一元二次函数图像
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次函数的图象和性质基础知识例题
a
a 1 在区间[0,1]上的最大值是 2，求实数 a 的值. 4 2
例 11、已知函数
2 上的最大值为 1，求实数 a 的值。 f ( x) ax2 (2a 1) x 3(a 0) 在区间 ，
3 2
2 22.设二次函数 f ( x) x x
. 个整数.
1 的定义域为 n, n 1 , n N ,则 f ( x ) 的值域中有 2
三、解答题 23.已知函数 f ( x) ax2 bx c(a 0, b R, c R) . （1）若函数 f ( x ) 的最小值 f (1) 0 ,且 c 1 ，
6
25.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点,•与 y 轴交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.
7
13、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐标是 4,•图象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 14.已知二次函数 f ( x) 2 x 2 4 x 1 ，则其开口向 为 标为 ，最小值为 。
2
，对称轴为
，顶点坐标 ，与 x 轴的交点坐
，单调增区间为
，单调减区间为
15.已知函数 f ( x) 2( x m) 8x 1 的对称轴为 x 1 0 ，则 m 顶点坐标为
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
一元二次函数总结
的解的数目来确定：
1程组有两组不同的解时 与 有两个交点;
2程组只有一组解时 与 只有一个交点;
3③方程组无解时 与 没有交点.
(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 由于 、 是方程 的两个根，故由韦达定理知:
八、二次函数与一元二次方程的关系:
可以看出,抛物线 的开口向下，对称轴是进过点（-1,０）且与x轴垂直的直线,记为x=－１，顶点是(－１，0）；抛物线 的开口向下,对称轴是x=1，顶点是(1，0）。
例3：画出函数 的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 ？
抛物线 的开口方向向下、对称轴是ｘ＝－1，顶点是（-１，-１)。
2．四、根的分布,根据函数图象来判断其所需要满足的条件
1.若ｘ＜y<ｍ﹙m为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>０
┣﹣２ａ／b<m
┗f（m）>０
2.若m<x＜y﹙ｍ为x轴上的一点﹚,则需满足：
┏△>0
┣﹣2a／b＞ｍ
┗ｆ（m)>0
3.若x<m<ｙ﹙m为ｘ轴上的一点﹚,则需满足：
4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙ｍ,ｎ为x轴上的一点﹚,则需满足：
当ｘ∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增;当x∈[﹣2a/b,﹢∞﹚时递减;
ﻩ
2.△=ｂ²－4ａｃ
Hale Waihona Puke 当△＞０时，函数图象与x轴有两个交点；
当△=0时，函数图象与x轴只有一个交点;
当△＜0时,函数图象与x轴没有交点。
（如下图所示)
三、抛物线 中, 的作用
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
一元二次函数的图像性质
【例 3】求函数 y x 2 6x 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7
由配方结果可知:顶点坐标为 (3， 7) ,对称轴为 x 3 ；
1 0
∴当 x 3 时, y min 7
函数在区间 (， 3] 上是减函数,在区间[3， ) 上是增函数。
一元二次函数的图像性质
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期:
一、新授内容
1．函数 y ax2 bx c(a 0) 叫做一元二次函数。
2． 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3 ． 任 何 一 个 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 ：
【例 4】求函数 y 5x 2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。
b 3 3 , 4ac b2 4 (5) 1 32 29
2a 2 (5) 10 4a
4 (5)
20
∴函数图象的顶点坐标为 ( 3 , 29) ,对称轴为 x 29
10 20
20
5 0
∴当 x
3 时,函数取得最大值 10
6
4C
2
D
-5
AO
B
5
10
-2
-4
-6
-8
二、课堂训练
基础练习
一、选择题：
1．（2００3·大连)抛物线 y=(x－２)2＋3 的对称轴是(
).
Ａ.直线 x=－3
B.直线 x=3
C．直线ｘ=-2
一元二次方程的像与性质知识点总结
一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。
本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。
1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。
方程的图像的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。
顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。
即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。
3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。
通过求解可以得到方程的根。
- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。
- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。
- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。
4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。
- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。
- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。
- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。
总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。
通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。
通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。
一元二次函数知识点高一
一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。
1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。
二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。
根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。
2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。
因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。
四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。
函数的增减性为先减后增。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。
函数的增减性为先增后减。
3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。
五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。
如y=x²+3中，加3使整体上移。
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元二次函数图像元二次函数型式
y= ax2+ bx+ C 或f (x) = ax2+ bx + C
元二次函数图像画法
1、形状：抛物线
2、开口：a> 0,开口向上；a v0,开口向下
b
3、对称轴：X = ---------
2a
4、与X轴的交点：方程的根
5、取大取小值：4ac -b2
4a
、例题
1、y = χ2—5x + 6
解：a=1, 开口向上
b 5
对称轴:X =——
2a 2
方程根:χ2- 5x + 6—0
X—2 或x—3
4ac -b21
最小值
4a4
2、y = x2+ 5x + 6
解：a=1, 开口向上
b5
对称轴:X=—=—
2a2
方程根2
:X + 5x + 6—0
X ——2 或X —- -3
4ac -b21最小值
4a4 3、y = —χ2+ 5x —6
解：a= —1,开口向下
对称轴：
b 5 X ———
2a 2
方程根：—χ2+ 5x —6—0
X—2 或x—3
最大值：
4ac-b2 1 4a 4
4、y=- x2- 5x —6
解：a=- 1,开口向下
b
X =-—
对称轴:
方程根:
2a 2
-χ2- 5x —6= 0
X=—2 或X = —3
5、6、
最大值:
4ac—b2 1
4a
y = x2-2x
解：a= 1 ,开口向上
b I
X = ------ =1
2a
χ2- 2x = 0 X= 0
或X= 2 4ac-b2 ,
-1
4a
对称轴:
方程根:
最小值:
y=-x2—2x
解：a= —1, 开口向下
对称轴:
方程根:
X=—b=-1
2a
-χ2- 2x = 0
最大值:
X = 0 或X=—2
4ac-b2 d
1
4a
2
7、y = X —2x + 1
对称轴：
b I
X =—= 1
2a
方程根：X2—2x + 1 =
X = 1
最小值：4ac-b2 C 0
4a
解：a= 1 ,开口向上
8、y = —χ2+ 2x —1
对称轴：
b I
X =—= 1
2a
方程根：—X2+ 2x —1 = 0
X = 1
解：a= —1,开口向下
最大值：
4ac-b2 C
=0 4a
2
9、y = X
解：a= 1 ,开口向上
b
对称轴：X =—= 0
2a
方程根：X2= 0
X = 0
4ac -b2
最小值：=0
4a
10、y = —X2
解：a= —1,开口向下
b
对称轴：X = ------- =0
2a
方程根：—X2= 0
X = 0
4ac —b2
最大值：=0
4a
2
11、y = X + X + 1
解：a= 1 ,开口向上
b1
对称轴：X =——
2a2
方程根：△< 0,方程无解
=、,亠 4ac —b23
最小值：
4a4
2
12、y = —X + X —1
解：a= —1,开口向下
,亠，b1
对称轴：X =—
2a2
方程根：△< 0,方程无解
=,一4ac —b23
最人值：
4a4
元二次函数图像题2
1、y= X - 7x + 10
2、y= χ2+ 3x + 2
2
3、y=- x + 7x- 12
4、y=- x2- 6x- 8
5、y= x2+ 7x
2
6、y= —X + 7χ
7、y= X2+ 4X+ 4
8、y=－X2+ 6X－9
9、y= X2+ X+ 2
10、y=－X2+ 2X－4。