各向异性屈服条件和流动理论

即
2 (G H )12 ( F H ) 2 2H1 2 1
利用（8） ，上式可写成
(
1
Y1
)(
2
Y2Biblioteka ) 2 HYY 1 2(
2
1 2
Y1 Y2 .
) 1
（11） 若屈服应力 与 相等，则上式又可写成
2R ( ) 1 2 Y 2 1 R
2Y3 时，H 便为负值） ，则 d y 、
d z 中便有一个为正值。此外，由（15）可以看
出， 如果 H G ， 也就是说, Y3
Y2
， 则在 Y2
方向的收缩是较大的。换言之，在屈服应力较 大的方向上应变较小。 根据 x 方向的拉伸试验，通过测量应变比 H ( 值，可以得出比值 G ) 。同样，根据 y 和 z 方 G F 向的拉伸试验， 可以得出比值 ( F ) 和 ( H ) 。 原则
K12 x y K23 y z K13 x z
const
（3） 如果屈服函数不受各向等压力（-p） （球量） 的影响，那么，我们可以用
( x p) 、 ( y p) 、 ( z p)
来代替方程（3）中的 x 、 y 、 z ，而 等式仍然成立。进行这一替换后，式中就会出
53
p d yz d L yz p d zx d M zx p d xy d N xy
（14） 上述表示式同时满足不可压缩条件
d xp d yp d zp 0
当弹性应变增量与塑性应变增量相比为很小 时，上标可以省略。 由（14）式可以看出， 如果应力反向的话，应变增量也就反向； 如果应力主轴和各向异性材料的对称轴重 合，那么应变增量的主轴也和各向异性的对称 轴相重合，否则，应力和应变增量的主轴一般 说来是不相重合的。 进行各向异性材料的力学性能实验，要求 实验的材料在足够大的体积内，各向异性的分 布式均匀的，使之能够在其中的任意方向上割 出一条拉伸试件来。 设沿平行于各向异性轴（令为 x 轴）割出
2 1 2 2
（12）
52
式中
Y3 2 H R 2( ) 1 G Y
（13） 二 应力与应变增量间的关系 以各向同性材料的塑性势流动论作类比，可 取方程（6）中的 增量可由
f ( ij ) 为塑性势。于是应变
f ( ij ) 对 ij 的偏微分导出。因
2 2 2 2L yz 2M zx 2 N xy
c , c ,......c
2 f ( ij ) K11 x K12 x y K13 x z K14 x yz K15 x zx K16
2 K22 y K23 y z K24 y yz ......
K33 z2 ......
f ( ij ) F ( y z )2 G( z x )2 H ( x y )
由
d d
p j
f ( ij ) ij 可得
d xp d [ H ( x y ) G ( x z )] p d y d [ H ( y z ) G ( y x )] p d z d [ H ( z x ) G ( z y )]
1 K (K K ) 1 1 2 1 K ) K2 (K 2 2 1 K (K 3 K ) 3 2
或
写
成
（4） 将（4）代入（3） ，并令
F K23
G K13
H K12
L K 44
N K66
可得 （5）
.........
2 K66 xy
const
45
（2） 上式共包含 21 个独立系数。 现考虑正交异性材料， 设材料性质对称于 x、 y、z 轴，显然，当坐标轴转至相反方向时（即 旋转 180°） ， 例如， 将 x、 y、 z 坐标系转换到 、 、 坐标系， =x、 =y、 = -z，则屈服函 数 f ( ij ) 应该不变。因为，对于 、 、 坐标 系，应力分量为
的不等式。 对于各向同性材料 , 因 Y1 Y2 Y3 , 故 有 F=G=H，这时（7 ）式便与各向同性 Mises 条件完全一致. 设 R、S、T 为相对于各向异性主轴的剪切屈 服应力，则由（6）式得
1 2 L R 2 1 2M 2 S 1 2 N T 2
2 p 现 p 和 的项。由于 p 的大小是完全任意的，
47
2 p 所以式中 p 与 的系数应当为零，由此可得出
2 K11 K12 K13 0 2 K 22 K12 K 23 0 下 列 三 个 关 系 式 ： 2 K K K 0 23 13 33
x ,
y ,
z ,
xy , yz , zx ,
根据
f ( ij ) 保持不变的条件，由（2）得
K14 K15 K24 K25 K34 K35 K46 K56 0
同样的，如果取
50
（9） 显然，F、G、H 之中只有一个可以为负值 [ 因为 (8a 、 b 、 c) 等号右边恒为正值 ], 并且由 (9) 式可以看出 , 只有当各屈服应力相差很大时 , 这 才 有 可 能 , 同 时 , 只 有 当 Y1 Y2 时,才有
F G
,同样道理,对于 G~H 和 H~F 也有类似
x,
y,
46
z,
以及
x,
y,
z,
则可进一步得到
K16 K26 K36 K46 0
可见，对于各向异性材料， （ 2）中的独立系 数由 21 个减少至 9 个，从而该式可写成：
2 2 2 2 2 f ( ij ) K11 x K22 y K33 z2 K44 yz K55 zx K66 xy
55
( 上说来，根据恒等式
验证上述理论。
H G F )( )( ) 1 ，便可以 G F H
56
(10)
51
由此可见，L、M、N 恒为正值。要完全描 述一单元体中的各向异性状态，就需要知道各 主轴的方位及六个相互独立的屈服应力 Y1 、Y2 、
Y3 、R、S、T 的值。
如果为平面应力，这时， （7）式可写成
2 2 F 2 G12 H (12 21 2 2 ) 1
M K55
48
2 F ( y z )2 G( z x )2 H ( x y )2 2L yz
2 2 2M zx 2 N xy const
如将等号右边的常数移到等号左边，使之包 含在 各系数中，则上式可写成 （6） 上式共包含六个独立的材料常数。设材料的 性质对称于应力主轴，并使坐标轴与应力主方 向一致，这时剪应力分量应当为零，方程（ 6） 可写作
F (0 0)2 G(0 Y1 )2 H (Y1 0)2 1
即
49
1 GH 2 Y1
（8a） 同理可得
1 H F 2 Y2
（8b）
1 F G 2 Y3
（8c） 由此可得
1 1 1 2 F 2 2 2 Y2 Y3 Y1 1 1 1 2G 2 2 2 Y3 Y1 Y2 1 1 1 2 H 2 2 2 Y1 Y2 Y3
54
一长条试件，并沿轴作用一拉力，则由（ 14） 可知，此时其应变增量间的比例为
d x : d y : d z (G H ) : ( H ) : (G)
（15） 可见，在一般情况下 y、z 方向上的应变是收缩 的，但是当屈服应力的差值很大，以至于 G 或 F 中有一个为负值时（例如，根据式（9） ，当 Y1 和 Y2 均大于
各向异性材料的屈服条件和流动理论
一 各向异性材料的初始屈服
对于各向异性材料，其初始屈服条件需用 下列一般形式的屈服函数来表示：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ; c1 , c2 , ) 0
（1）
n 为与材料性质相关的 式中 1 2 参数。 取应力分量的二次齐次式作为屈服函数， 从而将式（1）表示成
2 2 2 F ( y z )2 G( z x )2 H ( x y )2 2L yz 2M zx 2 N xy 1
F ( z 3 )2 G( 3 1 )2 H (1 2 )2 1
（7） 若 Y1 、 Y2 、 Y3 分别为沿 1 、 2 、 3 方 向的拉伸屈服压力，则由（7）式可得