数学建模双层玻璃的功效模型评价
初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析
第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。
需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。
双层玻璃功效问题
双层玻璃功效问题（模型建立）
【模型建立】
根据热传导定律，对于双层玻璃的情况，单位时间内通过单 位面积的热量：
Tb − T2 Ta − Tb T1 − Ta = k2 = k1 Q = k1 d L d
双层玻璃功效问题（模型求解）
由上面等式，消去Ta、Tb, 可得
k1 (T1 − T2 ) Q= , d ( s + 2)
Q 2 2 1 k L = = = (因为，s = 1 h = 16h ，h = ） Q' s + 2 16h + 2 8h + 1 k2 d
双层玻璃功效问题（模型求解）
如果假设玻璃的厚度d=1, 则h=L/d=L.
Q 1 1 = = Q ' 8h + 1 8 L + 1
故热量损失比为：
当0<L<6时，热量损失比
双层玻璃功效问题
【问题提出】使房子加热是日常预算中较为昂贵的部分。
如煤、煤气、电等用来加热的燃料成本近些年明显的增加。将 尽可能多的热量保持在居室内是非常重要的。据分析，热量的 损失主要是通过墙、窗、屋顶和地面发出去，将窗户安装成双 层玻璃是控制热量损失的有效方法之一（如图）。试建立一个 模型来描述热量通过窗户的流失过程，并将双层玻璃与用同样 多材料做成的单层玻璃的热量流失进行对比，对双层玻璃窗能 够减少多少热量损失给出定量分析结果。
k 2 = 2.5 × 10 −4 ~ 8 × 10 −4 (焦尔 / 厘米 ⋅ 秒 ⋅ 度）
而这空气是干燥的、不流通的. 作为模型假设的这个条件在实际 环境下是不可能完全满足的. 所以, 实际上双层窗户的功效要比 上述结果要差一些. 双层玻璃窗户出奇的保热功效是房屋设计和房屋装修的重要 参考依据.
最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效
精品文档双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失 .我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗 (如右图，玻璃厚度为2d )的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果 .一、模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2. 室内温度T 和室外温度T 保持不变，热传导过程已处于稳定1 2状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数 .二、 符号说明T ——室内温度 1T ——室外温度2 d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度T —— 内层玻璃的外侧温度aT ——外层玻璃的内侧温度bk ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的 物理规 律：厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ，与 T 成正比，与d 成反比，即T Q = kd(1)其中 k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 T ，外层玻璃的内侧温度为 T ，a b玻璃的热传导系数为 k 1 ，空气的热传导系数为 k 2 ，由(1)式单位时 间单位面积的热量传导(热量流失)为：Q = k 1T T 1ad = k 2 T T ab d = k 1 T T b 2d(2)由 Q = k 1 T T 1ad及 Q = k 1 T T b2d可得 T a T b = (T 1 T 2 ) 2Qdk 1再代入 Q = k就将(2)中 T a 、 T b 消去，变形可得：k 1 (T 1 T 2 ) k l d (s + 2) k 2 d(3)2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为 2d 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：Q, = k 1 1 23. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较(3) (4)有： Q = 2Q, s + 2(4) (5)显然， Q < Q, .为了获得更具体的结果，我们需要 k 1 , k 2 的数据，从有关资料可 知，不流通、干燥空气的热传导系数 k 2 = 2.5 104(J/cm.s .ºC)，常用玻璃的热传导系数 k 1 = 4 103 ~ 8 103 (J/cm.s.ºC)，于是k 1= 16 ~ 32 k 2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 k 1 = 16 ，由(3) (5)可得：2Q 1 =Q, 8h + 1k Q = , s = h1 , h = lh =(6)T Td2d精品文档4. 模型讨论比值Q Q,反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h = l d 有关，下图给出了Q Q, ~ h的曲线，当h由 0 增加时，Q Q,迅速下降，而当h超过一定值(比如h > 4)后Q Q,下降缓慢，可见h不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的 .通常，建筑规范要求h = l d 必 4 .按照这个模型，Q Q, 必 3%，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右.不难发现，之所以，而这有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k2要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下精品文档当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。
数学建模实例-双层玻璃的功效教学提纲
数学建模实例-双层玻璃的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
二、 符号说明1T ——室内温度2T ——室外温度d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度a T ——内层玻璃的外侧温度b T ——外层玻璃的内侧温度k ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<。
数学建模案例分析报告报告材料2.双层玻璃地功效
双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.二、符号说明T——室内温度1T——室外温度2d——单层玻璃厚度l——两层玻璃之间的空气厚度T——内层玻璃的外侧温度aT——外层玻璃的内侧温度bk——热传导系数Q——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q，与T∆成正比，与d成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：d T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-=, , 2)(21211 （3） 2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d T T k Q 2211-=' （4）3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s.ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s.ºC ），于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621=k k ，由（3）（5）可得：d l h h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈h.按照这个模型，%3≈'QQ，即双层玻璃窗比用同=d l样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k，而2这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。
双层玻璃窗的功效
数学模型 之 初等模型
双层玻璃窗的功效
2012-9-18
初等模型： 如果研究对象的机理比较简 单，一般用静态、线性、确定性 模型描述就能达到建模目的时， 我们基本上使用初等数学的方法 来构造和求解模型。 另外需要指出，衡量一个模 型的优劣全在于它的应用，而不 是采用了多么高深的数学方法。
问题归纳：两层厚度为d的玻璃夹着一层厚 度为l的空气。试描述热量通过窗户的传导过 程，并与厚度为2d的单层玻璃窗相比较。
模 型 构 成
热传导定律：设厚度为d的均匀介质， 两侧温度差为，则单位时间内从温 度高的一侧向温度低的一侧通过单位面 积的热量Q与 成正比，与d成反比， 即 T Q k , (1) d 其中k为热传导系数。
设 双 层 窗 内 层 玻 璃 外 侧 温 度 为 Ta ， 外 层玻璃内侧温度为Tb，玻璃的热传导 系数为k1，空气的热传导系数为k2。由 (1)，单位时间内通过单位面积的热量为
1 2
得：
Q Q
1 8h 1 ,
h
l d
.
(6)
Q
由图知，当h增加时， Q/ Q' 迅速下降， 而当h>4后，下降变 缓。所以h不宜过大。
Q
0.06 0.03 0应用：
通 常 建 筑 要 求 h = l / d 4 , 于 是 ， Q/ Q ' 3%。因此，双层玻璃窗比用同样多的 玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量97% 左右。当然，由于其他因素的存在，实际情况 没这么好。
1 1 2
(4)
Q
Q s 2
2
.
(5)
显然， Q Q .
由数据资料知道，常用玻璃的热传导系数 k1=410-3~ 810-3(焦耳/厘米· 度) ，干燥 秒· 不流通的空气的热传导系数k2=2.510-4(焦 耳/厘米· 度)。 秒· 所以，
数学建模-双层玻璃窗
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果1、条件假设 (1)2、符号说明 (1)3.1双层玻璃隔热效果探究 (3)3.1.1模型建立 (5)3.1.2、模型的应用 (7)3.2、双层玻璃隔音效果探究 (7)3.2.1、模型建立 (8)3.2.2结果讨论 (9)参考文献 (10)1、条件假设双层玻璃隔热、隔音效果的探究中的假设：1.热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。
2.玻璃材料均匀，导热系数是一个常数。
3.室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态。
即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
2、符号说明I 声强 d 玻璃厚度l 双层玻璃中空气层厚度T温度 温度差Q 传导热量 k热传导系数 导热系数t 传导时间 A 导热面积 B加权声玻璃窗户的整体隔声量,dB单层玻璃窗户封闭部分的隔声量,dB玻璃窗户上开口面积占整个玻璃面积的百分比M 隔声材料单位面积的质量，Kg/错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
为介质的吸收系数声能的衰减3、模型的建立与求解3.1双层玻璃隔热效果的探究3.1.1模型建立图1 单层玻璃窗与双层玻璃窗在本文假设中，热传导过程应满足如下的物理定律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q 与T ∆成正比，与d 成反比，即：d TkQ ∆=（1）其中k =λtA ，为热传导系数。
λ为导热系数，t 为传导时间，A 为导热面积。
如图1，对于厚度为2d 的单层玻璃窗，设其内外层的温度分别为1T 、2T ，玻璃的热传导系数为1k ，传递的热量为1Q ，由（1）式可得单层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为：dT T k Q 22111-= （2）如图1，对于双层玻璃窗，设其内层玻璃的外侧温度为3T ，外层玻璃的内侧温度为4T ，双层玻璃种空气层厚度为l ，空气的热传导系数为2k ，传递的热量为2Q ，则由（1）式可得双层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为：dT T k Q 3112-==lT T k 432-=dT T k 241-（3）由（3）式可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-l T T k d T T k dT T k d T T k 432311241311（4）由（4）式可解得：dk l k dT k T d k l k T 212212132)(+++=（5）将（5）式代入（3）式可得：dk l k T T k k Q 21212122)(+-=（6）将（6）式比上（2）式可得：1121222121212<+=+=dk l k dk l k d k Q Q（7）即得12Q Q <。
数学模型 数学论文指导 双层玻璃的功效
l
知识引入 热传导原理：厚度为 d ，的均匀介质，两侧温
度差为 ∆T ，则单位时间由温度高的一侧向温 度低的一侧通过单位面积的热量为：∆T Leabharlann =k dk为热传导系数
模型的建立
由假设知： 由假设知：
T1 − Ta Ta − Tb Tb − T2 Q = k1 = k2 = k1 d l d
消去 T , T a b
−3
−3
k 2 = 2.5 × 10 −4
于是：
做保守的估计，取最小的16，得
k1 = 16 ~ 32 k2
Q 1 = Q1 8 ⋅ l + 1 d
可见
Q Q1 仅与
Q1
l 有关， d
Q 小，若取
则
l =4 d
l 越大， d
越
Q ≈ 3% Q1
模型评价：模型具有一定的实用性，但 是在实际中效果没有这么好。
模型假设 1、设室内温度为 室外温度为 ，内层玻璃外侧 T1 T2 的温度为 ，外层玻璃内测的温度为 Ta Tb 2、设双层玻璃在单位时间内通过单位面积的热量 为 Q 3、设窗户的密封效果很好，两层玻璃之间的空气 不流动。 4、室内、室外温度保持不变，热传导处于稳定状 态，即单位时间通过单位面积的热量是常数。玻璃 的热传导系数为常数 k1 空气的热传导系数为常 数 k2 5、设玻璃的厚度为 d 两层玻璃之间的间隔为
得
k 1 ( T1 − T 2 ) Q = k l d ( 1 + 2) k2d
对于厚度为 2d 的单层玻璃，其传导的热 量为： k (T − T 2 ) Q = 1 1
1
从而
Q 2 = k1l Q1 +2 k2d
2d
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数学建模双层玻璃的功效模型评价
双层玻璃是一种常见的建筑材料，具有一些独特的功效。
本文将基于数学建模方法，对双层玻璃的功效进行评价。
首先，我们可以通过数学模型评估双层玻璃的保温性能。
双层玻璃的两层之间通常会填充一种叫做气体的绝热材料，如氩气或氪气。
这些气体具有较低的热传导性，可以减少室内与室外的热量传递。
我们可以利用传热学中的热传导理论，建立数学模型来计算双层玻璃的热传导系数。
通过对比单层玻璃和双层玻璃的热传导系数，我们可以评估双层玻璃在保温方面的功效。
其次，我们可以利用数学模型来研究双层玻璃的隔音效果。
双层玻璃通过夹层的气体和两层之间的距离，可以有效吸收声波的能量，减少声音的传播。
我们可以运用声学原理，建立声波传播的数学模型，计算双层玻璃的声学性能指标，如声传递系数和噪音减少量。
通过与单层玻璃进行对比，我们可以评估双层玻璃在隔音方面的功效。
此外，数学建模还可以应用于评估双层玻璃的安全性能。
双层玻璃的两层之间可以夹入一层薄膜，以增强玻璃的抗冲击能力和防护性能。
我们可以运用力学原理建立数学模型，评估双层玻璃在受力情况下的强度和稳定性。
通过计算双层玻璃的抗压强度和抗张强度，我们可以对其安全性能进行评价。
总之，数学建模是评价双层玻璃功效的有效工具。
通过建立合适的数学模型，我们可以准确评估双层玻璃在保温、隔音和安全性能方面的优势，为建筑设计和使用提供科学依据。