2019-2020年高中数学 1.1.2《棱柱、棱锥、棱台的结构特征》(第一课时)教案 新人教B版必修2
课件5：§1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
2．棱锥 一般地，有一个面是多__边__形__，其余各面都是
定义 _有__一__个__公__共__顶__点_的三角形，由这些面所围成的多 面体叫做棱锥
有关 概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有公__共__顶__点__的各 个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_公__共__顶__点_ 叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_公__共__边_叫做棱锥的 侧棱
归纳总结
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线 叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多 面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱． (5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几 面体．
新知导学 二、几种常见的多面体 1．棱柱
一般地，有两个面互相_平__行___，其余各面都是 四__边__形__，并且每_相__邻___两个四边形的公共边都 定义 互相_平__行___，由这些面所围成的多__面__体__叫做棱 柱
叫做棱台的顶点
图形
表示 用表示底面各顶点的_字__母_表示棱台，如上图中的棱台 法 可记为棱台_A_B_C__D_－__A_′_B_′C_ ′D′
按底面多边形的_边__数_分为三棱台、四棱台、五棱 分类
台……
归纳总结 棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形， 如图①所示．
命题方向2 棱锥、棱台的结构特征 例2 下列关于棱锥、棱台的说法： (1)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (2)棱锥的侧面只能是三角形； (3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________．
【解析】 (1)正确，棱台的侧面都是梯形． (2)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． (3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． (4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
第一章1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1学生版
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பைடு நூலகம்
1.1.2
棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
一、基础过关 1． 下列命题中正确的一个是 ( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体 2． 下面关于长方体的判定正确的是 ( ) A．直四棱柱是长方体 B．过两条不相邻的侧棱的面是全等的矩形的四棱柱是长方体 C．侧面是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面是矩形的直四棱柱是长方体 3． 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状 可以是 ①三角形，②菱形，③矩形，④正方形，⑤正六边形， 其中正确的是 ( ) A．①②③④⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．③④ 4． 下面没有多面体的对角线的一种几何体是 ( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 5． 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的一条对角线 AC1＝8 2，∠C1AA1＝45° ，∠C1AB＝60° ，则 AD＝________. 6． M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合之间的关系为__________． 7． 正三棱柱 ABC—A′B′C′的底面边长是 4 cm，过 BC 的一个平面交侧棱 AA′于 D，若 AD 的长是 2 cm，试求截面 BCD 的面积． 8． 如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为多少？ 二、能力提升 9． 一个长方体，共一顶点的三个面的面积分别为 2， 3， 6，则这个长方 体对角线的长是 ( ) A．2 3 B．3 2 C．6 D. 6 10．下列说法正确的是 ( ) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱的几何体中至少有两个面平行 11．如图在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝BC＝ 2，BB1＝2，∠ABC＝ 90° ，E，F 分别为 AA1，C1B1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的 最短路径的长度为________． 12．如图所示，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝3，AA1＝4，M 为 AA1 的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短 路线长为 29，设这条最短路线与 CC1 的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和 NC 的长． 三、探究与拓展 13．如图所示，在长方体 A1B1C1D1—ABCD 中，已知 AB＝5，BC＝4，BB1 ＝3，从 A 点出发，沿着表面运动到 C1，求最短路线长是多少？
第一章1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1教案学生版
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)【学习要求】1．理解多面体及与多面体有关的概念．2．理解棱柱的特征性质及棱柱的有关概念．3．了解棱柱的分类及特殊的棱柱——平行六面体．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出多面体的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．多面体：多面体是由若干个所围成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做，相邻的两个面的公共边叫做，棱和棱的公共点叫做，连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做 .2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做．3．棱柱的主要结构特征：如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都所形成的几何体．(1)棱柱有两个面，(2)其余每相邻两个面的交线都．棱柱的两个互相平行的面叫做，其余各面叫做，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．棱柱两底面之间的，叫做棱柱的高．4．棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做，侧棱与底面垂直的棱柱叫做，底面是正多边形的直棱柱叫做 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题．探究点一多面体及多面体的有关概念导引阅读教材第6页，回答下面几个问题．问题1多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质？问题2一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？问题3凸多面体是如何定义的？问题4多面体至少有几个面，按围成多面体的面数多少，多面体是如何分类的？问题5几何体的截面是怎样定义的？探究点二棱柱的结构特征问题1我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？问题2为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，棱和棱的公共点叫做棱柱的顶点．你能指出问题1中的图1中棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？问题3依据棱柱底面多边形的边数如何分类？如何用棱柱各顶点的字母表示棱柱？问题4棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？问题5有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？问题6棱柱按照侧棱与底面是否垂直及底面是否为正多边形如何分类？问题7 在四棱柱中，有哪些特殊的情况？问题8 若设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么长方体的对角线长l 是多少？例1 下列命题中正确的是 ( )A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形小结：只有理解并掌握好简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才能不至于被各个命题的表面假象所迷惑，从而对问题做出正确的判断．跟踪训练1一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )A ．底面是正方形有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形且有个顶点处的两条棱互相垂直D ．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱例2 如图，截面BCEF 将长方体分割成两部分，这两部分是否为棱柱？小结：如果一个几何体有两个平面平行，其它平面都是四边形，并且每相邻两个侧面的公共边相互平行，这个几何体就是棱柱．跟踪训练2 正方体集合记为A ，长方体集合记为B ，直棱柱 集合记为C ，棱柱集合记为D ，写出这四个集合之间的关系．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列命题中不正确的是 ( )A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C ．直棱柱的侧面是矩形D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱2．经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a 、b 、c ，那么这个长方体的体对角线长是_____________．课堂小结：1．棱柱⎩⎪⎨⎪⎧ 有两个面互相平行底面其余各面都是四边形侧面每相邻两个侧面的公共边都互相平行2．几种四棱柱(六面体)的关系：3．求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常常将几何体沿某条棱剪开，将两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．。
第1节 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
平移 (1)
平移 (2)
棱柱的特点
1.有两个互相平行且全等的面 2.夹在两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相平行且 且相等．
棱柱的相关概念
棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面。其余各面叫做棱
柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
棱柱的两个底面之间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的符号表示：棱柱 ABCDEF A' B 'C ' D' E ' F '
(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不
正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧棱的延长
线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点故④错误．
[答案] (1)B (2)C
练习：下列关于四棱柱的说法：①四条侧棱互相平行且相等；②两对相对的侧面互相平行；
(3)图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面 ABCD 的平面________截得的 AA′，BB′叫它的__________，平面 BCC′B′、平面 DAA′D′叫它的________．
[答案] (1)棱柱 侧棱 顶点 (2)棱锥 侧棱 侧面 底面 (3)棱同学们仔细观察下面的几何体,它们有哪些共同的特点？
(1)
(2)
这些多面体是棱柱
(3)
(4)
棱柱的形成
从运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形（包括围 成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形 成的几何体。
图(1) 和 (2) 中的几何体分别由平行四边形和五边形沿某一方 向平移得来的。
正棱台：由正棱锥截得的棱台
下底面
上底面 D'
2019-2020学年高中数学人教A版必修2一课三测：1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 含解析
1．1。
1棱柱、棱锥、棱台的结构特征填一填1.一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．2．我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．3.棱柱棱锥棱台棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如,三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……由几棱锥截得的就叫几棱台,例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.判一判1.如长方体形的盒子外表面是长方体．（×)2．棱柱最多有两个面不是四边形．(√）3．棱锥的所有面都可以是三角形．（√)4．多面体是由平面多边形和圆面围成的．（×)5．旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或直线或其他曲线．(√）6．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．（×)7．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．（×)8想一想1。
如何判断一个几何体是否为棱柱?提示：（1）有两个面互相平行；(2)其余各面是平行四边形;（3)每相邻两侧面的公共边都互相平行．这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义．2．什么是斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体？提示：(1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．（3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(4）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．（5）长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体．(6）正方体:棱长都相等的长方体叫做正方体．3．判断棱锥、棱台形状的两个方法是什么？提示:（1）举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点4.解多面体展开图问题的策略是什么?提示：（1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．（2）由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说,一个多面体可有多个平面展开图．思考感悟:练一练1.下面四个几何体中，是棱台的是( ）答案：C2．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（)A．1个B．2个C．3个D．4个答案:D3．下列四个命题：①棱柱的两底面是全等的正多边形；②有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；③有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;④四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．答案：④4．下列说法正确的有________．（填序号）①棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形;③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．答案：①③知识点一棱柱的结构特征1。
高中数学第1章1.1.2棱柱棱锥和棱台的结构特征课件新人教B必修2.ppt
跟踪训练 3 正四棱锥 S－ABCD 的高为 3， 侧棱长为 7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积．
解：(1)如图所示，在正四棱锥 S－ABCD 中， 高 SO＝ 3，侧棱 SA＝SB＝SC＝SD＝ 7， 解 Rt△SOA，得 OA＝2，则 AC＝4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2. 作 OE⊥AB 于 E，则 E 为 AB 的中点， ∴OE＝12BC＝ 2. 连接 SE，则 SE 为斜高．
5 10)·2(
3
3－
63x)，
解得 x＝2 15.
∴上底面的边长为 2 15.
【点评】 在正棱台的有关计算中， 要注意寻 找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线， 相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面 中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成 一个直角梯形． 跟踪训练4 已知正四棱台的上、下底面面积分 别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的 斜高、高、侧棱长．
如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅 垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥 的高． 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面． 思考感悟
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 几何体是棱锥吗？ 提示：不一定．如图：
(2)棱锥的分类 ①按底面边数分类 底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别 叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又 叫__四_面__体______． ②正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它 的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个 棱锥叫做正棱锥． 正 棱 锥 侧 面 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 ，正叫棱做 __锥_的__斜__高 ________________．
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)多面体的元素 ①围成多面体的各个_多__边__形____叫做多面体的面． ②相邻的两个面的__公__共__边_____叫做多面体的棱． ③棱和棱的_公__共__点____叫做多面体的顶点． ④连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体 的__对__角__线_____．
2019-2020学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案：第一章 1.1 空间几何体的结构
第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1)√(2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.答案：③[典例](1)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析](1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案] (1)A (2)0[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．下列图形中，是棱台的是( )解析：选C由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5 6 98．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图所示是一个三棱台ABC-A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC-A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′-ABC，B-A′B′C′，A′-BCC′.(答案不唯一)层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点解析：选C只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC ＝60°. 答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A -A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A -CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A -A 1DC ，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征预习课本P5～7，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、球[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛]要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．[典例]给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．[解析](1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案](1)(2)[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④[典例]将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥[解析]图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．[答案] D1.如图所示的简单组合体的组成是( ) A ．棱柱、棱台 B ．棱柱、棱锥 C ．棱锥、棱台D ．棱柱、棱柱解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图，AB 为圆弧BC 所在圆的直径，∠BAC ＝45°.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[典例cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40cm ，B 1Q ＝30cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)， QS ＝A 1B 1＝10π(cm)． ∴PQ ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.层级一学业水平达标1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台解析：选C由球的定义知选C.4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4πB．8πC．2πD．π解析：选C边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B 错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C 错误．故选D.2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( ) A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A ．2 B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：选C 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤解析：选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥． 答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝43 cm.答案：437．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°. 在Rt △BO ′A ′中，rBA′＝sin 30°，∴BA ′＝2r . 在Rt △BOA 中，2rBA ＝sin 30°，∴BA ＝4r . 又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.8．圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝2 cm ，OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ，∴AA1SO＝EA1EO，即x2＝1－22x1.∴x＝22，即该内接正方体的棱长为22cm.。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
而且夹在这两个平行平面间的每 相邻两个面的交线都互相平行。
D` A` B`
C`
侧 棱 D
A B C
对 角 线
高
底 面
顶点
侧 面
如何理解棱柱？
① 从运动的观点来看，棱柱可以看成是 一个多边形（包括图形围成的平面部分） 上各点都沿着同一个方向移动相同的距离
所经过的空间部分。
如何理解棱柱？
② 棱柱的主要结构特征： 1）两个底面互相平行； 2）其余每相邻两个面的交线互相平行，
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是
矩形
侧棱与底面 边长相等 底面为 正方形
正方体
正四棱柱
长方体
例1．设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有 两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面 体是直平行六面体；④对角线相等的平 行六面体是直平行六面体。以上四个命 题中，真命题的个数是（ A ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
如棱柱ABCD－A1B1C1D1；
（2）用一条对角线端点的两个字母来 表示，如棱柱AC1.
A1 D1 C1 B1 C B
D
A
4．棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等（见图）
5．棱柱的分类： （2）按侧棱与底面的关系分类：
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；
例2．已知集合 A={正方体}，B={长方体}，
C={正四棱柱}，D={平行六面体}，E={四
棱柱}，F={直平行六面体}，则（
B （ A） A B C F D E
）
AC B F D E （ C） C A B D F E
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2019-2020年高中数学 1.1.2《棱柱、棱锥、棱台的结构特征》（第一课时）
教案新人教B版必修2
一、教学目标：认识多面体、棱柱的结构特征，理解相关概念
重点：多面体的定义，棱柱的定义性质及它们之间的关系
难点：特殊棱柱特征性质的区别.
二、复习回顾：1、构成几何体的基本元素是————————————————
2、平面是的
三、知识梳理：
1、多面体
多面体是由若干个所围成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做，相邻的两个面的公共边叫做，棱和棱的公共点叫做，连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做。
2、把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做。
3、多面体的分类：多面体至少有个面，按面数可分为
4、几何体的截面：一个几何体和一个平面相交所得到得平面图形（包含它的内部）.
5、棱柱的主要结构特征
如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点
都所形成的几何体。
（1）棱柱有两个面，
（2）其余每相邻两个面的交线都。
棱柱的两个互相平行的面叫做，其余各面叫做，两侧面的公共
边叫做。
棱柱两底面之间的，叫做棱柱的高。
6、棱柱的分类及表示：
7、棱柱中平行于底面的截面的性质：
8、特殊棱柱
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做，侧棱与底面垂直的棱柱叫做。
底面是正多边形的直棱柱叫做。
底面是平行四边形的棱柱叫做，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做
底面是矩形的直平行六面体是，棱长都相等的长方体是。
四、典例分析
题型一棱柱的特征
例1、下列命题中不正确的是（ B ）
A．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高
B．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．直棱柱的侧面是矩形
D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
变式训练课本P8 A3
例2、设有三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体（2）底面是矩形的平行
六面体是长方体 （3）直四棱柱是直平行六面体 以上命题中正确的有 (1)
变式训练 课本P 8 B 2题
题型二 长方体的性质
例3、长方体交与同一顶点的三条棱长分别为3，4，5，求长方体的对角线的长。
五、限时训练
1、下列命题中正确的一个是（ D ）
A ．四棱柱是平行六面体；
B ．直平行六面体是长方体
C ．底面是矩形的四棱柱是长方体
D ．六个面都是矩形的六面体是长方体
2、一个棱柱是正四棱柱的条件是(D )
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直
D.底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形
3、下面关于长方体的判定正确的是( D )
A.直平行六面体是长方体
B.过两条不相邻的侧棱的面是全等的矩形的四棱柱是长方体
C.侧面是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面是矩形的直四棱柱是长方体
（去）4、一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是①三角形②菱形③矩形④正方形⑤正六边形其中正确的是(C ).
A.①②③④⑤
B.②③④
C.②③④⑤
D.③④
5、下面没有体对角线的一种几何体是（A ）
A 、三棱柱
B 、四棱柱
C 、五棱柱
D 、六棱柱
6、一个长方体，共一顶点的三个面的面积分别为，则这个长方体对角线的长是（ D ）A ． B.
C.6
D.
（去）7、（自选探究）如右图所示，在长方体中，已知AB=5，BC=4，BB 1=3，从A 点出发，沿着表面运动到C 1，则最短路线长是（ B ）
A ． B. C. D.
（去）8、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一条对角线 60,45,281111=∠=∠=AB C AA C AC ,则
_______.
9、M ﹦｛正四棱柱｝Ｎ﹦｛长方体｝Ｐ﹦｛直四棱柱｝Ｑ﹦｛正方体｝
则这些集合之间的关系为 QMNP
（去）10、如图在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=，BB 1=2，，E ，F 分别为AA 1，C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .
2019-2020年高中数学 1.1.2《棱柱、棱锥、棱台的结构特征》（第
二课时）教案 新人教B 版必修2
一、教学目标：认识.棱锥、棱台的结构特征，掌握其定义及性质
重点：.棱锥、棱台的定义及性质的定义性质及简单应用
难点：棱锥棱台中的截面问题
二、复习回顾：1.棱柱的定义
2.特殊的四棱柱有
三、知识梳理
1、棱锥
（1）、棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是____ ________.棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做______________;各侧面的公共顶点叫做________ _____;相邻两个侧面的公共边叫做____________;多边形叫做_______________顶点到底面的________,叫做____________.
（2）、如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做_______________________.
2、棱台
（1）、棱锥被平行于底面的截面去截，截面与底面之间的部分叫做________________.原棱锥的底面和截面分别叫做____________________;其它各面叫做____________________;相邻两侧面的公共边叫做__________________两底面间的___________________________________________.
（2）、由正棱锥截的得棱台叫做________________.正棱台各侧面都是______________的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的_____________________.注意：正棱锥和正棱台概念中高和斜高的理解.
三、例题分析
题型一、概念考察
(去)例1、由四个命题①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥.
②底面是正四边形的棱锥是正棱锥.
③棱锥的所有面可能都是直角三角形.
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.正确的有__________________.
题型二、棱锥棱台中的计算
例2、已知正三棱锥V-ABC底面边长为6，高为3，计算它的侧棱与斜高.
V
C
B
变式训练：P11 B3
例3、正四棱台的高是17cm两底面边长分别是4cm和16cm，求棱台的侧棱长和斜高.
变式训练：一个正四棱台上下底面边长分别是a,b高是h，则经过相对两侧棱的截面面积是_______.
【限时训练】
1、若正棱锥的底面边长和侧棱长相等则该棱锥一定不是( ).
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
2、若正三棱台的上下底面边长及高分别是1，2，2则它的斜高是( ).
A. B. C. D.
3、正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC,则截面面积为(
).
A. B. C. D.
4、棱台不具有的一个性质是（）
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱的延长线交于一点
5、若三棱锥的三个侧面和底面都是边长为a的正三角形，则这个三棱锥高是______________.
6、如图E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？
7、正四棱锥底面面积为16，斜高是2，求它的侧棱长和高。