初三数学竞赛考试试题

学科素养大赛数学试题

（考试时间：150分钟 满分：150分）

第Ⅰ卷

一． 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个

选型中，只有一项是符合要求的）

1.已知2310,a a -+=那么2294921a a a

--+=+（ ）

.3A .5B C D 2.在ABC 中， 已知ACB ∠为钝角，CF 为边AB 上的中线，BE 为边AC 上的高.若,CF BE =则ACF ∠=（ ）

0.15A 0.30B 0.45C 0.60D

3.已知素数,p q 满足5729,p q +=则q p

p q +的值是（ ） .15A .16B .17C .18D

4.已知直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，与反比例函数(0)k y k x =

>的图

像交于,C D 两点，若,AB =则k 的值为（ ）

.1A B .2C D 5.若关于x 的一元二次方程2

310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） 9.4A k ≤- 9.4B k ≥-且0k ≠ 9.4C k ≥- 9.4

D k >-且0k ≠ 6.若,2x y y x y

=-则22222343x xy y x xy y --=++（ ） .0A 3.2B - 1.5C - 1.5D -或32

- 7.设,,a b c 均为正整数，且,a b c ≥≥满足15.a b c ++=则以,,a b c 为边长的三角形有（ ）个

.5A .7B .10C .12D

8.已知实数,,a b c 满足2222

41,83,a b a b c b +-≤+-≤-且221226.c a c +-≤-则()c a b +的值为（ ）

.1A .8B .9C .27D

9.若整数,a b 均不能被5整除，但a b +能被5整除，则下列式子不能被5整除的是（ ）

.23A a b + .23B a b - .38C a b + .37D a b -

10.在直角ABC 中，090,,,C a b c ∠=分别是,,A B C ∠∠∠的对边，,a b 是关于x 的方程

2770x x c -++=的两根，那么AB 边上的中线长是（ ）

3.2A 5.2

B .5

C .2

D 第Ⅱ卷

二． 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知,,a b c 为常数，且对任意实数x 均有322(1)().x x c x x ax b ++=+++

则abc = ．

12.若,a b 为正整数，且满足5750,a b +=则ab = ．

13.已知4,32,ABC S AB BC ==过点C 作ABC ∠的角平分线BE 的垂线，垂足为.D 则

BDC S = ．

14.已知002sin 451,2cos 45 1.a b =+=-则代数式2222

22

(1)()2a b a b ab a b ab +--÷+的值为 ．

15.已知,a b 为实数，关于x 的不等式组200,150

x a x b +>⎧⎨

-≤⎩的整数解仅为2,3,4.则ab 的最大值为 ． 三． 解答题：（本大题共6小题，共75分）

16. (12分)已知12,x x 是方程2310x x ++=.

17. (12分)解方程：)1|1(|322--=-x x x .

18. (12分)已知不等式64222--≤++x x b ax x 对所有实数x 都成立，求,a b 的值. 19. (12分) (1) a 是整数，则称2a 为完全平方数，则一个完全平方数被5除的余数是

_______________.

(2) 设,,a b Z ∈求证：关于x 的一元二次方程251030x ax b +++=没有整数根.

20. (13分)若关于x 的方程2120x kx +-=与23830x x k --=有一个公共根，求实数k 的所有可能值.

21. (14分)如图，已知AB 是圆O 的直径，CD 平分.ACB ∠求证：2.AC BC CD +=