初中一元二次函数详解
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
初中一元二次函数经典例题
初中一元二次函数经典例题（实用版）目录1.一元二次函数的基本概念和性质2.一元二次函数的典型例题2.1 求解一元二次方程的实数根2.2 一元二次函数与几何图形的关系2.3 一元二次函数在实际问题中的应用正文一、一元二次函数的基本概念和性质一元二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c（其中 a、b、c 为常数，且 a≠0）的函数。
在这个函数中，二次项的系数 a 决定了函数的开口方向和大小，一次项的系数 b 决定了函数的倾斜方向和程度，常数项 c 则决定了函数的纵向平移。
一元二次函数的性质包括：1.当 a>0 时，函数图像开口向上；当 a<0 时，函数图像开口向下。
2.当 b=0 时，函数为抛物线的顶点，即函数图像的对称轴为 y 轴；当 b≠0 时，函数图像关于直线 x = -b/2a对称。
3.当 c=0 时，函数图像与 x 轴有一个交点；当 c≠0 时，函数图像与 x 轴有两个交点。
二、一元二次函数的典型例题2.1 求解一元二次方程的实数根例题 1：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 的两个实数根，求 m 的值。
解：根据一元二次方程的求根公式，可得x1,2 = [3 ± sqrt(9 + 40m)] / 2由于方程有实数根，所以需要满足判别式大于等于 0，即9 + 40m ≥ 0解得 m ≥ -9/402.2 一元二次函数与几何图形的关系例题 2：已知抛物线 y = x^2 - 2x - 3 与直线 y = 2x + 1 相交于两个不同的点 A、B，求点 A、B 的坐标。
解：将抛物线方程和直线方程联立，得到x^2 - 2x - 3 = 2x + 1化简后得到一元二次方程 x^2 - 4x - 4 = 0根据一元二次方程的求根公式，可得x1 = 2 + sqrt(4 + 4) = 2 + 2 = 4x2 = 2 - sqrt(4 + 4) = 2 - 2 = 0将 x1、x2 代入抛物线方程，可得点 A、B 的纵坐标分别为y1 = 4^2 - 2*4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5y2 = 0^2 - 2*0 - 3 = -3所以点 A 的坐标为 (4, 5)，点 B 的坐标为 (0, -3)。
初中一元二次函数经典例题
初中一元二次函数经典例题摘要：1.二次函数的基本概念和性质2.一元二次方程的求解方法3.二次函数与一元二次方程的关系4.经典例题解析正文：一、二次函数的基本概念和性质二次函数是初中数学中的重要内容，它是指形如y = ax + bx + c（a、b、c为常数，a ≠ 0）的函数。
二次函数的图象为抛物线，具有以下性质：1.抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f（-b/2a）），其中f（x）为二次函数的值。
2.抛物线的对称轴为x = -b/2a。
3.当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、一元二次方程的求解方法一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0（a、b、c为常数，a ≠ 0）的方程。
求解一元二次方程的一般方法是利用公式法、因式分解法、图像法等。
1.公式法：根据一元二次方程的求根公式，即x = (-b ± √(b - 4ac)) / (2a)，求得方程的根。
2.因式分解法：将一元二次方程化为两个一次方程相乘的形式，如(x + m)(x + n) = 0，然后分别求解得到方程的根。
3.图像法：根据二次函数的图像，观察抛物线与x轴的交点，即为方程的根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系。
一元二次方程的根对应着二次函数图像与x轴的交点，而二次函数的顶点坐标和对称轴则可用于求解一元二次方程的特殊解。
四、经典例题解析1.题目：已知二次函数y = ax + bx + c的图像上存在两个点A（1，0）、B（2，0），求证：abc ≠ 0。
解析：由于A、B两点在二次函数的图像上，代入坐标得到两个方程：a +b +c = 0，4a + 2b + c = 0。
解得a = -c，b = 0。
因此，abc ≠ 0。
2.题目：求方程x - 3x + 2 = 0的根。
解析：将方程化为二次函数的形式，即y = x - 3x + 2。
根据二次函数的性质，可知顶点坐标为（3/2，-1/4），对称轴为x = 3/2。
浅析一元二次函数在初中阶段的应用
系， 实际上不仅仅 是初 中阶段 ， 在高 中阶段不管在代数 中， 还是在解析几何 中 ， 利用此 函数 的机会也很多 。同
时有关 一元 二次 函数 的内容又 与近现代数学发展 紧密 联系， 是学生进入高校继续深造 的重要知识基础 。 因为
一
②画函数ｙ ａ２ｂ＋ 大致 图像的一般步骤 ： －ｘ ｘｃ ＋
２ 从 图像 特 征 与解 析 式 出发 可 以 实 现 数 与 形 的 自 、
学过程 中的体会与心得浅显分析 出一元二次 函数在初
中阶段 的应用。
一
、 一
元 二 次 函数 的地 位 和 作 用
然结合 ， 这正足 中学数学中非常重要 的思想方法。 本文 将涉及到 的内容的类型归类如下 ： ①分析 函数ｖ 似１６ ＋ 的常规检查 ： ＝ ＋ ｃ
性、 发散性 、 独立性 、 合作性等多方面 的思维及能力 ， 因 而在初中数 学中 占具着重要地位。 以下是本人根据教
③ 已知与 的两个交点和一个点 ， 轴 可设一般式ｖ ：
＋ 或 两根 式 ｙ ａ － １ ｃ ＝ （ ｘ ｘ ） 。
点评 ： 利用何种待 定方 式 ， 关键是仔细分析 已知提 供的信息 ， 选择合适 的类型 。
一
元二次函数在初中阶段的
泉 州市第 八 中学 沈晓 雯
② 已知顶点和另一 点 ； 已知两点 和对 称轴 ， 可设 ：
顶点 式 ｖ （ ： ＝如一 ） 。 ＋
我们 知道一元 二次 函数能很好 的体现 了数形结 合思想 ， 分类讨论思想 等非常重要的数学 思想 。它叉能
培养 了学生 敏锐 的观察力 ， 运算 的准确性 、 思维 的灵活
（） 出顶点（ １ 求 ）对称轴 ， 。 。 （） ２确定方向 ：＞ ： 向 ｎ０ 方
初三数学一元二次函数应用题详解
初三数学一元二次函数应用题详解一元二次函数是初中数学中的重要知识点之一，它在实际问题中的应用非常广泛。
本文将详细解析初三数学中常见的一元二次函数应用题，帮助读者更好地理解和运用这一知识点。
1. 问题背景假设小明想要修建一个长方形的花坛，花坛的一边紧贴着一面围墙，另外三面使用同样的材料围起来。
已知材料用到的长度为100米，问小明能够构造出的最大花坛面积是多少？2. 解题思路首先，假设花坛的长为x（米），宽为y（米）。
根据问题描述可知，花坛的一边紧贴着围墙，因此花坛的周长等于材料用到的长度，即2x + y = 100。
我们需要根据这个方程来确定x和y的关系，从而确定花坛的面积。
3. 方程求解将方程2x + y = 100转换为y = 100 - 2x，代入花坛的面积公式S = xy，得到S = x(100 - 2x)。
将这个式子展开，得到S = 100x - 2x²。
4. 求解最大值我们知道，对于一元二次函数，其最大值或最小值出现在抛物线的顶点处。
因此，我们需要求解函数S = 100x - 2x²的顶点坐标。
这里可以运用一元二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为x = -b/2a，其中a和b分别为二次项和一次项的系数。
在这个问题中，二次项的系数为-2，一次项的系数为100，代入公式计算可得x = -100/(-2) = 50。
将x = 50代入函数S = 100x - 2x²，得到S = 100 * 50 - 2 * 50² = 5000 - 5000 = 0。
由于面积不可能为负数，所以问题中的花坛的面积最大值为0。
5. 结论根据计算结果，我们可以得出结论：在固定长度的材料条件下，小明不能构造出面积大于0的花坛。
这是因为当一边紧贴围墙时，其他三边的长度都为0，无法构成一个花坛。
6. 总结通过本题的解析，我们可以发现一元二次函数在实际问题中的应用非常重要。
我们可以通过建立方程来描述问题，然后通过数学方法求解，得出准确的结论。
初中二次函数知识点详解助记口诀
初中二次函数知识点详解助记口诀一、基本概念：一元二次函数二种加前缀，顶点和对称轴要学记。
开口向下时，a是正的；开口向上时，a是负的。
对称轴x=-b/2a，顶点就是“反b”。
二次项系数a说明开口，a>0是开口向上的；轴对称的顶点在x轴上。
二、一元二次函数图像特点：若a>0，开口向上往后走；若a<0，开口向下导孔。
三、顶点坐标和轴对称：对称轴的坐标是x=-b/2a,顶点的坐标是(-b/2a,f(-b/2a))。
四、二次函数的平移变换：y=a(x-h)²+k，顶点平移是y坐标;a决定开口的方向；正数代表开口向上，负向下；k是y坐标增量的意思；b/c的平移还出问题。
五、二次函数的图像倒置：要记住它的奇偶图像变化特性：当a>0，图像是奇，左偏有右；当a<0，图像是偶，左右相等。
六、二次函数图像变宽窄：a>0,宽窄形状调：大弯小长，穿插中值两点；a<0,宽窄形状变：小弯大长，在其中间旋。
七、一次、二次函数交点：解方程可以求“两”交点；重联中使用可以减。
八、满二次平方差分：若f(x)=2((x-1)²)+15,f(x)-f(1)=2(x-1)²+15-2=2(x-1)²+13同理：f(x)= (x-1)²+sin(x),则f(x)-f(1)= (x-1)²+sin(x) - 0 ² + sin(0) = (x-1)²+sin(x)-sin(0)九、关于系数a1>a2,a1 red, a2 yellow,y=a1*f(x) 宽;a1 green, a2 purple,y=a2*g(x) 窄。
a1=a2,颜色滑稽，开口相同，图形相似。
十、二次函数的判别式：b²-4ac=”b”的平方差大的等于大，开口向下；大的小于零，开口向上；等于零的状况两个相同。
十一、二次函数零点以及范围：可以根据判别式来判断。
初中数学一元二次方程解法总结
初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。
本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。
求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。
2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。
3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。
4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。
具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。
2. 在坐标系中画出二次函数的图像。
3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。
五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。
2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。
3. 验证求得的根是否满足原方程。
六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。
22-2二次函数与一元二次方程课件人教版九年级数学上册
∴|yP|＝9，即yP＝±9，
当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解；当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，
解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ，
∴点P的坐标为(1＋ ，－9)或(1－ ，－9)．
课堂总结
二次函数与一元二次
方程
二次函数与一元
二次方程的关系
二次函数与一
元二次方程根
的情况
数的进一步深化。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，
再次展示函数与方程之间的联系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，
又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
教学目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.
一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那
么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之
间到底有怎样的关系呢？
新知讲解
探究：以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，
球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈ -0.7，x2≈2.7.
y = x2－2x－2
新知讲解
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤有哪些？
1.画出函数的图象；
2.根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数
之间；
3.利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题：
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 1.2 。
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初中一元二次函数详解
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.
(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点
3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a
b a
c k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a
b x 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<a
b 时,对称轴在y 轴右侧.
(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：
① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b . 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2. 其中①左右移动可得到③，再上下移动可得到④。
口诀“左加右减，上加下减”
图像特征如下：
9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
10.抛物线与Y 轴的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)
(2)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；
③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程c bx ax ++=20就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．
(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交
点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x
的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．
(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个
不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程
02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则
一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根
12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。
一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
附：将二次函数的一般式c bx ax y ++=2化为顶点式()k h x a y +-=2
的方法：(可用配方法和公式法)
典型例题精讲：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？。