不等式的放缩法基本公式
高一数学不等式公式
高一数学不等式公式学习需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学不等式公式，希望对大家有所帮助! 高一数学不等式公式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：(1) 对称性：a>bb<a;(2) 传递性：若a>b，b>c，则a>c;(3) 可加性：a>ba+c>b+c;(4) 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc;当c<0时，ac<bc。
不等式运算性质：(1) 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d;(2) 异向相减：，.(3) 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
(4) 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(5) 开方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(6) 倒数法则：若ab>0，a>b，则。
2、基本不等式定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)推论：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)算术平均数;几何平均数;推广：若，则当且仅当a=b时取“=”号;3、绝对值不等式|x|0)的解集为：{x|-a|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a}。
附：不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
不等式公式概念及拓展(高中数学)
高中数学不等式常用公式概念及拓展一．不等式的性质：1.a b b a <⇔>（对称性）2.c a c b b a >⇒>>，（传递性）3.c b c a b a +>+⇔>（加法单调性）d b c a d c b a +>+⇒>>，（同向不等式相加）4.bc ac c b a >⇒>>0，（乘法单调性）bc ac c b a <⇒<>0，5.bd ac d c b a >⇒>>>>00，（同向相乘）6.n n b a b a >⇒>>0（乘方原理）n n b a b a >⇒>>0（n∈N 且n>1）（开方原理）7.ba ab b a 110<⇒>>且（倒数法则） 二．重要不等式（拓展）1.均值不等式：两个正数a,b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
22211222b a b a ab b a ab b a +≤+≤≤+=+（当且仅当a=b 时等号成立） 2.均值不等式的推论：（1）极值定理：)0,0(2>>≥+b a ab b a （当且仅当a=b 时等号成立） 和定积最大，积定和最小，“一正二定三相等”；（2）222222b a ab ab b a R b a +≤⇔≥+⇒∈，（当且仅当a=b 时等号成立）； （3）222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+⇒∈+b a ab ab b a R b a ，（当且仅当a=b 时等号成立）； （4）333333000abc c b a abc c b a c b a ≥++⇔≥++⇒≥≥≥，，（当且仅当a=b=c 时等号成立）；（5）222)()(2b a b a R b a +≥+⇒∈，（当且仅当a=b 时等号成立）；（6）ac bc ab c b a ++≥++222（当且仅当a=b=c 时等号成立）；3．柯西不等式（拓展）（1）二维柯西不等式：()()()R d c b a bd ac d c b a ∈+≥++,,,,22222，当且仅当ad=bc 时等号成立。
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
不等式放缩法常用公式
不等式放缩法常用公式1.AM-GM不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)^2leq(a_1^2+a_2^2+cdots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+cdots+b_n^2)$。
3. 切比雪夫不等式：对于任意的实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有$max_i|a_i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|leqfrac{sum_{i=1}^n|a _i-frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}|}{n}$。
4. Jensen不等式：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a_1,a_2,cdots,a_nin I$ 且 $sum_{i=1}^nalpha_i=1$，则有$f(sum_{i=1}^nalpha_ia_i)leqsum_{i=1}^nalpha_if(a_i)$。
5. 柯西不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 和$b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leq(sum_{i=1}^na_i^2)(sum_{i=1}^nb_i^ 2)$。
6. 反柯西不等式：对于任意的非负实数$a_1,a_2,cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,cdots,b_n$，有$(sum_{i=1}^na_ib_i)^2geqfrac{(sum_{i=1}^na_i)^2(sum_{i=1}^ nb_i)^2}{n^2}$。
7. 平均值不等式：对于任意的非负实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$，有 $frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}geqsqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数证明中的常用放缩一、常用结论1、切线放缩2、其它对数放缩（对数均值不等式）3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+ 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =.二、基础练习：练习题组一练习题组二：二、经典例题：母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a－2， 即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. [子题1] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x . 证明 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x >0， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )＝ln x －x ＋1≤f (1)＝0，∴ln x ≤x －1，∴当x >1时，ln x <x －1，①且ln 1x <1x－1，② 由①得，1<x －1ln x ，由②得，－ln x <1－x x， ∴ln x >x －1x ，∴x >x －1ln x， 综上所述，当x >1时，1<x －1ln x<x . [子题2] 已知函数f (x )＝e x －x 2.求证：当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 证明 设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，设m (x )＝e x －2x －(e －2)(x >0)，则m ′(x )＝e x －2，易得g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，由0<ln 2<1，则g ′(ln 2)<0，所以存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0.故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，故当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥x . 又由母题可得ln x ≤x －1，即x ≥ln x ＋1，故e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 规律方法 利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min >g (x )max .(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )>0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.跟踪演练1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x. 由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明 当a ≥1e 时，f (x )≥e x e－ln x －1. 设g (x )＝e x e－ln x －1(x ∈(0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x e －1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0. 2．(2020·北京市陈经纶中学模拟)已知函数f (x )＝ln x －1x－ax .若1<a <2，求证：f (x )<－1. 证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)，为了证明f (x )<－1，即ln x －1x－ax <－1， 只需证明ln x －1－ax 2<－x ，即ln x <ax 2－x ＋1，令m (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则m ′(x )＝1x－1， 令m ′(x )>0，得0<x <1；令m ′(x )<0，得x >1，所以m (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以m (x )max ＝m (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，则ln x ≤x －1.令n (x )＝ax 2－2x ＋2，因为1<a <2，所以Δ＝4－8a <0，所以n (x )>0恒成立，即ax 2－2x ＋2>0，所以ax 2－x ＋1>x －1.综上所述，ln x <ax 2－x ＋1，即当1<a <2时，f (x )<－1.（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析：（1）()()()()2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+-若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；若0a >，令()'0f x =，得11,ln x e x a a ==. 当1ln x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减； 当1lnx a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln1ln 0f x f a a a ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1'10g x x =--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫--<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭. 下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >. 事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1'1h x x=-，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()22222110a ea e a a f e e e++---=++=>， ()2333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中11ln a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点. 故a 的取值范围是()0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
高中数学-放缩法(详解)
放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
不等式放缩法
利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
点评： 关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。
用于解决积式问题。
例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。
若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N ，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。
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不等式的放缩法基本公式
1.加减法：对于不等式a<b，可以加上一个等式(或不等式)的两边，
得到a+c<b+c。
同样地，可以减去一个等式(或不等式)的两边，得到a-
c<b-c。
2. 乘除法：对于不等式a < b，如果c > 0，则乘以一个正数的两边，不等号方向不变，得到ac < bc。
如果c < 0，则乘以一个负数的两边，
不等号方向反转，得到ac > bc。
同样地，除以一个正数的两边，不等号
方向不变；除以一个负数的两边，不等号方向反转。
3.平方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数，可以对其进行平
方运算，得到a^2<b^2、如果a和b都是负数，得到a^2>b^2
4.开方：对于不等式a<b，如果a和b都是非负数且不超过1，可以
对其进行开方运算，得到√a<√b。
如果a和b都是正数且大于1，得到
√a>√b。
5.绝对值：对于不等式，a，<，b，可以根据a和b的正负情况分别
讨论。
如果a和b都是非负数，得到a<b。
如果a和b都是负数，得到-
a<-b。
6.倍增法：对于不等式a<b，可以重复加或者减一个相同的数，直到
得到符合条件的不等式。
这些是不等式的放缩法的基本公式和方法，但实际问题中常常还需要
结合具体情况进行灵活运用。
同时，需要注意的是，放缩法只是解决不等
式问题的一种方法，不是唯一的方法，有时候可能需要结合其他方法一起
使用。
最重要的是，解决不等式问题时需要保持逻辑性和推理能力，严谨
地进行分析和求解。