椭圆的标准方程及性质

一.椭圆曲线的介绍
1.
域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。

其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：
具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。

不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。

这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。

定义保证如下性质：
随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.
这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：
P，Q不重合时：
P，Q重合时：
总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。

椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：
Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：
（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。

此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。

为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。

上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。

而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。

所以右边就提供了我们一个二元运算。

而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。

2.
我们需要一些例子。

例子一：
y3=x2+6没有整数解
由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。

例子二：
Fermat的一些发现也是椭圆曲线上的整点问题如：立方数=平方数+2只有33=52+2，立方数=平方数+4只有22+4=23,112+4=53。

不过Fermat可不是用什么素理想分解搞出来这个结果，而是使用他引以为豪的无穷递降法，这又涉及到高度的概念。

（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
由这个例子可见，椭圆曲线的研究有一些不同于代数数论的传统方法的新方法（比如高度）。

例子三：
著名的同余数问题以及BSD猜想
例子四：
实际上我们关于椭圆曲线的定义过于狭隘了，例如：(43810194989780,92269814989780)is a solution for x^3+y^3=7
这是为什么呢？注意到x3+y3=7有特解(43,53)，而x^3+y^3=7其实也是椭圆曲线！
用tangent method可以算出其在某个坐标变换下方程化为y2=x3−21168，当然是一条椭圆曲线的。

于是我们可以用特解P=(43,53)生成新的有理解2P,3P,…，便可以得到一个有理点(43810194989780,92269814989780)
这个例子告诉我们，最初的定义是依赖坐标的。

更好的定义为：
标准的方程：
其中系数都在k中，并且曲线没有奇点，则其
称为k上的一条椭圆曲线
这种方程叫做椭圆曲线的affine Weierstrass form，可以
证明一般的椭圆曲线：
都可以化成Weierstrass form
而一个不依赖坐标的定义为：
k(代数闭)上一条椭圆曲线定义为亏格为1的光滑的射影
代数曲线，同时带一个特定基点。

（对于非代数闭的perfect field k，其上一条椭圆曲线是
k的代数闭包上一条defined over k 的椭圆曲线）
或者更形式地，我们定义
一条k上的椭圆曲线为k上的1维射影代数群。

实际上对于椭圆曲线E，E→Pic0(E)P→(P)−(O)为同构，因此自然给E一个交换群结构。

用Riemann-Roch定理可以很简单证明这些general的定义都可以化成经典的标准型
而射影（从而完备）代数群由于刚性其群运算必须交换，并且态射一定差一个translation后为群同态，所以是Abel群，这类代数群称为Abelian varieties，可以看成椭圆曲线的高维推广。

利用g=(d−1)(d−2)/2可知所有三次的光滑的射影代数曲线(带一个有理点)都是椭圆曲线，特别地x3+y3=7也是。

而光滑的假设不能去掉，典型的奇异三次曲线是y2=x3，其在原点附近比较尖，而在平面上的图像有一个cusp，还有y2=x3+x2这类具有结点的例子：
例子五：
y2=x3+n这种椭圆曲线称为Mordell equation,其中n为一个整数，这类椭圆曲线比较好算，作为练习，我们来算一些例子y2=x3+7没有整数解
证：mod 8 知x奇数，由y2+1=x3+8=(x+2)(x2−2x+4),但x^2-2x+4模4余3，故存在p|x^2-2x+4,p模4余3,所以p|y^2+1,所以(−1p)=1，这与p模4余3矛盾。

y2=x3−5没有整数解
证：mod4知y偶，x模4余1.由y2+4=x3−1=(x−1)(x2+x+1)同上可得。

类似地可以证明：
y2=x3+n对于n=-3,-6,-9,-12,-24,6,45,46都没有整数解
这些都是模法和简单的二次剩余的应用，方法是凑出y2+b=x3−a3=(x−a)(x2+ax+a2)
再考虑右边的素因子p，那么-b自动是p的二次剩余。

另一种方法是凑出(y+n)(y−n)=y2−n=x3然后在Q(n)的代数整数环中分解，右边一定是理想的三次方，如果左边两项互素，那么左边也是，然后具体到元素上可能会差代数整数环中的单位。

例如：
n=16则只有整数解x=0，y=-4,4
n=-1,y2=x3−1只有整数解(0,1)
证：x3=y2+1，易见x奇数，y偶数，若p|y+i,p|y-i，那么p|2i,所以p|2(i为单位),所以
2=p2|(y−i)(y+i)=x3推出x为偶数，矛盾。

所以y+i，y-i互素，由Z[i]中单位全为三次方，并且Z[i] PID,故可写
y+i=(m+ni)3,考虑虚部容易解出n=-1，m=0,y=0,x=1.
类似地：
n=-4，y2=x3−4只有整数解(2,±2),(5,±11)
n=-2,只有整数解(3,5),(3,-5)
更复杂的计算有：
n=1,只有整数解(-1,0),(0,1或-1),(2,3或-3)
当然不要忘记我们最早的例子：
y2=x3−6没有整数解。

由这个例子可见，计算整解可以用模法和代数数论的一些方法，至于有理解的探寻就有点神秘。

尽管我们可以通过P计算2P，用原来的解生成新的解.但如何保证得到的是所有解，还是有些tricky的.
例子六：
x4+y4=z4没有非平凡的整数解：
容易看出如果y非0，则
故只需要证明y^2=x^3-x上的有理点必须y=0即可.
这个argument可由无穷递降法（关于高度递降）得到
由这个例子可见，利用椭圆曲线的性质可以证明之前代数数论中的一些问题，例如虚二次域类数1问题,explicit class field theory for imaginary quadratic field。

（当然还有Fermat 大定理XD）
3.
下面是椭圆曲线中一些广为人知的重要定理。

（Mordell-Weil，1922）
Q上的椭圆曲线E的有理点E(Q)是有限生成Abel群：
E(Q)=Zr⊕T,
T是挠点全体,为有限Abel群,r称为E的秩
证明需要weak mordell-weil theorem（其由Selmer group有限导出），以及高度的性质。

(Mazur，1977)
上面的T只可能为：
Z/NZ，其中N= 1, 2, ..., 10, or 12,
或Z/2Z×Z/2NZ其中N= 1, 2, 3, 4
这15个群之一
例如考虑E:y2=x3−n2x,n∈N∗其挠点仅四个,从而E(Q)/2E(Q)≅
(Z/2Z)r+2,r为rank.
(Siegel，1929)
Q上的椭圆曲线E的整点（坐标均为整数的点），或者更
一般的坐标有一者为整数的点，只有有限个。

其证明用到了一些高度的性质和有理数逼近的Roth theorem。

对于亏格>1的曲线的有理点也有类似的有限性定理，其由Faltings证明。

(Hasse)
If N is the number of points on the elliptic
curve E over a finite field with q elements, then
显然N≤#P2(Fq)=q2+q+1.
接下来是研究有理点的具体结构。

二.挠点
E是Q上一条椭圆曲线,则在合适的坐标下其可写成。