江苏省扬州中学2022-2021学年高二上学期开学考试 数学 Word版含答案
江苏省扬州中学高二班级开学考试 高二数学2022．08一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． 函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为 ．2．在ABC ∆中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则ABC ∆的外形是_________三角形．3．已知n m ,为直线，βα,为空间的两个平面，给出下列命题：①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα；③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ；④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为 ．4．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ．5．数列{}n a 满足：2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _ ____．6． 定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12log y x=的定义域为[],,a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．7．已知)(),(x g x f 均为R 上的奇函数且0>)x (f 解集为（4，10），0>)x (g 解集为（2，5），则0)()(>⋅x g x f 的解集为 ．8．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数，则ω的取值范围为 ____．9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x =+--的最小值为 ．10．设实数b y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x ,,02若y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为 ．11．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 ． 12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________．13．设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和，记)(1712*+∈-=N n a S S T n nn n ，设0n T 为数列{}n T 的最大值，则0n = ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S =．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15． (本题满分14分) 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos Bcos C＝－b2a ＋c． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．16．(本题满分14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ； （2）求证://PB 平面AEC ．17．(本题满分15分) 设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为nD ，记nD 内的整点个数为na （n ∈*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且123-⋅=n nn s T ，若对于一切正整数n ，总有≤n T m ，求实数m 的取值范围．PCBDAE18．(本题满分15分）如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C ．(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|→OC ＋→OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求→CE •→CD 的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，假如存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足：①)(x f 在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，)(x f 的值域也是[m ，n ]．则称[m ，n ]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间”．（2）求证：函数x x g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （3）已知：函数x a x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a ）有“和谐区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．20． （本题满分16分）已知首项为1的正项数列{}n a 满足221152n n n n a a a a +++<，n *∈N ．（1）若232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为数列{}n a 前n 项的和．若1122n n n S S S +<<，n *∈N ，求q 的取值范围； （3）若1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka （3k ≥）成等差数列，且12120k a a a ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka 的公差．扬州中学2022-2021高二第一学期开学考查(高二数学)2022．8答案：1．(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞） 2．等边 3．③④ 4135．21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈⎪⎪-⎝⎭⎩ 6．3 7．(5,4)(4,5)-- 8．(0,2] 9．322+ 10．94 11．22 12．14 13．4 14．423n +15.解：(1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334. 16．证明：（1）由于,//AD CD AD BC ⊥， 所以CD BC ⊥ 。
又PCBDAEPB CD ⊥，PB BC B =，PB ⊂平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又⊂CD 平面PCD ，所以平面⊥PCD 平面PBC ．（2）连接BD 交AC 于O ，连OE 。
由于//AD BC ，所以，所以::1:2DO OB AD BC ==又2PE ED =，所以//OE PB 。
OE ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC 。
17．解：（1）na =3n ；（2）∵n s =3(1+2+3+…+n)=2)1(3+n n∴n T=n n n 2)1(+∴1+n T -n T =12)2)(1(+++n n n -n n n 2)1(+=12)2)(1(+-+n n n ∴当n ≥3时,1+n T >n T，且1T =1<32T T ==23.于是32,TT 是数列｛a n ｝的最大项，故m ≥2T =23．18．解：（1）以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则22(1,0),(0,1),(,)22A B C --设(,0)(01)D t t ≤≤，则22(,)22OC OD t +=-，所以2222||()()22OC OD t +=-+， 当22t =时，min 2||2OC OD +=．（2）由题意11(,0),(0,)22D E -，设(cos ,sin )C θθ，3[0,]2θπ∈ 所以1111(cos ,sin )(cos ,sin )1sin cos 2222CE CD θθθθθθ⋅=-+=+-2sin()124πθ=-+。
由于3[0,]2θπ∈，则12sin()[,]422πθ-∈-，所以12[,1]22CE CD ⋅∈+． 19. （1）∵y=x 2在区间[0，1]上单调递增． 又f （0）=0，f （1）=1，∴值域为[0，1]， ∴区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， 故函数在[m ，n ]上单调递增． 若[m ，n ]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．∵x 2﹣3x+5=0无实数根， ∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， 故函数在[m ，n ]上单调递增．若[m ，n ]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m ，n 同号，只须△=a 2（a+3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n ]，. ∵，∴当a=3时，n ﹣m 取最大值20.解：（1）由题意得：1122n n n a a a +<<，所以334x <<，422x x <<，解得()2,3x ∈．（2）由题意得，1122n n na a a +<<，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11122n n n q q q --<<，∴()1110220n n q q q q --⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-<⎩，∴1,22q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 又1122n n nS S S +<<，∴当1q =时，212S S =不满足题意．当1q ≠时，1111122111n n nq q q qq q +---⋅<<⋅---， ∴①当1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()21211n n q q q q ⎧->-⎪⎨-<⎪⎩，()()1121211q q q q ⎧->-⎪⎨-<⎪⎩，解得1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ②当()1,2q ∈时，()()21211n n q q q q ⎧-<-⎪⎨->⎪⎩，()()1121211q q q q ⎧-<-⎪⎨->⎪⎩，无解．∴1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （3）1122n n na a a +<<，且数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a 成等差数列，11a =．∴()()11112112n d na n d +-<+<+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，1n =，2，⋅⋅⋅，1k -．∴()()1121d n d n +>-⎧⎪⎨-<⎪⎩，∴1,1d k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．又12120k a a a ++⋅⋅⋅+=，∴22111202222k d d d d S k a k k k ⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22402k d k k -=-，∴224021,1k k k k -⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，解得()15,239k ∈，k *∈N ， 所以k 的最小值为16，此时公差为1315d =．。
2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期开学质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期开学质量检测数学试题一、单选题1．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】由1m =-可得直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行，即充分条件成立；由直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行，求得m 的值为1-，即必要条件成立；【详解】因为1m =-，所以直线1:210l x y -++=，直线211:022l x y -+=，则1l 与2l 平行，故充分条件成立；当直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行时，21m =，解得1m =或1m =-，当1m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当1m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故必要条件成立.综上知，“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.2．已知向量,a b 满足||1,||2a b ==，且||||a b a b +=-，则|2|a b +=（ ）A ．4BCD ．【答案】D【分析】根据||||a b a b +=-可判断,a b 垂直，进而根据模长公式即可求解.【详解】由||||a b a b +=-两边平方化简可得0a b ⋅=，所以222(2)448a b a b a b +=++⋅=，所以|2|22a b +=． 故选：D3．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）A ．5960 B ．35C ．12D ．160【答案】B【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15．∴他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45． ∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游， ∴至少有1人去北京旅游的概率为：234313455-⨯⨯=．故选：B4．已知m 、n 、l 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，对于下列命题 ①若m α⊂，//n α，则//m n ②//m n 且//m α，则//n α ③//m n 且m α⊥，则n α⊥④若m 、n 是异面直线，//m α，//n α，l m ⊥且l n ⊥，则l α⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．②④D ．①③【答案】B【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可. 【详解】解：对于①若m α⊂，//n α，则m 与n 可能平行也可能异面，故①错误； 对于②，若//m n ，且//m α，则//n α或n ⊂α，故②错误；对于③，若//m n ，且m α⊥，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故③正确； 对于④，若m 、n 是异面直线，//m α，//n α，l m ⊥且l n ⊥，如图，因为//m α，所以存在直线a ，a α⊂且满足//a m ，又l m ⊥，所以l a ⊥ 同理存在直线b ，b α⊂且满足//b n ，又l n ⊥，所以l b ⊥， 因为m 、n 是异面直线，所以a 与b 相交，设a b A =，又,a b α⊂，所以l α⊥，故④正确. 故选：B5．已知π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．19-B ．19C ．D 【答案】A【分析】将πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为πcos[2()π]3α-+，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππππ81cos 2cos[2()π]cos[2()]2sin 11333399αααα⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：A.6．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos a C b =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形【答案】A【分析】由正弦定理和两角和差公式化简2cos a C b =得sin()0A C -=,于是有A C =,即可得答案.【详解】解：因为2cos a C b =，所以2sin cos sin sin[π()]sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C A C ==-+=+=+， 所以sin cos cos sin 0A C A C -=， 即sin()0A C -=, 所以0A C -=，即A C =. 所以ABC 为等腰三角形. 故选：A.7．直线()sin 0,x b b αα-=∈R 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[]0,π B ．2,6625,ππππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.【详解】易得斜率必存在，设sin 0x b α+-=的倾斜角为(0θθπ≤<且2πθ⎫≠⎪⎭，由sin 0x b α+-=可得斜率tank θ===，因为R α∈，所以[]sin 1,1α∈-，所以⎡⎢⎣⎦，即tan θ⎡∈⎢⎣⎦， 所以50,,66ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：C8．已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ）A ．16B ．C ．64D ．【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()4bc b c =+≥64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以121sin 64232ABCSbc π=≥⨯=故选：B.二、多选题9．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（ ） A ．x y < B ．33y x -->CD ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()45x xf x -=-，利用函数()f x 的单调性可得出x 、y 的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.【详解】由4455x y x y ---<-，得4545x x y y ---<-，令()45x xf x -=-，则()()f x f y <． 因为()4xg x =，()5xh x -=-在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增函数，所以x y <，故A 正确；因为()3G x x -=在()0,∞+和(),0∞-上都单调递减，所以当0x y <<时，33x y -->，故B 错误； 当0x <，0y <无意义，故C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：AD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程()x y a a +=∈R 表示B ．方程()20mx y m +-=∈R 表示的直线的斜率一定存在C ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αD ．经过两点()111,P x y ，()()22212,P x y x x ≠的直线方程为()211121y y y y x x x x --=-- 【答案】BD【分析】举例说明可判断A 选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断B 选项；由倾斜角90α=︒的直线的斜率不存在判断C 选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断D 选项.【详解】对于A 选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如2y x =但不能用()x y a a +=∈R 表示，故A 选项错误；对于B 选项，方程()20mx y m +-=∈R 表示的直线的斜率为－m ，故B 选项正确； 对于C 选项，若90α=︒，则直线斜率不存在，故C 选项错误；对于D 选项，经过两点()111,P x y ，()()22212,P x y x x ≠的直线斜率2121y y k x x -=-，而12x x ≠，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D 选项正确. 故选：BD.11．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑P ABC -中，,2PA AB AB ⊥=，其外接球的体积为32π3，当此鳖臑的体积V 最大时，下列结论正确的是（ ）A ．6PA BC ==B ．6V =C ．直线PC 与平面PAB 6D ．P ABC -156-【答案】ACD【分析】由题可知PC 的中点即为P ABC -的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到2212PA BC +=，利用锥体的体积公式计算可判断A 、B 项，利用线面垂直可判断直线PC 与平面PAB 所成角即为BPC ∠，计算其正弦值即可判断C 项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D 项.【详解】解：由题可知，PC 的中点即为P ABC -的外接球的球心，设外接球的半径为R ，则3432ππ33R =，得2R =， 因为222224PA AB BC PC R ++==，所以2212PA BC +=， 鳖臑P ABC -的体积221111(2)()23266P ABC V AB BC PA BC PA BC PA -=⨯=+=≤， 当且仅当6BC PA =max ()2P ABC V -=；故A 项正确，B 项错误.因为三棱柱为直三棱柱，故BC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故BC PA ⊥， 因为,PA AB AB BC B ⊥⋂=,所以PA ⊥平面ABC ， 所以直线PC 与平面PAB 所成角即为BPC ∠，6sin BC BPC PC ∠=C 项正确； 设鳖臑P ABC -的内切球半径为r ，由等体积法11111232222P ABC V AB BC AB PA AC PA PB BC r -⎛⎫=⨯+++= ⎪⎝⎭，得6)6r =，所以r D 项正确. 故选：ACD.12．定义：,a b 两个向量的叉乘为sin a b a b θ⨯=⋅（θ为,a b 的夹角），则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⨯=，//a b B ．()()λλ⨯=⨯a b a bC ．若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于AB AD ⨯D ．若3,1⨯=⋅=a b a b ，则||a b + 【答案】ACD【分析】A 选项，分,a b 至少有1个为零向量，,a b 都不是零向量两种情况下证明出//a b ；B 选项，利用公式进行推导，得到当0λ<时，()()a b a b λλ⨯≠⨯；C 选项，利用三角形面积公式及叉乘定义得到答案；D 选项，对sin ,3a b a b a b ⨯=⋅=，cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=，两边平方相加可得2a b ⋅=，从而利用基本不等式求出||a b +的最小值.【详解】A 选项，若0a b ⨯=，则sin 0a b a b θ⨯=⋅=， 若,a b 至少有1个为零向量，则满足//a b ，若,a b 都不是零向量，则有sin 0θ=，即,a b 同向或反向，故//a b ， 综上：A 正确；()sin ,a b a b a b λλ⨯=⋅，()sin ,a b a b a b λλλ⨯=⋅，若0λ≥，则()sin ,a b a b a b λλ⨯=⋅，此时()()λλ⨯=⨯a b a b ； 若0λ<，则()sin ,a b a b a b λλ⨯=-⋅，此时()()a b a b λλ⨯≠⨯， 故B 错误；若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积为12sin ,sin ,2AB AD AB AD AB AD AB AD AB AD ⨯⋅=⋅=⨯，故C 正确； sin ,3a b a b a b ⨯=⋅=，cos ,1a b a b a b ⋅=⋅=，两式平方后相加得：2a b ⋅=，222222226a b a a b b a b a b +=+⋅+=++≥⋅+=， 当且仅当a b =时，等号成立，故||a b +D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则f=___________.【答案】17【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解. 【详解】设()f x x α=，由()f x 的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得124α=，解得2α=-()2f x x -∴=，故17f =.故答案为：17.14．已知直线l 过点()2,1，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为___________.【答案】20x y -=或240x y +-=【分析】分截距为0和截距不为0分别设出直线方程，代入点()2,1解出方程即可. 【详解】当截距为0时，设直线方程为y kx =，直线l 过点()2,1，所以12k =，解得12k =，直线方程为12y x =，即20x y -=； 当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，直线l 过点()2,1，所以2112a a+=，解得2a =，直线方程为142xy +=，即240x y +-=； 故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=. 故答案为：20x y -=或240x y +-=.15．在△ABC 中，AB =AC =∠BAC 为钝角，P ，Q 是BC 边上的两个动点，且PQ =2，若AP AQ ⋅的最小值为3，则cos ∠BAC =___________.【答案】1010-【分析】取PQ 中点O ，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得21AP AQ AO ⋅=-，进而可得当AO BC ⊥时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可【详解】取PQ 中点O ，则()()AP AQ AO OP AO OQ ⋅=+⋅+()221OP AO AO OQ OQ AO OP =+⋅++⋅=-，因为AP AQ ⋅的最小值为3，故2AO 的最小值为4，即AO 的最小值为2，易得当AO 最小时AO BC ⊥，且2AO =.所以222BO AB AO =-=，224CO AC AO =-=，故246BC =+=()()2222225610cos 1022225BAC +-∠==-⨯⨯故答案为：1016．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，4PA =，2AB AC BC a ===，M 为AC 的中点，球O 为三棱锥P ABM -的外接球，D 是球O 上任一点，若三棱锥-D PAC 体积的最大值是43O 的体积为___________. 【答案】86π【分析】分析可知三棱锥P ABM -外接球球心为PB 中点O ，求出点O 到平面PAC 的距离，可得出点D 到平面PAC 的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于a 的等式，求出a 的值，可得出球O 的半径R 的值，再利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】正ABC 中，M 为AC 的中点，则BM AC ⊥， 而PA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，则BM PA ⊥， 而PAAC A =，PA 、AC ⊂平面PAC ，则BM ⊥平面PAC ，PM ⊂平面PAC ，所以，BM PM ⊥， PA ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，PA AB ∴⊥，所以，PB 的中点到点A 、B 、M 、P 的距离相等， 即三棱锥P ABM -外接球球心为PB 中点O ， 从而，点O 是三棱锥P ABM -外接球球心，设球O 的半径为R ，则22224164R PA AB a =+=+，224R a ∴=+， 因为PAM △的外接圆圆心为PM 的中点，设为F ，连接OF ，因为O 、F 分别为PB 、PM 的中点，则//OF BM ，故OF ⊥平面PAF ，如图，则有132OF BM ==，即O 到平面PAC 3， 因此D 到平面PAC 距离的最大值为2334R a =+， 又14242PACSa a =⨯⨯=，即有2213444334a a a ⨯+=2a = 所以，6R =O 的体积为34863R ππ=.故答案为：86π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题17．已知复数z 满足()13i i z +=+． (1)求复数z ；(2)若复数i z a +在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)(),1-∞【分析】（1）利用复数的除法运算可得出复数z ；（2）先化简复数i z a +，由已知及复数的几何意义可得出实数a 的不等式，解不等式即可.【详解】(1)()1i 3i z +=+， ()()()()3i 1i 3i 42i 2i 1i 1i 1i 2z +-+-∴====-++- (2)由（1）得2i z =-，则()i 21i z a a +=+-，因为复数i z a +在复平面内对应的点在第四象限，10a ∴-<，解得1a <.即实数a 的取值范围是(),1-∞.18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3．(1)求证：P A ⊥平面PCD ；(2)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析3【分析】（1）取棱PC 的中点N ，连接DN ，可得DN ⊥PC ，利用面面垂直的性质定理可得DN ⊥平面P AC ，从而得到DN ⊥P A ，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接AN ，由线面角的定义可得，∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可．【详解】(1)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，由题意可知，DN ⊥PC ，又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ， 所以DN ⊥平面P AC ，又P A ⊂平面P AC ，故DN ⊥P A ，又P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，CD ，DN ⊂平面PCD ，则P A ⊥平面PCD ；(2)连接AN ，由（1）可知，DN ⊥平面P AC ，则∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角，因为PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点，所以DN 3DN ⊥AN ，在Rt DAN △中，sin ∠DAN ＝3=DN AD 故直线AD 与平面P AC 3 19．已知直线:210l x y -+=，点()3,0A ．(1)求点A 关于直线:210l x y -+=的对称点；(2)求直线:210l x y -+=，关于点A 的对称直线m 的方程．【答案】(1)1314,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)213y x =-【分析】（1）设点A 关于直线l 的对称点为(),m n ，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得关于m 和n 的方程，解之即可；（2）设直线m 的方程为2y x b =+，在直线l 上取一点()0,1，求得它关于点A 的对称点，并将其代入所设方程，解出b 的值即可．【详解】(1)设点A 关于直线l 的对称点为(),m n ，则这两点的中点为3,22+⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ，所以3210220213m n n m +⎧⋅-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得m 135=-，n 145=， 所以点A 关于直线l 的对称点为1314,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)由题意知，直线m 的斜率为2k =，设其方程为2y x b =+，在直线l 上取一点()0,1，它关于点()3,0A 的对称点为()6,1-，而该点在直线m 上，所以126-=⨯+b ，解得13b =-，所以直线m 的方程为213y x =-．20．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++=两个条件中任选一个完成以下问题：(1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B =(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =； （2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值.【详解】(1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=-即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos2()3cos cos2(π)3cos cos23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=，∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83π43sin 243363A ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭所以AC 边上的高的最大值为432312b =． 21．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[)[)[]0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)采用分层抽样的方法从[)[)1,1.5,1.5,2这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.【答案】(1)0.40a =(2)2.06小时 (3)37【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.【详解】(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[)[)[]0,0.5,0.5,1,,4,4.5的频率分别为0.04,0.08,0.15，0.5,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02a .由()10.040.080.150.250.150.070.040.020.5a -+++++++=，得0.40a =.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时.因为前5组频率和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，前4组频率和为0.470.5<，所以2 2.5m <<由()0.5020.50.47m -=-，得 2.06m =.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.(3)由题意得，周末阅读时间在[)[)1,1.5,1.5,2中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作,,A B C 及a b c d ,,,.从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间Ω{,,,,,,,,,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad BC Ba Bb Bc Bd Ca Cb Cc =，,,,,,,}Cd ab ac ad bc bd cd ，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，抽取的2人在同一组包含的样本点有,,,,,,,,AB AC BC ab ac ad bc bd cd ，共9个， 故所求概率93217p ==. 22．已知函数()()23221,f x x a x a a R =-+++∈.(1)求()f x 在[]0,2上的最小值；(2)设函数(),11x g x x x =>-+，若方程()()0f g x =有且只有两个不同的实数根，求a 的取值范围.【答案】(1)()2min 221,39422,.433241,3a a a a f x a a a ⎧+≤-⎪⎪+⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩(2)12a <-或49a =-【分析】（1）由函数解析式，可得该二次函数的对称轴与开口方向，根据对称轴与闭区间的位置关系的不同，进行讨论，得到不同情况下的函数单调性，可得最小值；（2）根据方程与函数的关系，利用整体换元的解题方法，将其转化为二次函数求零点问题，根据函数图像的特点，将根据二次函数的零点取值范围的不同，进行讨论，解得最后答案.【详解】(1)因为函数()f x 的对称轴方程为322a x +=，且开口向上， ①当3202a +≤时，即23a ≤-时， ()f x 在[]0,2上单调递增，所以()min ()021f x f a ==+.②当32022a +<<时，即2233-<<a 时， ()f x 在320,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在32,22a +⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增， 所以2min 3294()24a a a f x f ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ③当3222a +≥时，即23a ≥时， ()f x 在[]0,2上单调递减，所以()min ()241f x f a ==-+.综上①②③，()2min221,39422,.433241,3a a a a f x a a a ⎧+≤-⎪⎪+⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩ (2)令()t x g =，由题意可知()0f t =一定有解，不妨设为12,t t ，且12t t ≤，则()()0f g x =等价于以下四种情况：①当120,1t t =≥时，由()00f =解得12a =-，此时212t =，不符合题意.②当12t t ≠且12,1t t ≥时，需满足()Δ0,321,210,a f >⎧⎪+⎪>⎨⎪≥⎪⎩此时无解. ③当1201t t <=<时，需满足Δ0,3201,2a =⎧⎪⎨+<<⎪⎩解得49a =-. ④当1201t t <<<时，需满足()()00,10,f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩解得12a <-. 综上①②③④，可得：12a <-或49a =-.。
山东济宁任城区2021-2022学年高二上学期统考数学试题 Word版含答案
第5题图第15题图高二模块考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟． 留意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目填涂在答题卡的相应位置．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 第Ⅱ卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置，答卷前请将答题纸密封线内的学校、班级、姓名、考试号填写清楚．考试结束，监考人员将答题卡和答题纸按挨次一并收回． 第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.设 ,,a b c R ∈，且a>b ，则 ( )A.11a b <B.22a b >C.a c b c ->-D.ac>bc 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S 8=-24，1a =4，则公差d 等于 （ ）A ．1 B. 53C. 3D. -23.ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===，，，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．64．在等比数列{}n a 中，221=+a a ，643=+a a ，则87a a +等于（ ） A ．52 B ．53 C ．54 D.555.如图所示，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A ，B 间距离的是（ ）A ．α，β，bB ．α，β，aC ． a ，b ，γD ．α，a ，b6.△ABC 满足：cos cos cos a b cA B C==，那么此三角形的外形是 （ ） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 任意三角形 D. 等腰三角形7.下列函数中，最小值为4的是A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x =+(0)x π<<C. 4x xy e e =+D. 3log 4log 3x y x =+ 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 （ ）A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元9．已知等差数列的前n 项和为n S ，且150S >，160S <，则此数列中确定值最小的项为（） A.第9项 B.第8项 C. 第7项 D.第6项10.当1x >时，不等式21mx mx x ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．)322,⎡-+∞⎣B ．)322,⎡++∞⎣C ．(,322-∞-D ．(,322-∞+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上). 11.2242M a b a b =+-+的值与5-的大小关系是M -5； 12.已知等差数列{}n a 中，满足2136=+a a ，则18S = ； 13. 设0>a ，0>b ，若3是a 3与b 3的等比中项，则ba 11+的最小值为 ； 14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)12(1-221n -⨯=+n nn a ）（， 则n S = ；15.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB = ． 三、解答题（本大题共6小题，满分共75分） 16.（本小题满分12分）第20题图在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且3=a ，3=b ，060=A ，求角B 和ABC ∆的面积．17.（本小题满分12分） 设函数2()f x x ax b =-+（Ⅰ）若不等式()0f x <的解集是{}|23x x <<，求不等式012>+-ax bx 的解集； （Ⅱ）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n b na n +=)21(，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为c b a ,,，且满足(2)cos cos 0c a B b A --= （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若7,13b a c =+=,求∆ABC 的面积.20、（本小题满分13分）如图，将宽和长都为x ，y （x<y ）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为45.（注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线相互垂直的图形） （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）当x ,y 取何值时，该正十字形的外接圆直径d 最小，并求出其最小值.21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，且数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1(1)1(1)22n nn n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． （III ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n R ． 高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分（Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分 （Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分高二模块考试数学试题答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-5 CDACD 6-10 BCDBD二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.≥ 12. 18 13. 4 14.12111--=+n n S 15.)sin(tan sin βαθβ+⋅⋅s三、解答题（本大题共6小题，满分共75分）16.（12分）解：由正弦定理得213233sin sin =⨯==aAb B o 30=∴B 或 o 150，o 60=A 且 b a >，o 30=∴B ． …………………6分0090180=--=∴B A C ，23313321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ． …………………12分 17.（12分）解：（Ⅰ）由于不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，…… 2分由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -++>为26510x x -+>， …… 4分 解不等式26510x x -+>得其解集为11|,32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或．……6分 （Ⅱ）据题意，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则24(3)0a a ∆=--≤，…… 10分 整理得：01242≤-+a a ，解得62a -≤≤． …… 12分 18.（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，……4分当1=n 时，12a =也适合上式，∴n a n 2=. …………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知，n n b n a n n+=+=)41()21(. ………………………8分∴211[(1())]111(1)44()()(12)1444214n n n n n T n -+=+++++++=+- 11(1)[1()]342n n n +=-+. ………………………12分 19.（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=由于0sin ≠C ,所以21cos =B , 所以3π=B……………………………………6分（Ⅱ）由于B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+= 由于7,13b a c =+=，3π=B 40ac ∴=1sin 2S ac B ∴==……………………………………12分 20.（13分）解：（Ⅰ）由于5422=-x xy ，则x x y 2542+=,由于x y >，所以x xx >+2542，故4520<<x . 所以解析式为x x y 2542+=（4520<<x ）.（未给出x 的范围，酌情扣分）…6分（Ⅱ）由图可知+=+=2222x y x d 22)254(x x +=52204522++xx 5210+≥ 当且仅当2=x ，15+=y 时，正十字形的外接圆直径d 最小，最小为5210+ ……………………………………13分 21.（14分）解：（Ⅰ）由22n n S a +=，当2n ≥时，1122n n S a --+= 两式相减得，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，又由于当1n =时，1122S a +=，1122S a +=12a ∴={}n a ∴是等比数列，首项12a =，公比2q =，2nn a ∴=…………4分又有12n n b b +=+，所以12n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，首项11b =，公差2d =，21n b n ∴=-…………6分（Ⅱ）当n 为奇数时，2nn c =，当n 为偶数时，21n c n =-，352123521212232527...2(41)(222...2)[3711...(41)]2(14)(341)1422123n n n n n T n n n n n n--+∴=-+-+-++--=+++-++++--+-=---=--………………………………10分（III ）由题意得231123252...(23)2(21)2n nn R n n -=⋅+⋅+⋅++-+-……①23412123252...(23)2(21)2n n n R n n +∴=⋅+⋅+⋅++-+-……②①－②得341+12(22...2)(21)2n n n R n +-=++++--3112(12)=2+(21)212n n n -+----1(23)26n n R n +∴=-+…………………14分。
2021-2022年高二上学期期中考试数学试题 含答案(VIII)
2021年高二上学期期中考试数学试题 含答案(VIII)一.填空题（每小题4分，共56分） 1．已知向量，，若，则 ．2．若直线经过点，的方向向量为，则直线的点方向式方程是 . 3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 ．4．若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为 ．5．直线过点与以为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围是 ． 6．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围为 ． 7．已知△ABC 是等腰直角三角形，，则＝ ．8．设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≥310,y x y x y x ，则的取值范围为___________.9．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ．10．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是 ．11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为 ．12．是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．13．已知函数与的图像相交于、两点。
若动点满足，则的轨迹方程为 ． 14．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是,则 ． 二.选择题（每小题5分，共20分）15．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ）16．直线和直线063)2(:2=++-a y x a l ,则“”是“”的 ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 17．已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系 （ ）（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交且不过圆心 （D ）相交且过圆心 18. 已知是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点,动点满足()+∞∈⎪⎫⎛++=,0,λλ,则动点的轨迹一定通过的（A ）重心 （B ）垂心 （C ） 外心 （D ） 内心 ( ) 三.解答题（12分＋14分＋14分＋16分＋18分，共74分）19．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，边上的高所在的直线方程是 （1）求边所在的直线方程； （2）求边所在的直线方程．20．已知直线过点且被两条平行直线和截得的线段长为，求直线的方程．21．若、是两个不共线的非零向量，(1) 若与起点相同，则实数为何值时，、、三个向量的终点在一直线上? (2) 若，且与夹角为，则实数为何值时，的值最小?22．已知点()()120,2,4,6,A B OM t OA t AB =+；(1) 若点在第二或第三象限，且，求取值范围；(2) 若R t t ∈==θθθ,sin ,cos 421,求在方向上投影的取值范围； (3) 若，求当,且的面积为12时，和的值．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为 短轴的两个端点分别为，且为等边三角形 . (1) 求椭圆的方程；(2) 如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ； 过点M 作 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；(3) 已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程．金山中学xx 第一学期高二年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 俞丹萍 沈瑾）一.填空题（每小题4分，共56分） 1．已知向量，，若，则 ．32．若直线经过点，的方向向量为，则直线的点方向式方程是 . 3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 ．4．若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为 ．5．直线过点与以为端点的线段AB 有公共点，则直线倾斜角的取值范围是 ． 6．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围为 ． 7．已知△ABC 是等腰直角三角形，，则＝ ．8．设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≥310,y x y x y x ，则的取值范围为___________.9．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ．10．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是 ． 11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为 ．12．是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤． ①④⑤13．已知函数与的图像相交于、两点。
陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
西安市第一中学2022-2021学年度其次次月考考试高二数学（文科）试题一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是( )A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠ D.若1tan ≠α，则4πα=2.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=5.抛物y ＝4x 2的焦点坐标是( )．A ．(0，1)B ．(0，116)C ．(1，0)D ．(116，0)6.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ） A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -=7.曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x yB. 32--=x yC. 12+-=x yD.12+=x y8．下列结论正确的是个数为（ ） ①y=ln2 则y ′=； ②y=则y ′=③y=e ﹣x 则y ′=﹣e ﹣x ； ④y=cosx 则y ′=sinx ．A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．10. 已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）=x 2+3xf ′（1），则f ′（1）的值等于（ ） A ．B ．C ．1D ．﹣1 11.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A ．D ．+=1B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于_______________ 14. 函数1()ln 2xf x xx-=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________ 15. 椭圆的左右焦点为F 1，F 2，b=4，离心率为，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．16函数f （x ）=xlnx 的递减区间是__________。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题-高二化学(后附参考答案)
江苏省扬州中学2021-2022学年第二学期期中检测高二化学2022.4考试时间：75分钟总分：100分可能用到的相对原子质量：H-1C-12O-16I-127Ca-40选择题（共42分）单项选择题（本题包括14小题，每题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意）1.“碳中和”是指CO 2的排放总量和减少总量相当。
下列措施中能促进“碳中和”最直接有效的是A.研发催化剂将CO 2还原为甲醇B.大规模开采可燃冰作为新能源C.安装脱硫设备减少煤燃烧污染D.将重质油裂解为轻质油作为燃料2．下列有机物命名正确的是A．OHCH 3甲基苯酚B．2-甲基-1-丙醇C．CH 2=CH－CH=CH 21，4—丁二烯D．CH 3 CH CH 3CH 2 CH 32—甲基丁烷3.反应C 2H 2＋2CuCl −−→Cu 2C 2＋2HCl 可用于制备有机反应催化剂乙炔铜。
下列有关说法正确的是A.Cl -的结构示意图： B.C 2H 2分子中σ键和π键个数之比为3:2C.HCl 的电子式：D.铜基态原子价电子排布式为3d 94s24．设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．1mol 的羟基（-OH）含电子数为10N A B．7.8g 苯中含有的碳碳双键数为0.3N AC．标准状况下，2.24L CHCl 3的原子总数为0.1N AD．一定温度下，15g 甲醛和乙酸的混合物中含氧原子数为0.5N A5.下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是A.乙烯具有可燃性，可用作果实的催熟剂l 4密度大于水，可用作卤素单质的萃取剂C.甲醛能使蛋白质凝固，其水溶液可用于农作物种子的消毒D.乙二醇无色、有甜味，可用作汽车防冻液6．下列离子方程式正确的是A．向醋酸中加入少量碳酸钙粉末：2H ＋＋CaCO 3===Ca 2＋＋CO 2↑＋H 2O B．酸性FeSO 4溶液长期放置发生变质：4Fe 2＋＋O 2＋4H ＋===4Fe 3＋＋2H 2O C．溴乙烷与热的氢氧化钠的醇溶液煮沸：C 2H 5Br +OH－C 2H 5OH +Br－D．用新制的Cu(OH)2检验乙醛中的醛基：CH 3CHO＋Cu(OH)2＋OH －→CH 3COO －＋Cu＋2H 2O7.我国学者以熔融的NaOH—KOH 作电解质，在Fe 2O 3/AC 催化条件下，以N 2和H 2O 为原料气，在250℃、常压条件下成功实现电催化合成氨，其装置如下图所示。
吉林省扶余市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
扶余市第一中学2021—2022学年度上学期期中考试高二数学理科试卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题60分）留意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1．已知,,a b c 都是实数，则命题“若a b >，则22ac bc >”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．0 2. 抛物线ax y -=2的准线方程为2-=x ，则a 的值为（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-3. 从一批产品中任取3件，设=A “三件全是正品”，=B “三件全是次品”，=C “至少有一件正品”，则下列结论正确的是 ( )A. A 与 C 互斥B. A 与 B 互为对立大事C. B 与 C 互斥D. A 与 C 互为对立大事4．总体由编号为20,19,,03,02,01⋅⋅⋅的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 （ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A ．08B ．07C ．02D ．015．用秦九韶算法求多项式1345.0)(245-+-+=x x x x x f ，当3=x 时，先算的是( ) A ．933=⨯ B ．5.121355.0=⨯ C ．5.5435.0=+⨯ D ．5.163)435.0(=⨯+⨯6.五张卡片上分别写有1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取一张，大事A 为“抽出的卡片上的数字为偶数”，大事B 为“抽出的卡片上的数字为1”，则=)(B A P ( ) A ．53 B ．51 C ．54D ．1 7.某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则推断框中可以是( ) A ．?6>i B ．?7>i C ．?6≥i D ．?5≥i 8.实数0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ，90=∠BAD ，︒=∠30BAC ，则AB →·CD →等于（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 10.在投实心球测试活动中，经过多次测试，小明同学的成果在m 10~8之间，小华成果在m 5.10~5.9之间，现小明、小华各投一次，则小明投的比小华远的概率是（ ）A ．161 B ．43 C ．41 D ．16511. 小李在做一份调查问卷，有5道题，其中有两种题型，一种是选择题共3道，另一种是填空题，共2道，小李从中任选2道解答，每一次选1题（有放回），则所选题目是同一种题型的概率为（ ） A ．2512 B ．2513 C ．52 D ． 53 12. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆C 上任一点，且→→⋅||||21PF PF 的最大值的取值范围是]3,2[22b b ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.]22,33[B.]22,0( C ．)1,36[ D.]36,22[第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．依次投掷两枚均匀的骰子，则所得的点数之差的确定值为4的概率是_______．（第7题图）14．已知命题p ：∃x 0∈R ，021020<++x ax ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围________．15．已知双曲线的渐近线方程是043=±y x ，则双曲线的离心率等于________． 16．已知直线l ：)4(3-=x y 与抛物线x y 162=交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，则11||||AF BF +=___________． 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发觉，次商品的销售单价x （百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程，请你猜测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：x b y axn x xyx n yx bni ini ii ˆˆ,)(ˆ1221-=---=∑∑==. 18．（本小题满分12分）某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；并利用频率分布直方图估量平均数； （2）从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中接受分层抽样的方法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．19．（本小题满分12分）已知两点M (－1，0)、N (1，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．（本小题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E ,,分别为11111,,C B D C CC 的中点． （1）求证：⊥DG 平面BEF ；（2）求直线AE 与平面BEF 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面SCD ，已知2==SD SA ，F 为线段SD 的中点．(1) 求证：//SB 平面ACF ； (2) 求二面角S BF C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，直线2:=y l 上的点和椭圆C 上的点的距离的最小值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线m 交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴组数 分组 “低碳族”的人数占本组的频率第一组 [25，30) 120 0.6 其次组 [30，35) 195 p 第三组 [35，40) 100 0.5 第四组 [40，45) a 0.4 第五组 [45，50) 30 0.3 第六组[50，55]150.3A1A B1B C1C D1D EFG1( ，求||AB的取值范围．交于点N，点N的横坐标的取值范围是)0,3高二数学理科答案一．选择题： BBCDC ，ACBCA ，BD 二．填空：13. 14. 15. 16.三．解答题：17.18.(1)其次组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以组距频率＝50.3＝0.06. 频率分布直方图如下：第一组的人数为0.6120＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝0.2200＝1 000.由于其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝300195＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150. 所以a ＝150×0.4＝60. 平均数：岁.(2) 由于年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以接受分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的状况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，m)，(a ，n)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，m)，(b ，n)，(c ，d)，(c ，m)，(c ，n)，(d ，m)，(d ，n)，(m ，n)，共15种，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的状况有(a ，m)，(a ，n)，(b ，m)，(b ，n)，(c ，m)，(c ，n)，(d ， m)，(d ，n)，共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝158. 19.解，，又由于|→MN |·|→MP |＋→MN ·→NP＝0，所以整理得：20.(1)如图建立空间直角坐标系，D 为原点，,又由于，所以平面.(2) 设平面的法向量为由于所以令所以又由于设直线与平面所成角为，所以.21.证明：设AC ，BD 相交于点O ，连接OF ，由于ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，由于F 是SD 的中点，所以OF//SB 又由于所以平面；(2)以DS为X轴，DC为Y 轴，如立空间直角坐标系，则：设平面BFS的法向量为法二：以S为原点，SC为y轴，则平面CBF 的法向量为平面BFS 的法向量为结果同上22.（1）由题知所以椭圆的方程：（2）设直线联立整理得：记线段中点可得故点直线方程为所以，所以即（3）。
扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.82.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+C.a b c-++D.a b c+-r r r3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13C.19D.1184.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.85.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.7156.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.2D.37.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.6B.3C.3D.68.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a =C.()56a a b⊥+D.a 与b夹角的余弦值为6-10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ<B.12()()E E ξξ>C.12()()D D ξξ<D.12()()D D ξξ>11.已知)66016xa a x a x -=+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.)251236360a a a++++= 12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D.设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P0.2a0.514.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.15.若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.16.已知函数()e ln xaf x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n n A A =，求正整数n .18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .19.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．20.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA =，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ 是否为定值？若是定值，求OQ 的值；若不是，请说明理由．22.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34ea ≥，证明：()0f x <.江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.8【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为236⨯=种.故选：C2.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+ C.a b c-++ D.a b c+-r r r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得111A B A A AB C C CB CA a b c =+=+-=-+-，故选：A.3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13 C.19 D.118【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】因为两个独立事件A 和B ，所以()()()P AB P A P B =⋅,(()(),P AB P A P B =()()(),P AB P A P B =结合1()()()(),()()9P A P B P A P B P A P B ==,()1(),P A P A =-()1(P B P B =-即可求出答案.【详解】由题设条件可得,1()()((),(()9P A P B P A P B P A P B ==,又()1()()1()P A P A P B P B =-=-且,解得1(()3P A P B ==.所以2()1(3P A P A =-=.故选：A.4.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.8【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a ，b 的值，列出方程求出m .【详解】2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为2m m C ，故2m ma C =，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为21m m C +或121m m C ++，两者相等，不妨令21m m b C +=，则有221158m mm m C C +=，解得：7m =.故选：C5.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.715【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是131********⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1B.1C.2D.3【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用2POF V 为等边三角形，构造焦点三角形12F PF ，根据几何关系以及椭圆定义，得到,a c 的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接1F P，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-=-=，故可得：3131c a ==+．故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.336B.33C.33D.36【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，进而可求直线1AD 与平面BDE 所成角.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB = ，()0,2,1DE = ，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z=，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.8.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b<< B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2(3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()xf x x=，则222ln 3(33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xtx =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln tt x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a=--，()3,4,5b=，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a = C.()56a a b⊥+ D.a 与b夹角的余弦值为6-【9题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A 选项：2(1,2,7)ab +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B选项：55a ====，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b += ，6)281191350a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D选项：a ==，b == 6455a b ⋅=--+=-所以c 6os ,a b a b a b⋅===-，故D 正确；故选：BCD.10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ< B.12()()E E ξξ> C.12()()D D ξξ< D.12()()D D ξξ>【10题答案】【答案】AC 【解析】【分析】由已知得12102p p <<<，2111112p p <-<-<，由期望公式求出1122(),()E p E p ξξ==，再根据方差公式求出12,()()D D ξξ，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，又()()1111101E p p p ξ=⨯+⨯-=，2222101E p p p ξ=⨯+⨯-=（）（），∴12()()E E ξξ<,又()()()()2221111111101D p p p p p p ξ=-+--=-，()()()()2222222222101D p p p p p p ξ=-+--=-，所以()()()()()22121122211210D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<，所以12()()D D ξξ<．故选：AC.11.已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.25123636a a a ++++= 【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为61606r r r r TC x r r N-+=-≤≤∈(),,对于A ，令0x =，得608a ==，则20log 3a =，A 正确．对于B ，016,,a a a ⋯这7个数中，当r 为偶数时，对应0246,,,a a a a 为有理数，B 错误．对于C ，()33336C1a=-=-C 正确．对于D ，对)66016x a a x a x=+++ 两边同时求导，得)55126626x a a x a x --=+++ ，令x =251236360a a a ++++= ，D 正确．故选：ACD12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB+是定值4D.设OMN OABS S λ=△△，则2λ≥【12题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用弦长公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线2C 的焦点为()0,1F ，若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，则124x x =-，121212121164y y x x k k x x ===-，A 对；对于B 选项，设10k >，则20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =，不妨设点A在第三象限，则A ⎛⎫ ⎝，设点B在第四象限，同理可得B ⎛⎫，点B 到直线OA 的距离为d =，OA =，所以，1111122112122OABk k S OA d k k +=⋅==+△，B 对；对于C 选项，()()22221222221212414133241414141k k OA OB k k k k +++=+=++++++()()()()2222121222221212344234422254424141k k k k k k kk ++++=+=+=++++，C 错；对于D 选项，1214OMN OABOM ONx x S S OB OA ⋅===⋅△2≥=，当且仅当112k=±时，等号成立，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P 0.2a 0.5【13题答案】【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数a ，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，()()()1231P X P X P X =+=+==，可解得0.3a =，故()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：2.314.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.【14题答案】【解析】【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA ===，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =.15.若(2)(0)n a x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为___________.【15题答案】【答案】(,104【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n 的值，再求出第r +1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2)n ax -的展开式中各项的二项式系数之和为256，则2256n =，解得8n =，(2)n a x -的展开式中第r +1项的系数为88(1)(2)C r r r a --⋅，N,8r r ∈≤，而0a >，则当r 为奇数时，第r +1项的系数为负，当r 为偶数时，第r +1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：446288442688(2)C (2)C (2)C (2)C a a a a ⎧>⎨>⎩，化简整理得：215108a <<，解得104a <<，所以a的取值范围为,)104.故答案为：,)104【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16.已知函数()e ln x a f x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．【16题答案】【答案】①.(e 1)1y x =--②.e 【解析】【分析】求导，代入1x =求出(1)e 1f '=-，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到e a x x ≤，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a 的最大值.【详解】由题意当1a=时，()e ln 2x f x x x =+-，1()e 2xf x x'=+-，则(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为(e 1)1y x =--．因为(1,),()0x f x ∈+∞≥，即e ln 0x a a x x x +--≥，则ln ln e e a a x x x x -≥-，令()ln ,1m t t t t =->，故11()10tm t t t-'=-=<，在(1,)+∞上恒成立，故()m t 在(1,)+∞上单调递减，故e a x x ≤，得ln a x x ≤，即ln x a x≤，记()(1)ln xx x x ϕ=>，则2ln 1()(1)ln x x x xϕ-'=>，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'<，当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故函数()ϕx 在(1,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，故()ϕx 的最小值是(e)e ϕ=，故e a ≤，即实数a 的最大值是e ．故答案为：(e 1)1y x =--；e .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n nA A =，求正整数n .【17题答案】【答案】（1）1；（2）8.【解析】【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）54888589272876547876518765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯；（2）∵33210n nA A =，∴2(21)(22)10(1)(2)⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-n n n n n n ，又3n ≥，化简得42510n n -=-，解得8n =.18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【18题答案】【答案】（1）2-（2）1094-（3）2187【解析】【分析】（1）分别令0x =、1x =可求得0a 、01234567+++++++a a a a a a a a 的值，即可求得1237a a a a ++++ 的值；（2）分别令1x =、1x =-，将所得两式作差可求得1357a a a a +++的值；（3）分析可知当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令1x =-可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-，①因此，()12372370102a a a a a a a a a a ++++++++=+-=- .【小问2详解】解：令1x =-可得70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--，②①-②可得13571218710942aa a a --+++==-.【小问3详解】解：()712x -的展开式通项为()()177C 2C 2k kk k kk Tx x+=⋅-=⋅-，则()7C 2kk ka=⋅-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <.所以，7012345601234567732187a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++==----.20.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【20题答案】【答案】（1）91100（2）910【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P 的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C ，则“这四次投球均未命中”是事件C 的对立事件，则()1199112225100P C =-⨯⨯=【小问2详解】依题意，29(1)25P -=，则25P =记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),()()2525P A P B P A P B ====甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，()()13302510P P AB ξ===⨯=，()()()13121125252P P AB P AB ξ==+=+=，()()1212255P P AB ξ===⨯=，则ξ的分布列为：ξ012P31012153119()012102510E ξ=⨯+⨯+⨯=22.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE⊥平面BCD ，得出CD ⊥AE ，再由CD ⊥EF 可得CD ⊥平面AEF ，即可得出平面ACD ⊥平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当0,cos y =θ最大，θ最小，即可得出此时点G 为BD 的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ，又因为BD⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ,设BC =4，则EA =，DF =FC =l ，E F 以{,,}EH EF EA为正交基底，建立如图空间直角坐标系E -xyz ,则(0,0,0),(0,0,(1,(1,E A C D -,设(1,,0)G y ，则(0,0,(1,EA AD ==- ,(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z →=,由1100n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)n y →=-，设平面ACD 的法向量为2222(,,)nx y z →=，则2200n CD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2222200x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n →=,设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ,则12cos |cos ,||n n →→=<>==θ，当0,cos y =θ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA = ，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:ly kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ是否为定值？若是定值，求OQ的值；若不是，请说明理由．【24题答案】【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，OQ =【解析】【分析】（1）设出点P 的坐标，进而根据3AB PA →→=求出它的坐标代入椭圆方程，再根据BF BP ⊥，结合斜率公式求得答案；（2）联立22184y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简，根据判别式为0得到k ,m 的关系，再联立()12y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩求出点Q 的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设()00,P x y ，易知()0,B b ，因为3AB PA →→=，所以()()002,32,b x y -=--，所以083x =，03b y =-．因为P 在椭圆C 上，所以22264991b a b+=，所以28a =．因为BF BP ⊥，所以12b b c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以22b c =．因为222a b c =+，所以28a =，224b c ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()222216412280k m k m ∆=-+-=，得2284m k =+．当0k =时，直线l 的方程为2y =±，OQ =当0k ≠时，直线AQ 的方程为()12y x k=--，联立方程组()12y x k y kx m⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，得Q 的坐标为2222,11km m k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()()222222222224111km m k m OQk k k -++=+=+++．因为2284m k =+，所以22284481k OQ ++==+，所以OQ =故OQ为定值，且OQ =．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.26.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34e a≥，证明：()0f x <.【26题答案】【答案】（1）1ey x =--（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得e ()ln xf x x x=-，即可得到()1f ，再求出函数的导函数，即可求出()1f '，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证2e ln 0x a x x x ->，令2e ()x a g x x=、ln ()x h x x=，,()0x ∈+∞，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】21解：当1a =时e ()ln x f x x x=-，所以()1e 1ln1e 1f =-=-，又()21e 1()x x f x x x -'=-，所以()11f '=，即切点为()1,e -，切线的斜率1k =，所以切线方程为()()e 11y x --=-，即1ey x =--【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，,()0x ∈+∞，所以3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min3e 4e 1()(2)4e 4e a g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，,()0x ∈+∞，所以21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)e h x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x->成立，所以()0f x <.。
山东省济南市历城区第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
启用前绝密历城二中53级高二期中调研考试文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页,考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.留意事项：1答题前，考生务必用05毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3第Ⅱ卷必需用05毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效.4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）椭圆x2＋4y2＝1的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）（2）在△ABC中，“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件（3）若不等式对于一切成立，则a的最小值是（A）0 （B）-2 （C ）（D）-3（4）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()．（A）4x2＋9y2＝1 （B）9x2＋4y2＝1 （C）36x2＋9y2＝1 （D）9x2＋36y2＝1（5）过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()．（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条（6）在等比数列中，若，则（A）9 （B）1 （C）2 （D）3（7）已知，给出下列四个结论：①②③其中正确结论的序号是（A）①②③（B）①②（C）②③（D）③（8）已知满足约束条件，则的最大值为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（9）下列各式中最小值为2的是（A ）（B ）（C ）（D ）（10）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（A）1006 （B）1007 （C）1008 （D）1009（11）过双曲线(，)的右焦点作圆的切线(切点为)，交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率为（A ）（B ）（C）2 （D ）（12）在△ABC 中，点分别为边和的中点，点P 是线段上任意一点（不含端点），且△ABC的面积为1，若△PAB，△PCA，△PBC 的面积分别为，记，则的最小值为（A）26 （B）32 （C）36 （D）48第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）等差数列中,为其前项和，若则=_______．（14）椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是_______．（15）不等式的解集为_______．（16）下列有关命题的说法正确的是_______．①命题“若，则”的否命题为：“若，则”．②“”是“”的充分不必要条件．③命题“使得”的否定是：“均有”．④命题“若，则”的逆否命题为真命题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：60分.（17）(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，（I ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式.（18）(本小题满分12分)已知，命题“函数在上单调递减”，命题“关于的不等式对一切的恒成立”，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.（19）(本小题满分12分)解关于x 的不等式()．（20）(本小题满分12分)某单位建筑一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，假如墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？（21）(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，且过点．（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，满足:，试推断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分. （22）[选修4—5：不等式选讲]设函数，其中.（I ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求的值．（23）[选修4—5：不等式选讲]已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立．高二数学期中参考答案（文科）选择题：（1）A（2）A（3）C（4）C（5）C （6）D（7）B（8）D（9）B（10）D （11）A（12）C 填空题：（13） 28 （14）x+2y-8=0（15）（16）②④解答题：（17）① ........2分由①得：........4分........6分(2)解：②②-①得........9分数列以2为首项，以2为公比的等比数列即 ........12分（18）解：为真：；........2分；为真：，得，又，........5分由于为假命题，为真命题，所以命题一真一假........7分（1）当真假........9分（2）当假真无解综上，的取值范围是........12分（19）解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.由于a＜0时，原不等式化为a2(x＋1)≤0. ........2分①当a2＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤a2；........5分②当a2＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；........8分③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于a 2≤x ≤－1. ........11分 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为a 2； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为，－12；.........12分（20）解：由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋x 12×400)＋5 800 ＝900x 16＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900x 16＋5 800≥900×2x 16＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝x 16，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．........12分（21）解：(I) 解：由题意知，∴，即 又........2分∴， 椭圆的方程为 ........ 4分(II) 设，即....... 5分由得， ，......... 7分代入即得：，, ........ 9分........11分把代入上式得........ 12分（22）解：（Ⅰ ）当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.........3分故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．........5分（Ⅱ ）由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组x －a ＋3x ≤0x ≥a ，或a －x ＋3x ≤0，x ≤a ，即4a 或.a........8分由于a ＞0，所以不等式组的解集为2a.由题设可得－2a＝－1，故a ＝2. ........10分（23）证明 法一 由于a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )32，①a 1＋b 1＋c 1≥3(abc )－31，所以c 12≥9(abc )－32，②故a 2＋b 2＋c 2＋c 12≥3(abc )32＋9(abc )－32. 又3(abc )32＋9(abc )－32≥2＝6，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )32＝9(abc )－32时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝341时，原不等式等号成立．........10分法二 由于a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理a21＋b21＋c21≥ab 1＋bc 1＋ac 1，② 故a 2＋b 2＋c 2＋c 12≥ab ＋bc ＋ac ＋ab 3＋bc 3＋ac 3≥6.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝341时，原不等式等号成立．........10分.。
江苏省如东高级中学2021-2022学年高二上学期阶段测试(二)英语试卷 Word版含答案
江苏省如东高级中学2021-2022学年高二上学期阶段测试（二）英语试卷第I卷（共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分；满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the woman suggest?A. They don’t have to go to the concert.B. His brother will let them use the car.C. The bus is fine for them.2. What do we know about the match?A. It can’t be much fun.B. It must be exciting.C. It may be put off.3. What is wrong with the printer?A. It doesn’t flash.B. There isn’t ink.C. It’s broken.4. What is the woman interested in?A. Sports.B. Fashion.C. Politics.5. What are the two speakers mainly talking about?A. New dictionaries.B. Language forms.C. The development of languages.其次节（共15题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。