常系数齐次线性微分方程
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
本文探讨了一阶常系数线性齐次微分方程组的求解方法，以此为基础探讨了许多有关如何解决这一类问题的理论概念与实际应用等。
：
一阶常系数线性齐次微分方程组是指形如$ax^{'}+bx=0$（$a,b$为常数）的无限维微分方程组，它的解可以用下面求解过程求得：
（1）当$a=0$时，
若$b\neq 0$，则原方程有唯一解，为$x(t)= \frac{C}{b}$；
若$b=0$，则原方程有无穷多解，为$x(t)=C$，其中$C$为任意常数；
（2）当$a\neq 0$时，
原方程有唯一解，为$x(t)=e^{-\frac{b}{a}t}C$，其中$C$为任意常数。
因此，一阶常系数线性齐次微分方程组的解存在唯一解或者无穷多解，
具体视系数而定。
要求解这类微分方程组，我们要简化原方程，一般可以先将原方程分拆成$ax^{'}=f(t)-bx$的形式，然后再用积分因子$u=e^{\int{-\frac{b}{a}}dt}$解之，最后求得它的解即可。
二阶常系数线性齐次微分方程
因为 erx 0 ，因此r应满足 r2 pr q 0
即当r是代数方程 r2 pr q 0 的根时，y erx 就是齐 次方程y″+py ′+qy=0的解。因此，我们称方程 r2 pr q 0 是方程y″+py ′+qy=0的特征方程，特征方程的根称为特征根.
由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成 比例的两个特解y1，y2。根据方程的特点，可以看出方程中 的y, y′, y″ 应具有相同的形式，而指数函数正是具有这种特 点的函数。 因此，设 y erx （r为待定常数）是方程的解。 为此，求出 y erx , y' rerx , y'' r 2erx 并代入方程得
高等数学
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多，特 别是在电学、力学中遇到的机会更多。下面看一个实际问 题。
引例 质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点， 已知作用力与质点到中心点的距离成正比（比例系数为4）； 外界阻力与运动速度成正比（比例系数为3）．运动开始时， 质点距中心点1厘米，速度为0．求质点的运动规律．
微分方程y″+py′+qy =0通解 y C1er1x C2er2x
y C1 C2 x erx y ex C1 cos x C2 sin x
综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下: (1)写出微分方程的特征方程r2 +pr+q=0; (2)求出特征根r1,r2; (3)按表所示写出微分方程的通解;
解（2） 对应的特征方程为
特征根为
r2 2r 1 0
所以通解为
r1 r2 1 y (C1 C2 x)ex
二阶常系数齐次线性微分方程解法
二阶常系数齐次线性微分方程解法简谈二阶常系数齐次线性微分方程解法作为一种常见的数学形式，二阶常系数齐次线性微分方程在许多应用场景和互联网环境中产生不可磨灭的影响。
下文将阐明了二阶常系数齐次线性微分方程，并且阐述其解法的若干核心要素。
如前所述，二阶常系数齐次线性微分方程是一种研究应用于许多领域的常用数学形式。
它具有一般形式\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx}+qy = 0\end{align}。
其中，常数P和Q称为系数，取决于系统。
如果存在某种参数让P和Q都为0，那么上述问题将成为一元高次线性微分方程。
在数分课程研习中，这种方程的解方法可用拉普拉斯变换法求解，然后把结果还原回原变量。
该方程的解可以通过拉普拉斯变换法：在研究通用解阶段，求解变换后形式\begin{align}w'(x) + pw(x) + q = 0\end{align} for W(x) 的解，以及\begin{align}m^2-pq\end{align} 求取通解中的系数M，并将结果还原为\begin{align}y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx} \end{align}。
此外，用于求解非齐次方程的某些技术是很有用的，如变分法和Cauchy-Lipschitz条件，这也适用于具有二阶常系数齐次线性微分方程的研究。
变分法的原理是把要求解的问题变为另一个数学问题，该问题的解存在一系列参数。
而Cauchy-Lipschitz条件是一种定义给定解的条件，考虑这些条件会解决很多问题。
从以上内容可以看出，二阶常系数齐次线性微分方程的解法有许多可用方法，其中最流行的方法包括拉普拉斯变换法、变分法和Cauchy-Lipschitz条件。
这些方法在许多不同的领域中，尤其是互联网领域中得以发挥重要作用，具有很强的针对性和可行性，为数学研究提供了有效的支撑。
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
r1
(二重根） 二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写 出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程 解 特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解 特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解， 虽是该方程的解，却不是通解。 却不是通解。因为上面的函数中 虽形式上包含两个任意常数， 虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
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常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分方程是研究微分方程的一个重要类别。
它是指形如dy/dx=f(x)或者F(x,y,yy...,y^(n))=0，其中f(x)和
F(x,y,yy...,y^(n))是x的多项式函数，或者更一般地说，是某个定义域内的可积函数。
研究常系数齐次线性微分方程的方法有很多，包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换、幂级数解法等．
首先，我们来讨论拉格朗日求解法。
拉格朗日求解法是针对常系数齐次线性微分方程的一种可行的解法，它将常系数齐次线性微分方程转换为一个特殊方程组，每个方程组的近似解就是线性微分方程的普遍解，也就是解析解。
解析解可以提供常系数线性微分方程的有界性、有效性及其它特性的结论。
其次，我们来讨论拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种有助于求解常系数齐次线性微分方程的方法，可以将常系数齐次线性微分方程转换为一个独立于空间变量x的时间变量t的线性系统。
拉普拉斯变换可以大大简化此类方程的求解，而且还可以利用其它线性系统的技术来求解相关方程，例如，矩阵求解法及线性系统的坐标变换。
最后，我们来讨论幂级数解法。
幂级数解法是求解常系数齐次线性微分方程的另一种可行的方法，它将方程的解表示为一个无穷级数式，形如y= a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+…+a_nx^n。
一般来说，幂级数解法主要利用线性求解法来求解微分方程，其关键步骤是求解微分方程的两边均为幂级数的特殊情况，即称之为“特殊幂级数”。
以上是常系数齐次线性微分方程的相关知识介绍，从以上的分析
可以看出，常系数齐次线性微分方程是一个相当复杂的问题，涉及到很多的理论和数学技术，解决它的方法有很多种，需要结合具体的问题进行深入的研究。
总结起来，常系数齐次线性微分方程是一个重要的研究对象，其研究方法有很多，主要包括拉格朗日求解法、拉普拉斯变换和幂级数解法等。
不论是从理论上还是从实际应用角度来考虑，都必须深入了解这个重要的问题，以此为基础在推进相关研究的发展，从而使得更多的研究者能够从中受益。