2018年高一数学寒假假期作业(十)对数的运算(解析版)
(完整版)对数的运算经典习题
（完整版）对数的运算经典习题1. 对数的定义根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。
其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。
2. 对数的运算规律对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：2.1 对数的乘法规律$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$2.2 对数的除法规律$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$2.3 对数的幂运算规律$\log_a b^c=c\times \log_a b$3. 经典题3.1 题一已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$3.2 题二设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。
3.3 题三求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$3.4 题四已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。
参考答案3.1 答案由对数的换底公式可知：$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$3.2 答案由对数的换底公式可知：$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$3.3 答案根据对数的定义可知：$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$3.4 答案由对数的性质可知：$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。
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高一数学寒假作业：对数与对数运算训练四寒假是一个漫长的假期，在假期里很多同学都在抓紧时间学习，小编推荐“高一数学寒假作业：对数与对数运算训练四”一文，相信你看过以后会有很大的收获：高一数学寒假作业：对数与对数运算训练四9.方程9x-6•3x-7=0的解是________.解析：设3x=t(t>0)，则原方程可化为t2-6t-7=0，解得t=7或t=-1(舍去)，∴t=7，即3x=7.∴x=log37.答案：x=log3710.将下列指数式与对数式互化：(1)log216=4; (2)log1327=-3;(3)log3x=6(x>0); (4)43=64;(5)3-2=19; (6)(14)-2=16.解：(1)24=16.(2)(13)-3=27.(3)(3)6=x.(4)log464=3.(5)log319=-2.(6)log1416=-2.11.计算：23+log23+35-log39.解：原式=23×2log23+353log39=23×3+359=24+27=51.12.已知logab=logba(a>0，且a≠1;b>0，且b≠1).求证：a=b或a=1b.证明：设logab=logba=k，则b=ak，a=bk，∴b=(bk)k=bk2.∵b>0，且b≠1，∴k2=1，即k=±1.当k=-1时，a=1b;当k=1时，a=b.∴a=b或a=1b，命题得证.通过阅读“高一数学寒假作业：对数与对数运算训练四”这篇文章，小编相信大家对这个知识记得更加牢固了，小编祝愿大家的学习能够轻松愉快!。
高一数学寒假作业：对数与对数运算训练一
高一数学寒假作业：对数与对数运算训练一寒假是一个漫长的假期，在假期里很多同学都在抓紧时间学习，小编推荐“高一数学寒假作业：对数与对数运算训练一”一文，相信你看过以后会有很大的收获：高一数学寒假作业：对数与对数运算训练一1.2-3=18化为对数式为()A.log182=-3B.log18(-3)=2C.log218=-3D.log2(-3)=18解析：选C.根据对数的定义可知选C.2.在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的取值范围是()A.a>5或a<2B.2C.2解析：选B.5-a>0a-2>0且a-2≠1，∴23.有以下四个结论：①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx，则x=10;④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④解析：选C.lg(lg10)=lg1=0;ln(lne)=ln1=0，故①、②正确;若10=lgx，则x=1010，故③错误;若e=lnx，则x=ee，故④错误.4.方程log3(2x-1)=1的解为x=________.解析：2x-1=3，∴x=2.要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍。
不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
对数与对数运算高一数学总结练习含答案解析北京海淀
2.2.1 对数与对数运算一、对数的概念1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以①的对数,记作②,其中a叫做对数的③,N叫做④.2.常用对数与自然对数名称定义记法常用对数通常我们将以⑤为底的对数叫做常用对数⑥自然对数在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数,以e为底的对数称为自然对数⑦二、对数式与指数式之间的关系当a>0,且a≠1时,a x=N⇔⑧.三、对数的基本性质性质1:负数和0没有对数.性质2:1的对数是0,即loga1=0(a>0,且a≠1).性质3:底数的对数是1,即logaa=1(a>0,且a≠1).四、对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(M·N)=⑨;(2)loga MN=⑩;(3)loga M n=(n∈R).五、对数的换底公式(1)log a b=1log ba (a,b 大于零且不等于1);(2)log a b·log b c·log c d=log a d(a,b,c 大于零且不等于1,d>0); (3)log a b= (a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0). 特别地:log a b·log b a= (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).判断题1.因为(-2)2=4,所以2=log (-2)4.( )2.若log (x-1)(x-1)=1,则x 的取值范围是(1,+∞).( )3.使对数log 2(-2a+1)有意义的a 的取值范围是(-∞,12).( ) 4.log a M+log a N=log a (M+N)(M>0,N>0).( )一、求对数式的值1.(2012安徽,3,5分,★☆☆)(log 29)·(log 34)=( ) A.14 B.12 C.2 D.4思路点拨 利用对数的运算性质及换底公式求值. 2.(2014广西桂林段考,★☆☆)21+log 25等于( ) A.7 B.10C.6D.92思路点拨 利用对数恒等式求解.3.(2014陕西,11,5分,★☆☆)已知4a =2,lg x=a,则x= .4.(2015浙江,9,6分,★☆☆)计算:log 2√22= ,2log 23+log 43= . 思路点拨 利用对数的性质、换底公式及对数恒等式求值. 5.(2015四川,12,5分,★☆☆)lg 0.01+log 216的值是 . 思路点拨 利用对数的运算性质求值.二、对数运算性质的应用6.(2012重庆,7,5分,★★☆)已知a=log 23+log 2√3,b=log 29-log 2√3,c=log 32,则a,b,c 的大小关系是( ) A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<cD.a>b>c思路点拨 先化简a 、b,再比较大小.7.(2015安徽,11,5分,★☆☆)lg 52+2lg 2-(12)-1= . 思路点拨 逆用对数的运算性质求值.8.(2013四川,11,5分,★★☆)lg √5+lg √20的值是 . 思路点拨 逆用对数的运算性质求值.9.(2011四川,13,4分,★☆☆)计算(lg 14-lg25)÷100-12= . 思路点拨 逆用对数的运算性质求值. 10.(2014安徽,11,5分,★☆☆)(1681)-34+log 354+log 345=.思路点拨 逆用对数的运算性质求值.三、对数换底公式的应用11.(2013陕西,3,5分,★☆☆)设a,b,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.log a b·log c b=log c a B.log a b·log c a=log c b C.log a (bc)=log a b·log a c D.log a (b+c)=log a b+log a c思路点拨 根据对数的运算性质及换底公式判断.12.(2014四川,7,5分,★★☆)已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d =10,则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c13.(2015甘肃天水一中期中,★☆☆)已知a,b∈R,若2a =5b =10,则1a +1b = .思路点拨题组一 对数的概念1.在b=log (a-2)(5-a)中,实数a 的取值范围是( ) A.a>5或a<2 B.2<a<3或3<a<5 C.2<a<5 D.3<a<4题组二 对数式与指数式的关系 2.方程2log 3x =4的解是( ) A.x=19 B.x=√3 C.x=√33 D.x=9题组三 对数的运算性质 3.lg 8+3lg 5的值为( ) A.-3B.-1C.1D.34.下列计算正确的是( ) A.log 26-log 23=log 23B.log 26-log 23=1C.log 39=3D.log 3(-4)2=2log 3(-4)5.已知函数f(x)满足:当x≥4时, f(x)=(12)x;当x<4时, f(x)=f(x+1).则f(2+log 23)=( ) A.124B.112C.18D.386.已知log 7[log 3(log 2x)]=0,那么x -12等于( ) A.13 B.√36C.√33D.√247.计算:lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18.8.若log 3(a+1)=1,求log a 2+log 2(a-1)的值.题组四 对数的换底公式9.计算log 225·log 32√2·log 59的结果为( ) A.3 B.4 C.5 D.610.已知7.2x =3,0.8y =3,求证:1x -1y =2.题组五 对数方程11.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则x y 的值为( ) A.1 B.4 C.1或4D.4或-112.方程lg(4x +2)=lg 2x +lg 3的解是 . 13.解下列方程:(1)12(lg x-lg 3)=lg 5-12lg(x-10); (2)lg x+2log 10x x=2.(时间:35分钟;分值:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016山东寿光期末,★☆☆)计算2log 63+log 64的结果是( )A.log62 B.2 C.log63 D.32.(2016河北唐山期中,★☆☆)已知lg a=2.31,lg b=1.31,则ab=( )A.1100B.110C.10D.1003.(2015浙江慈溪、余姚联考,★☆☆)log3√3=( )A.1B.12C.-12D.-24.(2014河北衡水中学期末,★★☆)已知a,b(a>b)是方程log3x 3+log27(3x)=-43的两个根,则a+b=( )A.1027B.481C.1081D.28815.(2014河北衡水中学期中,★★☆)若xlog34=1,则4x+4-x的值为( )A.83B.103C.2D.1二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2016河北唐山期中,★☆☆)已知log73=a,log74=b,则log4948= .(用a,b表示)7.(2016安徽巢湖期中,★☆☆)计算log23·log34+823+lo g1327= .三、解答题(共40分)8.(2016福建南平期末,★☆☆)计算:log381+2lg 5+lg 4.9.(2016四川凉山州期末,★☆☆)计算:√(log25)2-4log25+4+log215.10.(2016山东东营期末,★★☆)计算: (1)80.25×√24+(√23×√3)6+log 32·log 2(log 327); (2)lg √10·lg0.1.11.(2015广东湛江月考,★★☆)不用计算器计算: log 3√27+lg 25+lg 4+7log 72+(-9.8)0.12.(2015四川雅安中学期末,★★☆)(1)计算:-5log 94+log 3329-5log 53-(164)-23;(2)解方程:log 3(6x -9)=3.知识清单①a 为底N ②x=log a N ③底数 ④真数 ⑤10 ⑥lg N ⑦ln N ⑧x=log a N ⑨log a M+log a N ⑩log a M-log a N nlog a Mlog c b log c a11.×2.×3.√4.×链接高考1.D 原式=(2log 23)·(2log 32)=4log 23·log 32=4·log 33log 32·log 32=4,故选D.2.B 21+log 25=2×2log 25=2×5=10.3.答案 √10解析 ∵4a=2=412,∴a=12,∴lg x=12,即x=√10. 4.答案 -12;3√3 解析log 2√22=log 22-12=-12.∵log 43=log 23log 24=12log 23=log 2√3,∴2log 23+log 43=2log 23+log 2√3=2log 23√3=3√3. 5.答案 2解析 lg 0.01+log 216=lg 1100+log 224=lg 10-2+4=-2+4=2. 6.B a=log 23+log 2√3=log 23√3. b=log 29-log 2√3=log 23=log 23√3.∴a=b=log 23√3>log 22=1. ∵c=log 32<log 33=1, ∴a=b>c,故选B. 7.答案 -1解析 原式=lg 52+lg 4-2=lg (52×4)-2=lg 10-2=-1. 8.答案 1解析 lg √5+lg √20=lg √100=lg 10=1. 9.答案 -20解析 (lg 14-lg25)÷100-12=lg 1100÷110=-20. 10.答案278解析 原式=[(23)4]-34+log 3(54×45)=(23)-3+log 31=(32)3+0=278. 11.B log a b·log c a=log a b·1log ac =log a blog ac =log c b,故选B.12.B log 5b=a,b>0,故由换底公式得lgblg5=a,∴lg b=alg 5.∵lg b=c,∴alg 5=c,又∵5d =10,∴d=log 510,即1d =lg 5,将其代入a·lg 5=c 中得ad =c,即a=cd. 13.答案 1解析 由2a =10得,a=log 210,则1a =lg 2.同理,由5b =10可得1b =lg 5,从而1a +1b =lg 2+lg 5=1.基础过关1.B 由对数的定义知{5-a >0,a -2>0,a -2≠1,即{a <5,a >2,a ≠3,∴2<a<3或3<a<5. 2.D 因为2log 3x =4=22,所以log 3x=2,即x=32=9.经检验,x=9是方程的解. 3.D lg 8+3lg 5=lg 8+lg 53=lg 1 000=3.4.B log 26-log 23=log 22=1,故A 错,B 正确;log 39=log 332=2,故C 错;log 3(-4)2=2log 34,D 错,故选B.5.A∵2<3<4=22,∴1<log 23<2.∴3<2+log 23<4,∴f(2+log 23)=f(3+log 23)=f(log 224)=(12)log 224=2-log 224=2log 2124=124,故选A.6.D 由log 7[log 3(log 2x)]=0,得log 3(log 2x)=1,即log 2x=3,解得x=8,所以x -12=8-12=√8=2√2=√24,故选D.7.解析 原式=lg 14-lg (73)2+lg 7-lg 18=lg14×7(73)2×18=lg 1=0.8.解析 ∵log 3(a+1)=1,∴a+1=3,∴a=2. ∴log a 2+log 2(a-1)=log 22+log 21=1. 9.D 原式=lg25lg2·lg2√2lg3·lg9lg5=2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5=6.10.证明 ∵7.2x =3,0.8y =3, ∴x=log 7.23,y=log 0.83,∴1x -1y =1log7.23-1log0.83=log 37.2-log 30.8=log 37.20.8=log 39=2. 11.B ∵2lg(x -2y)=lg x+lg y, ∴(x -2y)2=xy, 即x 2-5xy+4y 2=0, ∴(x -y)(x-4y)=0, ∴x=y(舍)或x=4y,∴xy =4. 12.答案 x=0或x=1解析 原方程可化为lg(4x +2)=lg(2x ×3),从而可得4x +2=2x ×3,令t=2x ,上式可化为t 2+2=3t,即t 2-3t+2=0,解得t=1或t=2,即2x =1或2x =2,所以x=0或x=1.经检验,x=0与x=1都是原方程的解. 13.解析 (1)首先,x 应满足x>10, 其次,原方程可化为lg √x3=lg √x -10,∴√x3=√x -10,即x 2-10x-75=0. 解得x=15或x=-5(舍去), 经检验,x=15是原方程的解.(2)首先,x>0且x≠110,其次,原方程可化为lg x+2lgx1+lgx =2,即(lg x)2+lg x-2=0. 令t=lg x,则t 2+t-2=0.解得t=1或t=-2,即lg x=1或lg x=-2. ∴x=10或x=1100.经检验,x=10与x=1100都是原方程的解.三年模拟一、选择题1.B 2log 63+log 64=log 69+log 64=log 636=2.故选B.2.C ∵lg a=2.31,lg b=1.31,∴lg a -lg b=lg a b =2.31-1.31=1,∴a b =10.故选C.3.B log 3√3=log 3312=12,故选B.4.C 设log 3x 3=t,则t+13t =-43,3t 2+4t+1=0,∴t 1=-1,t 2=-13,∴a=19,b=181,∴a+b=1081,选C.5.B 由xlog 34=1得x=log 43,所以4x+4-x =3+13=103,故选B.二、填空题6.答案 a+2b 2解析 ∵log 73=a,log 74=b,∴log 4948=log7(3×42)log 772=log 73+2log 742=a+2b 2.7.答案 3解析 log 23·log 34+823+lo g 1327=log 23·log24log 23+22-log 333=2+4-3=3.三、解答题8.解析 log 381+2lg 5+lg 4=4+lg(25×4)=4+2=6.9.解析 √(log 25)2-4log 25+4+log 215=√(log 25-2)2+log 215=log 25-2+log 215=log 2(5×15)-2=log 21-2=-2.10.解析 (1)80.25×√24+(√23×√3)6+log 32·log 2(log 327) =(23)14×214+(213×312)6+lg2lg3·lg3lg2=234×214+22×33+1=2+108+1=111. (2)lg √10·lg0.1=lg 8×1252×5lg1012·lg10-1=lg10212×(-1)=-4.11.解析 原式=log 3332+lg(25×4)+2+1=32+lg 102+3=32+2+3=132.12.解析 (1)原式=-5lo g 3222+log 325-log 39-3-6423 =-5log 32+5log 32-2-3-42=-21.(2)由log 3(6x -9)=3=log 327可得6x -9=27,解得x=2,经检验,x=2符合题意.故原方程的解为x=2.。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数，且，则使成立的的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，即，，则，即.【考点】对数不等式.2.定义在上的函数满足，则的值为_____.【答案】.【解析】由题意，得，，，，；即是周期函数，且，所以.【考点】函数的周期性.3.已知（）A．B．C．D．【答案】【解析】根据对数的运算法则,有.【考点】对数的运算法则.4.函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:由题意,且在区间上恒成立.即恒成立,其中当时,,所以在区间单调递增,所以,即适合题意.当时,,与矛盾,不合题意.综上可知:故选B.【考点】1、对数函数的性质；2：二次函数的性质.5.函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：根据函数的零点存在性定理可以判断，函数在区间内存在零点.【考点】1、对数的运算性质；2、函数的零点存在性定理.6.函数的定义域为A．B．C．D．【答案】A【解析】要使函数有意义,必须:解得:所以函数的定义域是所以,应选A.【考点】1、函数定义域的求法；2、对数函数.7.函数的定义域为___________.【答案】【解析】因为依题意可得，解得.所以填.本小题的关键是考察了两个知识点.一是偶次方根的被开方数要大于或等于零，另一个就是对数函数的真数要大于零.取这两个的解集的公共部分即可得结论.【考点】1.对数知识.2.根式的知识.8.函数y =2+(x-1)的图象必过定点, 点的坐标为_________.【答案】【解析】令,则,此时，故原函数过定点.【考点】对数函数的图像性质，对数函数横过定点（1,0）.9.若函数是幂函数，且满足，则的值等于 .【答案】【解析】可设，则有，即，解得，所以函数的解析式为，故,所以所求的值为.【考点】1.幂函数；2.对数的运算.10.已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_______________．【解析】将函数的图像向左移动一个单位，可得函数在区间上为单调递增函数且，因为二次函数在上单调递增且，在上单调递减且，故若函数有3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，所以所求的取值范围为.【考点】1.对数函数；2.二次函数；3.分段函数；4.函数的零点.11.设,用二分法求方程在，内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】C.【解析】由题意得,因为f(1.25)<0.f(1.5)>0.所以f(1.25)f(1.5)<0,即有零点定理得在的落在.故选B.【考点】1.函数的零点的判定.2.指数函数值的计算.3.估算的思想.12.已知函数，则函数定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义需满足条件：，所以原函数的定义域为，答案选.【考点】1.根式有意义的条件以及对数函数有意义的条件；2.对数不等式.13.对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，②f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，③，④，当f(x)=lnx时，上述结论中正确结论的序号是_____________.【答案】②④．【解析】把函数代入结论①②：，，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③说明时，，从而为减函数，但函数是增函数，故③错误；④等价于，当且时，上式显然成立．故④也是正确的．【考点】1、对数的运算法则；2、对数函数的性质；3、基本不等式．14.计算：= .【答案】【解析】解.【考点】对数的运算.15.如果，那么的最小值是（）A．4B．C．9D．18【解析】∵，∴mn=81，∴，当且仅当m=n=9时“=”成立，故选D【考点】本题考查了对数的运算及基本不等式的运用点评：熟练掌握对数的运算法则及基本不等式的运用是解决此类问题的关键，属基础题16.求（lg2）2＋lg2·lg50＋lg25的值．【答案】2【解析】原式＝（lg2）2＋lg2·（lg2＋2lg5）＋2lg5 2分＝2（lg2）2＋2lg2·lg5＋2lg5 4分＝2lg2（lg2＋lg5）＋2lg5 6分＝2lg2＋2lg5 8分＝2（lg2＋lg5） 10分＝2． 12分【考点】本题考查了对数的运算点评：熟练掌握对数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题17.（本小题满分12分）设关于x的方程=0．(Ⅰ) 如果b=1，求实数x的值；(Ⅱ) 如果且，求实数b的取值范围．【答案】(Ⅰ) ． (Ⅱ) 。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.下列区间中，函数在其上为减函数的是（）．A．（－∞，1]B．C．D．【答案】D【解析】当时，，在区间上为减函数，当时，在区间上是增函数．【考点】函数的单调性．2.函数＝的值域为．【答案】【解析】由于，因此，因此的值域为【考点】与对数函数有关的值域．3.函数的单调减区间为 .【答案】【解析】由题意可得函数的定义域为，又在其定义域上为增函数，的减区间即为的减区间，故的减区间为.故答案为.【考点】复合函数的单调性.4.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）利用对数式的真数为正数，列出不等式组，求不等式的解集即可；（2）不等式有解，即，先求出的最大值，再求的范围即可．规律总结：1.求函数的定义域时要注意以下几点：①分式中分母不为零；②偶次方根被开方数非负；③对数式中，真数大于零，底数为大于零且不等于1的实数；④中，底数不为零；要注意区别以下两条：；.试题解析:(1）须满足，∴，∴所求函数的定义域为.说明：如果直接由，得到定义域，不得分.但不再影响后面的得分. （2）∵不等式有解，∴令，由于，∴∴的最大值为∴实数的取值范围为 .说明：也可以结合的是偶函数和单调性，求得的最大值，参照给分.【考点】1.函数的定义域；2.解不等式.5.函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：根据函数的零点存在性定理可以判断，函数在区间内存在零点.【考点】1、对数的运算性质；2、函数的零点存在性定理.6.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为-4，求a的值．【答案】（1）函数的定义域为；（2的零点是；（3）.【解析】(1)函数的定义域是使函数有意义的取值范围，而对数有意义则真数大于0，即；（2）函数的零点等价于方程的根，可先利用对数运算性质进行化简，即，要注意定义域的范围，检验解得的根是否在定义域内；（3）可利用函数的单调性求最值来解参数，由（2）可知，令，在单调递减，则在取最大值时函数的最小值取-4，而，当时，则，.试题解析：21.（普通班）（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．21.（联办班）（1）要使函数有意义：则有，解之得：，所以函数的定义域为：．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．（3）．，，．由，得，．【考点】1、对数函数的定义域；2对数的运算性质；3、函数的零点；4、对数方程的解法；5、复合函数的最值问题；6、二次函数的最值.7.设,用二分法求方程在，内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】C.【解析】由题意得,因为f(1.25)<0.f(1.5)>0.所以f(1.25)f(1.5)<0,即有零点定理得在的落在.故选B.【考点】1.函数的零点的判定.2.指数函数值的计算.3.估算的思想.8.设a>0，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】。
高中数学课时作业19对数的运算课件新人教A版必修11
15．设 x，y，z 均为正数，且 3x＝4y＝6z，求证：1z－1x＝21y. 证明：设 3x＝4y＝6z＝t，由 x，y，z 均为正数知 t>1，在上 式中取以 t 为底的对数， 可得 xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1， 于是 x＝lo1gt3，y＝lo1gt4，z＝lo1gt6. 因此1z－1x＝logt6－logt3＝logt2. ∵21y＝12logt4＝logt2， ∴1z－1x＝21y.
A．1
B．lg5
1 C.lg5
D．1＋lg2
解析：原式＝llgg65·llgg76·llgg87·llgg98·llgg190＝llgg150＝lg15.
解析：
二、填空题
7．方程 log3(x2－10)＝1＋log3x 的解是 x＝5 .
解析：原方程可化为 log3(x2－10)＝log3(3x)，所以 x2－10 ＝3x，解得 x＝－2，或 x＝5.经检验知 x＝5.
8.lg22＋lg12lg＋5－lg8lg1×(lg32－lg2)＝ 4
.
解析：原式＝lglg2×1225×－80×lg322＝lg12×lg24＝4.
9．已知 4a＝5b＝10，则1a＋2b＝ 2 .
解析：∵4a＝5b＝10， ∴a＝log410，1a＝lg4，b＝log510，1b＝lg5， ∴1a＋2b＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2.
x＝ 6， x＝－ 6，
∴y＝ 26，
或y＝－
6 2.
——能力提升类——
12．已知 a＝log32，则 log38－2log36 的值是( A )
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
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2018年高一数学寒假假期作业（十）对数的运算
1．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36＝( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2－1
【解析】 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 【答案】 A
2．若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值等于( ) A ．2 B.12 C ．100
D.10
【解析】 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，∴由韦达定理得：lg a ＋lg b ＝－－4
2＝2，∴ab ＝100.故选C.
【答案】 C
3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20
D ．100
【解析】 1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m ＞0，∴m ＝10.故选A .
【答案】 A
4．化简2lg (lga 100)2＋lg (lga )的结果是( )
A.12 B ．1 C ．2
D ．4
【解析】 由对数运算可知：lg(lg a 100)＝lg(100lg a )＝2＋lg(lg a )， ∴原式＝2. 【答案】 C
5．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log ab c x 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 log a x ＝1log x
a ＝2，∴log x a ＝1
2. 同理log x b ＝13，log x c ＝1
6. log abc x ＝1
log x
abc ＝
1
log x a ＋log x b ＋log x c
＝1.
【答案】 A
6．已知2x ＝3，3
8
log 4＝y ，则x ＋2y 的值为( )
A ．3
B ．8
C ．4
D ．log 48
【解析】 由2x ＝3，得x ＝log 23.
∴x ＋2y ＝log 23＋2log 48
3＝log 23＋2log 283
log 24
＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3. 【答案】 A
7．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．
【解析】
由题意知⎩⎨⎧
x －1>0
x ＋5>0
(x －1)2＝x ＋5，
解得x ＝4. 【答案】 x ＝4
8．已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________. 【解析】 3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1， 而log x 23＝log3233＝log 3332＝3
2， ∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－1
2. 【答案】 －1
2
9．已知3a
＝2,3b
＝15，则32a －
b ＝________.
【解析】 ∵3a ＝2,3b ＝15，∴a ＝log 32，b ＝log 31
5＝－log 35， ∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320，∴32a －b ＝20. 【答案】 20 10．计算)2lg 9lg 2
1
(100
-－log 98·log 433＝________.
【解析】 100⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12lg 9－lg 2－log 98·log 433
＝10lg 9÷10lg 4－lg 8lg 9·1
3lg 3
lg 4 ＝94－3lg 22lg 3·
1
3lg 3
2lg 2＝94－14＝2.
【答案】 2
11．已知x ，y ∈(0,1)，若lgx ＋lgy ＝lg (x ＋y )，则lg (1－x )＋lg (1－y )＝________. 【解析】 lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，
lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg [(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg 1＝0. 【答案】 0
12．求值：(1)lg 52＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(2)log 89·log 2732－(3)lg 1＋log 535－log 57.
【解】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.
（2）log 89·log 2732－(3)lg 1＋log 535－log 57
＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 535
7 ＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.
13．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，求lg (ab )·)
log (log a b b a +
的值．
【解】 由题设，得lga ＋lgb ＝2，lga ·lgb ＝1
2. 所以lg (ab )·(log a b ＋log b a )＝(lga ＋lgb )·⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg b lga ＋lga lg b ＝ (lga ＋lgb )·(lga )2＋(lg b )2
lga ·
lg b
＝(lga ＋lgb )·(lga ＋lg b )2－2lga ·lg b
lga ·lg b
＝2×22－2×
1
2
12
＝12.。