第二章 实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数

回顾与思考

一、学生起点分析

本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础．

二、教学任务分析

本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法．

因此，本节课的教学目标是：

①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；

②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想；

③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；

本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．

本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握

的难点．

本章的知识结构框图

2

2

2

3

3

0)

x a x a x a

x a x

x a a x

x a x a x a

x a x

a

⎧⎧

⎨

⎪

⎪⎩

⎨

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

⎩

⎧=

⎪⎪

==

⎨

⎪=

⎪⎩

⎧=

⎪

⎨

==

⎪⎩

≥

整数

有理数

分数

实数分类

正无理数

无理数

负无理数

定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则

算术平方根：若，则的算术平方根为

定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根

表示：若，则

实数叫做二次根式

二次根式

最简二次

2

3

(0)

0,0)

0,0)

a a

a

a

a

a b

a b

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎧

⎨⎪

⎨

⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎧

=≥

⎪

⎪

=

⎪

⎪=

⎪

⎪

⎪=

⎪

⎪=≥≥

⎪

⎪

=≥≥

⎪

⎪

⎪⎩

根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质

实数的性质应用

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；

第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

第一环节知识回顾

知识点填空:

（1）无限不循环小数叫做无理数．

（2）有理数和无理数统称为实数．

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩

整数有理数分数实数分类正无理数无理数负无理数

（3） 实数 和数轴上的点是一一对应的．

（4）=2a a ；)0()(2≥=a a a ；a a =33)(；a a =33；

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；)0,0(≥≥=b a b

a b a

（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母有理化．

（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式

（7）同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．

设计说明：以上7个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰

本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.

第二环节 典例精析

（一）实数的相关概念

例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

23

3.14159265

π-

1

，2(，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）

设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方

法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判

断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的

2(虽然都含有根号，但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265，