第二章 实数回顾与思考
北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc
初级中学导学案年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习）1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根学习式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算；目标2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。
学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根式及其相关概念。
重点学习灵活运用公式进行二次根式的相关运算。
难点教法教学开放导学法班班通学法准备1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理数。
其中正确的的有（）。
A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X -3 +（4-Y）+ 2X Y 3Z 的值为。
2X3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y的值为。
4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。
（1）a+b的值；（2）a-b 的值。
5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（）2A.2 或12B.2 或-12C.-2 或12D.-2 或-126. 下列说法正确的有（）个。
（1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数（3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一个有理数A.3B.2C.1D.07. 下列二次根式属于最简二次根式的是（）评价1 7样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 48. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（）A.m=0B.m=1C.m=2D.m=3评价设计通过教师提问、学生回答完成目标一。
（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。
（目标达成率90%）学习知识点复习：知识点一：有理数、无理数概念：1. 任何和都是有理数。
内容2. 称为无理数。
和方知识点二：算术平方根、平方根、立方根概念：法指1. 一般地，如果一个X 的平方等于a,即，那么这个正数X 就叫做 a补充资料教学导的。
第二章实数回顾与思考(教案)
在今后的教学中，我会继续努力，寻求更多有效的方法，帮助学生克服学习难点，提高实数这一章节的教学效果。同时，注重培养学生的数学思维和实际应用能力，使他们在学习数学的过程中，既能掌握知识，又能体会到数学的乐趣。
4.情感与态度：激发学生对实数学习的兴趣，形成积极主动的学习态度，体会数学的严谨性和美感，增强数学学习的自信心。
5.合作与交流：培养学生团队协作精神，通过小组讨论、交流，提高学生的沟通能力和集体智慧。
本章节的核心素养目标旨在全面提升学生的数学学科素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-通过练习题让学生熟悉混合运算的顺序和法则
（3）实数与数轴的关系：学生可能难以理解实数与数轴之间的对应关系。
-通过数轴图示，让学生直观地感受实数与数轴的关系
-举例说明数轴上实数的运算规律
（4）实数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将实数知识应用于实际问题。
-创设实际情境，让学生体会实数在生活中的应用
4.实数在实际问题中的应用
-实数在生活中的应用实例
-实数在科学计算中的应用
5.实数的估算与近似
-近似数的概念
-四舍五入法
-有效数字
6.回顾与思考
-总结实数章节的知识点
-分析实数在实际问题中的应用
-思考实数学习的意义与价值
本章节内容旨在帮助学生巩固实数知识，提高解决实际问题的能力，同时培养学生的数学思维和估算意识。
北师大版初中八年级上册数学：第二章实数_回顾与思考_课件
3 5 和 1 互为倒数， 35
| 3| 3 , |0| 0, |- | .
4、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
7
(1) 7 的相反数是 7；倒数是 7 ；
绝对值是 7 。
(2) 3 - 8 的相反数是 2
；倒数是
1 2
；
绝对值是 2 .
1
(3) 49 的相反数是 -7 ；倒数是 7 ；
（2） 6 3 2
已知 x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
有限小数或循环小数
无理 数 正无理数 无限不循环小数 负无理数
2、判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数都是有理数.
3、实数的性质：
在实数范围内，相反数、倒数、 绝对值的意义和有理数的相反数、倒数、绝 对值的意义完全一样。
1、9的算术平方根是 3 ; 2、(-5)0的立方根是 1 ;
3、10-2的平方根是 ±0.1 ;
4、 16 的平方根是 2 ；
5、 化简： 48 3 3 3 ；
例3、比较大小： 2 5 与 2 3
解：∵(-2+ 5 )-(-2+3 )=-2+5 +2- 3 =5 - 3 ＞0 ∴-2+ 5 ＞-2+ 3 另解：直接由正负决定-2+ 5 ＞-2+ 3
绝对值是 7 .
三、想一想
a是一个实数，它的相反数为 a;
绝对值为 | a | .如果 a 0 , 那么它的
2实数回顾与思考2
第 2 课时 课题：2.实数回顾与思考（2）学习目标：1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方立方运算求 某些数的平方根或立方根；2．会用计算器实行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算； 3．了解无理数的意义，会对实数实行分类，了解实数的相反数和绝对 值的意义；4．二次根式的化简与计算重、难点：本章重难点自主学习，思考问题一、基础练习1．（—4）2的算术平方根是_________，81的平方根是__________2．已知22)3()(-=-x ，则x =__________。
33)3()(-=-x ，则x =___________。
3．在实数5.270107.0722212.03，，，，，π -中，无理数有___________________。
4．一个数的平方等于它本身，这个数是____________； 一个数的平方根等于它本身，这个数是_____________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是______________； 一个数的立方等于它本身，这个数是_____________； 一个数的立方根等于它本身，这个数是___________。
5．21-x 中x 的取值范围是____________。
6．23-的相反数是_____________，绝对值是_____________。
7．x m m 是和9432++的平方根，则x =_________________。
二、综合使用8．已知7,5||2==b a ，且。
b a b a b a ______________,||=-+=+则9．当0≤x 时，化简。
x x ______________|1|2=-- 10．如图，点A 、B 、C 分别是数轴上的点，C 是AB 的中点，则B 点表示的数是____________。
11．已知115+的小数部分为a ，115-的小数部分为b ，求a —b 的值。
12．已知3+-y x 与2)1(-+y x 互为相反数，求x + y 的算术平方根。
北师大八年级上第二章实数回顾与思考上课稿2
实际 应用
本 章 小 结
16 25 4 5 20
③， (4)2 4
④ 22222
(A) 1个
( B) 2个
(B)(C) 3个
(D) 4个
a 8. 若 a 和 a 都有意义， 则 的值是（ ） A a0 B a0
C a0 D a0
x x
9. 如果 x
1，则
的值是（ ）
A x0
B x0
C x0
D x0
10，下列各组数中表示相同的一组是 （）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
那么 xy ；
7. 如果 a的平方根是 2，
那么 a
；
8. 实数与数轴上的点是 对应的；
9.开平方等于±5的数是 ______ 。
10，当 x_______ 时， 1
有意义；
1 x
11.若 (a2)2 2a
则 a的取值范围是 ；
12，如果一个正数的平方根为2a-1和 4-a，则a=_____ ;这个正数为____；
∴ (mn)2 (nm)2
∴ m n n m
∴ 2m2n ∴ mn
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
北师大版初二第二章 实数 回顾与思考 教学案
第二章实数回顾与思考执笔人：小组审核：审核人：执教人：一、学习目标：1.通过复习学生能够准确掌握数开平方、开立方的有关概念和表示方法及其运算。
2.通过复习学生能充分理解实数的概念。
3.增强学生进行实数运算的能力。
4.理解有关二次根式的概念、有意义的条件、二次根式的性质，并能灵活运用.二、重点：平方根、立方根的性质和运算难点：实数的计算，二次根式的相关概念及运算。
三、学法指导：学习完平方根、立方根之后的阶段性复习，内容侧重基础，旨在把前面较凌乱的知识点做一个系统归纳，掌握二次根式的各种运算方法，并能熟练的解决问题。
四、教学过程：（一）引入：［知识结构］乘方−−−−→←互为逆运算开方⎪⎩⎪⎨⎧−−→−−−→−立方根平方根开立方开平方实数无理数有理数→⎭⎬⎫（课前让学生看书整理，形成知识系统，课上交流）（二）原理的探究：［知识回顾］（一）数的开方：算术平方根的定义：平方根的定义：平方根的性质：立方根的定义：立方根的性质：（三）例题分析：（1）算术平方根1.1的算术平方根为（）（A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（1691）2 2.1691的算术平方根可表示为 ，即 = 算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数 a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立。
（2）平方根1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为2.快速地表示并求出下列各式的平方根⑴1169⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2 3.判断下列各数是否有平方根，并说明理由①（-4）2 ②0 ③x 2+1 ④-a 24.用平方根定义解方程⑴16（x+2）2=81 ⑵x 2-225=0（3）立方根1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值：⑴3512.0-= ⑵－3729-= ⑶33)2(-= ⑷（38）3= 3.如果32-x 有意义，x 的取值范围为 4.用立方根的定义解方程⑴（x-2）3=27 ⑵［2（x+3）3］=512（4）二次根式【复习提纲】初步感知、激发兴趣一．填空1.二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数．2. 二次根式有意义的条件：当a时，式有意义，只要使被开方数即可．3. 二次根式的性质一：即一个非负数的算术平方根是一个．4.性质二：2)(a=（a≥0）可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用，故因式分解可在实数范围内进行．5.==(00(0)(0a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞）＜），这一性质的主要应用：①正向应用于二次根式的化简与计算；②逆向应用：可将根号外的非负因式移到根号内．6. 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是；（２）被开方数中不含有开得尽方的．7. 二次根式的乘法：＝（a≥0，b≥0）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．8. 二次根式的除法：=（a≥0，）即两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除.9.同类二次根式：几个二次根式化成以后，如果，这几个二次根式叫做同类二次根式.10.二次根式的加减：先把二次根式化成最简二次根式再．11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先，后，最后，有括号的先.算括号内的在运算过程中，有理数（式）中的运算二．化简。
第二章 回顾与思考(二)
作业
1 8 32
2 1 12
3
3 2 75 27 （4） 3 （2 3 6）
5 7 3 7 36（2 5 3 ）2
72 3 27 1
3
a 3、若 2=-a,则实数a在数轴上的对应点一
定在( ) C
A﹑原点左侧 B,原点右侧 C,原点或原点左侧 D,原点或原点右侧
4、若规定误差小于1, 那么
为( )
A. 3
B. 7
C. 8
D. 7或8
6的0 估算值
5、数轴上的A点所表示的数是（ ）
B
A: 1.5
C: 3
B: 2
D:1.414
二、回顾知识根式的运算及化简
第二章 实数
八年级数学组
学习目标
1、进一步巩固实数及其相关概念。 2 、掌握估算方法。 3 、熟练进行有关实数的简单的四则运算。
实数
一、回顾知识要点
实数的定义： 有理数和无理数统称为实数.
按定义分：
有理数 实 数
无理数
按符号分：
正有理数
实 数
正实数 正无理数 零关系是：一一对应
练习（一）
1、在下列各数 0.51525354
0、0.2、3、272 、6.1010010001
131 、 11
27 、无理数的个数是（C）
(A) 2 ( B) 3 (C) 4 (D) 5
2、判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数；错误 （2）无理数都是无限小数；正确 （3）带根号的数都是无理数；错误 （4）实数都是无理数；错误 （5）无理数都是实数; 正确 （6）没有根号的数都是有理数.错误
二次根式的运算法则：
a b a b （a≥0，b≥0），
北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc
初级中学导学案年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习）1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根学习式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算；目标2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。
学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根式及其相关概念。
重点学习灵活运用公式进行二次根式的相关运算。
难点教法教学开放导学法班班通学法准备1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理数。
其中正确的的有（）。
A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X -3 +（4-Y）+ 2X Y 3Z 的值为。
2X3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y的值为。
4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。
（1）a+b的值；（2）a-b 的值。
5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（）2A.2 或12B.2 或-12C.-2 或12D.-2 或-126. 下列说法正确的有（）个。
（1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数（3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一个有理数A.3B.2C.1D.07. 下列二次根式属于最简二次根式的是（）评价1 7样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 48. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（）A.m=0B.m=1C.m=2D.m=3评价设计通过教师提问、学生回答完成目标一。
（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。
（目标达成率90%）学习知识点复习：知识点一：有理数、无理数概念：1. 任何和都是有理数。
内容2. 称为无理数。
和方知识点二：算术平方根、平方根、立方根概念：法指1. 一般地，如果一个X 的平方等于a,即，那么这个正数X 就叫做 a补充资料教学导的。
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A
B
D
C
B
C
D
分析：（1）当△ABC为锐角三角形时，易求 BD=15，DC=6，从而求得BC=15+6=21. （2）当△ABC为钝角三角形时，易求BD=15， DC=6，从而求得BC=15－6=9.
三、运用巩固
1．下列说法错误的是（ D ） A．4的算术平方根是2 B ． 是2的平方根 2 C．－1的立方根是－1 D．－3是 (3) 2 的平方根
例4 （1）已知 a ， 满足 a 2 b 3 0 ， b 求 (a b)2013的值. 解： a 2 0, b 3 0 又 a2 b3 0
a 2 0, b 3 0
a 2, b 3
(a b)2013 (2 3)2013 (1)2013 1
（2）已知 y 2 x 4 2 4 2 x 3 ，
求 x y 的值.
解： 2 x 4 0, 4 2 x 0
2x 4 4 2x 0
x 2
y 003 3
x 2 8
y 3
（三）实数中的数形结合 例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10， BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？
2．当 2 x 3时，求代数式 16 16 x 4 x 2 2 x 6 的值. 2
1 3．若 x 有意义，求 x 的取值范围. x2
x2
4．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6， 它底边上的高为 68 ，求这个等腰三角形的 周长与面积. SABC 51 CABC 8 17
四、课堂小结
请同学们认真思考下列问题：
1．通过本堂课的学习我收获了什么？
2．我还有哪些没有解决的困惑？
五、课后作业
完成课本 P47 49 复习题知识技能1题、4题、 10题；数学理解14题；问题解决21题.
例3 计算： (1)
1 40 10
（2） 5 12 9 1 1 48
3 2
1 1 解：原式 5 4 3 9 2 16 3 3 10 3 9 3 2 3 3
1 4 10 解：原式 10 10 2 10 10 19 10 10
10 3 3 3 2 3 9 3
第二章
实数
回顾与思考
一、知识回顾
知识点填空: （1） 无限不循环小数 叫做无理数；
（2）
实 数 分 类
有理数和无理数
统称为实数；
有理数 无理数
分数
整数 正无理数
负无理数
（3） 实数 和数轴上的点是一一对应的； （4） a 2 a
( a ) a(a 0)
2
( a) a
3 3
3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐 次加1）
（二）实数的相关性质及运算 例2 实数 a ， 在数轴上的位置如图所示， b 化简 . a b (b a)2
a b (b a)2 ( a b) b a a b b a 2a
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？ ， 3 5 ，3.14159265， 9 ， π， 23 ，( 5)2 ，3.1010010001…（相邻两 3 1 个1之间0的各数逐次加1） 无理数的判断方法： 无限不循环的小数 主要有以下几种： ①开方开不尽的方根
②含 的数 ③是无限小数且不循环
二、典例精析
（一）实数的相关概念 例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？
23 ， 3 5 ，3.14159265， 9 ， π， ，( 5)2 ，3.1010010001…（相邻两 3 1 个1之间0的各数逐次加1）
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？ ， 3 5 ，3.14159265， 9 ， π， 23 ，( 5)2 ，3.1010010001…（相邻两 3 1 个1之间0的各数逐次加1） 有理数的判断方法： 整数和分数
π
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？ ， 3 5 ，3.14159265， 9 ， π， 23 ，( 5)2 ，3.1010010001…（相邻两 3 1 个1之间0的各数逐次加1） 此题中的有理数： 9 此题中的无理数： 23 3.14159265
3
( 5) 2
5
π
3 1
3
a a
3
a b
a b
ab (a
（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母 有理化； （6）最简二次根式应满足的条件是： 被开方数 不含分母 ， 也不含 能开得尽方的因数或因式 .
（7）同类二次根式：几个二次根式化 成 最简二次根式 后，如果被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式；化简时，有同类二次根式要合并， 可以约分的分式要约分。