《量子化学》期末考试复习题
量子化学习题
1、求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.250.75a x a ≤≤内的几率。
a 是一维箱的长。
解：基态波函数为：1()xx aπψ=几率：dx a xa xdx a a p a a a a ⎰⎰-==75.025.075.025.0222cos12sin 2ππ dx ax a dx a aa a a ⎰⎰-=75.025.075.025.02cos 1212π aaa x a a a a 75.025.02sin 21)25.075.0(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--=ππ )2sin 23(sin 215.0πππ--=π15.0+=818.0=2、一电子在长为0.6 nm 的一维箱中运动，由能级n =5跃迁到n =4所发出的光子的波长是多少？解：2228e n h E m a= 2225422225169888e e e h h h E m a m a m a -∆=-=λνhch E ==∆-4534873425431926.62610310 1.32010 m 132.0 nm 9(6.62610)89.11010(0.610)hc E λ------⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯∆⨯⨯⨯⨯ 3、 证明如果ˆF和ˆG 是线性算符，则a ˆF +b ˆG 和G F ˆˆ也是线性算符。
式中a ，b 为常数。
证明：(1) 如果ˆF和ˆG 是线性算符，则有： ˆˆ)(ˆ2121u F u F u u F +=+ （1） ˆˆ)(ˆ2121u F a u F a u u Fa +=+ （2） 2121ˆˆ)(ˆu G u G u u G +=+ （3） 2121ˆˆ)(ˆu G b u G b u u Gb +=+ （4） （2）+（4）得：ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ21212121u G b u G b u F a u F a u u G b u u F a +++=+++ 2121)ˆˆ()ˆˆ())(ˆˆ(u G b F a u G b F a u u G b Fa +++=++ 所以a ˆF+b ˆG 是线性算符。
量子化学考试试题
量子化学考试试题一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、量子化学中，描述微观粒子运动状态的函数被称为（）A 波函数B 概率密度C 哈密顿量D 薛定谔方程2、下列哪个量子数决定了原子轨道的形状（）A 主量子数B 角量子数C 磁量子数D 自旋量子数3、对于氢原子的 1s 轨道，其电子出现概率最大的位置是（）A 原子核处B 离核无穷远处C 离核一定距离处D 无法确定4、量子化学中，计算分子能量常用的方法是（）A 半经验方法B 从头算方法C 密度泛函理论D 以上都是5、下列哪种化学键具有明显的量子力学特征（）A 离子键B 共价键C 金属键D 氢键6、在量子化学中，分子轨道是由原子轨道线性组合而成，这一原理被称为（）A 杂化轨道理论B 价键理论C 分子轨道理论D 晶体场理论二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、量子力学的基本假设包括波函数假设、算符假设、测量假设、全同性原理和＿_________________ 。
2、氢原子的薛定谔方程在球坐标下的解中，径向波函数 R(r) 与＿_________________ 有关。
3、多电子原子的电子排布遵循的原则有能量最低原理、泡利不相容原理和＿_________________ 。
4、分子的偶极矩是衡量分子＿_________________ 的物理量。
5、密度泛函理论的核心思想是将体系的能量表示为＿_________________ 的泛函。
6、量子化学计算中，常用的基组有 STO-3G、6-31G 等，其中 6-31G 表示的是＿_________________ 。
三、简答题（每题 10 分，共 20 分）1、简述量子化学中 HartreeFock 方法的基本思想。
2、解释为什么分子的振动光谱通常具有一系列的吸收峰，而不是单一的吸收峰。
四、计算题（共 20 分）已知氢原子处于某一激发态的波函数为：ψ ＝1/√8π a₀³（r/a₀) exp(r/2a₀) ，其中 a₀为玻尔半径。
量子化学习题解仅供参考
(1) 2xsin(x2+1) (2) 5sinx (3) sin2x (4) x (5) 1/x2 1.2 如 Âf(x)=3x2f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出 Â 的表达式
Â=3x2+2xd/dx 1.3 给出 3 个满足 Âex=ex 的 Â 的表达式
(6) Â=24x+36x3
Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。
1)证明: Â 是线性算符 Â(bf+cg)= Â(bf) + Â(cg) = bÂf + cÂg
2)证明: Â(bf+cg)= bÂf + cÂg b,c 为常数
设 c=0 则有 Â(bf)= bÂf
设 c=1, b=1 则有 Â(f+g)= Âf + Âg 因此 Â 是线性算符
1.8 证明：(1) [Â, Bˆ ]= [Bˆ , Â] (2)[Âm,Ân]=0 (3)[Â2, Bˆ ]= Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â
(4) [Â, [Bˆ , Ĉ]]+ [Bˆ , [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, Bˆ ]]=0 证明：(1) [Â, Bˆ ]= ÂBˆ Bˆ Â= (Bˆ ÂÂBˆ ) = [Bˆ , Â] (2)[Âm,Ân]= ÂmÂnÂnÂm= Âm+nÂm+n=0 (3) [Â2, Bˆ ]= Â2Bˆ Bˆ Â2 Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â= Â(ÂBˆ Bˆ Â)+ (ÂBˆ Bˆ Â)Â = Â2Bˆ ÂBˆ Â+ ÂBˆ ÂBˆ Â2= Â2Bˆ Bˆ Â2 [Â2, Bˆ ]= Â[Â, Bˆ ]+[Â, Bˆ ]Â (4) [Â, [Bˆ , Ĉ]]+ [Bˆ , [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, Bˆ ]] =[Â, (Bˆ ĈĈBˆ )]+[Bˆ , (ĈÂÂĈ)]+ [Ĉ, (ÂBˆ Bˆ Â)] = ÂBˆ ĈÂĈBˆ Bˆ ĈÂ+ĈBˆ Â+Bˆ ĈÂBˆ ÂĈ ĈÂBˆ + ÂĈBˆ + ĈÂBˆ ĈBˆ Â ÂBˆ Ĉ+Bˆ ÂĈ=0 1.9 Hˆ pˆ x2 2m V (x) ，分别计算(1)当 V(x)=V(常数)，(2)当 V(x)=kx2/2，(3)当 V(x) V(r)=e2/40r
量子化学习题及答案
量⼦化学习题及答案量⼦化学习题及答案1.1998及2013年度诺贝尔化学奖分别授予了量⼦化学以及分⼦模拟领域的杰出贡献者，谈谈你的了解及认识。
答：1998年诺贝尔化学奖得主：⽡尔特·科恩和约翰·波普尔。
1964-1965年⽡尔特·科恩提出：⼀个量⼦⼒学体系的能量仅由其电⼦密度所决定，这个量⽐薛定谔⽅程中复杂的波函数更容易处理得多。
他同时还提供⼀种⽅法来建⽴⽅程，从其解可以得到体系的电⼦密度和能量，这种⽅法称为密度泛函理论，已经在化学中得到⼴泛应⽤，因为⽅法简单，可以应⽤于较⼤的分⼦。
沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出了巨⼤的贡献。
约翰·波普尔发展了化学中的计算⽅法，这些⽅法是基于对薛定谔⽅程中的波函数作不同的描述。
他创建了⼀个理论模型化学，其中⽤⼀系列越来越精确的近似值，系统地促进量⼦化学⽅程的正确解析，从⽽可以控制计算的精度，这些技术是通过⾼斯计算机程序向研究⼈员提供的。
今天这个程序在所有化学领域中都⽤来作量⼦化学的计算。
2013年诺贝尔化学奖得主：马丁·卡普拉斯、迈克尔·莱维特、阿⾥耶·⽡谢勒。
他们为复杂化学系统创⽴了多尺度模型。
为研发了解和预测化学过程的强有⼒的计算机程序奠定了基础。
对于今天的化学家来说，计算机就像试管⼀样重要。
模拟过程是如此的真实以⾄于传统实验的结果也能被计算机预测出来。
多尺度复杂化学系统模型的出现⽆疑翻开了化学史的“新篇章”。
化学反应发⽣的速度堪⽐光速。
刹那间，电⼦就从⼀个原⼦核跳到另⼀个原⼦核，以前，对化学反应的每个步骤进⾏追踪⼏乎是不可能完成的任务。
⽽在由这三位科学家研发出的多尺度模型的辅助下，化学家们让计算机做“做帮⼿”来揭⽰化学过程。
20世纪70年代，这三位科学家设计出这种多尺度模型，让传统的化学实验⾛上了信息化的快车道。
2.谈谈你对量⼦化学中两种流派（VBT,MOT）的认识。
答：1926年，奥地利物理学家薛定谔（Schrodinger)建⽴了描述电⼦运动规律的波动⽅程。
量子化学习题解(仅供参考)
ˆ ÂB ˆ BÂ= ˆ ˆ ÂB) ˆ = [B, ˆ Â] 证明：(1) [Â, B]= (BÂ (2)[Âm,Ân]= ÂmÂnÂnÂm= Âm+nÂm+n=0 ˆ BÂ ˆ 2 ˆ Â2B (3) [Â2, B]= ˆ ÂBÂ+ ˆ ˆ BÂ ˆ 2= Â2B ˆ BÂ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ BÂ)+ ˆ ˆ BÂ)Â ˆ ÂBÂ Â[Â, B]+[Â, B]Â= Â(ÂB (ÂB = Â2B ˆ Â[Â, B]+[Â, ˆ ˆ [Â2, B]= B]Â ˆ Ĉ]]+ [B, ˆ [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, B]] ˆ (4) [Â, [B, ˆ ĈĈB)]+[ ˆ ˆ (ĈÂÂĈ)]+ [Ĉ, (ÂB ˆ BÂ)] ˆ =[Â, (B B, ˆ ĈÂĈB ˆ B ˆ ĈÂ+ĈBÂ+ ˆ B ˆ ĈÂBÂ ˆ Ĉ ĈÂB+ ˆ ÂĈB+ ˆ ĈÂB ˆ ĈBÂ ˆ ÂB ˆ Ĉ+BÂ ˆ Ĉ=0 = ÂB ˆ p ˆ 2 2m V ( x ) ， 分别计算(1)当 V(x)=V(常数)， (2)当 V(x)=kx2/2， (3)当 V(x) V(r)=e2/40r 1.9 H
(12) [d/dx, d2/dx2]=0
1.7 如果 Â 是线性算符，b,c 为常数，f, g 为任意函数，证明 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg；证明若 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。 1)证明: Â 是线性算符 Â(bf+cg)= Â(bf) + Â(cg) = bÂf + cÂg 2)证明: Â(bf+cg)= bÂf + cÂg b,c 为常数
量子化学卷一答案
�B×(10) (10)×B�
B�A� B�n−1 − B�nA� = (n − 1)B�n−1 A�B�n − B�n−1A�B� = (n − 1)B�n−1
(13) (14)
(11)+(12)+(13)+(14)
A�B�n − B�nA� = nB�n−1
故得证
4. 已知f(x)和f ’(x)分别属于H�算符的不同本征值 E 和 E’的本征函数，那么它们的线性组合
4/4
dr
=
3 2
a0
7. 试计算一个立方势箱(边长为 a)中，粒子质量为 m，在能量由0~16h2/8ma2之间有多少
个能级？各自相应的能级简并度如何？在这个能量范围内有多少种状态？
解：对于三维立方势箱中粒子，其薛定谔方程为： ℏ2 ∂2 ∂2 ∂2
− 2m �∂x2 + ∂y2 + ∂z2� ψ = Eψ
(5)+(6)+(7)+(8)
A�B�3 − B�3A� = 3B�2
(9)
下面我们用数学归纳法证明最后一个式子
当 N=1 时，A�B� − B�A� = 1成立
当 N=2 时，A�B�2 − B�2A� = 2B�成立
设当 N=n-1 时，该式子成立，则A�B�n−1 − B�n−1A� = (n − 1)B�n−2
b
a
∫02
sin2
kπx a
dx
+
2 a
b
∫LL 2
sin2
kπx a
dx
=0
���������������(���������1)
=
���������������(���������0)
量子化学期末考试及答案
量子化学期末考试及答案量子化学期末考试一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子化学的基本概念是：A. 原子的能量状态B. 原子的电子结构C. 原子的结构D. 原子的电荷2. 在量子化学中，电子的状态可以用：A. 原子轨道表示B. 原子能量表示C. 原子电荷表示D. 原子结构表示3. 在量子化学中，电子的状态可以用：A. 原子轨道表示B. 原子能量表示C. 原子电荷表示D. 原子结构表示4. 在量子化学中，电子的状态可以用：A. 原子轨道表示B. 原子能量表示C. 原子电荷表示D. 原子结构表示5. 在量子化学中，电子的状态可以用：A. 原子轨道表示B. 原子能量表示C. 原子电荷表示D. 原子结构表示二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子化学的基本原理是____________。
答：量子力学。
2. 量子化学中，电子的状态可以用____________表示。
答：原子轨道。
3. 量子化学中，电子的能量可以用____________表示。
答：原子能量。
4. 量子化学中，电子的电荷可以用____________表示。
答：原子电荷。
5. 量子化学中，电子的结构可以用____________表示。
答：原子结构。
三、论述题（每题10分，共30分）1. 请简要介绍量子化学的基本原理。
答：量子化学是一门研究原子和分子的科学，它基于量子力学的原理，用来描述原子和分子的结构和性质。
量子力学的基本原理是，电子的运动是由量子态决定的，而不是由经典物理学的运动方程决定的。
量子力学的基本原理是，电子的运动是由量子态决定的，而不是由经典物理学的运动方程决定的。
量子力学还提出了一种新的概念，即电子的状态可以用原子轨道、原子能量、原子电荷和原子结构等表示。
量子力学的基本原理是，电子的运动是由量子态决定的，而不是由经典物理学的运动方程决定的。
2. 请简要介绍量子化学的应用。
答：量子化学的应用非常广泛，它可以用来研究原子和分子的结构和性质，以及它们之间的相互作用。
应化所量子化学考试题库及其答案详解
Principles Of Quantum Chemistry——Kwong.S.T名词解释1.测不准关系：()()41M L 22≥∆⋅∆{∫ψ*i[L ,M ]ψdx}22.酉矩阵：S +=S -13.厄米算符：算符L 满足∫u 1*(x)L u 2(x)dx=∫u 2(x)L *u 1*(x)dx,其中u 1(x)和u 2(x)是任意两个平方可积函数，积分遍于自变量全部区域。
则称L 是厄米算符。
4.等价表示：矩阵群M 和M’所包含的每一个对应矩阵之间只差一个同样的相似变换，就说M’和M 是等价表示。
5.可约表示：如果一个矩阵表示可以表示成子矩阵的直和，那么这个矩阵表示是可约表示。
6.不可约表示特征标：不可约表示矩阵群的对角元素之和称为这个不可约表示的特征标。
7.投影算符：P R R hl k j Rj j k*∑Γ=λλ)()()(，其中R 为群元素，*Γk j R λ)()(是第j 个不可约表示操作R 的第λ行第k 列的矩阵元，l j 是第j 个不可约表示的维数，h 为群的阶。
8.轨道近似：认为各个电子的运动是彼此独立的，每个电子都在核与其它电子所形成的稳定的平均场中运动，从而每个电子的状态可以用一个单电子波函数来描写。
9.定域分子轨道：认为成键电子只是集中在相邻两原子间的键轴区域内。
10.正则分子轨道：由HFR 方程解出的分子轨道。
11.Slater 行列式：描述多电子体系满足保里原理的波函数。
12.ab initio ：严格的按HFR 方程进行计算称为从头计算。
13.NDO ：假设原子轨道在空间任何地方都不重叠。
DO ：对所有不同原子轨道的乘积都采用忽略微分重叠近似。
15.NDDO ：对属于同一原子各对轨道重叠的排斥积分全部予以保留。
16.INDO ：只保留单中心积分中同一原子对各轨道的微分重叠。
17.EHMO ：整个分子不在一个平面上，则σ，π分离就不可能，于是就必须对分子中所有原子的所有价电子进行计算，若这种计算不是基于自洽场分子轨道理论，就称之为推广的休克尔分子轨道法。
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群论与量子化学期中考试
姓名：专业：学号:
一、判断下列集合是否够成群。
（4分）
（1）{除零以外的全部有理数}结合规则是乘法y （2）{1，0，-1 }，结合规则是加法n
（3）{1，0，-1 }，结合规则是乘法n
（4）{1，-1，i，-i}，结合规则是乘法y
二、判断分子所属点群。
（27分，每个0.5分）
三、假定CuCl 42-原来属于T d 点群，四个Cl 原子的标号如图所示，当出现以下情况是，它所属的点群如何变化。
（10分） （1）Cu —Cl (1)键长缩短； C 3v
（2）键长Cu —Cl (1)和Cu —Cl (2)缩短相同长度；C 2v （3）键长Cu —Cl (1)和Cu —Cl (2)缩短不同长度；Cs （4） Cl (1)—Cl (2)和Cl (3)—Cl (4)间距离缩短不同的长度；C 2v （5）Cl (1)—Cl (2)和Cl (3)—Cl (4)间距离缩短相同的长度。
D 2d
注：若Cu —Cl 键缩短，假定Cu 原子不动，只有相应的Cl 原子移动， 若Cl —Cl 间的距离缩短，视为两个原子分别向两原子连线的中
心移动相同的距离。
四、证明：同一类操作矩阵的特征标相等。
（6分） 证明：Tr(R)=Tr(S -1R’S )=Tr(S S -1 R’)=Tr(R’).命题得证。
五、用D 3d 群的特征标表验证小正交定理。
（5分）
()*()
()*()()*()()()R
i i i i
i j j ij
R R g g g g g νμμννμμνννν
χχδχχδχχδ===∑∑∑
六、试求具有如下的阶和类数的群的不可约表示的维数。
（6分） （1）6阶，3类 1 1 2 （2）12阶，4类 1 1 1 3 （3）24阶，5类 1 1 2 3 3
七、将下列可约表示的特征标写成不可约表示特征标的直和。
（10分） （1） C 2v 群 E C 2 σv σv ’ Γ 5 -3 3 -1
1212112
1
a(A )=(51313111)1
41
a(A )=(51313111)0
41
a(B )=(51313111)3
41
a(B )=(51313111)1
4
A 3
B B ⨯-⨯+⨯-⨯=⨯-⨯-⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯-⨯-⨯=Γ=⊕⊕ （2）
C 3v 群 E 2C 3 3σv Γ 292 -119 8
12121
()(292121191381)13
61
()(292121191381)5
6
1
()(292221191)137
6
135137a A a A a E A A E
=⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯-⨯⨯-⨯⨯==⨯+⨯⨯=Γ=⊕⊕ 八、求C 3v 群的13A 1⊕46A 2⊕287E 表示的χ（2
3ˆC ）。
（10分）
χ（23C ）=13×1+46×1-287×1=-228
九、在分子PF 5中，对于存在的不可约表示''2A ，利用投影算符P(''2A ) 作用在p z1，求投影后得到的基。
（10分）
''21''21
112221121ˆˆ()()()1
(2323)121
()2
z A p R z R
z z z z z z z z P A R O p h p p p p p p p p ϕχ==+++++=+∑ 十、反式N 2H 2。
（12分） （1）判断分子所属点群。
（2）写出分子的振动频率的数目。
（3）以每个原子的三个直角坐标作为可约表示的基，写出分子所属
点群的可约表示（以分子平面为xy 平面）。
（4）根据特征标表将分子的可约表示化为不可约表示。
（5）找出分子的平动、转动和振动的不可约表示，并判断振动的红外和拉曼活性。
（6）找出属于分子平面内的振动所属的不可约表示。
（1）C2h（2）3×4-6=6 （3）Γ=12E⊕4σh
（4）Γ=4A g⊕2B g⊕2A u⊕4B u
（5）Γtrans=A u⊕2B uΓrot=A g⊕2B gΓvib=3A g⊕A u⊕2B u
A g有拉曼活性，A u和
B u有红外活性
（6）属于A g和B u的不可约表示的振动在分子平面内
附：考试中可能会使用到的特征标表。