =-++=-…∴1201a x x <<<…， （步骤13） ∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤14）∴()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点； （步骤15）② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤16） ∴()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =； （步骤17） 综上所述，当103a <…时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =． （步骤18）。
2012年广东省高考数学试题(文科)-标准答案和解析
绝密★启用前 试卷类型：B２012年普通高等学校招生全国统一试卷(广东卷）数学(文科）本试题共4页，２1小题,满分1５0分,考试用时12０分钟。
注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用２B 铅笔将试卷类型(A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
４．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径. 锥体体积公式13V Sh =,其中Ｓ为锥体的底面积，ｈ为锥体的高． 一组数据12,,,n x x x 的标准差()++-n s x x =， 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共１0小题，每小题5分，满分５０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数3+4i i= A.43i -- B ．43i -+ Ｃ.43i + ﻩ D.43i -2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U C M =A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U3．若向量()1,2AB =，向量()3,4BC =,则AC =Ａ.(4,6) B ．(4,6)-- C ．(2,2)-- D ．(2,2)４．下列函数为偶函数的是A.sin y x =B.3y x = C ．xy e = D ．2+1y x =５.已知变量,x y 满足约束条件11+10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值为A ．3B ．１C ．5- D.6-6．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =，则AC =Ａ.3 B.3 3ﻩ 37．某几何体的三视图如图１所示,它的体积为Ａ.72π B.48π C ．30π D ．24π8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦 AB 的长等于A ．33 B.23 3 D.19．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为６，则输出s 的值为A ．105 Ｂ.１6 C.15D ．1１0.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若两个非零的平面向量,a b 满足 图2 图1。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,n x x x 的标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ， 其中x 表示这组数据的平均数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+=( )()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3()D i 4-3【解析】选D 依题意：234(34)43i i ii i i ++==- 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U【解析】选A U C M ={,,}2463. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==；则AC = ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22【解析】选A (4,6)A C A B B C =+= 4. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D ln y x 2=+1【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，xy e =是非奇非偶函数5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-【解析】选C 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C --- 则2[5,3]z x y =+∈- 6. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A 43 ()B 23 ()C 3 ()D 32【解析】选B 由正弦定理得：3223sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔= 7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为3222141335330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-=8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点， 则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 1【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -== 弦AB 的长22223AB r d =-=9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 1【解析】选Cs 1 1 315 i 1 35 78. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ= ；若两个非零的平面向量,a b 满足，a 与b 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b = ( )()A 12()B 1 ()C 32()D 52【解析】选A21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
(一）必做题（11-13题） 9. 函数1x y x+=的定义域为_________ 【解析】定义域为______[1,0)(0,)-+∞1x y x +=中的x 满足：10100x x x +≥⎧⇔-≤<⎨≠⎩或0x >10. 等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a =_____【解析】2135a a a =_____142242431353111,224a a a a a a a =⇔===11. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1， 则这组数据为__________。
（从小到大排列） 【解析】这组数据为_________1,1,3,3不妨设1234x x x x ≤≤≤得：231234144,84x x x x x x x x +=+++=⇒+=2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2i s x x x x x =⇔-+-+-+-=⇒-=①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意 ②只能取21i x -=；得：这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为25cos :(5sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数，02πθ≤≤）和2212:(22x t C t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.【解析】它们的交点坐标为_______(2,1)2212:5(,0),:1C x y x y C y x +=≥=- 解得：交点坐标为(2,1)15.(几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 想切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则AB =_______。
【解析】AB =_______mn,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB ∠=∠=∠∠=∠⇒∆∆ 得：2AB ADAB AC AD mn AB mn AC AB=⇔=⨯=⇔=三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分12分)已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()23f π=。
（1）求A 的值； （2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值 【解析】（1）()2cos2234f A A ππ=⇔=⇔=（2）43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 2843(4)cos ,sin 3555f πβββ-=⇔== 4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17. (本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是： [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。
【解析】（1）(20.020.030.04)1010.005a a +++⨯=⇔=（2）平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）数学成绩在[50,90)内的人数为145(0.0050.040.030.02)1010090234+⨯+⨯+⨯⨯⨯=人 数学成绩在[50,90)外的人数为1009010-=人 答：（1）0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为73 （3）数学成绩在[50,90)外的人数为10人。
18.(本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1,2,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ． 【解析】（1）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥ 又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥ 面ABCD（2）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH == 三棱锥E BCF -的体积111112123326212BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=（3）取PA 的中点为G ，连接,DG EGPD AD DG PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB点,E G 是棱,PB PA 的中点11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒得：EF ⊥平面PAB19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。
【解析】（1）在2*2n n T S n n N =-∈，中，令1111211n a a a =⇒=-⇔= （2）221122(1)n n n n T S n T S n ++=-=-+，，相减得：12(21)n n S S n +=++ 12(21)n n S S n +=++，212(23)n n S S n ++=++，相减得：2122n n a a ++=+ 12121234a S S a =⇒=+⇔=，得122n n a a +=+ 112222(2)n n n n a a a a ++=+⇔+=+得：数列{2}n a +是以123a +=为首项，公比为2的等比数列 11232322n n n n a a --+=⨯⇔=⨯- 20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(10)F -，， 且在(01)P ，在1C 上。
（1）求1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程 【解析】（1）由题意得：221,12,1b c a b a b c ==-=⇔===故椭圆1C 的方程为：2212x y +=（2）①设直线:l x m =，直线l 与椭圆1C 相切2m ⇔=± 直线与抛物线22:4C y x =相切0m ⇔=，得：m 不存在 ②设直线:l y kx m =+直线l 与椭圆1C 相切222(12)4220k x kmx m ⇔+++-=两根相等 221021m k ⇔∆=⇔=+直线与抛物线22:4C y x =相切2222(2)0k x km x m ⇔+-+=两根相等201km ⇔∆=⇔= 解得：2,22k m ==或22,2:(2)22k m l y x =-=-⇒=±+21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B = 。