量子化学与群论习题
量子化学习题
1、求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.250.75a x a ≤≤内的几率。
a 是一维箱的长。
解：基态波函数为：1()xx aπψ=几率：dx a xa xdx a a p a a a a ⎰⎰-==75.025.075.025.0222cos12sin 2ππ dx ax a dx a aa a a ⎰⎰-=75.025.075.025.02cos 1212π aaa x a a a a 75.025.02sin 21)25.075.0(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--=ππ )2sin 23(sin 215.0πππ--=π15.0+=818.0=2、一电子在长为0.6 nm 的一维箱中运动，由能级n =5跃迁到n =4所发出的光子的波长是多少？解：2228e n h E m a= 2225422225169888e e e h h h E m a m a m a -∆=-=λνhch E ==∆-4534873425431926.62610310 1.32010 m 132.0 nm 9(6.62610)89.11010(0.610)hc E λ------⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯∆⨯⨯⨯⨯ 3、 证明如果ˆF和ˆG 是线性算符，则a ˆF +b ˆG 和G F ˆˆ也是线性算符。
式中a ，b 为常数。
证明：(1) 如果ˆF和ˆG 是线性算符，则有： ˆˆ)(ˆ2121u F u F u u F +=+ （1） ˆˆ)(ˆ2121u F a u F a u u Fa +=+ （2） 2121ˆˆ)(ˆu G u G u u G +=+ （3） 2121ˆˆ)(ˆu G b u G b u u Gb +=+ （4） （2）+（4）得：ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ21212121u G b u G b u F a u F a u u G b u u F a +++=+++ 2121)ˆˆ()ˆˆ())(ˆˆ(u G b F a u G b F a u u G b Fa +++=++ 所以a ˆF+b ˆG 是线性算符。
群论试题及答案
群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
量子化学考试试题
量子化学考试试题一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、量子化学中，描述微观粒子运动状态的函数被称为（）A 波函数B 概率密度C 哈密顿量D 薛定谔方程2、下列哪个量子数决定了原子轨道的形状（）A 主量子数B 角量子数C 磁量子数D 自旋量子数3、对于氢原子的 1s 轨道，其电子出现概率最大的位置是（）A 原子核处B 离核无穷远处C 离核一定距离处D 无法确定4、量子化学中，计算分子能量常用的方法是（）A 半经验方法B 从头算方法C 密度泛函理论D 以上都是5、下列哪种化学键具有明显的量子力学特征（）A 离子键B 共价键C 金属键D 氢键6、在量子化学中，分子轨道是由原子轨道线性组合而成，这一原理被称为（）A 杂化轨道理论B 价键理论C 分子轨道理论D 晶体场理论二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、量子力学的基本假设包括波函数假设、算符假设、测量假设、全同性原理和＿_________________ 。
2、氢原子的薛定谔方程在球坐标下的解中，径向波函数 R(r) 与＿_________________ 有关。
3、多电子原子的电子排布遵循的原则有能量最低原理、泡利不相容原理和＿_________________ 。
4、分子的偶极矩是衡量分子＿_________________ 的物理量。
5、密度泛函理论的核心思想是将体系的能量表示为＿_________________ 的泛函。
6、量子化学计算中，常用的基组有 STO-3G、6-31G 等，其中 6-31G 表示的是＿_________________ 。
三、简答题（每题 10 分，共 20 分）1、简述量子化学中 HartreeFock 方法的基本思想。
2、解释为什么分子的振动光谱通常具有一系列的吸收峰，而不是单一的吸收峰。
四、计算题（共 20 分）已知氢原子处于某一激发态的波函数为：ψ ＝1/√8π a₀³（r/a₀) exp(r/2a₀) ，其中 a₀为玻尔半径。
量子化学习题解(仅供参考)
ˆ ÂB ˆ BÂ= ˆ ˆ ÂB) ˆ = [B, ˆ Â] 证明：(1) [Â, B]= (BÂ (2)[Âm,Ân]= ÂmÂnÂnÂm= Âm+nÂm+n=0 ˆ BÂ ˆ 2 ˆ Â2B (3) [Â2, B]= ˆ ÂBÂ+ ˆ ˆ BÂ ˆ 2= Â2B ˆ BÂ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ BÂ)+ ˆ ˆ BÂ)Â ˆ ÂBÂ Â[Â, B]+[Â, B]Â= Â(ÂB (ÂB = Â2B ˆ Â[Â, B]+[Â, ˆ ˆ [Â2, B]= B]Â ˆ Ĉ]]+ [B, ˆ [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, B]] ˆ (4) [Â, [B, ˆ ĈĈB)]+[ ˆ ˆ (ĈÂÂĈ)]+ [Ĉ, (ÂB ˆ BÂ)] ˆ =[Â, (B B, ˆ ĈÂĈB ˆ B ˆ ĈÂ+ĈBÂ+ ˆ B ˆ ĈÂBÂ ˆ Ĉ ĈÂB+ ˆ ÂĈB+ ˆ ĈÂB ˆ ĈBÂ ˆ ÂB ˆ Ĉ+BÂ ˆ Ĉ=0 = ÂB ˆ p ˆ 2 2m V ( x ) ， 分别计算(1)当 V(x)=V(常数)， (2)当 V(x)=kx2/2， (3)当 V(x) V(r)=e2/40r 1.9 H
(12) [d/dx, d2/dx2]=0
1.7 如果 Â 是线性算符，b,c 为常数，f, g 为任意函数，证明 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg；证明若 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。 1)证明: Â 是线性算符 Â(bf+cg)= Â(bf) + Â(cg) = bÂf + cÂg 2)证明: Â(bf+cg)= bÂf + cÂg b,c 为常数
《量子化学与群论》课程第七、八两章作业题-09修[1]
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第七-八章 群论基础及初步应用7-1 假定2-4CuCl 原来属于d T 点群，四个Cl 原子的标号见7-2题图()a 。
当出现以下情况时，它所属的点群如何变化： （1）(1)Cu-Cl 键长缩短， （2）键长(1)Cu-Cl 和键长(2)Cu-Cl 缩短同样的长度， （3）键长(1)Cu-Cl 和(2)Cu-Cl 缩短不同长度， （4）(1)(2)Cl -Cl 距离缩短，（5）(1)(2)Cl -Cl 和(3)(4)Cl -Cl 间距离缩短相同长度。
（徐光宪《量子化学》上册 P 383 19) 7-2 一个正立方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱锥体，得到的多面体属哪个点群？如果在它的每个面上如图()b 所示刻上沟槽，它将属于哪个点群？如果这些沟槽都以表面的外向法线为轴旋转θ角(04)θπ<<，将得到哪个点群？如果045θ=呢？ （徐光宪《量子化学》上册 P 383 20)()a 24CuCl -()b 立方体7-3 对4h D 群，计算下列直积，并将其约化成不可约表示1g g A E ⨯ 11g u B B ⨯ g u E E ⨯ （厦大P141 题6-11）7-4 5PCl 分子属3h D 点群，将P Cl -形成的5个σ键的可约表示约化成不可约表示。
（厦大P141 题6-13）7-5 环己三烯 为2h D 点群，试写出π电子z p 轨道形成的可约表示，并将其约化成不可约表示。
(厦大P141 题6-15）8-1 作出4MnO -中氧原子轨道的对称性匹配的线性组合。
（徐光宪《量子化学》上册 P 503 39)8-2 甲烷分子属于点群d T ，不可约表示维数3≤，当以4个H 原子上的1s 轨函：1,1,1,1A B C D s s s s 为基时，所得群表示必是可约的，试通过计算特征标，确认哪些不可约表示会出现。
（江元生《结构化学》P 125 15)8-3 苯分子属于点群6h D ，但对6个H 上的1s 轨函的分类，只需用子群6D ，（1）试根据点群6D ，给出以6个1s 轨函为基的群表示的约化结果； （2）对6个C 原子的2s 轨函，群表示的约化结果是否相似； （3）若认为6个C-H 键是这两组轨道组合成的，试给出对应的能级图。
《量子化学与群论》课程第一、二两章作业题-09修
《量子化学与群论》课程第一、二两章作业题 2010.09.291. 对一维谐振子的基态，求动能的和势能的平均值；验证此情况下<T >=<V >。
(赖文P 70 4.1)2. 验证v =1和v =2的谐振子波函数的归一化因子。
(赖文P 70 4.7)3. 求量子数为v 的谐振子的态的<x >。
(赖文P 714.16)4. (1) 下列算符中哪些是线性算符？ （哈工大 P 27 1）①d dx②2∇ ③用常数乘 ④加上一个常数 ⑤开平方根 (2) 证明下列函数中哪个是(1)中某算符的本征函数(其中a 是常数)①a x ②ax e ③lg ax ④cos ax ⑤cos sin ax i ax +5. 如果算符,αβ∧∧满足条件αββα∧∧∧∧-=1，求证： （哈工大 P 27 3）(1) 222αββαβ∧∧∧∧∧-=。
(2) 3323αββαβ∧∧∧∧∧-=。
(3) 1n n n n αββαβ∧∧∧∧∧--=。
6. 试证明212x e -是算符222()d x dx-+的本征函数，所属的本征值为1。
而212x xe -也是这个算符的本征函数，求相应的本征值。
（哈工大 P 27 4）7. 若,F G ∧∧都是厄米算符，问： （哈工大 P 27 6）(1) F G ∧∧是否一定是厄米算符？什么情况下F G ∧∧是厄米算符？(2) 如果F G ∧∧G F ∧∧≠，则()F G G F ∧∧∧∧-和()i F G G F ∧∧∧∧-是否是厄米算符？8. 一维运动的粒子，其波函数为 （哈工大 P 27 12）x aπψ=且 0x a << 问： (1) 波函数是否归一化？(2) 求在0.250.75a x a <<以内发现粒子的几率。
9. 在宽度为a 的一维方盒中,粒子处于能量有确定值的状态。
（哈工大 P 55 1）()n n x x aπψ= 22222n n E ma π=h 式中m 为粒子质量。
应化所量子化学考试题库及其答案详解
Principles Of Quantum Chemistry——Kwong.S.T名词解释1.测不准关系：()()41M L 22≥∆⋅∆{∫ψ*i[L ,M ]ψdx}22.酉矩阵：S +=S -13.厄米算符：算符L 满足∫u 1*(x)L u 2(x)dx=∫u 2(x)L *u 1*(x)dx,其中u 1(x)和u 2(x)是任意两个平方可积函数，积分遍于自变量全部区域。
则称L 是厄米算符。
4.等价表示：矩阵群M 和M’所包含的每一个对应矩阵之间只差一个同样的相似变换，就说M’和M 是等价表示。
5.可约表示：如果一个矩阵表示可以表示成子矩阵的直和，那么这个矩阵表示是可约表示。
6.不可约表示特征标：不可约表示矩阵群的对角元素之和称为这个不可约表示的特征标。
7.投影算符：P R R hl k j Rj j k*∑Γ=λλ)()()(，其中R 为群元素，*Γk j R λ)()(是第j 个不可约表示操作R 的第λ行第k 列的矩阵元，l j 是第j 个不可约表示的维数，h 为群的阶。
8.轨道近似：认为各个电子的运动是彼此独立的，每个电子都在核与其它电子所形成的稳定的平均场中运动，从而每个电子的状态可以用一个单电子波函数来描写。
9.定域分子轨道：认为成键电子只是集中在相邻两原子间的键轴区域内。
10.正则分子轨道：由HFR 方程解出的分子轨道。
11.Slater 行列式：描述多电子体系满足保里原理的波函数。
12.ab initio ：严格的按HFR 方程进行计算称为从头计算。
13.NDO ：假设原子轨道在空间任何地方都不重叠。
DO ：对所有不同原子轨道的乘积都采用忽略微分重叠近似。
15.NDDO ：对属于同一原子各对轨道重叠的排斥积分全部予以保留。
16.INDO ：只保留单中心积分中同一原子对各轨道的微分重叠。
17.EHMO ：整个分子不在一个平面上，则σ，π分离就不可能，于是就必须对分子中所有原子的所有价电子进行计算，若这种计算不是基于自洽场分子轨道理论，就称之为推广的休克尔分子轨道法。
量子化学试题及答案
6-31G*=6-31G(d)6：代表每个内层轨道由六个高斯型基函数拟合而成；价层轨道劈裂成两个Salter型基函数，内层轨道不发生劈裂，其中一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成，另一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成；d：表示要对出氢以外的原子都要加d轨道Salter型基函数：2*4+（1+2+2*3+6）*2=38Gauss型基函数：4*4+（6+4+4*3+1*6）*2=722、解：第一种方法：CH,1, 1.08290068H,1, 1.08290068,2, 109.47122063H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,120.0,0H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,-120.0,0第二种方法：CH 1 B1H 1 B2 2 A1H 1 B3 2 A2 3 D1 0H 1 B4 2 A3 3 D2 0B1 1.08290068B2 1.08290068B3 1.08290068B4 1.08290068A1 109.47122063A2 109.47122063A3 109.47122063D1 120.00000000D2 -120.000000003、解：在分子势能面上有五类极值点，分别如下：整体极小点、局部极小点、整体极大点、局部极大点及鞍点。
整体极小点：整个势能面上的最低点，代表了能量最低也就是最稳定的结构；局部极小点：势能面某个区域内的最低点，代表了局部区域内能量最低的点；整体极大点：整个势能面上的最高点，代表了能量最高的点；局部极大点：势能面某个区域内的最高点，代表了局部区域内的能量最高的点；鞍点：在一个方向上是极小点，其他方向上都是极大点，代表了体系的过渡态。
判断某一极值点是否为过度态：首先，是否有且只有一个虚频（数值为负值，足够大，一般上百）；其次，看虚频的震动模式是不是朝着反应物和产物的方向震动；再次，进行IRC计算，看看是不是总想了反应物和产物。
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量子化学与群论习题
1. 证明x
P ˆ为厄米算符. 2. 验证x
x P x x P ˆˆˆˆ≠. 3. 证明x P ˆ和y
P ˆ可对易. 4. 试求在一维无限深势阱中运动的电子在基态时的.,,,,,,22x x x x P x x P P x P x ∆∆∆∆
5. 证明在一维深势阱中运动的质点的不同波函数互相正交. (证明)0*
=⎰dx m n ψψ 6. 函数
a
x a
a
x
a
x ππψ2sin
23sin
22)(⋅
-⋅
=是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其
能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值.7. 用变分函数2x xL -=ψ, 求一维势箱中(0;0)(,0≤=<<x x V L x 或∞=≥)(,x V L x )粒子的基态能级. 8. 假定r
c e r c c 3)1(21-+=ψ是氢原子Schrödinger 方程的一个解,求出.,,,321E c c c
9. 推导2
22
22
22
z
y
x
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=
∇在球坐标系和柱坐标系中的表达式.
10. 设2
cr
Ae -=ψ为氢原子1s 态波函数的试探函数,计算归一化常数A , 确定变分参数c 及
能级E .
11. 对一维势箱中的粒子用变分法求解. 在11<<-x 时,;0=V 其他情况下,.∞=V 设
,1,14
22
1x x -=-=φφ构造试探函数,2211φφψc c +=求2221121122211211,,,,,,,S S S S H H H H 以
及能级.,21E E
12. 假定氢原子的1s 波函数的特解为,r
Ne
αψ-=用待定系数法求.,,1N E s α
13. 一粒子在有一个小势坑的一维盒中运动,;,0,L x x V ≥≤∞=;2/0,L x b V <<-= .2/,0L x L V <≤= 将势坑视为一个
“规则的”刚性盒)0,0;,0,(L x V L x x V <<=≥≤∞=的一个微扰, 求出基态的第一级能级.
E
V =0 x =0 2/L x = x =L 0 x
14. 若粒子从左边入射，求上图所示一维阶梯势（E >V 0）的反射系数和透射系数. 15. 上题这若4/30E V =, 计算在0=x 处被反射的粒子的几率(反射系数为多少). 16. 设G 一切不等于零的有理数集合, 证明G 对于数的乘法构成一个群.
17. 设}1,0,1{-=G ,对于加法是否构成一个群?对于乘法是否构成一个群?为什么? 18. 构造C 2V 点群的乘法表.
19. 验证点群},,,{342444C C C E C =和α},,1,1{i i U --=及β},,,{→←↓↑=V 同构. (α为数的乘法, β为动作,↑ 立正, ↓ 向后转, ← 向左转, →向右转) 20. 将下列C 3V 的可约表示Г分解为不可约表示.
21. 将下列C 2V 的可约表示Г分解为不可约表示.
22. 以CH 4分子中的4个氢原子的1s 轨道为基, 求该可约表示的特征标表, 并将它分解为不可约表示.
23. 将CH 4分子中的4个氢原子的1s 轨道组合成为对称性匹配函数.
24. 用对称操作的表示矩阵证明)(ˆˆˆ:));(ˆ)(ˆ)(ˆ:);ˆˆ)(ˆ:)2
2222z C c z C y C x C b i z C a xz yz xy ===σσσ. 25. 求反式二氯乙烯分子中以2个氢原子的1s 轨道为基的表示的特征标, 并将其分解为不可约表示.
26. 写出下列点群以(x ,y ,z )为基的表示矩阵.:);:);:);:)424d h h T d D c D b C a 27. 氢原子处于基态时, 1s 波函数为0
/23
1)1
(
1
a r s e
a -=πψ,求1)r 平均值r ; 2)位能r
e
V 2
-
=的
平均值; 3)动能的平均值T .。